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## 5.7Ricevitore ottimo↓

In questa sezione rimettiamo in discussione i risultati ottenuti ai § 5.2.2.3↑ e 5.3.3.1↑. Infatti, come sarà illustrato al § 9.5↓ in relazione al filtro adattato↓, in presenza di rumore bianco il valore di SNR presente nel punto di decisione è massimo se si usa un filtro di ricezione hR(t) adattato alla forma dell’impulso trasmesso g(t)=hT(t), ovvero (a meno di traslazioni temporali) per il quale risulti HR(f)=G*(f). Invece, nello schema adottato per la figura a pag. 1↑, il filtro di ricezione possiede il solo scopo di limitare la banda del rumore, ed è sempre un passa-basso ideale, indipendente da g(t). Allora, se si adotta una G(f) di Nyquist non a banda minima, i campioni di rumore sovrapposti a quelli di segnale, danno luogo a v.a. x(kTs) gaussiane ma non più indipendenti [157] [157]Infatti, il segnale n(t) uscente da HR(f)=rect2B(f) ha autocorrelazione ℛN(τ)= ℱ− 1{|H(f)|2}= 2Bsinc(2Bτ) (vedi § 9.2.3↓), che passa da zero per τ=(1)/(2B). Se si utilizza una G(f) a coseno rialzato con γ> 0, occorre estendere la banda di ricezione a B=(fs)/(2)(1  +γ), a cui corrispondono campioni di rumore incorrelati se prelevati a distanza multipla di τ=(1)/(2B)=(1)/(fs(1 +γ)). Invece, il rumore è campionato con frequenza pari a quella di simbolo fs, e dunque con campioni a distanza τ=Ts=(1)/(fs). Pertanto, i campioni di rumore sono correlati, con autocorrelazione pari a ℛN(Ts)= 2Bsinc(1  +γ)., e la Pe che si ottiene non è la minima possibile [158] [158]Infatti, la dipendenza statistica tra i campioni di rumore, permetterebbe di realizzare un dispositivo predittore lineare che, in base alla conoscenza dei precedenti valori di rumore, calcoli una stima del valore corrente la quale, sottratta al valore effettivamente ricevuto, consente di ridurre la varianza della grandezza di osservazione, permettendo una riduzione della probabilità di errore.
Pur non entrando nei dettagli dei metodi di predizione lineare, notiamo che la correlazione tra grandezze aleatorie ne determina la dipendenza, e che la conoscenza di valori passati consente di ridurre l’incertezza relativa ai nuovi valori. Il valore dei campioni di rumore precedenti, si calcola a partire da quello del simbolo deciso senza commettere errore, sottratto al valore del segnale ricevuto in quell’istante.
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Per rendere incorrelati i campioni di rumore, e ridurre la Pe al minimo, realizzando al contempo le condizioni di Nyquist in ricezione, tentiamo di verificare le condizioni H(f)=G*(f) di filtro adattato, decomponendo la caratteristica di Nyquist G(f) in
parti uguali tra trasmettitore e ricevitore, e dando quindi luogo allo schema di figura, in cui
HT(f)=HR(f)=√(G(f))
↓In tal modo, al decisore giunge esattamente lo stesso segnale di prima [159] [159]Infatti, se G(f) è tutta al trasmettitore, il segnale generato (e ricevuto) ha espressione (6.42↑) (vedi anche la (6.35↑)); indicando ora g√()(t)= ℱ− 1{√(G(f))}, ed eseguendo un calcolo del tutto analogo a quello svolto in § 5.1.2.2↑, si ottiene che il segnale ricevuto nel caso di scomposizione di G(f) ha espressione
r(t)=hT(t)*hR(t)* ⎲⎳kak⋅δ(t−kTs)= ⎲⎳ka[k]⋅g(t−kTs)
in quanto hT(t)*hR(t)=g√()(t)*g√()(t)=g(t) per la proprietà di prodotto in frequenza., mentre la densità di potenza del rumore non è più costante, ma ora vale
PN(f)=(N0)/(2)|HR(f)|2=(N0)/(2)G(f)
Pertanto, i campioni di rumore presi a distanza Ts sono statisticamente indipendenti (e quindi incorrelati perché gaussiani, vedi § 9.10.2↓), in quanto ℛN(τ)= ℱ− 1{PN(f)} è ora un impulso di Nyquist, che passa da zero per τ=kTs. Notiamo che, essendo G(f) reale pari, la fattorizzazione di G(f) realizza effettivamente la condizione HR(f)=H*T(f) che definisce un filtro adattato.
Per determinare le nuove prestazioni nel caso in cui G(f) sia a coseno rialzato, notiamo che mentre la banda passante di HR(f) (e dunque del rumore) si è mantenuta pari a B=(fs)/(2)(1 +γ), la potenza del rumore ora vale [160] [160]Il risultato si può ottenere visivamente, a partire dalla G(f) a coseno rialzato mostrata in fig. 5.12↑ a pag. 1↑, considerando la risposta di ampiezza nominale pari ad 1, e in base alle sue proprietà di simmetria attorno ad fs: non è nient’altro che l’area di un rettangolo.
PN=∞⌠⌡− ∞(N0)/(2)G(f)df=(N0)/(2)fs=(N0)/(2Tblog2L)
riducendosi di un fattore (1  +γ) se confrontata con (6.45↑), e causando un aumento equivalente per l’SNR; lo stesso fattore (1  +γ) è quindi rimosso anche nella (6.51↑), portando a
(6.53) Pbite=(1)/(log2L)⎛⎝1  −(1)/(L)⎞⎠erfc{√((Eb)/(N0)(3log2L)/((L2− 1)⎛⎝1 −(γ)/(4)⎞⎠))}
il valore della probabilità di errore↓ sul bit adottando il ricevitore ottimo ed il codice di Gray. Dato che al massimo 1 +γ= 2, questo corrisponde ad un miglioramento massimo di 3 dB nel valore di Eb⁄N0, permettendo di usare ancora le curve di fig. 5.24↑. D’altra parte, il fatto che la (6.53↑) coincida con la (6.51↑) per γ= 0 non è un risultato inatteso: infatti, se γ= 0 si attua una trasmissione a banda minima, e dunque un HR(f) rettangolare passabasso costituisce proprio il filtro adattato!
Conseguenze
L’adozione di un filtro di trasmissione HT(f)=√(G(f)) comporta che ora nel segnale trasmesso è presente isi, che può essere rimossa solo mediante filtraggio dello stesso attraverso il filtro adattato HR(f)=√(G(f)).
Figura 5.46  Confronto della risposta impulsiva del filtro ottimo e subottimo
In figura 5.46↑ si mostra l’andamento di g√()(t)= ℱ− 1{√(G(f))}, posto a confronto con una g(t) a coseno rialzato, per valori di roll-off pari a 0.5 ed 1, ottenuto mediante IFFT della corrispondente risposta in frequenza di modulo unitario nell’origine. Notiamo un aumento sia della durata che della ampiezza delle oscillazioni: questa circostanza determina una maggiore complessità realizzativa del filtro di trasmissione, che deve avere una risposta impulsiva più lunga [161] [161]Per una analisi degli effetti della limitazione temporale dell’impulso g√()(t), vedere l’analisi svolta presso `https://engineering.purdue.edu/~ee538/SquareRootRaisedCosine.pdf`..
Una seconda considerazione può essere svolta a riguardo del caso in cui sia presente un canale di trasmissione con risposta in frequenza H(f) non ideale; in tal caso, occorre realizzare un filtro di trasmissione HT(f) tale che HT(f)H(f)=√(G(f)). Spesso l’equalizzazione è invece svolta al lato ricevente, in modo da ottenere Heq(f)H(f)=√(G(f)), ma in tal caso si ottiene una soluzione solamente sub-ottima, dato che si perde l’incorrelazione dei campioni di rumore, vedi § 9.2.3↓.
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