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## 8.1Distribuzione binomiale per popolazione finita

Iniziamo con il chiederci quante linee uscenti M siano necessarie ad un centralino↓ con N interni, in modo che la probabilità di trovare tutte le linee occupate sia inferiore ad un valore massimo, chiamato grado di servizio [278] [278]Il termine grado di servizio esprime un concetto di qualità, ed è usato in contesti diversi per indicare differenti grandezze associate appunto alla qualità dei servizi di telecomunicazione. Nel caso presente, una buona qualità corrisponde a una bassa probabilità di occupato.. Per trovare il risultato, calcoliamo prima la probabilità che tutte le linee uscenti siano occupate, assumendo noti N ed M.
Affrontiamo il problema in termini ancor più generali, chiedendoci quale sia la probabilità pB(k) che un numero k di persone (su N) sia contemporaneamente al telefono. Assumiamo che ognuno degli N interni abbia una probabilità p di telefonare, ossia passi il p⋅100% del suo tempo al telefono, e che le telefonate siano statisticamente indipendenti. Allora, ci saranno in media Np telefoni occupati, e la probabilità che un ben preciso gruppo di k individui telefoni (e N−k no), è pari a pkqN−k (in cui q= 1  −p).
Dato che il numero di differenti modi di scegliere k oggetti tra N è pari a ⎛⎜⎝N k⎞⎟⎠=(N!)/(k!(N−k)!)=(N(N−  1)⋯(N−k+ 1))/(k!), allora la probabilità di avere k (qualsiasi) persone al telefono è pari a
pB(k)=⎛⎜⎝N k⎞⎟⎠pkqN−k
Densità di Bernoulli
Dato che ∑Nk= 0pB(k)= 1, la funzione pB(k) è una densità di probabilità di v.a. discreta, nota con il nome di variabile aleatoria di Bernoulli↓ [279] [279]La pB(k) è detta anche Binomiale, in quanto i fattori ⎛⎜⎝N k⎞⎟⎠ sono quelli della potenza di un binomio (p+q)N, calcolabili anche facendo uso del triangolo di Pascal (ma definito prima da Tartaglia, e prima ancora da Hayyām), mostrato per riferimento di seguito. .
Al variare di k, si ottengono tutte le probabilità cercate, rappresentate nella figura a lato nel caso in cui p= 0.15 e N= 25, oppure N= 125; nel secondo caso, si utilizza anche il valore p= 0.07, che causa una concentrazione di pB(k) attorno a valori k inferiori. Inoltre, osserviamo che non si possono avere più di N utenti al telefono.
Per conoscere il numero di linee occorrenti a garantire una probabilità di ↓congestione (o di blocco) PB inferiore ad un massimo, si sommano (partendo da destra) i valori di probabilità pB(k), finché non si supera la probabilità prefissata: allora M sarà pari all’ultimo indice k. Infatti in tal modo la probabilità che ci siano più di M interni a voler telefonare è pari a
Pr(k>M)=N⎲⎳k=M+ 1pB(k)=N⎲⎳k=M+ 1⎛⎜⎝N k⎞⎟⎠pkqN−k<PB
La distribuzione Binomiale è detta anche delle prove ripetute↓ poiché può essere usata per calcolare la probabilità di un certo numero di eventi favorevoli, a seguito della ripetizione dello stesso fenomeno aleatorio [280] [280]Esempio: si voglia calcolare la probabilità di osservare 3 volte testa, su 10 lanci di una moneta. Questa risulta pari a pB(3)=⎛⎜⎝10 3⎞⎟⎠p3q7= 120⋅.53⋅.57= 0.117, ovvero una probabilità dell’11,7 %. Come ulteriore esempio, citiamo l’uso della distribuzione Binomiale per calcolare la probabilità di errore complessiva in una trasmissione numerica realizzata mediante un collegamento costituito da N tratte, collegate da ripetitori rigenerativi. In una trasmissione binaria, si ha errore se un numero dispari di tratte causa un errore per lo stesso bit, e cioè Pe=∑Nk= 1,k dispari⎛⎜⎝N k⎞⎟⎠pkqN−k, in cui p è la prob. di errore sul bit per una tratta; inoltre risulta che se p≪1 e Np≪1, allora Pe≃Np..
Il valore medio della distribuzione Binomiale è mB=Np, e la varianza σ2B=Npq. Tornando al caso del centralino, il numero medio di linee occupate è Np: tale quantità rappresenta il traffico offerto↓ medio, che si misura in Erlang↓: ad esempio, un traffico medio di 3 Erlang corrisponde ad osservare in media 3 linee occupate.
Il rapporto (σ2B)/(mB)=(Npq)/(Np)=q< 1 è un indice di come la variabile aleatoria si distribuisce attorno alla media. Il caso di Bernoulli in cui (σ2B)/(mB)< 1 è rappresentativo di un traffico dolce↓, che deriva dall’ipotesi di popolazione finita, e che si sostanzia nel fatto che all’aumentare delle linee occupate, diminuisce la probabilità di una nuova chiamata, in quanto diminuiscono le persone non al telefono.
Esercizio Una linea telefonica risulta occupata per l’80 % del tempo, e le telefonate non durano mai più di 5 minuti. Provandola a chiamare con una cadenza fissa di un tentativo ogni 10 minuti, determinare

- 1. la probabilità di trovare libero entro 3 tentativi
  2. la probabilità di trovare libero almeno una volta in due ore
  3. la probabilità di trovare libero esattamente tre volte in due ore
  Indichiamo con p= 0.2 la probabilità di successo di un singolo tentativo, e con q= 1 −p= 0.8 quella di fallimento, identificando così il problema nel contesto delle prove ripetute.
  1. Assumendo gli eventi indipendenti, la prob. di trovare libero entro tre tentativi è la somma delle prob. degli eventi favorevoli, ossia subito libero, oppure al secondo, od al terzo tentativo, ovvero p+p⋅q+p⋅q⋅q= .2 + .2⋅.8 + .2⋅.2⋅.8 = 0.488 = 48.8 %.
  2. In due ore si effettuano (120)/(10)= 12 tentativi. Conviene in questo caso valutare la probabilità dell’evento complementare p0, quello di fallire tutti i tentativi, pari a pB(k)|k= 0, ovvero p0=⎛⎜⎝12 0⎞⎟⎠p0q12=(12!)/(12!).812= 0.0687195, e quindi la prob. p1 di libero almeno una volta vale p1= 1 −p0= 93.12 %.
  3. Trovare libero esattamente tre volte infine ha probabilità ⎛⎜⎝12 3⎞⎟⎠p3q9=(12⋅11⋅10)/(3⋅2)⋅.23⋅.89= 0.23.

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