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## 10.6Rappresentazione dei processi in banda traslata↓

Finora abbiamo trattato i casi di segnali di energia e di potenza; per ottenere una rappresentazione adeguata anche dei processi, occorre ancora un pò di teoria. Il lettore impaziente, o timoroso di perdersi tra i calcoli (che sono effettivamente intricati), può saltare direttamente alle conclusioni (§ 10.6.1↓), che sono le uniche che ci serviranno per il resto del testo. Altrimenti, armiamoci di pazienza e iniziamo.
Siamo ora interessati ad ottenere, una volta noto uno spettro di densità di potenza Px(f) limitato in banda attorno ad f0, delle rappresentazioni utili per gli spettri di densità di potenza delle componenti analogiche di bassa frequenza, ovvero espressioni per le loro funzioni di autocorrelazione. Infatti, come abbiamo visto, il passaggio di un segnale in banda traslata attraverso un filtro può essere scomposto in 4 filtraggi in banda base: pertanto la rappresentazione delle c.a. di b.f. è sufficiente per ottenere tutte le altre grandezze di interesse.
Osserviamo innanzitutto che, se un processo aleatorio presenta una Px(f) limitata in banda attorno ad f0, allora la funzione di autocorrelazione ℛx(τ)= ℱ− 1{Px(f)} può essere espressa in termini delle componenti analogiche di bassa frequenza della funzione di autocorrelazione stessa:
ℛx(τ)= ℛc(τ)cosω0τ− ℛs(τ)sinω0τ
Pertanto, non si ottengono direttamente le c.a. di b.f. del processo, come invece accade per segnali di energia di cui è noto X(f). D’altra parte, è innegabile che una realizzazione di x(t) sia limitata in banda centrata a f0, e che quindi per essa debba esistere la rappresentazione x(t)=xc(t)cosω0t−xs(t)sinω0t; data la natura aleatoria di x(t), gli stessi xc(t) ed xs(t) sono realizzazioni di processi. Questi ultimi in generale non sono indipendenti tra loro, in quanto la loro combinazione deve produrre un x(t) che appartiene al processo originario. Si pensi ad esempio al segnale x(t)=xc(t)cosω0t, in cui xc(t) è stazionario ed ergodico: come già osservato al § 9.7.1↑, x(t) è solamente ciclostazionario.
Come prima cosa, proviamo a calcolare la funzione di autocorrelazione dell’inviluppo complesso di una generica realizzazione:
ℛx(τ) = E{x*(τ)x(t+τ)}= = E{[xc(τ)−jxs(τ)][xc(t+τ)+jxs(t+τ)]}= = E{xc(τ)xc(t+τ)+xs(τ)xs(t+τ)+ +j[xc(τ)xs(t+τ)−xs(τ)xc(t+τ)]}= = ℛxc(τ)+ ℛxs(τ)+j[ℛxcxs(τ)−  ℛxsxc(τ)]
e queste 4 quantità sono calcolate in appendice 10.7.3↓. Il risultato finale dei calcoli, nel caso in cui xc(t) e xs(t) siano stazionari ed ergodici, fornisce le espressioni
⎧⎨⎩ ℛxc(τ) = ℛxs(τ) = ℛx(τ)cosω0τ+^ℛx(τ)sinω0τ ℛxcxs(τ) =  − ℛxsxc(τ) =^ℛx(τ)cosω0τ− ℛx(τ)sinω0τ
in cui ^ℛx(τ)= ℋ{ℛx(τ)} è la trasformata di Hilbert di ℛx(τ). Osserviamo quindi come risulti ℛx(τ)= 2[ℛxc(τ)+jℛxcxs(τ)], e pertanto Px(f)= 2[Pxc(f)+jPxcxs(f)].

- Da quest’ultima espressione, sembrerebbe che Px(f) possa assumere valori complessi, perdendo il senso fisico di potenza: ma non è così. Osserviamo infatti che ℛxcxs(τ) è un segnale reale dispari [486] [486]Infatti ℛxcxs(τ)=^ℛx(τ)cosω0τ− ℛx(τ)sinω0τ, in cui ℛx(τ)= ℱ− 1{Px(f)} è pari e sinω0t è dispari, mentre ^ℛx(τ) è dispari (non è stato dimostrato, ma vale per le trasformate di Hilber di segnali pari) e cosω0τ è pari. Inoltre, essendo xc(t) ed xs(t) reali, ℛxcxs(τ) è reale.: pertanto Pxcxs(f)= ℱ{ℛxcxs(τ)} è completamente immaginario, e dunque Px(f) è reale;
- se risultasse ℛxcxs(τ)= 0 per ogni τ allora Pxcxs(f)= 0 e Px(f)= 2Pxc(f) sarebbe reale pari; la presenza di Pxcxs(f) lo può invece rendere asimmetrico, permettendo di ottenere ancora Px(f)= 4P+x(f+f0) (non dimostrato);
- corollario del punto precedente è che, se Px(f) è simmetrico rispetto ad f0, allora ℛxcxs(τ)= 0 e le due c.a. di b.f. sono incorrelate; se inoltre queste sono congiuntamente gaussiane, allora risultano anche statisticamente indipendenti;
- dato che ℛxcxs(τ)=  −  ℛxsxc(τ) sono dispari, deve risultare che ℛxcxs(0)=  − ℛxsxc(0)= 0; se i processi sono a media nulla, allora la potenza è pari al valore dell’autocorrelazione per τ= 0, e quindi
  Px=σ2x= ℛx(0)= 2ℛxc(0)= 2ℛxs(0)= 2σ2xc= 2σ2xs= 2Pxc= 2Pxs
  In definitiva, le componenti analogiche di bassa frequenza hanno entrambe potenza metà di quella dell’inviluppo complesso;
- xc(t) e xs(t) hanno (ciascuna) potenza pari a quella di x(t), ovvero Pxc=Pxs=Px; infatti, ricordando che Px(f)= 4P+x(f+f0), si ottiene Px= 4P+x. Dovendo chiaramente risultare Px=P+x+P−x, si ottiene
  Px=(1)/(4)[Px+Px]=(1)/(2)Px=Pxc=Pxs
- è possibile mostrare che, volendo esprimere l’autocorrelazione di x(t) in termini delle sue c.a. di b.f. ℛx(τ)= ℛc(τ)cosω0τ− ℛs(τ)sinω0τ, risulta
  ⎧⎨⎩ ℛc(τ)= ℛxc(τ) ℛs(τ)=  − ℛxcxs(τ)
  da cui è possibile mostrare che ℛx(τ)= ℛ^x(τ);
- volendo valutare Pxc(f), questo risulta identico a Pxs(f), in quanto (come già visto) ℛxc(τ)= ℛxs(τ)= ℛx(τ)cosω0τ+^ℛx(τ)sinω0τ; applicando ora la formula di Eulero per seno e coseno si ottiene
  ℛxc(τ) = ℛxs(τ)= = ℛx(τ)(ejω0τ+e−jω0τ)/(2)+^ℛx(τ)(ejω0τ−e−jω0τ)/(2j) = (1)/(2)[ℛx(τ)−j^ℛx(τ)]ejω0τ+(1)/(2)[ℛx(τ)+j^ℛx(τ)]e−jω0τ = ℛ−x(τ)ejω0τ+ ℛ+x(τ)e−jω0τ
  infatti i termini tra parentesi quadre corrispondono alla definizione di componenti a frequenze positive e negative ottenute tramite trasformata di Hilbert.
  Figura 10.24 Segnale modulato e densità di potenza delle componenti analogiche di b.f.

### 10.6.1Conclusioni

Abbiamo mostrato che ℛxc(τ)= ℛxs(τ)= ℛ−x(τ)ejω0τ+ ℛ+x(τ)e−jω0τ. Risulta quindi:
Pxc(f)=Pxs(f)=P−x(f−f0)+P+x(f+f0)
e dunque lo spettro di densità di potenza delle componenti analogiche di un processo si ottiene traslando e sovrapponendo (vedi fig. 10.24↑) le componenti a frequenze positive e negative del Px(f) di partenza.

### 10.6.2Processo gaussiano bianco limitato in banda↓

Se x(t) è gaussiano stazionario ergodico e bianco, con Px(f)=(N0)/(2) limitato in banda ±W attorno ad f0 ed a media nulla, allora (vedi fig. 10.25↓):

- xc(t) e xs(t) sono congiuntamente gaussiane, stazionarie, ergodiche e indipendenti, con Pxc=Pxs=Px= 2N0W, e pari alle varianze σ2x, σ2xc e σ2xs. Le rispettive densità di potenza valgono:
  Pxc(f)=Pxs(f)=P+x(f+f0)+P−x(f−f0)=N0rect2W(f)
- l’inviluppo complesso ha potenza doppia:
  Px= 2Pxc= 4N0W; Px(f)= 2N0rect2W(f)
  Figura 10.25 Densità di potenza per rumore passabanda

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