PrecSezione 13.4: Codifica differenziale SuCapitolo 13: Modulazione numerica Sezione 13.6: Schema riassuntivo delle prestazioniSegue

## 13.5Modulazione di frequenza L-FSK↓↓

Qualora si desideri che l’ampiezza del segnale modulato si mantenga strettamente costante si può adottare la tecnica di modulazione fsk (Frequency Shift Keying), che associa ad ogni simbolo un valore (o livello) di frequenza fk che si somma a quello della portante, in accordo all’espressione
xFSK(t)= cos[2π(f0+m(t))t] dove m(t)= Δ⋅∞⎲⎳k=  − ∞fk⋅rectTs(t−kTs)
in cui ogni elemento della sequenza fk assume uno tra i valori {0,  1, 2, …,L− 1}. Si tratta in pratica di una portante la cui frequenza nominale f0 è alterata di una quantità
Δ⋅fk Hz per un intervallo temporale pari al periodo di simbolo Ts, in cui Δ rappresenta ora la spaziatura (uniforme) tra le frequenze associate agli L livelli. Pertanto l’espressione può essere riscritta come
xFSK(t)=∞⎲⎳k=  − ∞cos[2π(f0+ Δfk)t]⋅rectTs(t−kTs)
Il risultato è senza dubbio ad ampiezza costante; se Ts≫(1)/(f0) si può adottare uno schema di mo-demodulazione basato su di un pll↓ (vedi § 11.2.1.2↑ e 11.3.1.1↑) riportato (per L= 2) in figura, in cui all’uscita del passa basso ritroviamo il segnale modulante.
Lo schema è effettivamente utilizzato per modem a bassa velocità e basso costo, ed ha il pregio di funzionare anche in presenza di errori tra l’f0 usata dal vco del trasmettitore e quella del ricevitore. Per raggiungere velocità fb più elevate a parità di L, occorre ridurre Ts, in modo da aumentare fs=(fb)/(log2L). In tal caso può essere necessario ricorrere ad un demodulatore più complesso, come descritto al § seguente.

### 13.5.1Modulazione FSK ortogonale

Nel caso in cui si realizzi la condizione Δ =(i)/(2Ts) con i intero, le diverse frequenze f0+ Δfk sono ortogonali [562] [562] La discussione al riguardo è sviluppata al § 13.10.2↓, definendo anche lo condizioni di demodulazione incoerente e coerente, ovvero se le portanti generate in ricezione cos[2π(f0+ Δfk)t+φk] presentino o meno una fase φk casuale rispetto a quella trasmessa. In particolare, la spaziatura Δ multipla di (1)/(2Ts) garantisce ortogonalità solo nel caso di modulazione coerente, mentre nel caso incoerente occorre una spaziatura doppia, ossia Δ multiplo di (1)/(Ts)., e può essere adottato un demodulatore a correlazione↓ (vedi § 9.5.2↑), realizzato mediante un banco di correlatori↓ ed un decisione di massimo, in cui l’n−esimo correlatore esegue
(18.12) Ts⌠⌡0cos[2π(f0+mΔ)t]cos[2π(f0+nΔ)t]dt
Demodulatore a correlazione
dove f0+mΔ rappresenta la frequenza (incognita) in arrivo, mentre f0+nΔ è una delle frequenze possibili, con n∈{0, 1, 2, …,L− 1}. Essendo tali frequenze tra loro ortogonali [563] [563]L’ortogonalità tra le forme d’onda associate ai diversi simboli corrisponde alla intercorrelazione nulla tra le forme d’onda in un periodo (§ 9.1.4↑), ed infatti l’integrale 18.12↑ vale ℛnm=⎧⎨⎩ .5⋅Ts se n=m 0 altrimenti : ricordando che cos2α=(1)/(2)+(1)/(2)cos2α, l’uscita del correlatore per m=n vale (1)/(2)∫Ts0(1 + cos(4π(f0+mΔ)t))dt, e scegliendo opportunamente f0 (vedi § 13.10.2↓), il coseno che viene integrato descrive un numero intero di periodi all’interno dell’intervallo (0,Ts), fornendo quindi un contributo nullo. Se invece n≠m la funzione integranda non contiene il termine costante, ma solo termini a media nulla, dato che cosαcosβ=(1)/(2)cos(α+β)cos(α−β). entro l’intervallo di integrazione, al termine del calcolo una sola delle uscite sarà diversa da zero. Come discusso al § 9.5↑, in presenza di rumore l’uscita di ogni correlatore diviene una v. a. con varianza (N0)/(2)ℰG, corrompendo l’ortogonalità tra simboli, e dunque si rende necessaria l’operazione di confronto per realizzare una decisione di massima verosimiglianza.
Occupazione di banda
In generale, se ogni diversa fk è equiprobabile, l’fsk ha una densità spettrale del tipo mostrato in figura; se L≫1, l’occupazione di banda complessiva risulta quindi (circa) uguale a L⋅Δ. Nel caso di modulazione coerente (vedi nota 13.5.1↑) la minima spaziatura è di Δ  =(1)/(2Ts)=(fs)/(2), e dunque nel caso di L elevato la minima banda occupata può essere approssimata come
(18.13) BFSK≃L⋅(fs)/(2)=(fb)/(2)⋅(L)/(log2L)
mentre per quanto riguarda l’efficienza spettrale si ottiene
ρFSK=(fb)/(B)=(fb2log2L)/(Lfb)=(2)/(L)log2L
ossia (L)/(2) volte peggiore dell’l-ask (pag. 1↑). Ma: se l’efficienza spettrale è così bassa, che vantaggi ci sono ad usare l’fsk? ... a sua difesa, portiamo i seguenti argomenti:
Il caso semplice con Ts≫(1)/(f0)
può essere demodulato con lo schema a pll descritto al § 13.5↑, di facile realizzazione e poco costoso; ad esempio, veniva usato per salvare su compact cassette audio i dati degli home computer degli anni ’70 [564] [564]tipo: Sinclair Spectrum , Commodore Vic20 e 64 ... Come noto, le cassette audio soffrono di variazioni di velocità di trascinamento del nastro (wow & flutter), ma il pll non ne risente.
Nel caso a due livelli
l’efficienza spettrale risulta ρBFSK=(2)/(L)log2L||L= 2= 1, come per il caso del bpsk [565] [565]Tranne che, essendo ora presenti solo 2 frequenze, l’approssimazione (18.13↑) non è più corretta.. Al contrario, al crescere di L l’efficienza spettrale diviene sempre peggiore.
La probabilità di errore
può essere resa piccola a piacere, nei limiti della teoria dell’informazione [566] [566]Ovvero tenendo conto che (vedi § 17.2.3↓) fb non può superare la capacità di canale (eq. (18.114↓)), che a sua volta non può superare il limite C∞ espresso dalla (18.116↓). Ma per l’esattezza, l’espressione teorica della probabilità di errore per simbolo risulta essere
PFSKe(simbolo)= 1 −(1)/(√(πL))∞⌠⌡− ∞e−z2(z+√(log2L⋅Eb⁄N0)⌠⌡− ∞e−y2dy)L− 1dz
che deve essere valutata numericamente per ricavare le curve mostrate.. La figura a fianco mostra i valori di Eb⁄N0 necessari per ottenere le varie Pe con diversi valori di L, e illustra come, all’aumentare di L, sia necessaria sempre minor potenza per ottenere la stessa Pe, a patto che risulti
Eb⁄N0> 1 ⁄ loge2  = 0, 69
Questo valore è noto come limite di Shannon-Hartley↓ [567] [567]A pagina 1↓ è esposta una motivazione informale del comportamento descritto. ricavato alla (18.115↓) a pag. 1↓.
Il miglioramento di Pe con L è una manifestazione del compromesso banda-potenza↓: osserviamo infatti che anche la banda occupata BFSK≃(fb)/(2)(L)/(log2L) aumenta (a parità di fb) all’aumentare di L, e dunque a parità di Eb⁄N0 l’fsk riesce ad ottenere Pe arbitrariamente piccole, a spese di una occupazione di banda sempre maggiore. L’aumento di L però non può essere illimitato, sia per le limitazioni di banda del canale, che a causa della complessità del ricevitore, per non parlare del ritardo temporale necessario ad accumulare tutti i bit che realizzano un simbolo con un enorme numero L di livelli.
In appendice 13.10.2↓ è sviluppato un approfondimento di analisi dell’fsk ortogonale.
PrecSezione 13.4: Codifica differenziale SuCapitolo 13: Modulazione numerica Sezione 13.6: Schema riassuntivo delle prestazioniSegue