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## 5.1Trasmissione su canale numerico↓

Al primo capitolo (§ 1.2↑) abbiamo evidenziato come tra sorgente e destinazione di una trasmissione numerica si possa idealizzare la presenza di un canale numerico, che racchiude i dispositivi idonei a svolgere diverse operazioni, in modo da permettere la trasmissione di informazioni numeriche mediante un segnale analogico (indicato come segnale dati↓), trasmesso su canale analogico. Se il canale presenta una risposta in frequenza di tipo passa-banda, il segnale dati dovrà presentare le stesse caratteristiche, ed al capitolo 13↓ saranno illustrati i principi di funzionamento dei dispostivi modem necessari a generare tali segnali. Nel caso in cui, invece, il canale analogico sia da considerare passa-basso, il modem che genera il segnale dati è indicato come codificatore di linea.

### 5.1.1Trasmissione numerica di banda base

La figura 5.1↑ rappresenta uno schema generale di canale numerico, con evidenziati i principali elementi che lo compongono. Notiamo innanzitutto come il ritmo con cui le informazioni numeriche sono emesse dal codificatore di linea↓ (§ 5.1.2↓) sia descritto da una frequenza di simbolo↓ [85] [85]Possiamo per ora pensare i simboli come se fossero le lettere dell’alfabeto di un messaggio scritto, ad ognuna delle quali si fa corrispondere un valore (o livello) di segnale. fs potenzialmente inferiore al ritmo binario fb che è proprio del messaggio [86] [86]Ts è il periodo di simbolo, ed il suo inverso fs= 1 ⁄Ts è detto frequenza di simbolo (o baud-rate), detta anche frequenza di segnalazione, e si misura in simboli/secondo, detti appunto baud↓, in memoria di Émile Baudot, vedi `http://it.wikipedia.org/wiki/Codice_Baudot`. .
Figura 5.1  Elementi costitutivi di un canale numerico
Come vedremo al § 5.1.2.4↓, il caso tipico per cui deve essere fs<fb si verifica quando il canale analogico presenta una risposta in frequenza H(f) limitata in banda, al punto da dover ridurre la banda del segnale trasmesso, fino a farla rientrare in quella del canale, in modo da poter ri-ottenere in uscita dal canale lo stesso segnale trasmesso [87] [87]Se non fosse preso questo provvedimento, e si trasmettesse un segnale con una occupazione spettrale maggiore della banda passante del canale, nel segnale ricevuto verrebbero a mancare alcune componenti frequenziali, e di conseguenza la forma d’onda del segnale risulterebbe modificata, causando così il fenomeno di interferenza tra simboli (vedi § 5.1.2.2↓).. Dal lato ricevente del canale numerico si trova il decodificatore di linea, che ricostruisce la sequenza delle informazioni trasmesse, prima campionando (con ritmo fs) il segnale dati ricevuto, e quindi decidendo quale simbolo fosse rappresentato, in base al confronto tra il valore osservato e delle soglie di decisione.
La presenza di un processo di rumore additivo↓ n(t) fa si che il segnale preso in esame dal decisore possa superare la (o le) soglia di decisione, determinando un errore (con probabilità Pe) a riguardo di quale simbolo sia stato trasmesso. La valutazione di tale probabilità viene svolta al § ↓, ma anticipiamo subito che Pe è tanto maggiore quanto più è grande la potenza (e dunque l’ampiezza) del rumore in ingresso al decisore, che può essere minimizzata dal filtro HR(f) di ricezione (vedi § 12.1.1↓); inoltre, HR(f) può realizzare un filtro adattato (§ 9.5↓), oppure ancora un dispositivo di equalizzazione (§ 14.6↓).
Lo schema di fig. 5.1↑ mostra inoltre come il decodificatore di linea svolga anche una funzione di temporizzazione, per consentire al dispositivo decisore di operare al passo con il ritmo fs dei simboli in arrivo; al § 5.6↓ sono descritte alcune tecniche per affrontare questo aspetto. Infine, nel caso in cui ogni simbolo sia rappresentativo di più di un bit (vedi § 5.1.2.4↓), è evidenziata la presenza di un serializzatore che provvede ad emettere uno dopo l’altro i bit corrispondenti ai diversi simboli ricevuti.

### 5.1.2Codifica di linea↓ e segnale dati↓

Consideriamo una sorgente discreta che produce, ad una frequenza fs, simboli ak corrispondenti a valori numerici: possiamo allora descrivere il segnale dati x(t) uscentedal codificatore di linea come un segnale analogico
(6.35) x(t)= ⎲⎳kak⋅g(t−kTs)
Costruzione del segnale dati
e idealizzare il codificatore stesso come illustrato nella figura a lato [88] [88]Nel caso in cui ak assuma valori discreti in un alfabeto ad L livelli, codificati con M=⌈log2L⌉ cifre binarie (bit) (il simbolo ⌈.⌉ rappresenta l’intero superiore), la trasmissione convoglia una frequenza binaria di valore pari a fb⎡⎣(bit)/(secondo)⎤⎦=M⎡⎣(bit)/(simbolo)⎤⎦⋅fs⎡⎣(simboli)/(secondo)⎤⎦., in cui πTs(t) è un treno di impulsi (§ 3.8.1↑) con periodo Ts=1⁄fs. Notiamo come tale figura sia del tutto simile al s&h introdotto al § 4.1.4↑, tranne che ora g(t) è generico. Come sarà approfondito al § 9.2.4↓, si può mostrare che (sotto condizioni abbastanza generali) lo spettro di densità di potenza di x(t) può essere espresso come↓
(6.36) Px(f)=σ2A(ℰG(f))/(Ts)
in cui ℰG(f) rappresenta lo spettro di densità di energia di g(t), che quindi determina l’andamento di Px(f), mentre σ2A è la varianza dei valori ak, e dunque ne rispecchia la dinamica.
Onda PAM ↓
Il segnale dati (6.35↑) è a volte indicato come onda pam, forzando la semantica di Pulse Amplitude Modulation per indicare la modulazione delle ampiezze degli impulsi che realizzano un segnale periodico nella forma di eq. (6.13↑) (pag. 1↑) in base ai valori ak. Un ulteriore punto di vista è illustrato al § 6.9.5↓.

#### 5.1.2.1Segnale binario e onda rettangolare

Come applicazione della (6.36↑) osserviamo che, nel caso in cui si effettui una trasmissione binaria (ossia ak={0,  1} ed fs=fb) e si scelga un impulso dati rettangolare g(t)=rectτ⎛⎝t−(τ)/(2)⎞⎠ (con τ≤Tb), allora la densità spettrale di x(t) presenta [89] [89]Che questo sia il caso, può essere verificato per alcuni segnali che abbiamo studiato o studieremo:

1. \setlength\itemsep-0.5\parsepSegnale campionato. In questo caso ak=s(kTc) sono i campioni di segnale, ed abbiamo visto che x○(t) ha spettro periodico in frequenza, con un inviluppo di ampiezza dato da sinc(fτ);
2. Segnale periodico. Ponendo ak= ±1 si genera un’onda quadra, il cui spettro è a righe con lo stesso inviluppo indicato al punto precedente;
3. Segnale dati. Se ak sono variabili aleatorie statisticamente indipendenti, al § 9.2.4↓ si dimostrerà che X(f) è di tipo continuo, con inviluppo ancora pari a sinc(fτ).

un andamento sinc2(fτ), con il primo zero per f=(1)/(τ), ed occupazione di banda (approssimativamente) pari ad alcuni multipli di tale valore [90] [90]Nella tabella che segue è riportata l’occupazione di banda necessaria a contenere 10 lobi del sinc(fτ)=(1)/(τ)ℱ{rectτ(t)}, per τ pari al periodo di simbolo Ts, in modo da dare un’idea delle specifiche necessarie al canale: osserviamo allora che il rettangolo può andare bene a basse velocità di trasmissione, infatti già per 10 Msimboli/sec, velocità di una LAN (Local Area Network, ossia una rete “locale” tra computer in uno stesso edificio), occorrono 100 MHz di banda.

fs | apparato | Ts | 1  ⁄Ts | 10  ⁄Ts
2.4⋅103 | Modem (anni ’80) | 4.2⋅10− 3 | 2.4⋅103 | 24KHz
28.8⋅103 | Modem (anni ’90) | 3.5⋅10− 5 | 28.8⋅103 | 288KHz
10⋅106 | LAN | 10− 7 | 107 | 100MHz

.

#### 5.1.2.2Effetto della limitazione in banda e ISI

Qualora il segnale dati x(t) attraversi un canale con risposta impulsiva h(t), in uscita si presenta un nuovo segnale
y(t)= ⎲⎳kak⋅g’(t−kTs) in cui g’(t)=g(t)*h(t)
come mostrato alla nota [91] [91] y(t) = [∑kak⋅g(t−kTs)]*h(t)=[g(t)*∑kak⋅δ(t−kTs)]*h(t)= = g(t)*h(t)*∑kak⋅δ(t−kTs)=g’(t)*∑kak⋅δ(t−kTs)= = ∑kak⋅g’(t−kTs) . L’effetto della convoluzione tra g(t) ed h(t), è quello di disperdere nel tempo la forma d’onda g(t), che quindi anche se delimitata entro un periodo di simbolo, invade gli intervalli temporali riservati ai simboli adiacenti, dando luogo al fenomeno della interferenza intersimbolica↓ (isi, InterSymbolic Interference).

#### 5.1.2.3Diagramma ad occhio↓

InIn Fig. 5.5↑ è riportato un esempio di segnale dati binario ad onda rettangolare con base pari a Tb, a cui è applicata una limitazione di banda mediante un filtro passa-basso ideale. Nella riga superiore è mostrato l’andamento del segnale, mentre alla riga inferiore si riporta un grafico noto come diagramma ad occhio (eye diagram) [92] [92]Il nome deriva dalla forma del diagramma, che in corrispondenza del centro degli impulsi mostra una apertura simile per l’appunto ad un occhio, e la cui analogia apparirà più evidente in seguito all’adozione di un impulso g(t) a banda limitata (figura 5.13↓), ed in presenza di rumore (figura 5.23↓)., che si ottiene visualizzando il segnale dati mediante un oscilloscopio con la base dei tempi sincronizzata al periodo di simbolo. Come si può vedere, in presenza di una limitazione di banda, il valore del segnale dati in corrispondenza di un determinato simbolo viene a dipendere anche dal valore dei simboli circostanti.

Figura 5.5  Segnale dati a banda infinita e limitata, e relativo diagramma ad occhio
Riservandoci di riprendere l’argomento nel seguito, notiamo che il problema non si presenta qualora:

- la frequenza di simbolo sia molto inferiore alla banda del canale, ovvero
- la risposta impulsiva h(t) abbia estensione temporale molto inferiore a Ts.

Nel seguito della sezione, assumiamo vere queste ipotesi.

#### 5.1.2.4Trasmissione multilivello↓

Nel caso in cui la banda a disposizione per la trasmissione sia insufficiente, una soluzione di semplice attuazione è quella di ricorre ad una trasmissione non più binaria, ma che impieghi L possibili diversi simboli, o livelli [93] [93]Proseguiamo l’esposizione riferendoci direttamente al termine livelli, indicando con questo la scelta tra L possibili valori di ampiezza per il segnale trasmesso.. A tale scopo, occorre raggruppare M bits del messaggio an (che arrivano a velocità fb bits/sec) in una unica parola binaria.
Scegliendo M=  log2L, occorrono Ts=MTb secondi per accumulare M bit, ed emettere uno tra L= 2M possibili valori bm, usati quindi come ampiezze degli impulsi (generati a ritmo Ts) necessari a produrre un segnale dati [94] [94] In ricezione si opererà il processo inverso, ripristinando la codifica binaria originaria a cui il codificatore ha associato il valore L-ario ricevuto, e serializzando tale parola ad M bit, in modo da ri-ottenere la sequenza binaria di partenza. x(t) ad L livelli, e caratterizzato da una frequenza di simbolo↓ fs= 1 ⁄Ts= 1 ⁄MTb=fb⁄M.
La figura a lato mostra il segnale dati binario ad onda rettangolare, e quello che invece si ottiene con L= 4.
L’aumento del periodo di simbolo Ts corrisponde ad un aumento della durata di g(t), e di conseguenza ad una contrazione di G(f), determinando quindi una eguale riduzione della banda occupata da x(t), come si verifica tenendo conto della (6.36↑). Pertanto, l’occupazione di banda del segnale dati può essere ridotta a piacere, semplicemente aumentando il numero M di bit raggruppati in una singola parola. D’altra parte al § 5.3↓ si mostra come, a meno che la potenza del segnale non venga aumentata, si assisterà ad un peggioramento della probabilità di errore del ricevitore, in quanto a parità di potenza e quindi di ampiezza, i livelli risultano ora ravvicinati. Questo fenomeno è raffigurato mediante l’esempio di figura 5.7↓ dove a sinistra è mostrato un segnale dati ad 8 livelli, al centro il diagramma ad occhio corrispondente, ed a destra una versione del segnale limitata in banda.

Figura 5.7  Segnale dati ad 8 livelli e diagramma ad occhio per banda infinita o limitata
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