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## 3.6Moltiplicazione in frequenza e nel tempo

La descrizione di un sistema fisico per mezzo della sua risposta impulsiva è di fondamentale utilità soprattutto per merito della seguente proprietà della trasformata di Fourier:

> La ℱ-trasformata della convoluzione tra due segnali è pari al prodotto delle trasformate dei segnali:

ℱ{x(t)*y(t)}=X(f)Y(f)
La dimostrazione è riportata alla nota [42] [42] Z(f) = ℱ{x(t)*y(t)}=∫∞− ∞[∫∞− ∞x(τ) y(t−τ) dτ] e−j2πftdt= = ∫∞− ∞x(τ) [∫∞− ∞y(t−τ) e−j2πftdt] dτ=∫∞− ∞x(τ) Y(f) e−j2πfτ dτ= = Y(f) ∫∞− ∞x(τ) e−j2πfτ dτ=Y(f)⋅X(f) . Sussiste inoltre anche la proprietà duale, ovvero ad un prodotto nel tempo corrisponde una convoluzione in frequenza, che si scrive
ℱ{x(t)⋅y(t)}=X(f)*Y(f)
In Fig. 3.12↓ è mostrato come (ad es.) l’ultima relazione individui un isomorfismo tra spazi di segnale. Nel seguito, trattiamo delle conseguenze e dei risvolti legati alla coppia di proprietà duali ora introdotte, iniziando dalla prima.
Figura 3.12 Isomorfismo tra gli spazi di segnale nel tempo e nella frequenza

### 3.6.1Moltiplicazione in frequenza (filtraggio↓)

Questa proprietà consente una diversa modalità di calcolo dell’uscita da un sistema fisico. Questa può infatti essere ricavata operando nel dominio della frequenza, in base all’espressione
Y(f)= ℱ{x(t)*h(t)}=X(f)H(f)
e quindi valutando y(t)= ℱ− 1{Y(f)}. La trasformata della risposta impulsiva H(f)= ℱ{h(t)} prende il nome di risposta in frequenza, per il motivo esposto di seguito, assieme ad un paio di esempi di applicazione di questa proprietà a casi già noti al lettore. Approfondimenti sulle operazioni di filtraggio posso essere trovati al cap. 9↓, da affontare dopo lo studio di processi ergodici al § 7.3↓.
Risposta in frequenzaPonendo in ingresso al sistema un segnale esponenziale complesso x(t)=ej2πf0t, in cui è presente l’unica frequenza f0 (infatti X(f)=δ(f−f0)), la proprietà del prodotto per un impulso permette di valutare una uscita Y(f)=H(f)δ(f−f0)=H(f0)δ(f−f0), ossia un impulso centrato in f0 e di area complessa H(f0), da cui
y(t)=H(f0)ej2πf0t
Quindi, il segnale in ingresso si ripropone in uscita, alterato in modulo e fase in base al valore che H(f) assume alla frequenza f0: per questo motivo H(f) è detta risposta in frequenza del sistema.
Autovettori e misura di H(f)Ricordando come in algebra lineare, applicando una trasformazione lineare ad un proprio autevettore, si ottiene l’autovettore stesso, moltiplicato per il rispettivo autovalore, osserviamo che la stessa definizione è ora perfettamente applicabile alle funzioni esponenziali complesse ej2πf0t, che risultano essere gli autovettori (o autofunzioni) di un sistema con risposta in frequenza H(f), ed alle quali risulta associato l’autovalore H(f0). Questa particolarità consente di misurare H(f) alle diverse frequenze, come illustrato a pag. 1↓, semplicemente osservando l’uscita del sistema, quando in ingresso è posto un segnale sinusoidale.
Sistema passa tuttoPoniamo di avere H(f)= 1, e che quindi risulti h(t)=δ(t). In questo caso le componenti di X(f) alle diverse frequenze non subiscono nessuna alterazione, ottenendo
y(t)= ℱ− 1{Y(f)}= ℱ− 1{X(f)}=x(t)
ed il sistema viene detto di tipo passa tutto. Per verifica, scriviamo l’integrale di convoluzione, che risulta y(t)=∫∞− ∞x(τ) δ(t−τ) dτ=x(t): ritroviamo quindi la proprietà di setacciamento.
RitardoSe invece H(f)=e−j2πfθ, pari cioè ad un esponenziale complesso, il sistema equivale ad un elemento di ritardo, riproducendo in uscita l’ingresso presentatosi θ istanti prima. Infatti risulta:
y(t)= ℱ− 1{Y(f)}= ℱ− 1{X(f)e−j2πfθ}=x(t−θ)
D’altra parte, scrivendo l’integrale di convoluzione, e ricordando che h(t)= ℱ− 1{e−j2πfθ}=δ(t−θ), avremmo ottenuto y(t)=∫∞− ∞x(τ) δ(t−θ−τ) dτ=x(t−θ), ritrovando la proprietà della convoluzione per un impulso traslato. Un sistema siffatto è indicato come canale perfetto a pag. 1↓, in quanto privo di distorsioni lineari (vedi § 14.5↓).
Sistemi in cascataPonendo l’uscita di un primo sistema fisico y(t)=x(t)*h(t) in ingresso ad un secondo filtro con risposta impulsiva g(t), si ottiene un risultato z(t)=y(t)*g(t) la cui trasformata di Fourier si può calcolare come Z(f)=X(f)H(f)G(f), dato che (vedi pag. 1↑) la cascata dei due sistemi fisici è equivalente ad un terzo sistema con risposa impulsiva h’(t)=h(t)*g(t), e questa convoluzione temporale è equivalente al prodotto tra le rispettive risposte in frequenza.

### 3.6.2Moltiplicazione nel tempo (modulazione↓ e finestratura)

La relazione
Z(f)= ℱ{x(t)y(t)}=X(f)*Y(f)
ci permette di investigare le conseguenze frequenziali del prodotto temporale di due segnali.
Esempio Prendiamo il caso in cui z(t)=ArectT(t)cos2πf0t, ovvero pari alla forma d’onda graficata a sinistra della
Figura 3.13 Trasformata di un coseno finestrato con T= 2, f0= 10
Fig. 3.13↑. Applicando i risultati noti e la proprietà di traslazione in frequenza, risulta:
Z(f) = (A)/(2)ℱ{rectT(t)(ej2πf0t+e−j2πf0t)} = (AT)/(2)(sinc[(f−f0)T]+sinc[(f+f0)T])
in cui ℱ{rectT(t)}=Tsinc(fT) si è traslato in ±f0.
Il risultato dell’esempio, mostrato a destra in fig. 3.13↑, coincide [43] [43]Dalla figura si può anche arguire come, per T crescente, Z(f) tenda sempre più ad assomigliare ad una coppia di impulsi, ossia al risultato noto per un un coseno di durata infinita. Qualora si consideri invece solo un breve intervallo di un segnale, il suo spettro si modifica, a seguito della convoluzione con lo spettro della finestra di analisi.
L’operazione di estrazione di una porzione di segnale di durata limitata, a partire da un altro comunque esteso, è indicata come una operazione di finestratura (windowing). In appendice (3.9.3↓) sono svolte considerazioni relative alla scelta di una finestra rettangolare o con altro andamento.
con quello previsto: l’espressione di Z(f) infatti è anche pari alla convoluzione tra ℱ{rectT(t)}, ed i due impulsi traslati ℱ{cos2πf0t}=(1)/(2)(δ(f−f0)−δ(f+f0)): determinando quindi la replica dello spettro del rect, traslata alla frequenza del coseno.
Modulazione
L’esempio ci permette di motivare il termine modulazione associato a questa proprietà. L’ampiezza del coseno risulta infatti modulata dal rettangolo. La modulazione di ampiezza (AM) dei radio ricevitori casalinghi si riferisce esattamente a questo processo, svolto allo scopo di condividere tra più emittenti la banda prevista per le trasmissioni, assegnando a ciascuna di esse una diversa frequenza portante f0 su cui trasmettere. Ma questo è l’argomento del cap. 10↓.
Finestratura↓
Dalla figura 3.13↑ si può anche arguire come, per T crescente, Z(f) tenda sempre più ad assomigliare ad una coppia di impulsi, ossia al risultato noto per un un coseno di durata infinita. Qualora si consideri invece solo un breve intervallo di un segnale, il suo spettro si modifica, a seguito della convoluzione in frequenza con la trasformata della finestra di analisi. L’operazione di estrazione di una porzione di segnale di durata limitata, a partire da un segnale comunque esteso, è indicata come una operazione di finestratura (windowing). In appendice (3.9.3↓) sono svolte considerazioni relative alla scelta di una finestra rettangolare o con altro andamento.
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