PrecSezione 10.6: Rappresentazione dei processi in banda traslata SuCapitolo 10: Segnali modulati Capitolo 11: Modulazione per segnali analogiciSegue

## 10.7Appendici

### 10.7.1Risposta impulsiva del filtro di Hilbert↓

Al § 10.2.4↑ si è affermato che hℋ(t)=(1)/(πt), ed ora passiamo a dimostrarlo. Innanzitutto osserviamo che Hℋ(f) può essere scritta in termini di due gradini in frequenza g(f), con quello relativo alle frequenze negative, di tipo anticausale:
Hℋ(f)=  −j⋅g(f)+j⋅g(−f)
Per calcolare l’antitrasformata di Fourier di un gradino in frequenza, utilizziamo il risultato noto per la trasformata di un gradino nel tempo (vedi § 3.9.4↑) G(f)= ℱ{g(t)}=(1)/(2)⎛⎝δ(f)−(j)/(πf)⎞⎠, a cui applichiamo la proprietà di dualità (vedi pag. 1↑) che asserisce che se G(f)= ℱ{g(t)}, allora ℱ− 1{g(f)}=G(−t) , per ottenere
(17.51) ℱ− 1{g(f)}=(1)/(2)⎛⎝δ(−t)−(j)/(π(−t))⎞⎠=(1)/(2)⎛⎝δ(t)+(j)/(πt)⎞⎠
Per scrivere l’antitrasformata del gradino anticausale in frequenza g(−f), occorre tenere conto della proprietà del cambiamento di scala (vedi pag. § 1↑), che asserisce che ℱ− 1{X(−f)}=x(−t), e che applicata alla (17.51↑), consente di ottenere
ℱ− 1{g(−f)}=(1)/(2)⎛⎝δ(−t)+(j)/(π(−t))⎞⎠=(1)/(2)⎛⎝δ(t)−(j)/(πt)⎞⎠
Ora possiamo quindi scrivere
hℋ(t) = ℱ− 1{Hℋ(f)}=  −j⋅(1)/(2)⎛⎝δ(t)+(j)/(πt)⎞⎠+j(1)/(2)⎛⎝δ(t)−(j)/(πt)⎞⎠ = −j(1)/(2)δ(t)−j2(1)/(2πt)+j(1)/(2)δ(t)−j2(1)/(2πt) = (1)/(πt)

### 10.7.2Trasformata di Hilbert di un segnale modulato

Limitiamoci a dimostrare che
(17.52) ℋ{xc(t)cos2πf0t}=xc(t)sin2πf0t
Iniziamo con il considerare che dopo aver ℱ-trasformato la (17.52↑), possiamo evidenziarne le componenti a frequenza positiva e negativa Xc(f−f0) e Xc(f+f0)
(17.53) xc(t)cos2πf0t=(xc(t))/(2)(ej2πf0t+e−j2πf0t) ⇒ ℱ  ⇒(1)/(2)[Xc(f−f0)+Xc(f+f0)]
che, se xc(t) ha una banda minore di f0, possono essere facilmente ℋ-trasformate semplicemente aggiungendo lo sfasamento introdotto a frequenze positive e negative dal filtro di Hilbert
(1)/(2)[Xc(f−f0)+Xc(f+f0)] ⇒ ℋ  ⇒(1)/(2)[Xc(f−f0)e−j(π)/(2)+Xc(f+f0)ej(π)/(2)]
e quindi ℱ-antitrasformando questa espressione si ottiene la ℋ-trasformata del segnale (17.52↑)
(1)/(2)[Xc(f−f0)e−j(π)/(2)+Xc(f+f0)ej(π)/(2)] ⇒ ℱ− 1⇒(xc(t))/(2)(ej2πf0te−j(π)/(2)+e−j2πf0tej(π)/(2))
risultato che, anche se non ancora nella forma anticipata, poteva comunque essere ottenuto anche direttamente a partire dal secondo membro di (17.53↑), invocando subito la limitazione ad una semibanda di xc(t)e±j2πf0t. Per ottenere la (17.52↑) è ora sufficiente moltiplicare e dividere per j=ej(π)/(2), ossia
(xc(t))/(2)(ej2πf0te−j(π)/(2)+e−j2πf0tej(π)/(2))⋅(ej(π)/(2))/(ej(π)/(2)) = (xc(t))/(2j)(ej2πf0t+e−j2πf0tejπ)= =(xc(t))/(2j)(ej2πf0t−e−j2πf0t) = xc(t)sin2πf0t
in quanto ejπ=   − 1.

### 10.7.3Autocorrelazione di processi passa-banda

Svolgiamo qui il calcolo relativo al valore di ℛxc(τ), ℛxs(τ), ℛxcxs(τ) e ℛxsxc(τ). Ricordando che xc(t)=x(t)cosω0t+^x(t)sinω0t, iniziamo a svolgere i calcoli per ℛxc(τ):
ℛxc(τ) = E{xc(τ)xc(t+τ)}= = E{[x(t)cosω0t+^x(t)sinω0t]⋅ ⋅ [x(t+τ)cosω0(t+τ)+^x(t+τ)sinω0(t+τ)]}= = E{x(t)x(t+τ)}⋅cosω0t⋅cosω0(t+τ)+ + E{x(t)^x(t+τ)}⋅cosω0t⋅sinω0(t+τ)+ + E{^x(t)x(t+τ)}⋅sinω0t⋅cosω0(t+τ) + E{^x(t)^x(t+τ)}⋅sinω0t⋅sinω0(t+τ)
Valutiamo quindi i quattro valori attesi singolarmente, indicando con x(t) la media temporale di x(t), ossia x(t)=limT→ ∞(1)/(T)∫T⁄ 2−T⁄ 2x(t)dt:
E{x(t)x(t+τ)} = x(t)x(t+τ)= ℛx(τ) E{x(t)^x(t+τ)} = x(t)^x(t+τ)= ℛx^x(τ)=x(−τ)*^x(τ)= = x(−τ)*x(τ)*(1)/(πτ)= ℛx(τ)*(1)/(πτ)=^ℛx(τ) E{^x(t)x(t+τ)} = ^x(t)x(t+τ)= ℛ^xx(τ)=^x(−τ)*x(τ)= = x(−τ)*⎛⎝−(1)/(πτ)⎞⎠*x(τ)=x(−τ)*x(τ)*⎛⎝−(1)/(πτ)⎞⎠= = ℛx(τ)*⎛⎝−(1)/(πτ)⎞⎠=  −^ℛx(τ) E{^x(t)^x(t+τ)} = ^x(t)^x(t+τ)= ℛ^x^x(τ)=^x(−τ)*^x(τ)= = x(−τ)*⎛⎝−(1)/(πτ)⎞⎠*x(τ)*(1)/(πτ)= = x(−τ)*x(τ)*⎛⎝−(1)/(πτ)⎞⎠*(1)/(πτ)=  −^^ℛx(τ)=  ℛx(τ)
Sostituendo le relazioni ora trovate nella espressione di ℛxc(τ), si ottiene
ℛxc(τ) = ℛx(τ)⋅cosω0t⋅cosω0(t+τ)+^ℛx(τ)⋅cosω0t⋅sinω0(t+τ)+ − ^ℛx(τ)⋅sinω0t⋅cosω0(t+τ)+ ℛx(τ)⋅sinω0t⋅sinω0(t+τ)= = (1)/(2)ℛx(τ)[cosω0(−τ)+ cosω0(2t+τ)]+ + (1)/(2)^ℛx(τ)[sinω0(τ)+ sinω0(2t+τ)]+ − (1)/(2)^ℛx(τ)[sinω0(−τ)+ sinω0(2t+τ)]+ + (1)/(2)ℛx(τ)[cosω0(−τ)− cosω0(2t+τ)]= = ℛx(τ)⋅cosω0τ+^ℛx(τ)⋅sinω0τ
che costituisce il risultato anticipato. Per l’espansione dei termini trigonometrici, si è fatto uso delle relazioni:
cosα⋅cosβ = (1)/(2)[cos(α−β)+ cos(α+β)] sinα⋅sinβ = (1)/(2)[cos(α−β)− cos(α+β)] sinα⋅cosβ = (1)/(2)[sin(α−β)+ sin(α+β)]
I calcoli relativi al valore di ℛxs(τ) sono del tutto simili, ed il loro svolgimento porta al risultato ℛxc(τ)= ℛxs(τ).
Per quanto riguarda ℛxcxs(τ), applichiamo la relazione xs(t)=^x(t)cosω0t−x(t)sinω0t, per ottenere:
ℛxcxs(τ) = E{xc(τ)xs(t+τ)}= = E{[x(t)cosω0t+^x(t)sinω0t]⋅ ⋅ [^x(t+τ)cosω0(t+τ)−x(t+τ)sinω0(t+τ)]= = E{x(t)^x(t+τ)}⋅cosω0t⋅cosω0(t+τ)+ − E{x(t)x(t+τ)}⋅cosω0t⋅sinω0(t+τ)+ + E{^x(t)^x(t+τ)}⋅sinω0t⋅cosω0(t+τ)+ − E{^x(t)x(t+τ)}⋅sinω0t⋅sinω0(t+τ)
I valori attesi che vediamo comparire sono stati già calcolati, e quindi possiamo scrivere direttamente lo sviluppo dei calcoli, in cui si applicano nuovamente le identità trigonometriche note:
ℛxcxs(τ) = ^ℛx(τ)⋅cosω0t⋅cosω0(t+τ)− ℛx(τ)⋅cosω0t⋅sinω0(t+τ)+ + ℛx(τ)⋅sinω0t⋅cosω0(t+τ)−^ℛx(τ)⋅sinω0t⋅sinω0(t+τ)= = (1)/(2)^ℛx(τ)[cosω0(−τ)+ cosω0(2t+τ)]+ − (1)/(2)ℛx(τ)[sinω0(τ)+  sinω0(2t+τ)]+ − (1)/(2)ℛx(τ)[sinω0(−τ)+ sinω0(2t+τ)]+ − (1)/(2)^ℛx(τ)[cosω0(−τ)− cosω0(2t+τ)]= = − ℛx(τ)⋅sinω0(2t+τ)+^ℛx(τ)⋅cosω0(2t+τ)
Per quanto riguarda gli argomenti delle funzioni trigonometriche, il valore di t è lasciato non specificato. Pertanto, visto che il processo è stazionario per ipotesi, può sensatamente essere posto a zero, e dunque ottenere il risultato previsto.
I calcoli relativi al valore di ℛxsxc(τ) sono del tutto simili, ed il loro svolgimento porta al risultato ℛxsxc(τ)=  − ℛxcxs(τ).
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