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## 10.3Transito dei segnali modulati nei sistemi fisici

Trattiamo ora delle trasformazioni subite da un segnale modulato nel passaggio attraverso un sistema fisico, in funzione dell’inviluppo complesso del segnale x(t) e di quello della risposta impulsiva h(t). L’ovvia utilità di questa forma di descrizione è che ci consente di svolgere i calcoli maneggiando segnali di banda base.

### 10.3.1Filtraggio↓

Poniamoci nelle condizioni generali di un segnale x(t) che attraversa un filtro h(t), che per entrambi valgano le condizioni di limitazione in banda, e che si adotti una stessa f0 di riferimento. Anche il segnale in uscita y(t) è dello stesso tipo, e può essere mostrato [482] [482]Per dimostrare il risultato, mostriamo innanzitutto che il segnale analitico in uscita vale y+(t)=x+(t)*h+(t). Infatti, omettendo di indicare nei passaggi la variabile (t) per compattezza di notazione, risulta
x+(t)*h+(t)=[x*hfp]*[h*hfp]=[x*h]*[hfp*hfp]=y*hfp=y+
in cui hfp(t) è la risposta impulsiva del filtro necessario ad estrarre il segnale analitico. Non resta ora che mostrare lo sviluppo per il risultato anticipato:
(1)/(2)x(t)*h(t) = (1)/(2)[2x+(t)e−jω0t]*[2h+(t)e−jω0t]= = 2∞⌠⌡− ∞x+(τ)e−jω0τh+(t−τ)e−jω0(t−τ)dτ= = 2e−jω0t∞⌠⌡− ∞x+(τ)h+(t−τ)dτ= 2e−jω0ty+(t)=y(t)
che il suo inviluppo complesso vale:
y(t)=(1)/(2)x(t)*h(t)
da cui è facile ottenere l’espressione di yc(t) ed ys(t) in funzione delle c.a. di b.f. di x(t) e di quelle del filtro:
y = (1)/(2)x*h=(1)/(2)[xc+jxs]*[hc+jhs]= = (1)/(2)[xc*hc−xs*hs]+j(1)/(2)[xs*hc+xc*hs]
Dunque, per le componenti reale e immaginaria del segnale modulato, dopo il filtraggio, sussistono le relazioni
(17.50) ⎧⎨⎩ yc(t)=(1)/(2)[xc(t)*hc(t)−xs(t)*hs(t)] ys(t)=(1)/(2)[xs(t)*hc(t)+xc(t)*hs(t)]
e lo schema riportato appresso raffigura un circuito equivalente alle (17.50↑), ossia operante su xc(t) e xs(t), e che determina lo stesso risultato.

### 10.3.2Intermodulazione tra componenti analogiche↓

Osservando il risultato (17.50↑) notiamo che sia yc(t) che ys(t) dipendono in generale da entrambe le componenti xc(t) e xs(t): questo fenomeno prende il nome di intermodulazione tra componenti analogiche di bassa frequenza, ed è fonte di una distorsione ineliminabile in banda base. Infatti, le informazioni contenute in xc(t) ed xs(t) sono ora mescolate in modo tale che, anche disponendo sia di yc(t) che di ys(t), non possono essere separate. Gli unici casi in cui ciò non si verifica sono relativi all’evenienza che x(t) oppure h(t) presentino una sola delle due c.a. di b.f., ossia almeno uno dei due sia solo reale o solo immaginario.

### 10.3.3Equalizzazione↓ di banda base

Nel caso in cui non avvenga il fenomeno di intermodulazione suddetto, come ad esempio se h(t)=hc(t), e quindi risulti
⎧⎨⎩ yc(t)=(1)/(2)xc(t)*hc(t) ys(t)=(1)/(2)xs(t)*hc(t)
allora yc(t) e ys(t) sono affette unicamente da distorsione lineare (§ 14.5↓), e quindi le componenti trasmesse xc(t) e xs(t) possono essere ri-ottenute a partire da quelle ricevute yc(t) e ys(t) mediante un procedimento di equalizzazione, che consiste nel loro passaggio attraverso un filtro con risposta impulsiva geq(t), la cui risposta in frequenza risulta pari a Geq(f)=aej2πfτ⁄Hc(f), permettendo di ottenere
⎧⎨⎩ xc(t)=  2yc(t)*geq(t) xs(t)=  2ys(t)*geq(t)
Infatti in questo modo la risposta in frequenza complessiva, risultato del passaggio del segnale modulato prima nel canale, e quindi nell’equalizzatore, risulta essere il prodotto delle due risposte in frequenza Hc(f)Geq(f), e quindi pari a quella di un canale perfetto H(f)=aej2πfτ (vedi § 226↓).
Se al contrario sono presenti entrambe hc(t) e hs(t), o entrambe xc(t) e xs(t), allora non è più possibile eseguire il processo di equalizzazione operando sulle c.a. di b.f., mentre è teoricamente possibile operare direttamente sul segnale modulato, a patto di non incontrare ostacoli tecnologici dovuti alle elevate frequenze in gioco.
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