PrecSezione 14.7: Distorsione di non linearità SuCapitolo 14: Transito nei circuiti e distorsioni Capitolo 15: Collegamenti e mezzi trasmissiviSegue

## 14.8Appendici

### 14.8.1Valutazione dell’SNR dovuto a diverse fonti di disturbo

Consideriamo la situazione alla figura seguente, in cui il segnale utile u(t) è affetto da diverse cause di disturbo εi(t) indipendenti tra loro, per ognuna delle quali è noto il relativo SNRi=Pu⁄Pεi. In tal caso l’effetto di tutte le cause contemporaneamente
attive determina un valore di SNR complessivo definito come SNRT=Pu⁄∑Ni= 1Pεi; dato che Pεi=Pu⁄SNRi si ottiene
SNRT=(Pu)/(PuN⎲⎳i= 1(1)/(SNRi))=(1)/(N⎲⎳i= 1(1)/(SNRi))
Questo risultato ricorda quello della impedenza equivalente a più impedenze poste in parallelo, il che porta a descrivere l’SNR complessivo come il parallelo degli SNR. Una applicazione di questo risultato verrà esposta al § 16.4↓.

### 14.8.2 Potenza assorbita da un bipolo↓

La dimostrazione inizia definendo una potenza istantanea assorbita dal bipolo come w(t)=v(t)i(t)=v(t)⋅(v(t)*y(t)). La potenza media (nel tempo) allora risulta
Wz = limΔt→ ∞(1)/(Δt)Δt⁄ 2⌠⌡− Δt⁄ 2w(t)dt= = limΔt→ ∞(1)/(Δt)Δt⁄ 2⌠⌡− Δt⁄ 2v(t)[∞⌠⌡− ∞v(t−τ)y(τ)dτ]dt= = ∞⌠⌡− ∞y(τ)⎡⎣ limΔt→ ∞(1)/(Δt)Δt⁄ 2⌠⌡− Δt⁄ 2v(t)v(t−τ)dt⎤⎦dτ = ∞⌠⌡− ∞y(τ)ℛv(−τ)dτ=∞⌠⌡− ∞Y(f)Pv(f)df= = ∞⌠⌡− ∞[ℜ{Y(f)}+jℑ{Y(f)}]Pv(f)df= = ∞⌠⌡− ∞Pv(f)(R(f))/(|Z(f)|2)df
Nel terzultimo passaggio si è fatto uso del teorema di Parseval, e del fatto che ℛv(τ) è pari; nell’ultimo, si è tenuto conto che Pv(f), R(f) e |Z(f)|2=R2(f)+X2(f) sono funzioni pari di f, mentre X(f) è dispari: pertanto il termine ∫∞− ∞ℑ{Y(f)}Pv(f)df=∫∞− ∞Pv(f)(X(f))/(|Z(f)|2)df è nullo. Notiamo che quest’ultimo termine rappresenta la potenza reattiva, che non è trasformata in altre forme di energia, e viene accumulata e restituita dalla componente reattiva del carico. Al contrario, il termine relativo a ℜ{Y(f)} rappresenta la potenza assorbita dalla componente resistiva, nota come potenza attiva, che viene completamente dissipata.
Avendo espresso la potenza assorbita Wz nella forma di un integrale in f, la funzione integranda è intuitivamente associabile allo spettro di densità di potenza: Wz(f)=Pv(f)(R(f))/(|Z(f)|2). Lo stesso risultato può essere confermato svolgendo il seguente calcolo più diretto, pensando al bipolo come ad un filtro la cui grandezza di ingresso è v(t) e quella di uscita i(t).
La definizione di potenza media Wz=limΔt→ ∞(1)/(Δt)∫Δt⁄ 2− Δt⁄ 2w(t)dt, in cui w(t)=v(t)i(t), mostra come questa sia equivalente alla funzione di intercorrelazione tra i e v calcolata in τ= 0: Wz= ℛvi(0). Allora, è ragionevole assumere che Wz(f)= ℱ{ℛvi(τ)}. Indicando infatti con ⊗ l’integrale di intercorrelazione, e ricordando che gli operatori di convoluzione e correlazione godono della proprità commutativa, possiamo scrivere
ℛvi(τ)=v(t)⊗i(t)=v(t)⊗(v(t)*y(t))=(v(t)⊗v(t))*y(t)= ℛv(τ)*y(t)
quindi, risulta che
Wz(f)= ℱ{ℛvi(τ)}=Pv(f)Y(f)=Pv(f)(R(f)−jX(f))/(|Z(f)|2)
In base alle stesse considerazioni già svolte, si verifica come il termine immaginario non contribuisce alla potenza media assorbita, e quindi può essere omesso dalla definizione di potenza attiva↓ Wz(f).

### 14.8.3Condizioni per il massimo trasferimento di potenza↓

Svolgiamo per intero la dimostrazione delle (18.37↑). Verifichiamo subito che, mantenendo Zg(f) fisso e per qualunque valore di Rc(f), la potenza ceduta ad un carico espressa dalla (18.36↑): Wzc(f)=Pvg(f)(Rc(f))/(|Zc(f)+Zg(f)|2) risulta massima se il suo denominatore è il più piccolo possibile, e ciò si verifica quando Xc(f)=  −Xg(f), ed in tal caso risulta
(18.59) Wzc(f)=Pvg(f)(Rc(f))/((Rc(f)+Rg(f))2)=(Pvg(f))/(Rc(f)+ 2Rg(f)+(Rg(f))2⁄Rc(f))
Per individuare ora la condizione su Rc(f) che rende minimo il denominatore (e dunque Wzc(f) massima), eseguiamone la derivata rispetto ad Rc (omettendo per brevità la dipendenza da f) ed eguagliamola a zero:
(18.60) (d)/(dRc)⎛⎝Rc+ 2Rg+(R2g)/(Rc)⎞⎠= 1 −⎛⎝(Rg)/(Rc)⎞⎠2=  0
che fornisce la condizione Rc(f)= ±Rg(f) in cui il valore negativo viene scartato mentre quello positivo, assieme alla condizione Xc(f)=  −Xg(f) determina la condizione Zc(f)=Z*g(f) espressa alla (18.37↑). Volendo verificare che la (18.60↑) individui effettivamente un minimo e non un massimo del denominatore di (18.59↑), se ne può eseguire la derivata seconda, ottenendo
(d2)/(dR2c)⎛⎝Rc+ 2Rg+(R2g)/(Rc)⎞⎠=(d)/(dRc)⎡⎣1 −⎛⎝(Rg)/(Rc)⎞⎠2⎤⎦= 2(R2g)/(R3c)
che verifichiamo immediatamente essere sempre positiva.

### 14.8.4 Potenza ceduta ad un carico↓ Zc(f)≠Z*g(f)

Avendo a disposizione un generatore di segnale di potenza disponibile Wd(f) ed impedenza interna Zg(f) assegnate, la tensione a vuoto ai suoi capi ha densità di potenza (di segnale) pari a Pv(f)=Wd(f)4Rg(f). Collegando al generatore un carico generico Zc(f), la potenza dissipata da quest’ultimo risulta pari a Wzc(f)=Pv(f)(Rc(f))/(|Zg(f)+Zc(f)|2). Il rapporto tra la densità di potenza effettivamente ceduta a Zc(f), e quella che le sarebbe ceduta se questa fosse adattata per il massimo trasferimento di potenza, fornisce la perdita di potenza subìta:
(Wzc(f))/(Wd(f))=Wd(f)4Rg(Rc(f))/(|Zg(f)+Zc(f)|2)⋅(1)/(Wd(f))=(4Rg(f)Rc(f))/(|Zg(f)+Zc(f)|2)=α(f)
Pertanto, se Zc(f)≠Z*g(f), su Zc(f) si dissipa una potenza pari a Wzc(f)=α(f)Wd(f). Il medesimo risultato è valido anche per l’analisi dell’accoppiamento tra il generatore equivalente di uscita di una rete due porte ed un carico.
Esempio Consideriamo un generatore con Zg(f) resistiva e pari a 50 Ω, e con densità di potenza disponibile (a frequenze positive)
W+d(f)=(Wd)/(4W)rect2W(f−f0)
in cui Wd= 1 Watt è la potenza disponibile totale, distribuita uniformemente in una banda 2W = 10 KHz centrata a frequenza f0= 1MHz. Il generatore è collegato ad un carico
Zc(f)=Rc(f)+jXc(f)
con Rc(f) = 50 Ω ed Xc(f)= 2πfL = 50 Ω per f=f0 (da cui L=(50)/(2π106)= 7.96μH).

- Essendo la banda di segnale 2W≪f0, approssimiamo la dipendenza da f di Xc(f) come una costante. In queste ipotesi, la potenza effettivamente ceduta al carico risulta Wzc=αWd, con
  α=(4RgRc)/(|Zg+Zc|2)=(4⋅50⋅50)/(|50 + 50 +j50|2)=(10000)/(12500)= 0.8
  e quindi Wzc = 0,8 Watt ovvero, in dBm: 10log100.8 = -0.97 dbW = 29.03 dBm.
  Il valore αdB= 10log10α = 0,97 dB rappresenta il valore della perdita di potenza causata dal mancato verificarsi delle condizioni di massimo trasferimento di potenza, e può essere tenuto in conto come una attenuazione supplementare al collegamento, in fase di valutazione del link budget (vedi capitolo seguente).

### 14.8.5Derivazione del tempo di ritardo di gruppo↓

Dimostriamo qui il risultato (18.47↑). Consideriamo di operare nello spazio dell’inviluppo complesso, e di disporre di un canale affetto dalla sola distorsione di fase, ovvero con risposta in frequenza H(f)= 1⋅ejφ(f); la ℱ-trasformata di y(t) si scrive allora come Y(f)=(1)/(2)X(f)H(f), dove per x(t)=a(t)cos(2πf0t) si ha X(f)=Xc(f)=A(f), mentre H(f)= 2H+(f+f0)= 2ejφ(f+f0)= 2ejφpb(f) dove il pedice pb simboleggia la caratteristica passa-basso dell’inviluppo complesso. Sviluppando φpb(f) in serie di Maclaurin e troncandola al primo termine si ottiene [643] [643]Infatti sussistono i seguenti passaggi
φpb(f) ≃ φpb(0)+f⋅(dφpb(f))/(df)||f= 0=φ(f0)+f⋅(dφ(f))/(df)||f=f0 = 2π⎛⎝f0(φ(f0))/(2πf0)+f(1)/(2π)(dφ(f))/(df)||f=f0⎞⎠=   − 2π(f0tp(f0)+ftg(f0))
per f prossimo a zero
φpb(f)≃ − 2π(f0tp(f0)+ftg(f0))
e quindi
Y(f) = A(f)ejφpb(f)=A(f)e−j2π(f0tp(f0)+ftg(f0)) = e−j2πf0tp(f0)⋅A(f)e−j2πftg(f0)
da cui, ricordando la proprietà di traslazione temporale, si ottiene l’antitrasformata
y(t)=e−j2πf0tp(f0)⋅a(t−tg(f0))
a cui corrisponde [644] [644]Infatti al termine z(t)=e−j2πf0tp corrispondono le componenti a frequenza positiva e negativa
z±(t)=(1)/(2)z(t)e±j2πf0t=(1)/(2)e−j2πf0tpe±j2πf0t=(1)/(2)e±j2πf0(t−tp)
da cui otteniamo in modo semplice il corrispondente segnale
z(t)=z+(t)+z−(t)=(1)/(2)(ej2πf0(t−tp)+e−j2πf0(t−tp))= cos(2πf0(t−tp))
il segnale modulato espresso dalla (18.47↑).
PrecSezione 14.7: Distorsione di non linearità SuCapitolo 14: Transito nei circuiti e distorsioni Capitolo 15: Collegamenti e mezzi trasmissiviSegue