PrecSezione 8.1: Distribuzione binomiale per popolazione finita SuCapitolo 8: Traffico, code e reti a pacchetto Sezione 8.3: Sistema di servizio orientato alla perditaSegue

## 8.2Distribuzione di Poisson

Al crescere del numero N di utenti, l’utilizzo della distribuzione Binomiale può risultare disagevole, per via dei fattoriali, e si preferisce trattare il numero di conversazioni attive k come una variabile aleatoria di poisson↓, la cui densità di probabilità ha espressione
(17.14) pP(k)=e−α(αk)/(k!)
ed è caratterizzata da valor medio e varianza mp=σ2P=α.
La Poissoniana costituisce una buona approssimazione della ddp di Bernoulli, adottando per la prima lo stesso valor medio della seconda mP=mB, ossia α=Np, come mostrato in figura. Ma più in generale, questa densità è impiegata per descrivere la probabilità che si verifichino un numero di eventi indipendenti e completamente casuali↓ di cui è noto solo il numero medio α( [281] [281]Usando il modello Poissoniano pertanto, la probabilità che (ad esempio) si stiano svolgendo meno di 4 conversazioni contemporanee è pari a pP(0)+pP(1)+pP(2)+pP(3)=e−α⎛⎝1  +α+(α2)/(2)+(α3)/(6)⎞⎠.).
D’altra parte, al tendere di N ad ∞, il modello Bernoulliano precedentemente adottato perde di validità. Infatti, nel caso di una popolazione infinita, il numero di nuove chiamate non diminuisce all’aumentare del numero dei collegamenti in corso. In questo caso, gli eventi corrispondenti all’inizio di una nuova chiamata sono invece considerati indipendenti e completamente casuali, e descritti unicamente in base ad una frequenza media di interarrivo↓ λ che rappresenta la velocità [282] [282]λ viene espresso in richieste per unità di tempo. con cui si presentano le nuove chiamate [283] [283]La trattazione può facilmente applicarsi a svariate circostanze: dalla frequenza con cui si presentano richieste di collegamento ad una rete di comunicazioni, alla frequenza con cui transitano automobili sotto un cavalcavia, alla frequenza con cui particelle subatomiche transitano in un determinato volume, alla frequenza con cui gli studenti si presentano a lezione....
Tempi di Interarrivo
L’inverso di λ rappresenta un tempo, ed esattamente τa= 1 ⁄λ è il valor medio della variabile aleatoria τa costituita dall’intervallo di tempo tra l’arrivo di due chiamate.
Con queste definizioni, è possibile riferire la v.a. di Poisson ad un intervallo temporale di osservazione T, durante il quale si presentano un numero medio α di chiamate [284] [284]Esempio: se da un cavalcavia osserviamo (mediamente) λ= 3 auto/minuto, nell’arco di T= 2 minuti, transiteranno (in media) 3*2 = 6 autovetture. pari a α=λT. Pertanto, possiamo scrivere la ddp della v.a. Poissoniana come
pP(k)|T=e−λT((λT)k)/(k!)
che indica la probabilità che in un tempo T si verifichino k eventi (indipendenti e completamente casuali) la cui frequenza media è λ( [285] [285]Esempio: sapendo che l’autobus (completamente casuale!) che stiamo aspettando ha una frequenza di passaggio (media) di 8 minuti, calcolare: A) la probabilità di non vederne nessuno per 15 minuti e B) la probabilità che ne passino 2 in 10 minuti.
Soluzione: si ha λ= 1 ⁄ 8 passaggi/minuto e quindi: A) pP(0)|15=e−(15)/(8)= 0.15 pari al 15%; B) pP(2)|10=e−(10)/(8)(⎛⎝(10)/(8)⎞⎠2)/(2)= 0.224 pari al 22.4%
).

### 8.2.1Variabile aleatoria esponenziale negativa↓

Densità di v.a. Esponenziale
La descrizione statistica che la ddp di Poisson fornisce per il numero di eventi che si verificano in un (generico) tempo t, è strettamente legata al considerare questi come indipendenti, identicamemente distribuiti, e per i quali l’intervallo di tempo tra l’occorrenza degli stessi è una determinazione di variabile aleatoria completamente casuale [286] [286]Da un punto di vista formale, per eventi completamente casuali si intende che gli eventi stessi non hanno memoria di quando siano accaduti l’ultima volta, permettendo quindi di scrivere
Pr(t>t0+θ⁄t>t0)=Pr(t>θ)
ossia che la probabilità di attendere altri θ istanti, avendone già attesi t0, non dipende da t0. Per verificare che la ddp esponenziale consente di soddisfare questa condizione, svolgiamo i passaggi, applicando al terzultimo la (17.15↓):
Pr(t>t0+θ⁄t>t0) = (Pr(t>t0+θ;t>t0))/(Pr(t>t0))=(Pr(t>t0+θ))/(Pr(t>t0)) = (e−λ(t0+θ))/(e−λt0)=e−λθ=Pr(t>θ)
, descritta da una densità di probabilità esponenziale negativa [287] [287]La ddp esponenziale è spesso adottata come un modello approssimato ma di facile applicazione per rappresentare un tempo di attesa, ed applicato ad esempio alla durata di una conversazione telefonica, oppure all’intervallo tra due malfunzionamenti di un apparato., espressa analiticamente come
pE(t)=λe−λt
valida per t≥ 0, e mostrata in figura; tale v.a. è caratterizzata dai momenti mE=(1)/(λ) e σ2E=(1)/(λ2). La probabilità che il tempo di attesa di una v.a. esponenziale superi un determinato valore t0, è allora calcolabile come
(17.15) Pr(t>t0)=∞⌠⌡t0λe−λtdt=  −e−λt|∞t0=e−λt0
e questo risultato ci permette di verificare il legame con la Poissoniana [288] [288]Consideriamo un ospedale in cui nascono in media 6 bimbetti al giorno (o 0.25 nascite l’ora), e consideriamo l’intervallo tra questi eventi come una v.a. completamente casuale. Allora, se assumiamo che la probabilità di k nascite in un tempo T sia descritta da una v.a. di Poisson, ossia a cui compete una probabilità pP(k)=e−λT((λT)k)/(k!), allora la probabilità che durante un tempo T non avvenga nessuna nascita, dovrebbe corrispondere a calcolare pP(0), ovvero e−λT((λT)0)/(0!)=e−λT, che è esattamente il risultato che fornisce la v.a. esponenziale per la probabilità Pr(t>T) che non vi siano nascite per un tempo T..
Esempio Se la durata media di una telefonata è di 5 minuti, e la durata complessiva è completamente casuale, quale è la probabilità che la stessa duri più di 20 minuti? Risposta: ci viene fornito un tempo di attesa medio τa, a cui corrisponde una frequenza di servizio λ=(1)/(τa), e quindi la soluzione risulta Pr(t> 20)=∫∞20(1)/(τa)e−t⁄τadt=e− 20 ⁄ 5= 0.0183 = 1.83%.
Un corollario [289] [289]La dimostrazione della (17.16↓) si basa sulla considerazione che Pr(t≤t0)= 1 −Pr(t>t0), e sulla espansione in serie di potenze ex= 1 +x+x2⁄2+x3⁄3!+ ⋯ che si riduce a ex= 1 +x+o(t0) se x→ 0. Pertanto, la (17.15↑) diviene Pr(t>t0)|t0→ 0= 1 −λt0+o(t0), e quindi Pr(t≤t0)= 1 − 1 +λt0+o(t0)=λt0+o(t0). della (17.15↑) è che, se t0→ 0, allora la probabilità che si verifichi un evento entro un tempo t0, è direttamente proporzionale (a meno di un infinitesimo di ordine superiore di t0) al valore di t0, ossia
(17.16) Pr(t≤t0)|t0→ 0=λt0+o(t0)
PrecSezione 8.1: Distribuzione binomiale per popolazione finita SuCapitolo 8: Traffico, code e reti a pacchetto Sezione 8.3: Sistema di servizio orientato alla perditaSegue