PrecSezione 11.3: Modulazione angolare SuCapitolo 11: Modulazione per segnali analogici Capitolo 12: Prestazioni delle trasmissioni modulateSegue

## 11.4Appendici

### 11.4.1Calcolo della potenza di un segnale AM BLU↓

Mostriamo che se XBLU(t)=(ka)/(√(2))(m(t)cosω0t−^m(t)sinω0t), allora Px=(k2a)/(2)Pm. Possiamo innanzitutto scrivere che
Px=Px++Px−= 2Px+
in quanto le componenti a frequenza positiva e negativa di x(t) sono ortogonali (infatti ∫∞− ∞X+(f)X−(f)df= 0), e lo spettro di densità di potenza è una funzione pari della frequenza: Px(f)=Px(−f). Inoltre, invertendo la relazione Px(f)= 4Px+(f−f0) valida per la densità di potenza dell’inviluppo complesso, otteniamo Px+(f)=(1)/(4)Px(f+f0), e quindi
Px+=(1)/(4)∞⌠⌡− ∞Px(f+f0)df=(1)/(4)Px
che, sostituita nella prima relazione mostrata, fornisce Px= 2Px+=(1)/(2)Px.
Nel caso AM-BLU si ha inoltre x(t)=(ka)/(√(2))[m(t)+j^m(t)], tenendo ora conto che Px= ℛx(0), si ottiene
Px=(1)/(2)⎛⎝(ka)/(√(2))⎞⎠2[ℛMM(0)+ ℛ^M^M(0)+ 2jℛM^M(0)]
Osserviamo ora che ℛM^M(0)=∫∞− ∞m(t)^m(t)dt= 0 in quanto m(t) ed ^m(t) sono ortogonali; inoltre, ℛMM(0)=PM= ℛ^M^M(0) (non dimostrato ma intuibile). Pertanto si ottiene
Px=(1)/(2)(k2a)/(2)[Pm+Pm]=(1)/(4)k2a⋅2Pm=(k2a)/(2)Pm

#### 11.4.1.1Calcolo della potenza di segnali BLD-PI, PS, PPS

Vale lo stesso procedimento adottato sopra, in cui ora
Px=Pxc=⎧⎨⎩ k2aPm (BLD-PS) a2p+k2aPm (BLD-PI, PPS)

### 11.4.2Ricostruzione della portante mediante quadratura↓

Nel caso di una trasmissione BLD-PS, la portante di demodulazione può essere ottenuta mediante la seguente elaborazione. Il segnale x(t)=m(t)cos(ω0t+φ) viene elevato al quadrato producendo
(1)/(2)m2(t)[1 + cos(2ω0t+ 2φ)]
il cui termine di banda base (1)/(2)m2(t) viene rimosso dal filtro passa alto. Successivamente, lo squadratore produce un’onda quadra a frequenza 2f0 che viene divisa per 2 da un contatore binario. Infine, un passa basso provvede ad eliminare le armoniche dell’onda quadra a frequenza nf0, fornendo cosí la portante desiderata, a meno di una ambiguità di segno.

### 11.4.3Il mixer↓

Il dispositivo moltiplicatore, presente negli schemi di mo-demodulazione, viene anche chiamato mixer, in quanto miscela tra loro due segnali.
Non è strettamente necessario disporre di un oscillatore sinusoidale per realizzare il prodotto di un segnale con una portante: ridotto ai minimi termini... è sufficiente un’onda quadra ed un filtro! Infatti, un qualunque segnale periodico
gT(t)=g(t)*∞⎲⎳n=  − ∞δ(t−nT)
di periodo T=k⁄f0 (con k intero) possiede una densità di potenza
PGT(f)= |G(f)|2⋅(1)/(T)∞⎲⎳n=  − ∞δ⎛⎝f−(n)/(k)f0⎞⎠
Il prodotto di tale segnale per x(t) produce un x•(t) con densità di potenza
Px•(f)=Px(f)*PGT(f)=(|G(f)|2)/(T)∞⎲⎳n=  − ∞PGT⎛⎝f−(n)/(k)f0⎞⎠
Pertanto, il desiderato spettro di potenza si ottiene inserendo dopo il moltiplicatore un filtro passa banda centrato su f0, ossia sulla k−esima replica spettrale di Px•(f). Lo stesso dispositivo può essere usato anche per i moltiplicatori di ricezione: in tal caso, il filtro da usare sarà un passa basso.
Un secondo metodo di realizzare il mixer è con un sommatore, un oscillatore, un dispositivo non lineare, e di nuovo un filtro passa-banda. Il dispositivo non lineare è del tipo
y=a1x+a2x2+a3x3+ ⋯
e quando in ingresso viene applicata la somma di due segnali x(t)+ cosω0t, produce in uscita
y(t)=a1(x(t)+ cosω0t)+a2(x2(t)+ cos2ω0t+ 2x(t)cosω0t)  +a3(⋯) + …
in cui, osservando che i termini cosnω0t sono relativi a termini a frequenza nf0, è possibile ancora una volta estrarre il termine che ci interessa.

### 11.4.4Trasmissione televisiva↓

Illustriamo molto brevemente le principali caratteristiche delle trasmissioni televisive broadcast analogiche, con riferimento agli standard dismessi in Italia.
Codifica dell’immagine
Una trasmissione televisiva avviene riproducendo 25 diverse immagini (dette quadri) al secondo. Ogni immagine è scomposta in 625 linee orizzontali, che vengono trasmesse in due fasi: prima le linee dispari, poi quelle pari. In questo modo un singolo quadro è riprodotto due volte [522] [522]La riproduzione di metà quadro alla volta è chiamata scansione interallacciata dell’immagine. Nulla vieta al costruttore del ricevitore di prevedere una memoria di quadro e di riprodurre le immagini in modo non interallacciato; il segnale trasmesso invece presenta sempre le righe in formato interallacciato. ogni (1)/(25)= 0.04 secondi (seppure in modo alternato) portando cosí a 50 semiquadri/secondo [523] [523]La frequenza di 50 semiquadri/secondo è stata scelta di proposito uguale alla frequenza di funzionamento della rete elettrica, in modo che eventuali disturbi elettrici avvengano sempre nello stesso punto dell’immagine, riducendo gli effetti fastidiosi. la frequenza di rinfresco, in modo da impedire i fenomeni di sfarfallamento↓ (flicker) ottico [524] [524]Il flicker si manifesta nel caso in cui la frequenza di rinfresco è inferiore al tempo di persistenza delle immagini sulla retina, pari a circa (1)/(40) di secondo..
Figura 11.23  Modalità di scansione interallacciata dell’immagine televisiva
La riproduzione di un quadro avviene (vedi fig. 11.23↑) mediante un tubo catodico, il quale dispone posteriormente di un catodo che emette elettroni, che sono accelerati da un segnale di luminanza positivo applicato all’anodo, e che terminano la loro corsa contro lo strato di fosforo distribuito sulla parte anteriore (schermo) del tubo. Il fascio (beam) di elettroni è focalizzato elettronicamente, e viene deflesso ciclicamente sia in orizzontale alla frequenza di 625 (linee)/(quadro)⋅ 25 (quadri)/(secondo)= 15625 Hz (frequenza di riga↓), sia verticalmente con velocità di 50 (semiquadri)/(secondo).
Segnale televisivo in bianco e nero
Il segnale televisivo contiene sia le informazioni di temporizzazione necessarie a sincronizzare la scansione dell’immagine, che l’informazione di luminanza che pilota la tensione anodica, e quindi la forza con cui l’elettrone urta lo schermo.
Figura 11.24  Forma d’onda del segnale televisivo
Durante la trasmissione di ogni semiquadro, ogni riga dispone di (1)/(15625)= 64 μsecondi. Il segnale modulante è sempre positivo (vedi fig. 11.24↑), ed associa ai valori piú piccoli la maggiore luminanza [525] [525]In questo modo si riduce mediamente la potenza trasmesa, dato che sono più frequenti scene chiare che scure., trasmettendo in logica negata, in modo che gli impulsi di sincronismo orizzontale siano di ampiezza superiore al livello del nero (il 70 % dell’ampiezza). Il tempo dedicato alla trasmissione della luminanza di una riga è di 52 μsec, mentre nei restanti 12 il segnale oltrepassa il livello del nero (in modo da rendere invisibile il beam) e quindi un impulso determina il ritorno orizzontale. In figura è anche mostrato un burst colore che è presente nelle trasmissioni a colori per sincronizzare la portante di colore↓ (vedi di seguito).
Formato dell’immagine
Ogni singolo quadro è realizzato con un rapporto di aspetto 4:3 (che rappresenta il rapporto tra le dimensioni orizzontale e verticale), e solo 575 delle 625 linee vengono mostrate (infatti 25 linee per ogni semiquadro cadono al difuori dello schermo [526] [526]Nel tempo destinato alle linee che non sono mostrate, vengono comunque trasmesse altre informazioni, come ad esempio i dati che compaiono nelle pagine del televideo.).
Occupazione spettrale
Diverse considerazioni [527] [527]Ad esempio, si può stabilire di realizzare la stessa risoluzione orizzontale e verticale. A fronte delle 625 linee, il rapporto di aspetto di (4)/(3) determina l’esigenza di individuare 625 ⋅(4)/(3)= 833 (punti)/(linea), e quindi 833 ⋅ 625 = 520625 (punti)/(quadro), ossia circa 13⋅106 (punti)/(secondo). Per il teorema del campionamento, il segnale deve avere una banda minore od uguale di (fc)/(2) = 6.5 MHz. hanno portato a stabilire che la banda del segnale televisivo sia di circa ±5 Mhz, e nell’ultima versione del sistema PAL questa è stata portata a 6 MHz. In particolare, dato che le immagini presentano spesso ampie zone uniformi, corrispondenti ad un segnale di luminanza pressochè costante, la densità spettrale del segnale televisivo è piuttosto concentrata nella regione delle basse frequenze. Per questo motivo, si è deciso di trasmettere il segnale mediante modulazione di ampiezza a banda laterale ridotta, conseguendo un risparmio di banda e contemporaneamente preservando le componenti del messaggio a frequenze piú basse.
La figura 11.25↓ mostra la situazione, in cui solo parte (1.75 MHz) della banda inferiore del segnale di luminanza viene trasmessa, mentre il filtro di ricezione provvede a realizzare un filtraggio complessivo tale che H(f)+H*(−f)=cost (vedi nota 11.2.4↑ a pag. 1↑).
Segnale audio
In figura 11.25↓ è rappresentata anche una portante audio, che viene trasmessa oltre la banda del segnale video, mediante una modulazione FM con ΔfMax = 25 KHz.
Figura 11.25  Occupazione spettrale di un segnale televisivo
Segnale di crominanza↓
Il requisito che piú di altri ha determinato quale soluzione adottare per effettuare trasmissioni a colori, è che queste dovessero essere correttamente visibili anche da parte di ricevitori in bianco e nero.
Un risultato di colorimetria è che ogni colore è scomponibile nella somma di tre colori fondamentali (verde, rosso e blu), effettivamente operata dagli apparati di acquisizione. La somma [528] [528] In realtà ogni componente è pesata mediante un opportuno coefficiente che tiene conto della diversa sensibilità dell’occhio ai tre colori fondamentali. Infatti, per ottenere il bianco, i tre colori non devono essere mescolati in parti uguali, bensì 59% di verde, 30% di rosso e 11% di blu. della tre componenti fornisce il segnale di luminanza L, che viene utilizzato esattamente come per il bianco e nero. Il segnale di crominanza è invece costruito da una coppia di segnali differenza ⎧⎨⎩ ΔR=R−L ΔB=B−L , che sono usati per modulare in ampiezza, portante soppressa, una portante di colore, usando ΔR come componente in fase e ΔB come componente in quadratura [529] [529]Le ampiezze delle componenti in fase e quadratura del segnale di crominanza devono essere opportunamente scalate, per impedire al segnale complessivo (luminanza più crominanza) di assumere valori troppo elevati.. Una analisi più precisa, è fornita al § 18.2.2↓.
L’occupazione spettrale del segnale di crominanza è ridotta (±1 MHz) rispetto a quello di luminanza, in quanto la risoluzione spaziale↓ dell’occhio umano è ridotta per stimoli colorati, e quindi ΔR e ΔB possono variare piú lentamente di L.
Sincronizzazione
Per impedire fenomeni di interferenza tra c.a. di b.f. nella ricezione del segnale di crominanza, occorre effettuare una demodulazione omodina, e l’oscillatore del ricevitore si mantiene coerente con la portante di colore, grazie ai burst di colore presenti dopo l’impulso di sincronizzazione orizzontale, costituiti da 8 cicli di portante. Questo segnale ha inoltre lo scopo di segnalare la presenza della componente di crominanza: in caso contrario infatti (trasmissione B/N) il ricevitore deve disattivare il circuito del colore, per non produrre deterioramenti dell’immagine.
Interferenza
La presenza di entrambi i segnali di luminanza e crominanza nella stessa banda sembrerebbe dare luogo a difficili problemi di interferenza. Innanzitutto osserviamo che, come anticipato, il segnale di luminanza è concentrato attorno alla portante video, e dunque arreca un disturbo ridotto [530] [530]Possiamo riflettere su quali siano le circostanze che producono la massima interferenza della luminanza sulla crominanza: ciò avviene in corrispondenza di scene molto definite, relative ad immagini con elevato contenuto di frequenze spaziali elevate, ad esempio nel caso di righe fitte; il disturbo è più appariscente nel caso in cui la zona ad elevato contrasto sia povera di componenti cromatiche. Avete mai notato cravatte a righine bianche e nere, divenire cangianti ? alla crominanza. Quest’ultima quindi, prima di essere demodulata, viene filtrata per rimuovere il segnale di luminanza fuori della banda di crominanza, ed il disturbo è generalmente trascurabile. Viene inoltre adottata una soluzione che riduce anche l’interferenza di crominanza su luminanza. Quest’ultima presenta infatti una spiccata periodicità, legata alla frequenza di riga fr ed alla presenza degli impulsi di sincronismo ogni 64 μsec, che determina uno spettro con energia concentrata alle armoniche di fr = 15625 Hz. Pertanto, si colloca la portante di colore a metà tra due armoniche del segnale di luminanza, in modo che le densità spettrali risultino, pur se sovrapposte, intercalate. L’uso di filtri a pettine [531] [531]Introdotto al § 9.8↑, l’argomento può essere approfondito presso http://it.wikipedia.org/wiki/Filtro_comb nel ricevitore può quindi ridurre notevolmente l’interferenza.

### 11.4.5 Modulazione FM a basso indice↓

Riprendiamo qui il caso in cui β≪1  ⇒ Δα≪1, e quindi l’espansione in serie di potenze di x(t) può arrestarsi al primo ordine; se il segnale modulante è cosinusoidale, il segnale FM risulta
xFM(t)=acos(ω0t+ 2πkf∫t− ∞cos(2πwτ)dτ)=acos(ω0t+βsin(2πwτ))
Ricordando che cos(α+β)= cosαcosβ−  sinαsinβ, xFM(t) può essere riscritto come
xFM(t)=acosω0tcos(βsin2πwt)  −asinω0tsin(βsin2πwt)
che, se β≪1, diviene
xFM(t)=acosω0t−βasinω0tsin2πwt
che confrontiamo con l’espressione
xAM(t)=apcosω0t+kacosω0tcos2πwt
che si otterrebbe per modulazione a portante intera, o ridotta, dello stesso m(t).
Il confronto rivela che mentre nell’am il segnale modulante opera in fase alla portante, nell’fm a basso indice opera in quadratura. Il risultato esposto costituisce ad ogni modo uno schema di modulazione per segnali fm a basso indice, realizzabile sommando alla portante, un segnale modulato am su di una portante in quadratura.
Resta il fatto che uno schema di modulazione del genere produce anche una modulazione am parassita: quest’ultima è eliminata in ricezione dall’azione congiunta di uno squadratore e di un filtro passa basso.

### 11.4.6 FM broadcast↓↓

Illustriamo brevissimamente i parametri delle trasmissioni fm ricevibili mediante la radio di casa. Nella banda 88-108 MHz operano le radio fm, con spaziatura di 200 KHz l’una dall’altra. Ad ogni emittente è concessa una deviazione massima della frequenza istantanea pari a Δf = 75 KHz.
Il trasmettitore viene tarato mediante un m(t) sinusoidale a frequenza di 15 KHz, e kf regolato in modo da ottenere
Δf = 75 KHz
In queste condizioni, risulta β=(kf)/(w)=(75)/(15)= 5, e la regola di Carson fornisce
BC= 2(kf+w)= 2(75  + 15)= 180 KHz
Un esame degli andamenti riportati in Fig. 11.19↑ mostra che per β= 5, le Jn(β)≠ 0 sono le prime 8, e dunque la “vera” banda ha una estensione
B= 2⋅8w=  16⋅15⋅103=  240 KHz
mostrando l’approssimazione della regola di Carson. D’altra parte, risulta che
2∑8n= 6|Jn(5)|2= 2[(.13)2+(.05)2+(.02)2]= 2⋅0.0198 = 0.0396
e dunque l’errore commesso esclude circa il 4% della potenza totale.
Qualora il segnale sinusoidale venga sostituito da un messaggio limitato in banda con ±W=  ±15 KHz, con potenza eguale a quella del seno e cioè Pm=(1)/(2), la Δf non è piú definita con esattezza, e conviene ricorrere alla definizione di
β’ =(σf)/(W)=(kf√(Pm))/(W)=β√(Pm)=β(1)/(√(2))= 0.707⋅β
a cui corrisponde una banda efficace
B= 2W(β’  + 1)= 2⋅15⋅103⋅(0.707⋅5  + 1)= 136 KHz.
Nell’fm stereo, il segnale trasmesso deve essere compatibile con i ricevitori mono, ed allora il segnale modulante è un segnale multiplato fdm, e “composto” da tre “canali”:

- La somma di Left + Right (L+R) come segnale di banda base, che consente la compatibilità con gli apparati “mono”;
- Il segnale L-R è centrato a frequenza di 38 KHz mediante modulazione am-bld;
- A 19 KHz, è presente una portante a cui si concede il 10% di PM, mentre il restante 90% di PM è condiviso tra L+R e L-R. Il tutto è poi modulato fm.

La portante a 19 KHz può essere impiegata per sincronizzare il ricevitore, e generare la portante (a frequenza doppia, di 38 KHz) necessaria a demodulare il canale L-R. Se assente, indica la ricezione di un canale mono.
A prima vista, sembrerebbe che la presenza del canale L-R possa aumentare la massima deviazione di frequenza. In realtà non è cosí, per due motivi:

- quando L+R è grande, vuol dire che i due canali sono simili, e dunque L-R è piccolo, e viceversa;
- Il canale L-R, trovandosi a frequenze piú elevate, è caratterizzato da un indice di modulazione inferiore. Infatti, la massima deviazione di frequenza istantanea dipende dalle ampiezze di m(t), e non dalla sua banda.

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