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# Note a piè di pagina

[1] Approfondiremo nel seguito il senso di questa locuzione; per ora è sufficiente interpretarla in termini generici, ovvero di fedeltà della riproduzione al segnale originario.
[2] Un classico esempio di trasduttore è quello dell’antenna, nel caso di trasmissione radio.
[3] La parola Modem è una contrazione delle due parole modulatore-demodulatore.
[4] Nelle trasmissioni unidirezionali, sorgente e destinazione non si scambiano i ruoli. La trasmissione stessa viene anche indicata con il termine di half-duplex.
[5] Si parla in questo caso di codifica FEC, ovvero di Forward Error Correction.
[6] Pensiamo per similitudine ad un imballaggio, il cui contenuto è prima disposto in modo da occupare il minimo volume (codifica di sorgente), ed a cui viene poi aggiunto del materiale antiurto (codifica di canale).
[7] Nei collegamenti numerici, non occorre specializzare il metodo di trasmissione al mezzo a disposizione, anzi quest’ultimo è totalmente "mascherato" dal fornitore del collegamento numerico stesso.
[8] Vedremo infatti al § 4.2.1.1↓ che un aumento della risoluzione del processo di quantizzazione corrisponde ad un aumento del numero di bit necessari a rappresentare ogni valore (o campione) di segnale.
[9] Come vedremo al cap, 10↓, un segnale a valori complessi è il risultato di una particolare rappresentazione, detta inviluppo complesso, utile nell’analisi dei segnali modulati.
[10] I termini colorato e bianco hanno origine da una similitudine con l’energia luminosa, per cui se la luce bianca indica l’indiscriminata presenza di tutte le lunghezze d’onda, così uno spettro bianco indica la presenza in egual misura di tutte le frequenze; viceversa, come una luce colorata dipende dal prevalere di determinate frequenze nella radiazione elettromagnetica, così uno spettro colorato indica la prevalenza di alcune frequenze su altre.
[11] Quando un circuito elettrico ha la funzione di trasportare un segnale tra una coppia di morsetti ad un’altra, il circuito prende il nome di rete due porte o quadripolo.
[12] Per fissare le idee, consideriamo i simboli di una sequenza numerica s[k] ad L valori: questi possono essere presi a gruppi di M, producendo simboli a velocità M volte inferiore, ma con LM valori distinti. Se si dispone di un alfabeto di uscita ad H valori, i gruppi di M simboli L-ari originari possono essere rappresentati con gruppi di N simboli H-ari purché LM≤HN. Es.: per codificare in binario (H= 2) simboli con L= 26 livelli, occorrono almeno N= 5 bit/simbolo, ottenendo così 25= 32 >L= 26.
[13] L’importanza e la specificità di tali trasformazioni assume un rilievo sempre maggiore con l’evoluzione (in termini di miniaturizzazione e potenza di calcolo) dei dispositivi di elaborazione, in special modo per ciò che riguarda le trasmissioni numeriche.
[14] Un operatore si dice senza memoria quando ogni valore dell’uscita dipende da un unico valore di ingresso.
[15] Una funzione y(x) è lineare quando il suo sviluppo in serie di potenze si arresta al primo ordine, ed è quindi esprimibile in forma y=ax+b (equazione di una retta).
[16] Anticipando una notazione che verrà usata nel corso del testo, il pedice T indica l’estesione temporale a cui è riferita la grandezza che presenta il pedice, mentre la sopralineatura di una grandezza che dipende dal tempo, indica una media temporale della grandezza stessa.
[17] La rappresentazione in modulo e fase consente di calcolare il prodotto tra numeri complessi (es x=|x|ejφ e y=|y|ejθ) in modo semplice: y=x⋅y=|x||y|ej(φ+θ).
[18] L’espressione più generale eγ con γ=α+jφ è ancora un numero complesso, di modulo eα. Infatti eγ=eα+jφ=eαejφ=eα(cosφ+jsinφ).
[19]
L’affermazione nasce dalla relazione eαeβ=eα+β. Ad esempio quindi, il prodotto cosα⋅sinβ diviene
=(1)/(4j)(ejα+e−jα)(ejβ−e−jβ)=(1)/(4j)[ejαejβ−ejαe−jβ+e−jαejβ−e−jαe−jβ]
=(1)/(4j)[ej(α+β)−e−j(α+β)−ej(α−β)+e−j(α−β)]=(1)/(4j)[2jsin(α+β)− 2jsin(α−β)]
=(1)/(2)[sin(α+β)− sin(α−β)]
[20] Un modo alternativo di ottenere lo stesso risultato è quello di esprimere gli esponenziali complessi in termini trigonometrici, ottenendo x(t)= ℜ{|x|(cosφ+jsinφ)[cos(2πf0t)+jsin(2πf0t)]}, e sviluppare il calcolo facendo uso delle relazioni cosαcosβ=(1)/(2)[cos(α+β)+ cos(α−β)] e sinαsinβ=(1)/(2)[cos(α−β)− cos(α+β)], ma avremmo svolto più passaggi.
[21] Questa terminologia richiama alla mente nozioni di teoria musicale, in cui gli armonici di una nota sono appunto note di frequenza multipla della prima. In particolare la seconda armonica corrisponde ad un intervallo di ottava, e la 4a a due ottave. E la terza armonica? Prendendo ad esempio un La a 440 Hz, la terza armonica si trova a 440*3 = 1320 Hz. Sapendo che ogni semitono della scala temperata corrisponde ad un rapporto di frequenza pari a 2(1)/(12) rispetto al semitono precedente, proviamo a determinare il numero di semitoni Ns tra la terza amonica ed il La (fondamentale). Risulta allora 2(Ns)/(12)=(1320)/(440)= 3  →(Ns)/(12)= log23≃1.5849  →Ns= 19 semitoni, ovvero un intervallo di tredicesima, ovvero il Mi che viene dopo il La dell’ottava successiva, che si trova ad 880 Hz.
[22] La dimostrazione di questa proprietà si basa sull’osservazione che scomponendo l’esponenziale complesso che compare nella formula (6.2↑) come e−j2πnFt= cos2πnFt−jsin2πnFt, ed essendo x(t) reale, l’integrale che calcola gli Xn si suddivide in due termini, relativi al calcolo della parte reale e quella immaginaria, ovvero: Xn=(1)/(T)∫(T)/(2)−(T)/(2)x(t)cos2πnFtdt−(j)/(T)∫(T)/(2)−(T)/(2)x(t)sin2πnFtdt. Essendo il coseno una funzione pari, il primo integrale fornisce gli stessi risultati per n cambiato di segno; il secondo integrale invece cambia segno con n, essendo il seno una funzione dispari.
[23] Con riferimento alla scomposizione del calcolo di Xn alla nota precedente, notiamo che se x(t) è (reale) pari, alloraℑ{Xn}= 0, in quanto x(t)sin2πnFtdt è dispari, ed il suo integrale esteso ad un intervallo simmetrico rispetto all’origine è nullo. Se invecex(t)è (reale) dispari, si ottiene ℜ{Xn}= 0, per lo stesso motivo applicato al termine x(t)cos2πnFtdt.
[24] Il duty cycle si traduce come ciclo di impegno, ed è definito come il rapporto percentuale per il quale il segnale è diverso da zero, ossia duty cycle =(τ)/(T)*100 %.
[25] Sappiamo infatti che (∂ef(x))/(∂x)=(∂f(x))/(∂x)⋅ef(x), e quindi ∫ba(∂f(x))/(∂x)⋅ef(x)dx=ef(x)|ba
[26] Un risultato teorico, che qui citiamo solamente, mostra che l’errore quadratico di ricostruzione ε=(1)/(T)∫(T)/(2)−(T)/(2)(x(t)−^x(t))2dt che è presente utilizzando solo le prime N armoniche è il minimo rispetto a quello ottenibile utilizzando un qualunque altro gruppo di N armoniche che non siano le prime.
[27] In generale risulta, con la notazione di prodotto scalare (a, b) tra vettori-segnali a e b introdotta al § 27↓: (x+y, x+y)=(x, x)+(y, y)+(x, y)+(y, x).
[28] Il prodotto scalare è un operatore che associa ad una coppia di vettori uno scalare. Indicando con (x, y) il prodotto scalare tra x ed y, tale operatore deve soddisfare alle seguenti tre proprietà:

- (x, y)=(y, x) - proprietà commutativa;
- (ax+by, z)=a(x, z)+b(y, z) - proprietà distributiva;
- (x, x)≥ 0 (con il segno uguale solo se x= 0).

Qualora lo spazio normato sia anche completo, prende il nome di spazio di Hilbert (vedi `http://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_di_Hilbert`). Il senso “naif” di completo è che i punti ci sono tutti, mentre quello più matematicamente forbito è che tutte le successioni di Cauchy sono convergenti ad un elemento dello spazio.
[29] E’ facile verificare che il risultato ottenuto è direttamente applicabile allo spazio descritto dalla geometria euclidea, in cui gli ui sono unitari ed orientati come gli assi cartesiani, ottenendo in definitiva
(x, y)=x1y1+x2y2+x3y3
Osserviamo inoltre come l’espressione che permette il calcolo della lunghezza di un vettore
∥x∥=√( ⎲⎳i(xi)2)
non sia nient’altro che la riproposizione del teorema di Pitagora, che (su due dimensioni) asserisce l’uguaglianza dell’area del quadrato costruito sull’ipotenusa, con la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti. Infatti diventa .
[30] Infatti, il prodotto scalare si calcola come il prodotto dei moduli, moltiplicato per l’angolo compreso tra i due: (x, y)=|x|⋅|y|⋅cosθ. Se il secondo vettore ha lunghezza unitaria, si ottiene la proiezione del primo nella direzione del secondo.
[31]
X(nF) = ∞⌠⌡− ∞x(t)e−j2πnFtdt=(T)/(2)⌠⌡−(T)/(2)x(t)e−j2πnFtdt= = T(1)/(T)(T)/(2)⌠⌡−(T)/(2)x(t)e−j2πnFtdt=T⋅Xn
[32] Infatti X*(f)=[∫x(t)e−j2πftdt]*=∫x*(t)ej2πftdt=X(−f) dato che x(t) è reale.
[33] La dimostrazione della proprietà di traslazione nel tempo si basa su di un semplice cambio di variable: Z(f)=∫ x(t−T) e−j2πftdt=∫ x(θ) e−j2πf(T+θ)dθ=e−j2πfT∫ x(θ) e−j2πfθdθ=X(f)e−j2πfT
[34] La circostanza evidenziata fa si che, nel caso in cui X(f) presenti un andamento lineare della fase, si usa dire che è presente un ritardo di fase.
[35] Nel seguito illustreremo che una conseguenza del risultato discusso, è la sensibilità delle trasmissioni numeriche alle distorsioni di fase.
[36] Infatti ℱ{x*(t)}=∫∞− ∞x*(t)e−j2πftdt=∫∞− ∞[x(t)ej2πft]*dt.
[37] ∫ x(at) e−j2πftdt=(1)/(a)∫ x(at) e−j2π(f)/(a)atd(at)=(1)/(a)∫ X(β) e−j2π(f)/(a)βdβ=(1)/(a)X⎛⎝(f)/(a)⎞⎠
[38] Vedi ad es. http://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_(matematica) per approfondire
[39] X(f)= ℱ{∑∞n=  − ∞Xn ej2πnFt}=∑∞n=  − ∞Xn ℱ{1⋅ej2πnFt}=∑∞n=  − ∞Xn⋅δ(f−nF)
[40] Il significato di questa classificazione si trova al Capitolo 1, a pag. 1↑.
[41] Infatti, adottando il cambio di variabile t−τ=θ, si ottiene ∫∞− ∞x(τ) h(t−τ) dτ=∫∞− ∞x(t−θ) h(θ) dθ.
[42] Z(f) = ℱ{x(t)*y(t)}=∫∞− ∞[∫∞− ∞x(τ) y(t−τ) dτ] e−j2πftdt= = ∫∞− ∞x(τ) [∫∞− ∞y(t−τ) e−j2πftdt] dτ=∫∞− ∞x(τ) Y(f) e−j2πfτ dτ= = Y(f) ∫∞− ∞x(τ) e−j2πfτ dτ=Y(f)⋅X(f)
[43] Dalla figura si può anche arguire come, per T crescente, Z(f) tenda sempre più ad assomigliare ad una coppia di impulsi, ossia al risultato noto per un un coseno di durata infinita. Qualora si consideri invece solo un breve intervallo di un segnale, il suo spettro si modifica, a seguito della convoluzione con lo spettro della finestra di analisi.
L’operazione di estrazione di una porzione di segnale di durata limitata, a partire da un altro comunque esteso, è indicata come una operazione di finestratura (windowing). In appendice (3.9.3↓) sono svolte considerazioni relative alla scelta di una finestra rettangolare o con altro andamento.
[44] ℱ⎧⎩(dx(t))/(dt)⎫⎭=∫∞− ∞(dx(t))/(dt)e−j2πftdt=x(t)e−j2πft|∞− ∞+j2πf ∫∞− ∞x(t)e−j2πftdt=j2πf X(f) in quanto x(t) che compare nel primo termine dell’integrale per parti, essendo di energia, tende a zero per t→ ∞.
[45] In realtà si può dimostrare che anche nel caso in cui X(0)≠ 0, è comunque possibile giungere ad un risultato, qualora si ricorra all’impulso matematico, ottenendo ℱ{∫t− ∞x(θ)dθ}=(X(f))/(j2πf)+(δ(f))/(2)X(0).
[46] Per un approfondimento si veda ad es. `http://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_sommazione_di_Poisson`.
[47] La derivata di una discontinuità di prima specie è pari ad un impulso matematico, di area uguale all’altezza della discontinuità. Infatti l’integrale dell’impulso ∫t− ∞δ(θ)dθ è proprio un gradino. Questa considerazione consente di risolvere in modo semplice le trasformate di segnali in cui è presente una discontinuità.
[48] In effetti, un segnale costante è un segnale periodico, con periodo T qualsiasi.
[49] vedi anche § 9.3.1↓ a pag. 1↓
[50] Nel tempo sono state definite un elevato numero di finestre temporali, ognuna migliore sotto certi aspetti, e peggiore sotto altri. Consultando Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Window_function, possiamo elencare le finestre di Hamming, Hann, Cosine, Lanczos, Bartlett, Gauss, Blackman, Kaiser, Nuttall, Bessel, Dolph-Chebyshev, Exponential, Tukey....
[51] In realtà per f= 0 si ottiene che ℑ{Gα(f)}= 0, e lo stesso vale per G(f), ossia ℑ{G(f= 0)}= 0.
[52] Il termine campione rappresenta il valore di un segnale ad un determinato istante, e considerato come sinonimo di esemplare, o esempio, ovvero sample in inglese; da non confondere con champion, o primatista!
[53] Digits in inglese, da cui il termine digitale come sinonimo di numerico.
[54] In realtà questo teorema è stato derivato indipendentemente, in tempi diversi, anche da altri scienziati, come Whittaker, Kotelnikov e Shannon.
[55] Con interpolazione si intende la stima dei valori del segnale, per gli istanti compresi tra due campioni noti.
[56] In realtà la formula (6.15↓) non è l’unica possibile, come vedremo al § 4.1.2↓
[57] In realtà alias è di origine latina !!!
[58] In un segnale audio, ad esempio, ci si accorge che c’è aliasing quando è udibile una distorsione (rumore) congiuntamente ai passaggi con maggior contenuto di alte frequenze.
[59] Applicando il teorema di Parseval (§ 3.2↑) e la proprietà di traslazione temporale, la (6.17↓) può essere riscritta come
∞⌠⌡− ∞Tcrectfc(f)e−j2πfkTcTcrectfc(f)e+j2πfhTcdf=(Tc)2fc⁄2⌠⌡−fc⁄2e−j2πf(k−h)/(2W)df
in cui l’esponenziale complesso sotto integrale compie un numero intero di oscillazioni a media nulla per f ϵ [−1⁄2Tc,1⁄2Tc] se k≠h, e dunque in tal caso l’integrale è nullo; al contrario, l’esponenziale vale 1 se k=h, ed il suo integrale vale fc, determinando così il risultato mostrato.
[60] In effetti, il DAC necessita di un segnale di temporizzazione, sincronizzato con fc. Questo segnale può essere trasmesso separatamente, o essere ri-generato localmente a partire dalla stima della velocità alla quale sono ricevuti i valori x(nTc).
[61] Vedi ad es. `http://sms.unipv.it/misure/ME/Conversione_A-D_Slides.pdf`
[62] Come noto, per individuare uno tra L possibili oggetti occorrono M= log2⌈L⌉ bit, e scegliendo L come una potenza di due, si ottiene il risultato esatto. Ad esempio, scegliendo L= 64, si ottiene M= 6.
[63] Questa ed altre ipotesi adottate sono palesemente non vere, ma permettono di giungere ad un risultato abbastanza semplice, e che può essere molto utile nel dimensionamento di massima degli apparati.
[64] Una discussione relativa alla misura delle grandezze in decibel, è fornita al § 14.4↓. Qui ci limitiamo ad usare i dB come misura relativa di un rapporto, ossia
SNRq(dB)= 10log10(Px)/(Pϵ)= 10log10Px− 10log10Pϵ=Px(dBV2)−Pϵ(dBV2)
in cui le grandezze espresse in dBV2 rappresentano potenze di segnale di tensione, in unità logaritmiche.
[65] Vedi ad es. `http://en.wikipedia.org/wiki/Quantization_(signal_processing)`
[66] Il metodo è iterativo, ed inizia suddividendo l’intervallo Δx in modo uniforme. Per ogni iterazione:

- si deteminano i valori quantizzati xk (detti centroidi) come xk=E{x∈Ik}=∫Ikx⋅pX(x⁄k)dx=(∫IkxpX(x)dx)/(pk). In tal modo, i valori xk si spostano (internamente a Ik) verso la regione in cui pX(x) ha un valore più elevato, ovvero dove la v.a. si addensa;
- si ri-calcolano i confini di decisione θk come θk=(xk+xk+ 1)/(2), seguendo lo spostamento degli xk.

Le iterazioni si arrestano quando non si riscontrano cambiamenti apprezzabili.
[67] L’andamento esatto della curva segue uno di due standard, denominati legge μ (per USA e Giappone) e legge A (per gli altri), livemente diverse nella definizione, ma sostanzialmente equivalenti.
[68] Condizione sufficiente per la convergenza della serie (↓) è che risulti ∑∞n=  − ∞|xn|< ∞, in quanto |X•(f)|=|∑∞n=  − ∞xn e−j2πfnTc|≤∑∞n=  − ∞|xn|.
[69] Infatti se applichiamo la (6.20↑) per calcolare X•(f+fc) si ottiene ∑∞n=  − ∞xn e−j2π(f+fc)nTc=∑∞n=  − ∞xn e−j2πfnTce−j2πfcnTc=X•(f) dato che, essendo fc=(1)/(Tc), risulta e−j2πfcnTc=e−j2πn= 1 per quasiasi n.
[70] Proprio come ai coefficienti della serie di Fourier per segnali periodici, intervallati di F Hz, corrisponde un segnale periodico nel tempo, di periodo T=(1)/(F).
[71] I chip progettati appositamente per svolgere calcoli di elaborazione numerica del segnale sono detti dsp (Digital Signal Processor).
[72] La (6.22↓) può essere fatta discendere dalla (6.20↑) vincolando f ad assumere i soli valori discreti f=(m)/(N)(1)/(Tc), e limitando l’indice della sommatoria ad un insieme finito di campioni.
[73] Una prima fonte di approssimazione deriva dall’operazione di finestratura legata all’uso di un numero finito di campioni, operando quindi su xw(t)=x(t)w(tc) anziché su x(t). Per analizzare le altre fonti di approssimazione, iniziamo a scrivere l’espressione di Xw(f)= ℱ{xw(t)} per f=(m)/(N)fc:
Xw⎛⎝f=(m)/(N)fc⎞⎠ = (N− 1)Tc⌠⌡0x(t)e−j2π(m)/(N)fctdt ≃ N− 1⎲⎳n= 0xn⋅(N− 1)Tc⌠⌡0sinc(fc(t−nTc))e−j2π(n)/(N)fctdt
in cui la seconda eguaglianza utilizza l’interpolazione cardinale x(t)=∑∞n=  − ∞xn⋅sinc(fc(t−nTc)) fornita dalla (6.15↑), ed introduce una seconda fonte di approssimazione legata all’intervallo finito di variazione per m (infatti, benchè l’integrale abbia estensione limitata, i valori di x(t) che cadono entro tale estensione, dovrebbero dipendere da tutti i suoi campioni). L’ultimo integrale è a sua volta una approssimazione (a causa degli estremi di integrazione limitati, e peggiore per i sinc centrati in prossimità dei confini della finestra) della trasformata (calcolata in f=(m)/(N)fc) di sinc(fc(t−nTc)), pari quest’ultima a Tcrectfc(f)e−j2πfnTc, che quando valutata per f=(m)/(N)fc, fornisce il risultato
Xw⎛⎝f=(m)/(N)fc⎞⎠≃TcN− 1⎲⎳n= 0xne−j2π(m)/(N)n
per valori |m|≤(N)/(2), a causa della estensione limitata (in frequenza) di rectfc(f). E’ però facile verificare che Xw⎛⎝(n)/(N)fc⎞⎠ è periodica in m con periodo N, cosicché i valori assunti per m=(N)/(2)+ 1,(N)/(2)+ 2, … sono uguali a quelli per m=  −(N)/(2)+ 1,  −(N)/(2)+ 2, ….
[74] Come osservato al § 4.1.1↑, lo spettro X•(f) di un segnale campionato a frequenza fc è costituito dalle repliche del segnale originario, distanziate di multipli di fc: X•(f)=∑∞n=  − ∞X(f−nfc), e coincide con X(f) per −fc⁄ 2 <f<fc⁄ 2, se X(f) è limitata in banda tra ±W ed fc≥ 2W. Al contrario, se fc< 2W, allora le repliche X(f−nfc) si sovrappongono, e la (6.23↑) si riscrive come Xm≃fcX•⎛⎝f=(m)/(N)fc⎞⎠.
[75] Il metodo esposto di porre a zero i campioni fino al raggiungimento di una potenza di due, in modo da utilizzare per il calcolo una FFT, è detto zero padding. Il calcolo della DFT su di un numero di punti pari ai campioni di segnale disponibili, non avrebbe dato luogo all’effetto finestra, ma avrebbe fornito in tutti i casi andamenti simili a quello osservabile per 256 punti. Infine, notiamo che nelle figure sono mostrati solo i primi 128 valori, essendo i rimanenti speculari.
[76] Sostituendo infatti la (6.22↑) nella (6.25↓), otteniamo
xn=(1)/(N)N− 1⎲⎳m= 0(N− 1⎲⎳k= 0xke−j2π(m)/(N)k)ej2π(m)/(N)n=(1)/(N)N− 1⎲⎳k= 0xkN− 1⎲⎳m= 0ej2π(m)/(N)(k−n)
ma, dato che ∑N− 1m= 0ej2π(m)/(N)(k−n)=⎧⎨⎩ N se k=n 0 altrimenti , allora nella sommatoria esterna sopravvive solo il termine xn, dimostrando l’uguaglianza.
[77] La relazione (6.26↓) si dimostra combinando le relazioni (6.7↑) e (6.23↑): Xn≃fcX⎛⎝(n)/(N)fc⎞⎠=fcX⎛⎝(n)/(NTc)⎞⎠=fcX⎛⎝(n)/(T)⎞⎠=fcX(nF)=fcTXSFn=(1)/(Tc)TXSFn=NXSFn
[78] Il risultato si ottiene ricordando che ∑∞n= 0αn=(1)/(1 −α) qualora |α|< 1.
[79] Infatti, e−j2π(m+N)/(N)n=e−j2π(m)/(N)ne−j2πn, ed il secondo termine vale 1 per qualsiasi n. Indichiamo qui ed al prossimo §, una sequenza periodica mediante la tilde .̃.
[80] Infatti, sostituendo la (6.29↑) in (6.30↑), otteniamo
x̃n=(1)/(N)N− 1⎲⎳k= 0∞⎲⎳h=  − ∞xhe−j2π(k)/(N)hej2π(k)/(N)n
che, scambiando l’ordine delle sommatorie, riscriviamo come
x̃n=∞⎲⎳h=  − ∞xh⎛⎝(1)/(N)N− 1⎲⎳k= 0e−j2π(k)/(N)(h−n)⎞⎠
Dato che (1)/(N)∑N− 1k= 0e−j2π(k)/(N)(h−n)=⎧⎨⎩ 1 se h=n+rN 0 altrimenti , con r intero, si ottiene il risultato (6.31↓).
[81] Vedi ad es. `http://it.wikipedia.org/wiki/Trasformata_di_Fourier_veloce`
[82] Scriviamo la (6.22↑) come
Xm = N−1⁄2⎲⎳n’  =  −N+1⁄2xn’  −1⁄2e−j2π(n’)/(2N)m= = N−1⁄2⎲⎳n’  =  −N+1⁄2xn’  −1⁄2cos⎛⎝2π(n’)/(2N)m⎞⎠−jN−1⁄2⎲⎳m’  =  −N+1⁄2xn’  −1⁄2sin⎛⎝2π(n’)/(2N)m⎞⎠= = 2N−1⁄2⎲⎳n’  =1⁄2xn’  −1⁄2cos⎛⎝2π(n’)/(2N)m⎞⎠= 2N− 1⎲⎳n= 0xncos⎛⎝2π(n+1⁄2)/(2N)m⎞⎠= = 2N− 1⎲⎳n= 0xncos⎡⎣(π)/(N)⎛⎝n+(1)/(2)⎞⎠m⎤⎦
in cui xn’ è quella disegnata per seconda in fig. 4.20↑. La quarta eguaglianza tiene conto del fatto che il termine immaginario si annulla, in quanto sommatoria bilatera di una funzione dispari (ottenuta come prodotto di xn’  −1⁄2 pari e sin⎛⎝2π(n’)/(2N)m⎞⎠ dispari), e del fatto che essendo i termini coseno pari, la sommatoria può essere ristretta ai soli indici positivi, raddoppiati. La penultima eguaglianza rappresenta il semplice cambio di variabile n=n’ −1⁄2, mentre l’ultima è (a parte il fattore 2) la definizione della DCT data in (6.32↓).
[83] Il risultato può essere ottenuto esprimendo l’integrale x(t)*h(t) nei termini dei campioni di x(t) e h(t), e sfruttando la proprietà di ortogonalità (vedi § 4.1.3↑) di sinc(.).
[84] Infatti, ad xn ed hn corrispondono le DFT periodiche X̃m ed H̃m, che hanno per antitrasformata x̃n ed h̃n. Il prodotto X̃mH̃m, espresso in termini di x̃n ed h̃n, risulta pari a Ỹm=X̃mH̃m=∑N− 1p= 0∑N− 1q= 0x̃ph̃qe−j2π(m)/(N)(p+q), ed applicando a questo la (6.25↑) , otteniamo:
ỹn=(1)/(N)N− 1⎲⎳m= 0Ỹmej2π(m)/(N)n=(1)/(N)N− 1⎲⎳p= 0N− 1⎲⎳q= 0x̃ph̃q(N− 1⎲⎳m= 0ej2π(m)/(N)(n−p−q))
Dato che ∑N− 1m= 0ej2π(m)/(N)(n−p−q)=⎧⎨⎩ N se q=(n−p)+lN 0 altrimenti , con l intero, risulta allora ỹn=∑N− 1p= 0x̃ph̃n−p, come espersso dalla (6.34↑).
[85] Possiamo per ora pensare i simboli come se fossero le lettere dell’alfabeto di un messaggio scritto, ad ognuna delle quali si fa corrispondere un valore (o livello) di segnale.
[86] Ts è il periodo di simbolo, ed il suo inverso fs= 1 ⁄Ts è detto frequenza di simbolo (o baud-rate), detta anche frequenza di segnalazione, e si misura in simboli/secondo, detti appunto baud↓, in memoria di Émile Baudot, vedi `http://it.wikipedia.org/wiki/Codice_Baudot`.
[87] Se non fosse preso questo provvedimento, e si trasmettesse un segnale con una occupazione spettrale maggiore della banda passante del canale, nel segnale ricevuto verrebbero a mancare alcune componenti frequenziali, e di conseguenza la forma d’onda del segnale risulterebbe modificata, causando così il fenomeno di interferenza tra simboli (vedi § 5.1.2.2↓).
[88] Nel caso in cui ak assuma valori discreti in un alfabeto ad L livelli, codificati con M=⌈log2L⌉ cifre binarie (bit) (il simbolo ⌈.⌉ rappresenta l’intero superiore), la trasmissione convoglia una frequenza binaria di valore pari a fb⎡⎣(bit)/(secondo)⎤⎦=M⎡⎣(bit)/(simbolo)⎤⎦⋅fs⎡⎣(simboli)/(secondo)⎤⎦.
[89] Che questo sia il caso, può essere verificato per alcuni segnali che abbiamo studiato o studieremo:

1. Segnale campionato. In questo caso ak=s(kTc) sono i campioni di segnale, ed abbiamo visto che x○(t) ha spettro periodico in frequenza, con un inviluppo di ampiezza dato da sinc(fτ);
2. Segnale periodico. Ponendo ak= ±1 si genera un’onda quadra, il cui spettro è a righe con lo stesso inviluppo indicato al punto precedente;
3. Segnale dati. Se ak sono variabili aleatorie statisticamente indipendenti, al § 9.2.4↓ si dimostrerà che X(f) è di tipo continuo, con inviluppo ancora pari a sinc(fτ).

[90] Nella tabella che segue è riportata l’occupazione di banda necessaria a contenere 10 lobi del sinc(fτ)=(1)/(τ)ℱ{rectτ(t)}, per τ pari al periodo di simbolo Ts, in modo da dare un’idea delle specifiche necessarie al canale: osserviamo allora che il rettangolo può andare bene a basse velocità di trasmissione, infatti già per 10 Msimboli/sec, velocità di una LAN (Local Area Network, ossia una rete “locale” tra computer in uno stesso edificio), occorrono 100 MHz di banda.

fs | apparato | Ts | 1 ⁄Ts | 10 ⁄Ts
2.4⋅103 | Modem (anni ’80) | 4.2⋅10− 3 | 2.4⋅103 | 24KHz
28.8⋅103 | Modem (anni ’90) | 3.5⋅10− 5 | 28.8⋅103 | 288KHz
10⋅106 | LAN | 10− 7 | 107 | 100MHz

[91] y(t) = [∑kak⋅g(t−kTs)]*h(t)=[g(t)*∑kak⋅δ(t−kTs)]*h(t)= = g(t)*h(t)*∑kak⋅δ(t−kTs)=g’(t)*∑kak⋅δ(t−kTs)= = ∑kak⋅g’(t−kTs)
[92] Il nome deriva dalla forma del diagramma, che in corrispondenza del centro degli impulsi mostra una apertura simile per l’appunto ad un occhio, e la cui analogia apparirà più evidente in seguito all’adozione di un impulso g(t) a banda limitata (figura 5.13↓), ed in presenza di rumore (figura 5.23↓).
[93] Proseguiamo l’esposizione riferendoci direttamente al termine livelli, indicando con questo la scelta tra L possibili valori di ampiezza per il segnale trasmesso.
[94] In ricezione si opererà il processo inverso, ripristinando la codifica binaria originaria a cui il codificatore ha associato il valore L-ario ricevuto, e serializzando tale parola ad M bit, in modo da ri-ottenere la sequenza binaria di partenza.
[95] La non perfetta indipendenza statistica dei simboli prodotti dal generatore di numeri casuali di un computer si può riflettere su di una ridotta generalità del risultato mostrato, che tuttavia rispecchia molto bene i casi reali.
[96] La densità spettrale mostrata in figura è relativa all’uso di una g(t) di tipo RZ.
[97] Come mostrato al § 5.1.2.2↑, il segnale dati filtrato è basato su impulsi g’(t)=g(t)*h(t), con una durata pari alla somma delle durate di g(t) e h(t). Pertanto, l’impulso ang(t−nTs) si estende a valori di t>(n+ 1)Ts, e quindi x((n+ 1)Ts)=an+ 1g(0)+ang(Ts), introducendo un errore pari a ang(Ts), detto appunto interferenza tra simboli.
[98] Un sistema fisico che debba realizzare una risposta impulsiva g(t)=sinc⎛⎝(t)/(Ts)⎞⎠, non può presentare g(t)≠ 0 per t< 0: questo equivarrebbe infatti ad un sistema in grado di produrre una uscita prima ancora che sia applicato un segnale al suo ingresso. Se g(t) ha estensione temporale illimitata, occorre ricorrere ad una versione ritardata e limitata g’(t)=⎧⎨⎩ g(t−TR) con t≥ 0 0 altrimenti . Se TR≫Ts, l’entità dell’approssimazione è accettabile, ed equivale ad un semplice ritardo pari a TR; d’altro canto, quanto maggiore è la durata della risposta impulsiva, tanto più difficile (ossia costosa) risulta la realizzazione del filtro relativo.
[99] Al contrario, se g(t)=rectTs(t), il campionamento può avvenire ovunque nell’ambito del periodo di simbolo, ma si torna al caso di elevata occupazione di banda.
[100] Ad esempio, l’impulso rettangolare è di Nyquist, in quanto rectTs(t)=⎧⎨⎩ 1 se t<(Ts)/(2) 0 se t=kTs .
[101] Il termine roll-off può essere tradotto come “rotola fuori “.
[102] L’errore è causato dal rumore additivo che, sommandosi al segnale ricevuto (vedi Fig. 5.1↑), ne modifica il valore, fornendo al decisore valori diversi da quelli trasmessi.
[103] Vedi il cap. 16↓ per analizzare la sua origine.
[104] Al cap. 16↓ si illustra come in realtà PN(f) non è costante per qualsiasi valore di f fino ad infinito, ma occupa una banda indeterminata ma limitata: altrimenti, avrebbe una potenza infinita.
[105] Si veda il § 5.7↓ per la scelta di un diverso filtro di ricezione, individuato applicando le condizioni per la minimizzazione della probabilità di errore.
[106] Per i dettagli relativi al filtraggio di processi, ci si può riferire al § 161↓.
[107] Questa proprietà di equidistanza tra le soglie, deriva dalla simmetria pari della d.d.p. gaussiana rispetto al suo valor medio: in generale, le soglie sono poste in modo da rendere eguali le probabilità di errore di falso allarme e di perdita, vedi § 7.6.2↓.
[108] Chiaramente, tutti i valori minori di θ1 provocano la decisione a favore di a1, e quelli maggiori di θL− 1 indicano la probabile trasmissione di aL.
[109] Che non dipende cioè da quale simbolo sia stato trasmesso.
[110] Infatti, la potenza di rumore PN=N0BN, da cui SNR dipende, a sua volta è funzione dalla banda del filtro di ricezione, che come abbiamo visto è posta pari alla massima frequenza presente in r(t), e quindi (prendendo in considerazione un codice di linea g(t) a coseno rialzato, vedi § 5.2.2.3↑) pari a
BN=(fs)/(2)(1 +γ)=(fb)/(2log2L)(1 +γ)
dipendendo quindi anch’essa da L e γ, oltre che dalla fb. Pertanto, al variare di L e γ, varia anche SNR.
[111] si rifletta sulla circostanza che la potenza è una energia per unità di tempo.
[112] Anche se il risultato sarà dimostrato al § 9.10.4↓, merita comunque un commento: osserviamo che PR diminuisce all’aumentare di γ (si stringe infatti l’impulso nel tempo); inoltre PR diminuisce al crescere di L, in quanto nel caso di più di 2 livelli, la forma d’onda assume valori molto vari all’interno della dinamica di segnale, mentre con L= 2 ha valori molto più estremi.
[113]
Per chiarezza sviluppiamo i passaggi, piuttosto banali anche se non ovvi:
Pe = ⎛⎝1  −(1)/(L)⎞⎠Pα=⎛⎝1  −(1)/(L)⎞⎠erfc⎧⎩(Δ)/(2√(2)σN(L− 1))⎫⎭ = ⎛⎝1  −(1)/(L)⎞⎠erfc⎧⎩√(12(L− 1)/(L+ 1)(PR)/((1 −γ⁄4)))(1)/(2√(2PN)(L− 1))⎫⎭ = ⎛⎝1  −(1)/(L)⎞⎠erfc⎧⎩2√(3(L− 1)/(L+ 1)(1)/((1 −γ⁄4)))(1)/(2√(2))√((PR)/(PN))(1)/((L− 1))⎫⎭ = ⎛⎝1  −(1)/(L)⎞⎠erfc{√((3)/(2)(L− 1)/(L+ 1)(1)/((L− 1)2)(1)/((1 −γ⁄4))SNR)} = ⎛⎝1  −(1)/(L)⎞⎠erfc{√((3)/(2)(1)/(L2− 1)(1)/((1 −γ⁄4))(Eb)/(N0)(2log2L)/(1  +γ))} = ⎛⎝1  −(1)/(L)⎞⎠erfc{√((Eb)/(N0)(3log2L)/((L2− 1)(1  +γ)⎛⎝1  −(γ)/(4)⎞⎠))}
[114] Aumentando L, l’argomento di (6.49↑) diminuisce, in quanto (L2− 1) cresce più velocemente di log2L.
[115] Perché a parità di PR gli intervalli di decisione sono più ravvicinati, e le “code” della gaussiana sottendono un’area maggiore.
[116] Perché occorre aumentare la banda del filtro di ricezione e dunque far entrare più rumore. D’altra parte questo peggioramento è compensato dalla riduzione dell’ISI.
[117] Per contro, volendo mantenere immutata la qualità, e dunque la Pe, l’aumento dell’occupazione di banda prodotta dal controllo di errore (vedi § 5.4↓), consente di ridurre la potenza di segnale!
[118] La probabilità di un errore legato al salto di due o più livelli θ è così piccola da potersi trascurare.
[119] Di non grande entità: per γ= 1 il peggioramento risulta di 1.761 dB.
[120] O perchè lo è effettivamente, oppure perchè la trasmissione coinvolge informazioni generate in tempo reale, non memorizzate in trasmissione, e consumate immediatamente in ricezione (ad es. un segnale numerico ottenuto mediante campionamento e quantizzazione), per le quali non ha senso richiedere la trasmissione.
[121] L’aggettivo automatic si riferisce al fatto che spesso la gestione della ritrasmissione avviene a carico di uno strato protocollare di livello inferiore a quello che effettivamente consuma il messaggio, che in definitiva neanche si avvede della presenza del meccanismo di ritrasmissione.
[122] La probabilità che solo il primo bit su n sia sbagliato è pari a p1=p⋅(1 −p)n− 1≃p se p≪1 ed n non è troppo grande; lo stesso risultato si ottiene anche per gli altri n− 1 casi possibili di un bit sbagliato e gli altri corretti, cosicché la probabilità di un solo generico bit sbagliato assomma quelle di tutti i casi.
[123] Ad esempio, la probabilità di due bit errati può essere approssimata come (1)/(2)n(n− 1)p2. Infatti, la distribuzione Binomiale fornisce P(2,n)=⎛⎜⎝n 2⎞⎟⎠p2(1 −p)n− 2, in cui ⎛⎜⎝n 2⎞⎟⎠=(n!)/(2!(n− 2)!)=(n(n− 1))/(2) e, se p≪1 ed n non è troppo elevato, (1 −p)n− 2≃1. All’aumentare di p e di n, l’approssimazione non è più valida, e la probabilità di più di un bit errato può risultare maggiore di quella di un solo bit errato.
[124] Ad esempio, alla sequenza 001001 verrà aggiunto uno 0, mentre a 010101 si aggiungerà ancora un 1, perché altrimenti gli uni complessivi sarebbero stati 3, che è dispari.
[125] Il ricevitore deve comunque essere al corrente del fatto se la parità sia odd o even !
[126] Considerando parole di 3 bit, le codeword (di 4 bit, in cui l’ultimo è una parità pari) risultano: (0000, 0011, 0101, 0110, 1001, 1010, 1100, 1111). E’ facile constatare che ognuna di esse differisce da tutte le altre per due bit.
[127] La somma modulo due è equivalente alla operazione di or esclusivo, viene a volte indicata con il simbolo ⊕, e corrisponde alle definizioni: 0⊕0 = 0, 0⊕1 = 1, 1⊕0 = 1, 1⊕1 = 0.
[128] La somma modulo uno è l’equivalente binario dell’operazione di somma (decimale) tradizionale, comprese quindi le operazioni di riporto verso le cifre più elevate. Il riporto finale viene poi nuovamente sommato al risultato della somma.
[129] L’insieme di tutti i polinomi di grado minore od uguale ad n costituisce un particolare spazio algebrico, per il quale è possibile dimostrare una serie di proprietà, la cui verifica trascende dallo scopo di questo testo, e che consentono di stabilire le capacità del codice di rivelare gli errori.
[130] Per fissare le idee, consideriamo k= 8 bit a da proteggere, pari a P= 11100110, m= 4 bit di crc, ed un generatore G= 11001. La sequenza P⋅2m risulta pari a 11100110 0000, e la divisione modulo 2 tra P e G fornisce un quozionte Q= 10110110 (che viene ignorato) ed un resto R pari a 0110. Pertanto, viene trasmessa la sequenza T=P⋅2m⊕R= 11100110 0110 con k+m= 12 bit. La divisione modulo 2 si realizza come mostrato nella figura a lato, calcolando un or-esclusivo ⊕ bit-a-bit tra i bit più significativi del divisore P, o del resto parziale, e quelli del dividendo G. Per ognuna di queste operazioni, si abbassano una o più cifre binarie del divisore, in modo che il resto parziale abbia la stessa lunghezza del divisore; in tal caso, si ottiene un bit di risultato di quoziente pari ad uno, mentre se il resto parziale è troppo corto, per ogni bit abbassato in più si ottiene un bit di resto parziale pari a zero. Quando tutti i bit del divisore sono stati usati, l’ultima operazione ⊕ fornisce il resto R cercato.
[131] Ecco quattro scelte utilizzate nei sistemi di trasmissione:

crc-12 | G(x)=x12+x11+x3+x2+x+ 1
crc-16 | G(x)=x16+x15+x2+ 1
crc-ccitt | G(x)=x16+x12+x5+ 1
crc-32 | G(x)=x32+x26+x23+x22+x16+x12+x11+x10+x8+x7+x5+x4+x2+x+ 1

Come discusso, un polinomio di ordine k genera un crc di k bit; pertanto il crc-12, che è usato per caratteri a 6 bit, genera 12 bit di crc, mentre crc-16 e crc-ccitt, utilizzati in America ed in Europa rispettivamente per caratteri ad 8 bit, producono 16 bit di crc. In alcuni standard di trasmissione sincrona punto-punto, è previsto l’uso di crc-32.
[132] Vedi ad es. `http://en.wikipedia.org/wiki/Computation_of_cyclic_redundancy_checks`
[133] Valutabile eseguendo il loro or esclusivo ci⊕cj e contando il numero di uni del risultato.
[134] Ad esempio, se d= 3, la presenza di un solo bit errato fa sì che la sequenza ricevuta abbia un solo bit di differenza rispetto alla codeword trasmessa, ed al minimo due bit di differenza rispetto a tutte le altre codeword, permettendo al ricevitore di correggere l’errore. Se invece sono presenti due errori, la procedura di correzione porterebbe a scegliere una codeword errata. Occorre quindi decidere a priori se utilizzare il codice a fini di correzione oppure di detezione, e nel secondo caso, lo stesso codice con d= 3 può rivelare fino a due errori per parola.
[135] Senza pretesa di esaustività, possiamo annoverare l’esistenza dei codici di Hamming, di Hadamard, BCH, Reed-Solomon, Reed-Muller, di Golay, di Gallager, turbo, a cancellazione, a fontana, punturati...
[136] Il concetto di parità può essere il ulteriormente esteso, se ognuno dei k bit aggiunti è calcolato applicando la regola della parità ad un sottoinsieme degli m bit di ingresso, con sottoinsiemi eventualmente sovrapposti. Un codice del genere prende il nome di codice di Hamming, descritto al § 17.3.1.1↓.
[137] Poniamo di dover trasmettere 0110. La sequenza diventa 000 111 111 000 e quindi, a causa di errori, ricevo 000 101 110 100. Votando a maggioranza, ricostruisco la sequenza corretta 0 1 1 0.
[138] Letteralmente: arrampicamento, ma anche “arruffamento”, vedi scrambled eggs, le uova strapazzate dell’english breakfast.
[139] Leave = foglia, sfogliare, rastrellare, ed il termine potrebbe essere tradotto come intercalamento.
[140] Queste tecniche hanno origine a scopo di controllo degli errori nei collegamenti punto-punto per i quali si osserva una probabilità di errore non trascurabile. Successivamente, sono stati utilizzati nelle reti a pacchetto, in cui è possibile la perdita totale dei pacchetti in transito. Per questo le implementazioni attuali dei arq, specie se applicati da un estremo all’altro di una rete, privilegiano l’uso di timeout piuttosto che quello di riscontri negativi.
[141] Sottolineiamo nuovamente l’importanza dei numeri di sequenza, che permettono al ricevitore di capire il numero della trama corrotta, grazie alla discontinuità dei numeri stessi.
[142] Nel caso in cui l’integrità della trama sia protetta da un codice a blocchi (n,k) con dH=l+ 1, la probabilità che la trama contenga più di l errori e che quindi venga accettata dal ricevitore anche se errata, vale approssimativamente P(l+ 1,n)=⎛⎜⎝n l+ 1⎞⎟⎠pi (vedi formula (6.52↑)). Dato che il ricevitore accetta le trame che non hanno errori, oppure che hanno più di l errori, la probabilità che venga richiesta una ritrasmissione risulta p= 1 −P(0,n)−P(l+ 1,n). Considerando ora che un buon codice deve fornire P(l+ 1,n)≪P(0,n), si ottiene p≃1 −P(0,n)= 1 −(1  −Pe)n≃nPe, in cui Pe è la probabilità di errore sul bit (dato che (1  −Pe)n≃1  −nPe se nPe≪1).
[143] Dato che p aumenta con n (vedi pag. 1↑), l’efficienza del protocollo arq peggiora con l’aumentare della dimensione delle trame. Questo risultato determina l’esigenza di ricercare una soluzione di compromesso, dato che l’incidenza dell’overhead sulla dimensione complessiva della trama invece si riduce all’aumentare di n.
[144] L’espressione “bit in aria” trae spunto dalla metafora di una coppia di giocolieri, posti ai due estremi di una piazza, che si lanciano una serie di clave. Il primo ne lancia in continuazione, e quando iniziano ad arrivare al secondo, questi le rilancia verso il primo. Nel momento in cui la clava partita per prima torna nelle mani del primo giocoliere, un certo numero di clave sono sospese a mezz’aria, e corrispondono approssimativamente al numero di bit trasmessi in un tempo di pari durata, con una frequenza pari al ritmo di lancio delle clave, e non ancora riscontrati.
[145] La ricezione di una sequenza di trame corrette, determina l’avanzamento alternato dei due bordi della finestra al ricevitore, che è inizialmente vuota, quindi contiene solo la trama ricevuta (avanza bordo superiore), e quindi è di nuovo svuotata, non appena viene trasmesso l’ack (ed avanza il bordo inferiore). In presenza di errori, il bordo inferiore non avanza, ma resta fermo sulla trama ricevuta con errori, e di cui si attende la ritrasmissione. Mentre il trasmettitore continua ad inviare trame, il ricevitore le memorizza e fa avanzare il bordo superiore, finché non siano state ricevute tutte quelle trasmissibili senza riscontro, e pari alla dimensione massima della finestra in trasmissione.
[146] Se il trasmettitore invia tutte le W trame, ma tutti gli ack sono corrotti, allora la (W+ 1) -esima trama trasmessa è un duplicato della prima, ritrasmessa per time-out, ed il ricevitore può accorgersene solo se la trama reca un numero differente da quello della prima.
Per il caso selective repeat, vale un ragionamento simile, ma che per le differenze nella definizione del protocollo, porta ad un risultato diverso.
[147] Dato che in realtà il verso della comunicazione si può invertire, l’entità che ha un ruolo master è indicato come primary, e le entità asservite sono dette secondary.
[148] In alternativa al recupero del sincronismo da parte del ricevitore, l’informazione di temporizzazione può essere trasmessa su di una diversa linea, come avviene nel caso di dispositivi ospitati su di uno stesso circuito stampato.
[149] Una sintassi definisce un linguaggio, prescrivendo le regole con cui possono essere costruite sequenze di simboli noti (l’alfabeto), e l’analisi delle sequenze eseguita nei termini degli elementi definiti dalla sintassi, ne permette una interpretazione semantica. Il parallelismo linguistico porta spontaneamente ad indicare i simboli trasmessi come alfabeto, gruppi di simboli come parole, e gruppi di parole come frasi, od in alternativa, trame (frame, ovvero telaio).
[150] In appendice 5.9↓ è riportata la codifica in termini di sequenze binarie dei caratteri stampabili, definita dallo standard ascii; al § 6.3.1↓ si mostra la struttura della trama pcm, che trasporta i campioni di più sorgenti analogiche campionate.
[151] Un dumb terminal non ha capacità di calcolo, e provvede solo alla visualizzazione di informazioni testuali. Fino agli anni ’70, è stato l’unico meccanismo di interazione (comunque migliore delle schede perforate !!!) con un computer.
[152] In tal caso la linea “.. is marking time” (sta marcando il tempo).
[153] Ovviamente, occorre stabilire un accordo a priori a riguardo la velocità, sia pure approssimata, della trasmissione.
[154] Una parola di M bit descrive uno spazio di 2M diversi elementi. Se le parole trasmissibili non sono tutte le 2M possibili, alcune di queste (che non compariranno mai all’interno del messaggio) possono essere usate per la sua delimitazione.
[155] Cioè, i dati trasmessi, che ora riempiono tutto lo spazio delle configurazioni possibili, contengono al loro interno la configurazione che è propria del carattere etx.
[156] In termini generali, questo circuito è assimilabile ad un circuito di controllo, in quanto il suo principio di funzionamento si basa sul tentativo di azzerare una grandezza di errore. Infatti, la sincronizzazione dell’orologio del decisore di ricezione con il periodo di simbolo del segnale ricevuto, avviene effettuando un confronto tra la velocità dell’orologio locale ed un ritmo presente nel segnale in arrivo: questo segnale di errore alimenta quindi un circuito di controreazione, che mantiene il clock locale al passo con quello dei dati in arrivo. Un caso particolare di questo stesso principio è analizzato ai § 11.2.1.2↓ e 11.3.1.1↓ a proposito del pll.
[157] Infatti, il segnale n(t) uscente da HR(f)=rect2B(f) ha autocorrelazione ℛN(τ)= ℱ− 1{|H(f)|2}= 2Bsinc(2Bτ) (vedi § 9.2.3↓), che passa da zero per τ=(1)/(2B). Se si utilizza una G(f) a coseno rialzato con γ> 0, occorre estendere la banda di ricezione a B=(fs)/(2)(1 +γ), a cui corrispondono campioni di rumore incorrelati se prelevati a distanza multipla di τ=(1)/(2B)=(1)/(fs(1 +γ)). Invece, il rumore è campionato con frequenza pari a quella di simbolo fs, e dunque con campioni a distanza τ=Ts=(1)/(fs). Pertanto, i campioni di rumore sono correlati, con autocorrelazione pari a ℛN(Ts)= 2Bsinc(1  +γ).
[158] Infatti, la dipendenza statistica tra i campioni di rumore, permetterebbe di realizzare un dispositivo predittore lineare che, in base alla conoscenza dei precedenti valori di rumore, calcoli una stima del valore corrente la quale, sottratta al valore effettivamente ricevuto, consente di ridurre la varianza della grandezza di osservazione, permettendo una riduzione della probabilità di errore.
Pur non entrando nei dettagli dei metodi di predizione lineare, notiamo che la correlazione tra grandezze aleatorie ne determina la dipendenza, e che la conoscenza di valori passati consente di ridurre l’incertezza relativa ai nuovi valori. Il valore dei campioni di rumore precedenti, si calcola a partire da quello del simbolo deciso senza commettere errore, sottratto al valore del segnale ricevuto in quell’istante.
[159] Infatti, se G(f) è tutta al trasmettitore, il segnale generato (e ricevuto) ha espressione (6.42↑) (vedi anche la (6.35↑)); indicando ora g√()(t)= ℱ− 1{√(G(f))}, ed eseguendo un calcolo del tutto analogo a quello svolto in § 5.1.2.2↑, si ottiene che il segnale ricevuto nel caso di scomposizione di G(f) ha espressione
r(t)=hT(t)*hR(t)* ⎲⎳kak⋅δ(t−kTs)= ⎲⎳ka[k]⋅g(t−kTs)
in quanto hT(t)*hR(t)=g√()(t)*g√()(t)=g(t) per la proprietà di prodotto in frequenza.
[160] Il risultato si può ottenere visivamente, a partire dalla G(f) a coseno rialzato mostrata in fig. 5.12↑ a pag. 1↑, considerando la risposta di ampiezza nominale pari ad 1, e in base alle sue proprietà di simmetria attorno ad fs: non è nient’altro che l’area di un rettangolo.
[161] Per una analisi degli effetti della limitazione temporale dell’impulso g√()(t), vedere l’analisi svolta presso `https://engineering.purdue.edu/~ee538/SquareRootRaisedCosine.pdf`.
[162] http://en.wikipedia.org/wiki/Fiber_to_the_x
[163] http://it.wikipedia.org/wiki/Global_System_for_Mobile_Communications
[164] La prima generazione si riferisce al sistema analogico tacs http://it.wikipedia.org/wiki/TACS
[165] http://en.wikipedia.org/wiki/Time_division_multiple_access
[166] http://it.wikipedia.org/wiki/SMS
[167] http://it.wikipedia.org/wiki/General_Packet_Radio_Service
[168] http://it.wikipedia.org/wiki/Universal_Mobile_Telecommunications_System
[169] http://it.wikipedia.org/wiki/Wi-Fi
[170] http://it.wikipedia.org/wiki/WiMAX
[171] La tecnica di multiplare un blocco di bit (in questo caso 8) alla volta prende il nome di word interleaving, distinto dal bit interleaving, in cui l’alternanza è a livello di bit.
[172] Il segnale PCM ispira il suo nome dal PAM (vedi § 6.9.5↓) in quanto ora, anzichè trasmettere le ampiezze degli impulsi, si inviano i codici binari dei livelli di quantizzazione.
[173] frame significa più propriamente telaio, e in questo caso ha il senso di individuare una struttura, da “riempire” con il messaggio informativo.
[174] In figura è mostrato un esempio, in cui i campioni sij di N sorgenti Si si alternano a formare una trama. Durante l’intervallo temporale tra due campioni, devono essere collocati nella trama tutti gli M bit/campione delle N sorgenti, e quindi la frequenza binaria (in bit/secondo) complessiva sarà pari a fb=fc (campioni/secondo/sorgente) ⋅N (sorgenti) ⋅M (bit/campione).
[175] Vedi anche la sezione 6.3.2↓.
[176] Gli 8 bit del 16o intervallo sono infatti insufficienti a codificare lo stato dei 30 tributari che contribuiscono al segnale tdm.
[177] Un oscillatore con precisione di una parte su milione, produce un ciclo in più o in meno ogni 106; ad una velocità di 2 Mbps, ciò equivale a un paio di bit in più od in meno ogni secondo.
[178] Comité Consultif International pour la Telephonie et Telegraphie. Questo organismo non esiste più. ed ora l’ente di standardizzazione ha nome itu-t.
[179] Da: to stuff = riempire.
[180] Letteralmente: magazzino elastico.
[181] Il contatore write, come anche read, conta in binario, e si incrementa con frequenza fW (fR). Le parole binarie rappresentate da read e Write forniscono l’indirizzo (all’interno del banco di memoria) in cui leggere i dati in uscita e scrivere quelli in ingresso rispettivamente.
[182] Infatti il sincronismo di trama viene preservato; inoltre l’evento di sovrapposizione dei puntatori può essere rilevato, e segnalato ai dispositivi di demultiplazione, in modo che tengano conto dell’errore che si è verificato.
[183] http://it.wikipedia.org/wiki/Synchronous_Digital_Hierarchy
[184] Con il termine payload si indica il carico pagante, ossia i dati che vengono trasportati
[185] Notiamo che la differenza tra i 2349 ottetti di payload ed i 2016 canali voce fornisce 2349 - 2016 = 333 ottetti, che suddivisi per le nove righe, danno luogo a 37 ottetti per riga in più.
[186] come ad esempio un centralino (PBX, private branch exchange) con 8 derivati (interni) e 2 linee esterne: se due interni parlano con l’esterno, un terzo interno che vuole anche lui uscire trova occupato. Si dice allora che si è verificata una condizione di blocco.
[187] E’ una condizione sufficiente a scongiurare il blocco anche nella condizione peggiore. Tale circostanza si verifica quando:
▷ una matrice del primo stadio (i) ha n− 1 terminazioni occupate
▷ una matrice del terzo stadio (j) ha m− 1 terminazioni occupate e
▷ tali terminazioni non sono connesse tra loro, anzi le connessioni associate impegnano ognuna una diversa matrice intermedia e
▷ si richiede la connessione tra le ultime due terminazioni libere di i e j
⇒ in totale si impegnano allora m− 1 +n− 1 + 1 =m+n− 1 matrici intermedie.
[188] Le comunicazioni presenti in uno stesso flusso, ovvero appartenenti alla stessa trama, condividono la stessa origine/destinazione.
[189] La tecnica prende il nome di Double Buffering.
[190] Ovviamente, m−n intervalli sono lasciati vuoti, in ordine sparso tra gli m.
[191] Si confronti questo risultato con la condizione di Clos, fornita al § 6.8.2↑.
[192] In inglese si dice andare off-hook, con riferimento storico al gancio su cui riporre la cornetta, presente nei primi modelli di telefono.
[193] http://en.wikipedia.org/wiki/Hybrid_coil
[194] corrispondente al la centrale del pianoforte. Ho provato a verificare, e... a me arriva un la bemolle!
[195] http://it.wikipedia.org/wiki/ISDN
[196] http://www.itu.int/rec/T-REC-I/e
[197] http://hea-www.harvard.edu/~fine/ISDN/n-isdn.html
[198] http://www.ralphb.net/ISDN/ifaces.html
[199] http://it.wikipedia.org/wiki/2B1Q
[200] http://telemat.die.unifi.it/book/corso_telematica/lez_100/grp_4.html
[201] http://www.rhyshaden.com/isdn.htm
[202] http://www.javvin.com/protocolQ931.html
[203] http://it.wikipedia.org/wiki/H.320
[204] http://en.wikipedia.org/wiki/Signaling_System_7
[205] http://en.wikipedia.org/wiki/Intelligent_network
[206] http://www.itu.int/rec/T-REC-Q.700/en
[207] http://en.wikipedia.org/wiki/Service_switching_point
[208] http://en.wikipedia.org/wiki/Signal_transfer_point
[209] http://en.wikipedia.org/wiki/Service_Control_Point
[210] http://en.wikipedia.org/wiki/Service_Data_Point
[211] http://en.wikipedia.org/wiki/INAP
[212] http://en.wikipedia.org/wiki/Message_Transfer_Part
[213] http://en.wikipedia.org/wiki/Signaling_Connection_and_Control_Part
[214] http://en.wikipedia.org/wiki/Transaction_Capabilities_Application_Part
[215] http://en.wikipedia.org/wiki/Telephone_User_Part_(TUP)
[216] http://en.wikipedia.org/wiki/ISDN_User_Part
[217] http://en.wikipedia.org/wiki/SIGTRAN
[218] http://en.wikipedia.org/wiki/Asymmetric_Digital_Subscriber_Line
[219] All’aumentare della lunghezza del collegamento, oltre a ridursi la potenza ricevuta e quindi peggiorare l’snr, aumenta l’entità della diafonia tra utenti differenti, determinando un ulteriore peggioramento di snr, che la tecnica di modulazione affronta riducendo la velocità trasmissiva.
[220] Ciò permette di non ascoltare nel telefono il fruscìo della trasmissione adsl, e di ridurre il rischio che le comunicazioni vocali determino la caduta della connessione adsl.
[221] Non lasciarsi fuorviare dal ruolo di trasporto della rete, che in effetti assolve unicamente un ruolo di livello due (o di collegamento), in quanto il punto di uscita non è qualsiasi, ma l’isp fornitore dell’utente.
[222] http://en.wikipedia.org/wiki/Broadband_Remote_Access_Server
[223] http://en.wikipedia.org/wiki/Point-to-Point_Protocol
[224] Come ad es, nel caso dell’Unbundling: http://it.wikipedia.org/wiki/Unbundling_local_loop
[225] La pensata non ebbe molte applicazioni, se non in ambito della commutazione interna ad esempio ad un centralino, a causa della sensibiltà del metodo agli errori di temporizzazione, ed alle caratteristiche del mezzo trasmissivo su cui inviare il segnale pam.
[226] Utile per scrivere la probabilità di un evento come “1 meno” quella dell’evento complementare.
[227] Lanciando un dado, la probabilità Pr(pari ∪ > 2) di ottenere un numero pari, oppure piú grande di due, è la somma delle probabilità dei singoli eventi Pr(pari)=(3)/(6) e Pr(> 2)=(4)/(6), meno quella che si verifichino assieme Pr(pari ∩ > 2)=(2)/(6). Pertanto: Pr(pari ∪ > 2)=(3)/(6)+(4)/(6)−(2)/(6)=(5)/(6).
[228] La relazione può essere verificata ricorrendo al diagramma in figura, ed interpretando Pr(A⁄B) come il rapporto tra la misura di probabilità dell’evento congiunto, rispetto a quella dell’evento condizionante.
[229]
Il risultato è pari alla probabilità Pr(A,B)=Pr(pari,   > 2) che i due eventi si verifichino contemporaneamente, divisa per la probabilità PR(B)=PR(> 2) che il numero sia >2
Si rifletta sulla circostanza che la probabilità del pari PR(A)=(1)/(2), quella PR(B)=(4)/(6), o quella congiunta di entrambi PR(A,B)=(2)/(6), sono tutte riferite ad un qualunque lancio di dado, mentre Pr(pari ⁄  > 2) è relativa ad un numero ridotto di lanci, ossia solo quelli che determinano un risultato > 2. Pertanto, essendo Pr(B)≤ 1, si ottiene Pr(A⁄B)≥Pr(A,B); infatti per l’esempio del dado si ottiene Pr(pari ⁄  > 2)=Pr(pari,  > 2)⁄Pr(> 2)=(2)/(6)⁄(4)/(6)=(1)/(2), che è maggiore di Pr(pari,   > 2)=(1)/(3) (i valori di probabilità sono ottenuti come rapporto tra il numero di casi favorevoli e quello dei casi possibili).
Si ottiene invece Pr(A⁄B)=Pr(A,B) solo se Pr(B)= 1, ossia se B corrisponde all’unione di tutti gli eventi possibili.
[230] La probabilità marginale di fuori servizio si calcola applicando il teorema delle probabilità totali:
Pr(FS) = Pr(FS⁄piove)⋅Pr(piove)+Pr(FS⁄non piove)⋅Pr(non piove)= = .5⋅.03 + .05⋅.97 = .0635 = 6.35%
in quanto Pr(non piove)= 1 −Pr(piove)= .97. Applicando il teorema di Bayes si trova quindi:
Pr(piove⁄FS)=(Pr(FS⁄piove)⋅Pr(piove))/(Pr(FS))=(.5⋅.03)/(.0635)= .236 = 23.6%
Si noti come la probabilità a priori che piova (3 %) venga rimpiazzata dal suo valore a posteriori (23,6 %) grazie alla nuova informazione di cui disponiamo (collegamento fuori servizio). Per una definizione precisa delle probabilità a priori ed a posteriori si veda l’appendice 17.2.1↓.
[231] E’ pari al prodotto delle probabilità marginali, essendo i lanci statisticamente indipendenti, visto che il dado è “senza memoria”. Pertanto il risultato è ⎛⎝(1)/(6)⎞⎠3=(1)/(216)≃4.6296⋅10− 3.
[232] Anche qui l’urna è senza memoria; però dopo la prima estrazione le biglie restano in 4! Pertanto ora il prodotto delle probabilità marginali risulta (2)/(5)⋅(1)/(4)=(1)/(10).
[233] Pr(K,Q)=Pr(K prima,Q seconda)+Pr(Q prima,K seconda)= Pr(K prima)⋅Pr(Q seconda⁄K prima)+ Pr(Q prima)⋅ Pr(K seconda⁄Q prima)= 2⎛⎝(4)/(52)(4)/(51)⎞⎠=(8)/(663) ≅1.2⋅10− 2 .
[234] Un esempio classico di v.a. discreta è quello del lancio di un dado, un altro sono i numeri del lotto. Una v.a. continua può essere ad esempio un valore di pressione atmosferica in un luogo, oppure l’attenuazione di una trasmissione radio dovuta a fenomeni atmosferici.
[235] In realtà, l’ordine storico è quello di definire prima FX(x) come la probabilità che X sia non superiore ad un valore x, ovvero FX(x)=Pr{X≤x}, e quindi pX(x)=(dFX(x))/(dx). Il motivo di tale “priorità” risiede nel fatto che FX(x) presenta minori “difficoltà analitiche” di definizione (ad esempio presenta solo discontinuità di prima specie, anche con v.a. discrete).
[236] Si ricorda che la derivata di un gradino è un impulso di area pari al dislivello. Infatti, sapevamo già che l’integrale di un impulso è una costante - ammesso che l’impulso cada dentro gli estremi di integrazione!
[237] Infatti la probabilità che X cada tra x0 e x0+ Δx vale ∫x0+ Δxx0pX(x)dx≃pX(x0)Δx.
[238] Un esempio di funzione di v.a. potrebbe essere il valore della vincita associata ai 13 in schedina, che dipende dalla v.a. rappresentata dai risultati delle partite, una volta noto il montepremi e le giocate. Infatti, per ogni possibile vettore di risultati, si determina un diverso numero di giocate vincenti, e quindi un diverso modo di suddividere il montepremi. Essendo i risultati improbabili giocati da un ridotto numero di schedine, a queste compete un valore maggiore in caso di vincita, ben superiore al suo valore atteso, indicativo invece della vincita media.
[239] Per insieme ci si riferisce a quello dei possibili valori assunti dalla v.a. X.
[240] Notiamo che se al posto delle probabilità pX(x)dx utilizziamo i valori di un istogramma Pr(xi)=(N(xi<x≤xi+ Δx))/(N)=(Ni)/(N), l’integrale si trasforma in una sommatoria, il cui sviluppo evidenzia l’equivalenza con una media pesata: ∑xiPr(xi)=(x1N1+x2N2+ ... +xnNn)/(N).
[241] In effetti, la E simboleggia la parola Expectation, che è il termine inglese usato per indicare il valore atteso.
[242] Supponiamo che X rappresenti l’altezza degli individui; l’altezza media sarà allora calcolabile proprio come momento del primo ordine.
[243] Infatti risulta
σ2X = E{(x−mX)2}=E{x2+(mX)2− 2xmX}=E{x2}+(mX)2− 2mXE{x}= = m(2)X+(mX)2− 2(mX)2=m(2)X−(mX)2
Si è preferito usare la notazione E{x}, più compatta rispetto all’indicazione degli integrali coinvolti; i passaggi svolti si giustificano ricordando la proprietà distributiva degli integrali (appunto), ed osservando che il valore atteso di una costante è la costante stessa.
[244] Anzichè calcolare σ2X per la pX(x) data, calcoliamo m(2)X per una v.a. uniforme con mX= 0: in tal caso infatti m(2)X=σ2X. Si ha: σ2X=∫(Δ)/(2)−(Δ)/(2)x2(1)/(Δ)dx=(x3)/(3Δ)||(Δ)/(2)−(Δ)/(2)=(1)/(3Δ)⎛⎝(Δ3)/(8)+(Δ3)/(8)⎞⎠=(1)/(3Δ)2(Δ3)/(8)=(Δ2)/(12).
[245] Disponendo di un insieme {xn} di N realizzazioni di una variabile aleatoria X, possiamo effettuare le seguenti stime: ^mx=(1)/(N)∑Nn= 1xn e ^m(2)x=(1)/(N)∑Nn= 1x2n, il cui valore tende asintoticamente a quello delle rispettive medie di insieme, come N (la dimensione del campione statistico) tende a ∞.
[246] Il suo scopritore, K.F. Gauss, denominò la v.a. e la sua ddp come Normale, indicando con questo il fatto che il suo uso potesse essere “quotidiano”.
[247] Questa condizione è anche detta di v.a. indipendenti e identicamente distribuite, ovvero i.i.d.↓
[248] `http://it.wikipedia.org/wiki/Teoremi_centrali_del_limite`, ovvero sperimentare presso `http://local.disia.unifi.it/VL/VL_IT/applets/DiceExperiment.html`
[249] Il termine erfc sta per funzione di errore complementare, e trae origine dai risultati della misura di grandezze fisiche, in cui l’errore di misura, dipendente da cause molteplici, si assume appunto gaussiano.
[250] Chiaramente, la maggioranza dei segnali trasmessi da apparati di tlc sono di questo tipo.
[251] Per fissare le idee, conduciamo parallelamente al testo un esempio “reale” in cui il processo aleatorio è costituito da.... la selezione musicale svolta da un dj. L’insieme T sarà allora costituito dall’orario di apertura delle discoteche (dalle 22 all’alba ?), mentre in θ faremo ricadere tutte le caratteristiche di variabilità (umore del dj, i dischi che ha in valigia, la discoteca in cui ci troviamo, il giorno della settimana...).
[252] Nell’esempio, x(t0,θ) è il valore di pressione sonora rilevabile ad un determinato istante (es. le 23.30) al variare di θ (qualunque dj, discoteca, giorno...).
[253] Ad esempio, se in tutte le serate il volume aumenta progressivamente nel tempo, la pX(x(tj)) si allargherà per tj crescenti.
[254] x(t,θi) rappresenta, nel nostro esempio, l’intera selezione musicale (detta serata) proposta da un ben preciso dj, in un preciso locale, un giorno ben preciso.
[255] m(2)X(θi) in questo caso rappresenta la potenza media con cui è suonata la musica nella particolare serata θi.
[256] La “serata in discoteca” stazionaria si verifica pertanto se non mutano nel tempo il genere di musica, il volume dell’amplificazione... o meglio se eventuali variazioni in alcune particolari discoteche-realizzazioni sono compensate da variazioni opposte in altrettanti membri del processo.
[257] In questo caso la pX(x(t)) non è nota, oppure non è stazionaria, ma le maggiori applicazioni della proprietà di stazionarietà dipendono solo da mX(t) e m(2)X(t), che possono essere misurati (o per meglio dire stimati), e risultare stazionari anche se pX(x(t)) non lo è.
[258] Questo accade se la selezione musicale di una particolare serata si mantiene costante (es. solo raggamuffin) oppure variata ma in modo omogeno (es. senza tre “lenti” di fila).
[259] Volendo pertanto giungere alla definizione di una serata ergodica in discoteca, dovremmo eliminare quei casi che, anche se individualmente stazionari, sono decisamente “fuori standard” (tutto metal, solo liscio...).
[260] d.d.p. è l’abbreviazione comunemente usata per Densità di Probabilità.
[261] In una prossima edizione, potrei calcolare le ddp corrispondenti ai diagrammi ad occhio di fig. 5.13↑
[262]
La dimostrazione segue le medesime linee guida del caso precedente, ed è impostata sulla base della considerazione che la funzione di distribuzione di Y, calcolata in un generico punto ỹ=(ỹ1,ỹ2,…,ỹn), rappresenta la probabilità che Y appartenga alla regione (dominio) delimitata dal punto ỹ, indicata con Dỹ:
FY(ỹ) =Pr{Y≤ỹ}=Pr{Y∈Dỹ}
Alla stessa regione Dỹ, ne corrisponde una diversa Dx̃ nello spazio X, tale che per ogni valore x◇∈Dx̃ risulti y◇=G(x◇)  ∈Dỹ. Con queste posizioni, la FY(ỹ)  =Pr{Y∈Dỹ} si calcola a partire dalla d.d.p. pX(x), integrata sul dominio Dx̃:
FY(ỹ) =Pr{X∈Dx̃}= ⌠⌡Dx̃pX(x)dx
Infine, osservando che
pY(y1,y2,…,yn)=(∂nFY(y1,y2,…,yn))/(∂y1∂y2⋯∂yn)
si ottiene il risultato mostrato.
[263]
Il calcolo dei due termini si esegue come
pX,Y(x(ρ,φ),y(ρ,φ))=(1)/(2πσ2)exp⎛⎝−(ρ2(cos2φ+ sin2φ))/(2σ2)⎞⎠=(1)/(2πσ2)exp⎛⎝−(ρ2)/(2σ2)⎞⎠
|J(x,y⁄ρ,φ)|=|||⎡⎢⎣ (∂x)/(∂ρ) (∂x)/(∂φ) (∂y)/(∂ρ) (∂y)/(∂φ) ⎤⎥⎦|||=|||⎡⎢⎣ cosφ −ρsinφ sinφ ρcosφ ⎤⎥⎦|||=ρ(cos2φ+ sin2φ)=ρ
[264] Svolgiamo il calcolo solo per la prima relazione:
pP(ρ)=π⌠⌡−πpP, Φ(ρ,φ)dφ=(ρ)/(2πσ2)exp⎛⎝−(ρ2)/(2σ2)⎞⎠⋅π⌠⌡−πdφ=(ρ)/(σ2)exp⎛⎝−(ρ2)/(2σ2)⎞⎠
[265] Osserviamo innanzitutto che d.d.p. congiunta di partenza si scrive ora come
pX’,Y(x’,y)(1)/(2πσ2)exp⎛⎝−((x’  −A)2+y2)/(2σ2)⎞⎠
in quanto x’ è una v.a. gaussiana con media A e varianza σ2. Sostituendo quindi nell’esponente x’ =ρcosφ e y=ρsinφ, si ottiene
(x’ −A)2+y2=ρ2cos2φ+A2− 2ρAcosφ+ρ2sin2φ=ρ2+A2− 2ρAcosφ
Osservando ora che il giacobiano della trasformazione ha un valore pari a ρ anche in questo caso, otteniamo
pP, Φ(ρ,φ) = pX’,Y(x’(ρ,φ),y=y(ρ,φ))|J(x’,y⁄ρ,φ)| = (ρ)/(2πσ2)exp⎛⎝−(ρ2+A2)/(2σ2)⎞⎠exp⎛⎝(2ρAcosφ)/(2σ2)⎞⎠
La saturazione di questa d.d.p. congiunta, operata eseguendo pP(ρ)=∫π−πpP,  Φ(ρ,φ)dφ, determina il risultato mostrato.
[266] Vedi ad es. `http://it.wikipedia.org/wiki/Inferenza_statistica`
[267] Vedi ad es. `http://en.wikipedia.org/wiki/P-value`
[268] Vedi ad es. `http://it.wikipedia.org/wiki/Disuguaglianza_di_Cramér-Rao`
[269] Ad esempio, il teorema centrale del limite (§ 7.2.4↑) fa si che la media campionaria ^mx=(1)/(N)∑Ni= 1xi, in quanto somma di v.a. indipendenti e identicamente distribuite, tenda ad una gaussiana per N→ ∞.
[270] Vedi ad es. `http://en.wikipedia.org/wiki/Point_estimation`
[271] Vedi § 9.10.2↓ per l’espressione di una gaussiana multidimensionale.
[272] Per quanto riguarda m̂x, imponendo ∑i(xi−m̂x) = 0 si perviene facilmente al risultato, mentre per σ̂2x l’eguaglianza a zero produce (1)/(2σ̂4x)∑i(xi−m̂x)2=(n)/(2)(1)/(σ̂2x) → (1)/(σ̂2x)∑i(xi−m̂x)2=N e quindi il risultato.
[273] Infatti E{m̂x}=E⎧⎩(1)/(N)∑Ni= 1xi⎫⎭=(1)/(N)∑Ni= 1E{xi}=(1)/(N)Nmx=mx
[274] In questo caso riscriviamo m̂x come m̂x=∑Ni= 1(xi)/(N), consideriamo che la varianza di una somma di v.a. i.i.d. è la somma delle varianze (vedi § 9.7.2↓), e che σ2aX=a2σ2X: pertanto si ottiene σ2m̂x=∑Ni= 1(σ2x)/(N2)=(σ2x)/(N).
[275] Occorre innanzitutto riscrivere xi−m̂x come xi−mx+mx−m̂x=(xi−mx)−(m̂x−mx), in modo da ottenere (xi−m̂x)2=(xi−mx)2− 2(xi−mx)(m̂x−mx)+(m̂x−mx)2. Eseguendo ora la sommatoria su i si ottiene
⎲⎳i(xi−m̂x)2 = ⎲⎳i(xi−mx)2− 2(m̂x−mx) ⎲⎳i(xi−mx)+ ⎲⎳i(m̂x−mx)2 = ⎲⎳i(xi−mx)2− 2N(m̂x−mx)2+N(m̂x−mx)2= ⎲⎳i(xi−mx)2−N(m̂x−mx)2
in quanto ∑i(xi−mx)=∑ixi−∑imx=Nm̂x−Nmx=N(m̂x−mx).
[276] In ambito militare, può aver senso ridurre la probabilità di perdita, a spese di un aumento di quella di falso allarme, tranne nel caso in cui quest’ultimo non provochi conseguenze del tutto irreversibili, e “sbagliate” in caso di errore. Ragionamenti opposti possono essere svolti in campo medico, in cui si dovrebbe preferire un falso allarme, piuttosto che trascurare l’importanza di un sintomo.
[277] Come già osservato, la funzione modificata di Bessel può essere approssimata come I0⎛⎝(ρA)/(σ2)⎞⎠~(exp⎛⎝(ρA)/(σ2)⎞⎠)/(√(2π(ρA)/(σ2))) per (ρA)/(σ2)≫1, e quindi il secondo termine di (17.13↑) diviene
(1)/(2)(A)/(2)⌠⌡0(ρ)/(σ2)exp⎛⎝−(ρ2)/(2σ2)⎞⎠exp⎛⎝−(A2)/(2σ2)⎞⎠exp⎛⎝(ρA)/(σ2)⎞⎠(σ)/(√(2πρA))dρ= = (1)/(2)(A)/(2)⌠⌡0√((ρ)/(2πσ2A))exp⎛⎝((ρ−A)2)/(2σ2)⎞⎠dρ
Notiamo ora che per (A)/(σ)≫1 l’integrando è trascurabile tranne che per valori di ρ vicini ad A, cosicchè il limite inferiore può essere esteso a − ∞, e il termine √((ρ)/(2πσ2A)) può essere sostituito con (1)/(√(2π)σ), ottenendo quindi la maggiorazione (1)/(2)∫(A)/(2)− ∞(1)/(√(2π)σ)exp⎛⎝(ρ2−A2)/(2σ2)⎞⎠dρ, che è l’espressione dell’integrale di una gaussiana con media A2, e che può essere espresso come (1)/(2)⋅(1)/(2)erfc⎛⎝(A)/(2√(2)σ)⎞⎠.
Se z≫1, (1)/(2)erfc(z) può essere approssimata come (1)/(2z√(π))exp(−z2), ottenendo
(1)/(2)(A)/(2)⌠⌡− ∞(1)/(√(2π)σ)exp⎛⎝(ρ2−A2)/(2σ2)⎞⎠dρ~(σ)/(A√(2π))exp⎛⎝−(A2)/(8σ2)⎞⎠
che, essendo per ipotesi (A)/(σ)≫1, risulta trascurabile rispetto a (1)/(2)exp⎛⎝−(A2)/(8σ2)⎞⎠.
[278] Il termine grado di servizio esprime un concetto di qualità, ed è usato in contesti diversi per indicare differenti grandezze associate appunto alla qualità dei servizi di telecomunicazione. Nel caso presente, una buona qualità corrisponde a una bassa probabilità di occupato.
[279] La pB(k) è detta anche Binomiale, in quanto i fattori ⎛⎜⎝N k⎞⎟⎠ sono quelli della potenza di un binomio (p+q)N, calcolabili anche facendo uso del triangolo di Pascal (ma definito prima da Tartaglia, e prima ancora da Hayyām), mostrato per riferimento di seguito.
[280] Esempio: si voglia calcolare la probabilità di osservare 3 volte testa, su 10 lanci di una moneta. Questa risulta pari a pB(3)=⎛⎜⎝10 3⎞⎟⎠p3q7= 120⋅.53⋅.57= 0.117, ovvero una probabilità dell’11,7 %. Come ulteriore esempio, citiamo l’uso della distribuzione Binomiale per calcolare la probabilità di errore complessiva in una trasmissione numerica realizzata mediante un collegamento costituito da N tratte, collegate da ripetitori rigenerativi. In una trasmissione binaria, si ha errore se un numero dispari di tratte causa un errore per lo stesso bit, e cioè Pe=∑Nk= 1,k dispari⎛⎜⎝N k⎞⎟⎠pkqN−k, in cui p è la prob. di errore sul bit per una tratta; inoltre risulta che se p≪1 e Np≪1, allora Pe≃Np.
[281] Usando il modello Poissoniano pertanto, la probabilità che (ad esempio) si stiano svolgendo meno di 4 conversazioni contemporanee è pari a pP(0)+pP(1)+pP(2)+pP(3)=e−α⎛⎝1  +α+(α2)/(2)+(α3)/(6)⎞⎠.
[282] λ viene espresso in richieste per unità di tempo.
[283] La trattazione può facilmente applicarsi a svariate circostanze: dalla frequenza con cui si presentano richieste di collegamento ad una rete di comunicazioni, alla frequenza con cui transitano automobili sotto un cavalcavia, alla frequenza con cui particelle subatomiche transitano in un determinato volume, alla frequenza con cui gli studenti si presentano a lezione...
[284] Esempio: se da un cavalcavia osserviamo (mediamente) λ= 3 auto/minuto, nell’arco di T= 2 minuti, transiteranno (in media) 3*2 = 6 autovetture.
[285] Esempio: sapendo che l’autobus (completamente casuale!) che stiamo aspettando ha una frequenza di passaggio (media) di 8 minuti, calcolare: A) la probabilità di non vederne nessuno per 15 minuti e B) la probabilità che ne passino 2 in 10 minuti.
Soluzione: si ha λ= 1 ⁄ 8 passaggi/minuto e quindi: A) pP(0)|15=e−(15)/(8)= 0.15 pari al 15%; B) pP(2)|10=e−(10)/(8)(⎛⎝(10)/(8)⎞⎠2)/(2)= 0.224 pari al 22.4%
[286] Da un punto di vista formale, per eventi completamente casuali si intende che gli eventi stessi non hanno memoria di quando siano accaduti l’ultima volta, permettendo quindi di scrivere
Pr(t>t0+θ⁄t>t0)=Pr(t>θ)
ossia che la probabilità di attendere altri θ istanti, avendone già attesi t0, non dipende da t0. Per verificare che la ddp esponenziale consente di soddisfare questa condizione, svolgiamo i passaggi, applicando al terzultimo la (17.15↓):
Pr(t>t0+θ⁄t>t0) = (Pr(t>t0+θ;t>t0))/(Pr(t>t0))=(Pr(t>t0+θ))/(Pr(t>t0)) = (e−λ(t0+θ))/(e−λt0)=e−λθ=Pr(t>θ)
[287] La ddp esponenziale è spesso adottata come un modello approssimato ma di facile applicazione per rappresentare un tempo di attesa, ed applicato ad esempio alla durata di una conversazione telefonica, oppure all’intervallo tra due malfunzionamenti di un apparato.
[288] Consideriamo un ospedale in cui nascono in media 6 bimbetti al giorno (o 0.25 nascite l’ora), e consideriamo l’intervallo tra questi eventi come una v.a. completamente casuale. Allora, se assumiamo che la probabilità di k nascite in un tempo T sia descritta da una v.a. di Poisson, ossia a cui compete una probabilità pP(k)=e−λT((λT)k)/(k!), allora la probabilità che durante un tempo T non avvenga nessuna nascita, dovrebbe corrispondere a calcolare pP(0), ovvero e−λT((λT)0)/(0!)=e−λT, che è esattamente il risultato che fornisce la v.a. esponenziale per la probabilità Pr(t>T) che non vi siano nascite per un tempo T.
[289] La dimostrazione della (17.16↓) si basa sulla considerazione che Pr(t≤t0)= 1 −Pr(t>t0), e sulla espansione in serie di potenze ex= 1 +x+x2⁄2+x3⁄3!+ ⋯ che si riduce a ex= 1 +x+o(t0) se x→ 0. Pertanto, la (17.15↑) diviene Pr(t>t0)|t0→ 0= 1 −λt0+o(t0), e quindi Pr(t≤t0)= 1 − 1 +λt0+o(t0)=λt0+o(t0).
[290] Gli esempi dalla vita reale sono molteplici, dal casello autostradale presso cui arrivano auto richiedenti il servizio del casellante (M=numero di caselli aperti), al distributore automatico di bevande (servente unico), all’aereo che per atterrare richiede l’uso della pista (servente unico).... nel contesto delle telecomunicazioni, il modello si applica ogni qualvolta vi siano un numero limitato di risorse a disposizione, come ad esempio (ma non solo!) il numero di linee telefoniche uscenti da un organo di commutazione, od il numero di time-slot presente in una trama PCM, od il numero di operatori di un call-center....
[291] L’ipotesi permette di valutare la probabilità che l’intervallo temporale tra due eventi di ingresso sia superiore a θ, in base alla (17.15↑), come e−λθ (ad esempio, la prob. che tra due richieste di connessione in ingresso ad una centrale telefonica passi un tempo almeno pari a θ); allo stesso modo, la probabilità che il servizio abbia una durata maggiore di θ è pari a e−μθ (ad esempio, la prob. che una telefonata duri più di θ).
[292] Le ipotesi poste fanno sì che i risultati a cui giungeremo siano conservativi, ovvero il numero di serventi risulterà maggiore od uguale a quello realmente necessario; l’altro caso limite (di attese deterministiche) corrisponde a quello in cui il tempo di servizio non varia, ma è costante, come ad esempio il caso del tempo necessario alla trasmissione di una cella atm di dimensioni fisse. In questi casi, la stessa intensità media di traffico Ao=(λ)/(μ) può essere gestita con un numero molto ridotto di serventi; nella realtà, ci si troverà in situazioni intermedie.
[293] Si noti che il pedice o è una “o” e non uno “0”, ed identifica appunto l’aggettivo offerto.
[294] Pensiamo ad un ufficio postale visto dall’esterno: la frequenza media λ con cui entrano nuove persone non dipende da quanti siano già all’interno, mentre invece la frequenza con la quale escono dipende sia dal tempo medio 1⁄μ di permanenza allo sportello, che dal numero di sportelli (serventi) M in funzione. La differenza con il caso che stiamo trattando, scaturisce dal fatto che l’ufficio postale è un sistema a coda, e dato che la coda c’è praticamente sempre (ossia i serventi sono generalmente tutti occupati) possiamo dire che la frequenza media di uscita è proprio Mμ.
[295] E’ un pò come se il numero medio di nuove richieste per unità di tempo λ si distribuisse, in accordo alle probabilità pk, tra tutti gli stati possibili del sistema: come dire che del totale di λ, una parte λp0 trovano il sistema vuoto, una parte λp1 con un solo occupante, eccetera. Per quanto riguarda le richieste servite per unità di tempo, la frequenza di uscita dal sistema è quella che si otterrebbe con un unico servente, moltiplicata per il numero di serventi occupati. Dato che questa ultima quantità è una grandezza probabilistica, la reale frequenza di uscita μr può essere valutata come valore atteso, ossia μr=∑Mk= 1μ⋅k⋅pk
[296] Usiamo il pedice m anziché k per non creare confusione nella (17.20↓)
[297] Questo risultato è in perfetto accordo con le la (17.14↑), quando abbiamo sostituito alla ddp di Bernoulli quella di Poisson, mantenendo inalterato il numero medio di serventi occupati, che ora indichiamo con Ao, come definito al § 8.3.2↑.
[298] ovvero, all’aumentare del traffico offerto, M aumenta più lentamente di Ao. Ad esempio, dalla figura si può verificare che se per Ao= 10 occorrono circa 21 serventi, per una intensità doppia Ao= 20 il numero di serventi necessario a mantenere la stessa PB risulta poco più di 32.
[299] In effetti, è stato dimostrato che i risultati ottenuti per i sistemi di servizio orientati alla perdita possono essere considerati validi anche nel caso di tempi di servizio a distribuzione qualsiasi, non necessariamente esponenziale.
[300] Un esempio di tale tipo di traffico potrebbe essere... l’uscita da uno stadio (o da un cinema, una metropolitana,...) in cui il flusso di individui non è casuale, ma aumenta fino a saturare le vie di uscita.
[301] Se PB è la probabilità di blocco derivante dalla disponibilità di M serventi, una frequenza di richieste pari a PB⋅λo non può essere servita immediatamente; adottando una coda, la frequenza delle richieste non servite immediatamente PB⋅λo è uguale a λo(Pp+Pr(1 −Pp)), ed eguagliando le due espressioni si ottiene Pp=(PB−Pr)/(1 −Pr), che è sempre minore di PB.
[302] Nella derivazione del risultato si fa uso della relazione ∑∞k= 0αk=(1)/(1 −α), nota con il nome di serie geometrica, e valida se α< 1, come infatti risulta nel nostro caso, in quanto necessariamente deve risultare Ao=(λo)/(μ)< 1; se il servente è unico infatti, una frequenza di arrivo maggiore di quella di servizio preclude ogni speranza di funzionamento, dato che evidentemente il sistema non ha modo di smaltire in tempo le richieste che si presentano.
[303] Ricordiamo che p0 è la probabilità che il sistema sia vuoto, e dunque 1 −p0 quella che non sia vuoto.
[304] si fa uso della relazione ∑∞k= 0kαk=α∑∞k= 0kαk− 1= α(∂)/(∂α)∑∞k= 0αk=α(∂)/(∂α)(1)/(1 −α)=(α)/((1 −α)2)
[305] Non può essere λs>λo, perchè si servirebbero più richieste di quante se ne presentano. Se fosse invece λs<λo, la coda crescerebbe inesorabilmente e sarebbe quindi inutile.
[306] In una trasmissione a pacchetto, operata a frequenza binaria fb e con pacchetti di lunghezza media Lp bit, il tempo medio di servizio per un singolo pacchetto è pari a quello medio necessario alla sua trasmissione, e cioè τS=Lp⁄fb.
[307] 1 byte = 8 bit, 1 K = 210= 1024. Il “K” in questione è “un K informatico”. Nel caso invece in cui ci si riferisca ad una velocita’ di trasmissione, il prefisso K torna a valere 103= 1000.
[308] In virtù di quanto esposto alla nota precedente, in questo caso 1M= 106= 1000000.
[309] La sigla CRC significa Cyclic Redundancy Check (controllo ciclico di ridondanza) ed indica una parola binaria i cui bit sono calcolati in base ad operazioni algebriche (vedi § 5.4.2.3↑) attuate sui bit di cui il resto del messaggio è composto. Dal lato ricevente sono eseguite le stesse operazioni, ed il risultato confrontato con quello presente nel CRC, in modo da controllare la presenza di errori di trasmissione.
[310] L’entità delle informazioni aggiuntive rispetto a quelle del messaggio può variare molto per i diversi protocolli, da pochi bit a pacchetto fino ad un 10-20% dell’intero pacchetto (per lunghezze ridotte di quest’ultimo).
[311] Come nel PCM telefonico, vedi § 6.3.1↑
[312] Un modo di trasferimento con pacchetti di dimensione fissa è l’ATM (Asynchronous Transfer Mode che viene descritto in appendice 8.6.2↓.
[313] Nel caso del pots (vedi § 6.9.1↑) si creava un vero e proprio circuito elettrico (vedi anche pag. 1↑), e le risorse fisiche impegnate sono gli organi di centrale ed i collegamenti tra centrali, assegnati per tutta la durata della comunicazione in esclusiva alle due parti in colloquio. Nel caso del pcm (vedi § 6.3.1↑), le risorse allocate cambiano natura (ad esempio consistono anche nell’intervallo temporale assegnato al canale all’interno della trama) ma cionostante vi si continua a far riferimento come ad una rete a commutazione di circuito.
[314] Le risorse impegnate sono dette logiche in quanto corrispondono ad entità concettuali (i canali virtuali descritti nel seguito).
[315] Il termine Canale Virtuale simboleggia il fatto che, nonostante i pacchetti di più comunicazioni viaggino “rimescolati” su di uno stesso mezzo, questi possono essere distinti in base alla comunicazione a cui appartengono, grazie ai differenti IC (numeri) con cui sono etichettati; pertanto, è come se i pacchetti di una stessa comunicazione seguissero un proprio canale virtuale indipendente dagli altri.
[316] I numeri di c.v. sono negoziati tra ciascuna coppia di nodi durante la fase di instradamento, e scelti tra quelli non utilizzati da altre comunicazioni già in corso. Alcuni numeri di c.v. inoltre possono essere riservati, ed utilizzati per propagare messaggi di segnalazione inerenti il controllo di rete.
[317] In realtà vengono prima fatti dei tentativi di inviare nuovamente i pacchetti “vecchi”. Questi ultimi infatti sono conservati da chi li invia (che può anche essere un nodo intermedio), finchè non sono riscontrati dal ricevente. Quest’ultimo fatto può causare ulteriore congestione, in quanto restano impegnate risorse di memoria “a monte” della congestione che così si propaga.
[318] Per questo motivo, il collegamento è detto senza connessione.
[319] Il termine buffer ha traduzione letterale “respingente, paracolpi, cuscinetto” ed è a volte espresso in italiano dalla locuzione memoria tampone.
[320] La soluzione a questa “spirale negativa” si basa ancora sull’uso di un allarme a tempo (timeout), scaduto il quale si giudica interrotto il collegamento, e sono liberati i buffer.
[321] In virtù dell’intreccio di sigle, il modello di riferimento prende il nome (palindromo) di modello ISO-OSI.
[322] Il modo di trasferimento è completamente definito dopo che sia stato specificato in quale strato siano svolte le funzioni di commutazione e multiplazione. In una rete a commutazione di circuito, queste sono realizzate dallo strato fisico che, esaurita la fase di instradamento ed impegno di risorse fisiche, collega in modo trasparente sorgente e destinazione. Nella commutazione di pacchetto, invece, le funzioni di multiplazione e commutazione coinvolgono (per tutti i pacchetti del messaggio) tutti i nodi di rete interessati; si dice pertanto che i protocolli di collegamento e di rete devono essere terminati (nel senso di gestiti) da tutti i nodi di rete.
[323] Migliore sforzo, ossia la rete dà il massimo, senza però garantire nulla.
[324] Department of Defense.
[325] Local Area Network, ossia rete locale. Con questo termine si indica un collegamento che non si estende oltre (approssimativamente) un edificio.
[326] La funzione di conversione di protocollo tra reti disomogenee è detta di gateway, mentre l’interconnessione tra reti locali è svolta da dispositivi bridge oppure da ripetitori se le reti sono omogenee. Con il termine router si indica più propriamente il caso in cui il nodo svolge funzioni di instradamento, che tipicamente avviene nello strato di rete. Nel caso in cui invece si operi un instradamento a livello dello strato di collegamento, ossia nell’ambito di sezioni diverse (collegate da bridge o ripetitori) di una stessa LAN, il dispositivo viene detto detto switch. Infine, un firewall opera a livello di trasporto, e permette di impostare regole di controllo per restringere l’accesso alla rete interna in base all’indirizzo di sorgente, al tipo di protocollo, e/o a determinati servizi .
[327] IP = Internet Protocol.
[328] Con 4 byte si indirizzano (in linea di principio) 232= 4.29⋅109 diversi nodi (più di 4 miliardi). E’ tuttora in sviluppo il cosiddetto IPv6, che estenderà l’indirizzo IP a 16 byte, portando la capacità teorica a 3.4⋅1038 nodi. L’IPv6 prevede inoltre particolari soluzioni di suddivisione dell’indirizzo, allo scopo di coadiuvare le operazioni di routing.
[329] Evidentemente esistono molte diverse possibilità di collegamento ad Internet, come via telefono (tramite provider), collegamento satellitare, Frame Relay, linea dedicata, isdn, adsl... ma si preferisce svolgere un unico esempio per non appesantire eccessivamente l’esposizione. La consapevolezza delle molteplici alternative consente ad ogni modo di comprendere la necessità di separare gli strati di trasporto e di rete dall’effettiva modalità di trasmissione.
[330] Mostriamo in seguito che questo avviene mediante il protocollo ARP.
[331] I top level domain possono essere pari ad un identificativo geografico (.it, .se, .au...) od una delle sigle .com, .org, .net, .mil, .edu, che sono quelle utilizzate quando internet era solo americana.
[332] Il “proprio” DNS viene configurato per l’host in modo fisso, oppure in modo dinamico da alcuni Service Provider raggiungibili per via telefonica, e convenientemente corrisponde ad un nodo situato “vicino” al nodo che lo interroga.
[333] Chi registra il dominio deve disporre necessariamente di un DNS in cui inserire le informazioni sulle corrispondenze tra i nomi dei nodi del proprio dominio ed i loro corrispondenti indirizzi IP. In tal caso quel DNS si dice autorevole per il dominio ed è responsabile di diffondere tali informazioni al resto della rete.
[334] In realtà esiste anche una diversa modalità operativa, che consiste nel delegare la ricerca ad un diverso DNS (detto forwarder), il quale attua lui i passi descritti appresso, e provvede per proprio conto alla risoluzione, il cui esito è poi comunicato al primo DNS e da questi ad hostX. Il vantaggio di tale procedura risiede nella maggiore ricchezza della cache (descritta appresso) di un DNS utilizzato intensivamente.
[335] Il DNS ricorda anche le altre corrispondenze ottenute, come il DNS autorevole per .tld e per .dominio.tld; nel caso infine in cui si sia utilizzato un forwarder, sarà quest’ultimo a mantenere memoria delle corrispondenze per i DNS intermedi.
[336] Cache è un termine generico, che letteralmente si traduce nascondiglio dei viveri, e che viene adottato ogni volta si debba indicare una memoria che contiene copie di riserva, o di scorta...
[337] Socket è un termine che corrisponde alla... presa per l’energia elettrica casalinga, ed in questo contesto ha il significato di una presa a cui si “attacca” il processo che richiede la comunicazione. Per l’esattezza, un Socket internet è individuato dal numero di porta tcp e dall’indirizzo ip.
[338] Spesso gli indirizzi che identificano i punti di contatto di servizi specifici vengono indicati come Service Access Point (SAP), anche per situazioni differenti dal caso specifico delle porte del TCP.
[339] TCP = Transport Control Protocol.
[340] Il numero di porta costituisce in pratica l’identificativo di connessione del circuito virtuale. Nel caso in cui un server debba comunicare con più client, dopo avere accettato la conessione giunta su di una porta ben nota, apre con i client diversi canali di ritorno, differenziati dall’uso di porte di risposta differenti.
La lista completa dei servizi standardizzati e degli indirizzi ben noti (socket) presso i quali i serventi sono in attesa di richieste di connessione, è presente in tutte le distribuzioni Linux nel file /etc/services.
[341] Il numero di sequenza si incrementa ad ogni pacchetto di una quantità pari alla sua dimensione in bytes, ed ha lo scopo di permettere le operazioni di controllo di flusso. Il valore iniziale del numero di sequenza e di riscontro è diverso per ogni connessione, e generato in modo pseudo-casuale da entrambe le parti in base ai propri orologi interni, allo scopo di minimizzare i problemi dovuti all’inaffidabilità dello strato di rete (l’IP) che può perdere o ritardare i datagrammi, nel qual caso il TCP trasmittente ri-invia i pacchetti precedenti dopo un time-out. Questo comportamento può determinare l’arrivo al lato ricevente di un pacchetto duplicato, e consegnato addirittura dopo che la connessione tra i due nodi è stata chiusa e riaperta. In tal caso però la nuova connessione adotta un diverso numero di sequenza iniziale, cosicchè il pacchetto duplicato e ritardato risulta fuori sequenza, e non viene accettato.
[342] handshake = stretta di mano.
[343] Per ciò che riguarda i valori dei numeri di riscontro NR, questi sono incrementati di 1, perchè la finestra (descritta nel seguito) inizia dai bytes del prossimo pacchetto, a cui competeranno appunto valori di NS incrementati di uno.
[344] Il riscontro può viaggiare su di un pacchetto già in “partenza” con un carico utile di dati e destinato al nodo a cui si deve inviare il riscontro. In tal caso quest’ultimo prende il nome di piggyback (rimorchio), o riscontro rimorchiato.
[345] In tal caso, il campo Puntatore Urgente contiene il numero di sequenza del byte che delimita superiormente i dati che devono essere consegnati urgentemente.
[346] Il mancato invio del riscontro può anche essere causato dal verificarsi di un cecksum errato dal lato ricevente, nel qual caso quest’ultimo semplicemente evita di inviare il riscontro, confidando nella ritrasmissione per timeout.
[347] Con licenza poetica: il ritardo del girotondo, che qui raffigura un percorso di andata e ritorno senza soste.
[348] L’IP può trovarsi a dover inoltrare i pacchetti su sottoreti che operano con dimensioni di pacchetto inferiori. Per questo, deve essere in grado di frammentare il pacchetto in più datagrammi, e di ricomporli nell’unità informativa originaria all’altro estremo del collegamento.
[349] Si suppone infatti che le sottoreti a cui sono connessi i nodi non garantiscano affidabilità. Ciò consente di poter usare sottoreti le più generiche (incluse quelle affidabili, ovviamente).
[350] La Qualità del Servizio richiesta per il particolare datagramma può esprimere necessità particolari, come ad esempio il ritardo massimo di consegna. La possibilità di esprimere questa esigenza a livello IP fa parte dello standard, ma per lunghi anni non se ne è fatto uso. L’avvento delle comunicazioni multimediali ha risvegliato l’interesse per il campo tos.
[351] Lo scopo del ttl è di evitare che si verifichino fenomeni di loop infinito, nei quali un pacchetto “rimbalza” tra due nodi per problemi di configurazione. Per questo, ttl è inizializzato al massimo numero di nodi che il pacchetto può attraversare, e viene decrementato da ogni nodo che lo riceve (e ritrasmette). Quando ttl arriva a zero, il pacchetto è scartato.
[352] In presenza di un frammento ricevuto con errori nell’header, viene scartato tutto il datagramma di cui il frammento fa parte, delegando allo strato superiore le procedure per l’eventuale recupero dell’errore.
[353] Possiamo portare come analogia un indirizzo civico, a cui il postino consegna la corrispondenza, che viene poi smistata ai singoli condomini dal portiere dello stabile. Il servizio postale, così come la rete Internet, non ha interesse di sapere come sono suddivise le sottoreti delle diverse organizzazioni, ed i router instradano i pacchetti IP in base alla parte “rete” dell’indirizzo, delegando ai router della rete di destinazione il completamento dell’instradamento.
[354] In questo caso, l’Università di Roma “La Sapienza” è intestataria della rete 151.100.
[355] Ad esempio, organizzazioni con poco più di un migliaio di nodi erano costrette a richiedere una intera classe B con capacità di 65536 nodi.
[356] Sebbene la topologia di Internet possa essere qualunque, nella pratica esistono dei carrier internazionali che svolgono la funzione di backbone (spina dorsale) della rete, interconnettendo tra loro i continenti e le nazioni.
[357] Il termine multicast è ispirato alle trasmissioni broadcast effettuate dalle emittenti radio televisive.
[358] Mediante il protocollo IGMP (Internet Group Management Protocol) che opera sopra lo strato IP, ma (a differenza del TCP) fa uso di datagrammi non riscontrati, similmente all’UDP ed all’ICMP.
[359] Data l’impossibilità a stabilire un controllo di flusso con tutti i destinatari, il traffico multicast viaggia all’interno di pacchetti UDP.
[360] E rappresenta quindi ciò che viene detto uno spazio di indirizzi piatto (flat address space).
[361] Al contrario, il partizionamento dell’indirizzo IP in rete+nodo permette di utilizzare tabelle di routing di dimensioni gestibili.
[362] Ad ogni porta del router è associata una coppia sottorete/maschera (vedi pag. 1↑) che descrive l’insieme degli indirizzi direttamente connessi alla porta. La verifica di raggiungibilità (o adiacenza) è attuata mettendo in and l’ip di destinazione con le maschere, e confrontando il risultato con quello dell’and tra le maschere e gli indirizzi delle sottoreti collegate.
[363]
Dato che i nodi possono essere spostati, possono cambiare scheda di rete e possono cambiare indirizzo IP assegnatogli, la corrispondenza IP-Ethernet è tutt’altro che duratura, ed ogni riga della tabella ARP indica anche quando si sia appresa la corrispondenza, in modo da poter stabilire una scadenza, ed effettuare nuovamente la richiesta per verificare se sono intervenuti cambiamenti topologici.
Se il nodo ha cambiato IP, ma non il nome, sarà il TTL del DNS (mantenuto aggiornato per il dominio del nodo) a provocare il rinnovo della richiesta dell’indirizzo.
[364] http://en.wikipedia.org/wiki/Subnetwork_Access_Protocol
[365] http://en.wikipedia.org/wiki/EtherType
[366] Vedi http://en.wikipedia.org/wiki/Ethernet_II_framing. La sigla dix deriva dalle iniziali delle aziende che l’hanno definito, ossia DEC, Intel and Xerox
[367] Su di un cavo coassiale tick da 50 Ω, la velocità di propagazione risulta di 231⋅106 metri/secondo. Su di una lunghezza di 500 metri, occorrono 2.16 μsec perchè un segnale si propaghi da un estremo all’altro. Dato che è permesso di congiungere fino a 5 segmenti di rete per mezzo di ripetitori, e che anch’essi introducono un ritardo, si è stabilito che la minima lunghezza di un pacchetto Ethernet debba essere di 64 byte, che alla velocità di trasmissione di 10 Mbit/sec corrisponde ad una durata di 54.4 μsec, garantendo così che se si è verificata una collisione, le due parti in causa possano accorgersene.
[368] Tick = duro (grosso), thin = sottile. Ci si riferisce al diametro del cavo.
[369] Le sigle indicano infatti la velocità, se in banda base o meno, e la lunghezza della tratta.
[370] Unshielded Twisted Pair (UTP), ossia la coppia ritorta non schermata.
[371] La trasmissione full-duplex si instaura quando entrambe le interfacce agli estremi ne sono capaci. Una interfaccia half-duplex deve invece gestire situazioni interne di collisione, quando un pacchetto uscente da un nodo si scontra con uno entrante.
[372] Per traffico real-time si intende sia quello telefonico, sia più in generale quello di natura multimediale.
[373] Siamo alla fine degli anni ’80, e la definizione Integrated Service Data Network (isdn) si riferisce ad una rete in grado di permettere, oltre al normale trasporto dei dati, anche servizi di rete. La rete isdn era però limitata ad una velocità massima (presso l’utente) di 2 Mbps, e per questo venne chiamata narrow-band isdn (n-isdn). A questa, avrebbe fatto seguito la broad-band isdn (b-isdn) che ha poi dato luogo alla definizione dell’atm.
[374] Sono definite due tipi di interfaccia utente-network (uni): quella sdh/sonet, in cui le celle sono inserite nel payload della trama sdh, e quella cell-based, che prevede un flusso continuo di celle. Mentre nel primo caso il bit rate lordo comprende l’overhead di trama, nel secondo comprende la presenza di celle di tipo Operation and Maintenance (oam).
[375] Nel primo caso la cella viene scartata, mentre nel secondo inoltrata correttamente. La presenza di più di due errori, provoca un errato inoltro della cella.
[376] Le celle idle sono riconoscibili in base ad una particolare configurazione dei primi 4 byte dell’header, così come avviene per le celle oam, nonchè per altri tipi particolari di cella, che trasportano la segnalazione degli strati superiori.
[377] Mentre per vci sono riservati 16 bit, per vpi si usano 12 bit all’interno della rete, e 8 bit ai suoi bordi, riservando 4 bit indicati come Generic Flow Control (gfc) per regolare il flusso delle sorgenti.
[378] Questa semplificazione del lavoro di instradamento, quando confrontata con quello relativo ad una rete ip, è all’origine della vocazione fast switching della rete ATM. Per di più, permette la realizzazione harwdare dei circuiti di commutazione. D’altra parte, mentre per ip l’instradamento avviene al momento della trasmissione, in atm avviene durante il set-up della connessione, quando le tabelle di instradamento sono inizializzate.
[379] Nel caso in cui venga invece scambiato solo il vci, si ottiene uno switch vc puro.
[380] La rete ATM assicura la consegna delle celle di una stessa vcc nello stesso ordine con cui sono state trasmesse, mentre non assicura l’ordinamento per le celle di una stessa vpc.
[381] Può accadere infatti di incontrare uno switch vc puro, in cui è scambiato solo il vci, ed al quale fanno capo due diverse vcc.
[382] I nodi di ingresso ed uscita sono indicati come ingress ed egress nella terminologia ATM.
[383] Nella richiesta di una svc, l’utente invia i messaggi di setup su di una particolare (well known) coppia vpi/vci=0/5. In generale, le prime 32 vci di ogni vpi sono riservate per propositi di controllo. In queste, sono contenuti dei messaggi di segnalazione che aderiscono alle specifiche Q.2931, che fanno parte di User Network Interface (uni) 3.1, e che sono un adattamento di Q.931 per n-isdn. Le specifiche uni 4.0 prevedono la negoziazione della QoS, e la capacità di richiedere una svc per una vpc.
[384] Letteralmente: poliziottamento. Il controllo può anche essere effettuato su di una intera vpc.
[385] La classe cbr si presta bene a trasportare traffico telefonico pcm. In questo caso, può trasportare solo gli intervalli temporali realmente occupati.
[386] La classe ubr è particolarmente adatta al trasporto di traffico ip, in quanto questo è un protocollo senza connessione, e gli strati superiori (ad es. il tcp) sono in grado di gestire correttamente un servizio di collegamento con perdita di dati.
[387] Un sagomatore è composto in prima approssimazione da un buffer di memoria, il cui ritmo di svuotamento non è mai superiore ad un valore costante.
[388] Ad esempio, una cbr supera il proprio pcr, od una vbr oltrepassa il pcr per più tempo di mbs, oppure il traffico generato da una ubr non può essere instradato per l’esaurimento della banda.
[389] Alcune classi di traffico pongono clp=1 già in partenza, sia per una capacità indipendente di risolvere situazioni di perdita di dati, sia per la diversa natura dei dati che possono inviare, come ad esempio una codifica di segnale in cui alcuni dati posso essere interpolati, mentre altri no. Al contrario, alcune sorgenti confidano molto nel rispetto del proprio clp=0, come ad esempio nel caso in cui queste inviino pacchetti di dati ben più grandi delle celle atm, e che sono di conseguenza frammentati in molte unità, ed in presenza di una sola cella mancante, devono ritrasmettere l’intero pacchetto. In quest’ultimo caso, sono state elaborate strategie di scarto precoce (early discard) di tutte le celle di un pacchetto, per il quale si è già verificato lo scarto di una cella componente.
[390] Il formato nsap si ipira al Network Service Access Point dell’OSI, e se ne differenzia per aver fuso i campi Routing Domain e Area in un solo campo ho-dsp, per il quale si è adottata una gerarchia di instradamento basata su di un prefisso mobile, in modo simile al cdir dell’ip.
[391] Questi ultimi 4 byte contengono l’indicazione (2 bit) se si tratti della prima, ultima od intermedia cella di una stessa cs-pdu, la lunghezza dei dati validi se è l’ultima (6 bit), un numero di sequenza (4 bit), un controllo di errore (10 bit), ed una etichetta (10 bit) che rende possibile interallacciare temporalmente le celle di diverse cs-pdu.
[392] In questo modo si risparmiano 4 byte ogni 48. Ora però è indispensabile che le celle arrivino in sequenza, e non è più possibile alternare diverse cs-pdu.
[393] Quando la distanza tra i nodi oltrepassa dimensioni di un edificio, si parla di Campus Network o di Wide Area Network (wan), ed a volte è usato il termine Metroplitan Area Network (man) per estensione cittadine. Per estensioni ancora maggiori si parla di reti in area geografica.
[394] Tutti i nodi della lis hanno configurato manualmente l’indirizzo atm del server atmarp.
[395] Un vc permanente collega solamente una coppia di nodi, ed in tal caso è possibile anche fare a meno del server atmarp, in quanto un pvc è configurato manualmente. Nei fatti, questo è l’uso più diffuso del trasporto ip over atm, ed è tipicamente utilizzato per collegare sedi distanti di una stesso sistema autonomo, eliminando la necessità di sviluppare in proprio un impianto di tlc tra le sedi.
[396] La emulazione di una lan da parte della rete atm è possibile dopo aver definito per ogni elan un lan Emulation Server (les) a cui ogni lan Emulation Client (lec) si rivolge per conoscere l’indirizzo atm di un altro lec, a partire da suo indirizzo mac (la traduzione da ip a mac è già avvenuta tramite arp a livello ip). In una elan deve inoltre essere presente un dispositivo Broadcast and Unknown Server (bus) che diffonde a tutti i lec i pacchetti broadcast Ethernet (come ad es. le richieste arp), e che viene usato dai lec che devono inviare un broadcast. Infine, occorre un lan Emulation Configuration Server (lecs) che conosce, per ogni elan della rete atm, l’elenco dei lec, del les e del bus.
All’accensione di un lec, questo contatta il lecs (conoscendone l’indirizzo atm, oppure su di una vcc ben nota, o tramite segnalazione atm) per apprendere gli indirizzi atm del proprio les e del bus. Quindi, registra presso il les la corrispondenza tra i propri indirizzi mac ed atm. Quando un lec desidera inviare dati ad un altro lec, dopo averne risolto l’indirizzo atm interrogando il les, incapsula le trame ip con un header llc ieee 802.2 proprio come nel caso classico.
[397] I nhs risiedono su dispositivi che sono anche router ip, e che quindi mantengono aggiornate le tabelle di instradamento che indicano il prossimo salto (next hop) verso destinazioni ip. Le richieste di risoluzione atmarp per un certo indirizzo ip sono instradate mediante queste stesse tabelle, giungendo di salto in salto fino al router-nhs appartenente alla stessa lis dell’ip di destinazione, che conosce la risposta. Quest’ultima ripercorre all’indietro il percorso fatto dalla richiesta, fino alla sorgente. I router attraversati dal passa parola, ricordano (per un pò) le risposte trasportate, riducendo il traffico nhrp.
[398] Il metodo si basa su di un meccanismo indicato come flow detection, attuato dal ruoter ip-atm prossimo alla sorgente, che è in grado di accorgersi di traffico non sporadico diretto verso una medesima destinazione. Questo router impersona allora un mpoa Client (mpc), ed interroga un mpoa server (mps) per conoscere l’indirizzo atm della destinazione, in modo da creare un collegamento diretto. Ogni mps serve una o più elan, e gli mps comunicano tra loro mediante il nhrp.
L’mpoa realizza la separazione tra il calcolo dell’instradamento e l’inoltro dei dati. A differenza di un ruoter tradizionale, che svolge entrambi i compiti, l’mpc svolge solo l’inoltro verso l’indirizzo atm di destinazione, mentre quest’ultimo è fornito dall’mps, che si comporta quindi come un route server.
[399] Nel routing IP tradizionale, una fec coincide con l’instradamento inviduato dal longest match.
[400] Nel routing ip convenzionale, per ogni router, la tabella di routing deve essere esaminata per intero per ogni pacchetto, alla ricerca del longest match tra le regole presenti.
[401] Il routing ip tradizionale opera su di una base hop-by-hop, e per questo non può tenere conto della provenienza. Quando due pacchetti per una medesima destinazione passano da uno stesso router, proseguono per lo stesso percorso.
[402] Infatti, è la label del pacchetto ricevuto che determina il next hop, e quindi è quest’ultimo a definire la semantica della label presso i propri vicini.
[403] Intese qui nel senso più generale, per esempio come temperatura e pressione in un punto ben preciso di un cilindro di un motore a scoppio, oppure come pressione e velocità in un circuito idraulico, o pneumatico... astraendo cioè dal caso particolare di due v.a. estratte da una stessa forma d’onda.
[404] Può tornare utile pensare m(1,  1)X1X2 come una media pesata dei possibili valori del prodotto x1x2; i termini di eguale ampiezza e segno opposto possono elidersi se equiprobabili. Negli esempi che seguono, riportiamo dei diagrammi di scattering↓ per sei diversi casi di distribuzione delle coppie di valori x1 e x2, assieme ai valori di correlazione ℛx1x2 (corr), covarianza σx1x2 (cov), e coefficiente di correlazione ρ (vedi § 9.10.1↓ per quest’ultimo parametro)

Correlazione elevata | Correlazione media | Correlazione nulla

In A) e F) le coppie di valori sono legate da una legge pressoché deterministica, mentre in B) e D) c’è più variabilità, ma si nota ancora una certa dipendenza tra le due. Infine nei casi C) ed E), osserviamo due v.a. statisticamente indipendenti, dato che pX1X2(x1,x2) è fattorizzabile come pX1(x1)pX2(x2), e per le quali risulta quindi ℛX(x1x2)=mx1mx2.
[405] Omettiamo per brevità di indicare la variabile aleatoria a pedice della densità di probabilità.
[406] L’uguaglianza si ottiene ricordando che un valore atteso è in realtà un integrale, ed sfruttando la proprietà distributiva di quest’ultimo.
[407] Notiamo immediatamente che il termine più corretto sarebbe “incovarianzate”; l’uso (ormai storico e consolidato) dell’espressione incorrelate deriva probabilmente dal considerare usualmente grandezze a media nulla, per le quali le due espressioni coincidono.
[408] Vedi ad esempio il caso F) della nota (9.1.1↑), in cui le variabili aleatorie risultano incorrelate, ma non sono per nulla indipendenti, in quanto l’una dipende strettissimamente dall’altra, dato che le coppie di valori si dispongono su di un cerchio.
[409] Si rifletta sulla descrizione ora data a parole dell’operazione di media temporale scritta sopra.
[410] Il risultato ottenuto si basa sul cambio di variabile θ=t+τ che permette di scrivere
ℛx(τ)=∞⌠⌡− ∞x*(θ−τ)x(θ)dθ=∞⌠⌡− ∞x*(−(τ−θ))x(θ)dθ=x*(−t)*x(t)
[411] Infatti otteniamo:
ℛy(τ) = ∞⌠⌡− ∞y(t)y(t+τ)dt=∞⌠⌡− ∞x(t+θ)x(t+θ+τ)dt = ∞⌠⌡− ∞x(α)x(α+τ)dα= ℛx(τ)
[412] ℛx(−τ)=∫∞− ∞x*(t)x(t−τ)dt=∫∞− ∞x*(α+τ)x(α)dα=R*x(τ), avendo operato il cambio di variabile t−τ=α, da cui t=α+τ e dt=dα.
[413] In realtà le attribuzioni di questo risultato sono molteplici, comprendendo anche Khinchin, Einstein e Kolmogorov - fonte `http://en.wikipedia.org/wiki/Wiener%E2%80%93Khinchin_theorem`
[414] Per segnali di potenza la dimostrazione può essere fornita, senza troppe attenzioni di rigore analitico, partendo dalla stima della densità di potenza ottenuta mediante periodogramma (§ 9.3.1↓): PxT(f)=(|XT(f)|2)/(T). Osserviamo che |XT(f)|2 rappresenta lo spettro di densità di energia ℰxT(f) di un segmento di segnale xT(t) di durata T estratto da x(t), corrispondente alla funzione di autocorrelazione ℛxT(τ)= ℱ− 1{ℰxT(f)} calcolabile per xT(t) mediante la (17.25↑). Ma operando il passaggio al limite e la divisione limT→  ∞(1)/(T) di ℛxT(τ), si ottiene l’autocorrelazione (17.24↑) dell’intero segnale, mentre nel dominio della frequenza il limite di ℰxT(f) tende allo spettro di densità di potenza PxT(f) del segnale x(t) nella sua interezza.
[415] Media mA e varianza σ2A sono qui riferite ai valori multilivello ak (con k= 1, 2, ⋯,L) che un generico simbolo an può assumere, pesati con le rispettive probabilità pk, ossia mA=∑Lk= 1pkak e σ2A=∑Lk= 1pk(ak−mA)2
[416] Un esempio può essere un segnale sonoro, ad esempio una voce recitante, per il quale vogliamo studiare le caratteristiche spettrali dei diversi suoni della lingua (i fonemi), per confrontarle con quelle di un’altro individuo, o per ridurre la quantità di dati necessaria a trasmettere il segnale in forma numerica (vedi § 18.1.2↓), o per realizzare un dispostivo di riconoscimento vocale.
[417] Il termine periodogramma trae origine dall’uso che ne fu inizialmente fatto, ossia per scoprire tracce di periodicità all’intero di segnali qualsiasi.
[418] Per una determinata frequenza f0, il valore (|XT(f0)|2)/(T) è una variabile aleatoria (dipende infatti da θ), che vorremmo avesse un valore atteso mT=Eθ{PxT(f0)} pari alla densità del processo (mX=Px(f0)) ed una varianza σ2T=Eθ{(PxT(f0)−mX)2} che diminuisce al crescere di T. Per verificare se tali proprietà siano soddisfatte, valutiamo il valore atteso del periodogramma, a partire dalle relazioni fornite dal teorema di Wiener, applicato ad XT(f), e cioè |XT(f)|2= ℰxT(f)= ℱ{ℛxT(τ)}:
Eθ{PxT(f)} = Eθ⎧⎩ℱ⎧⎩(1)/(T)∞⌠⌡− ∞x(t)rectT(t)x(t+τ)rectT(t+τ)dt⎫⎭⎫⎭= = ℱ⎧⎩(1)/(T)∞⌠⌡− ∞Eθ{x(t)x(t+τ)}rectT(t)rectT(t+τ)dt⎫⎭= = ℱ⎧⎩ℛx(τ)(1)/(T)∞⌠⌡− ∞rectT(t)rectT(t+τ)dt⎫⎭= ℱ{ℛx(τ)⋅tri2T(τ)}= = Px(f)*T(sinc(fT))2
Osserviamo quindi come, all’aumentare di T, il nostro stimatore tende al valore vero, dato che T(sinc(fT))2 tende ad un impulso.
[419] Ci consola verificare che, come commentato alla nota precedente, per T→ ∞ la polarizzazione tende a scomparire. Quando il valore atteso di uno stimatore tende al valore vero, si dice (vedi § 7.5.4↑) che lo stimatore è non polarizzato (o unbiased); se aumentando la dimensione del campione, la varianza della stima tende a zero, lo stimatore è detto consistente.
[420] Una possibile alternativa è quella di suddividere l’intervallo di osservazione in diversi sottointervalli, calcolare il periodogramma su ciascuno di essi, e mediare i risultati. In tal modo, all’aumentare dei dati a disposizione, viene mantenuta la stessa risoluzione in frequenza, ma si migliora la varianza della stima spettrale (vedi § 7.5.5↑).
[421] La terza uguaglianza sussiste in virtù del teorema di Parseval, mentre la quarta è valida se ℛH(τ) è reale, ossia h(t) è idealmente realizzabile, proprietà quest’ultima definita al § 9.6↓.
[422] Questa affermazione è vera, purchè il filtro non presenti fenomeni di non linearità (definiti al § 9.6↓): in tal caso infatti, vale la sovrapposizione degli effetti, e non possono prodursi armoniche diverse da quelle in ingresso.
[423] in realtà si fa l’ulteriore ipotesi che la banda passante di H(f) sia minore di B
[424] Il motivo di questo risultato può essere meglio compreso ricordando che l’integrale di convoluzione calcola i singoli valori in uscita da un filtro, come dipendenti da tutti gli ingressi passati, ognuno pesato con il valore della risposta impulsiva relativo al ritardo tra ingresso passato ed uscita presente. Pertanto, anche se i singoli valori in ingresso sono incorrelati, quelli di uscita (distanti tra loro per meno della durata della risposta impulsiva) condividono una porzione di storia comune, e quindi i loro valori non sono più indipendenti.
[425] Indicando rispettivamente con Pe0 e Pe1 i due tipi di errore, pari a Pe0=∫∞λpZ(z⁄H0)dz e Pe1=∫λ− ∞pZ(z⁄H1)dz, la probabilità di errore complessiva vale Pe=Pe0P0+Pe1P1, in cui Po=Pr(H0) e P1=Pr(H1).
[426] la dimostrazione è rimandata alla nota 9.5↓
[427] Avendo definito hT(t)=g⎛⎝t−(T)/(2)⎞⎠, risulta che
H*T(f)=(G(f)e−j2πf(T)/(2))*=G*(f)e+j2πf(T)/(2)
e dunque H*T(f)e−j2πfT=X*(f)e−j2πfT=G*(f)e−j2πf(T)/(2). D’altra parte, potendo scrivere H*T(f)e−j2πfT=(HT(f)ej2πfT)* e ricordando ora la proprietà (6.8↑) espressa a pag. 1↑ ℱ− 1{X*(f)}=x*(−t), otteniamo che
hR(t) = ℱ− 1{H*T(f)e−j2πfT}= ℱ− 1{(HT(f)ej2πfT)*}= = h*T(θ+T)|θ=  −t=h*T(T−t)=x*(T−t)
Infine, essendo x(t)=g(t−T⁄2) si ottiene anche hR(t)=g*(θ−T⁄2)|θ=T−t=g*(T⁄2−t). La fig. 9.8↑ mostra l’esito di tali operazioni nel caso di una g(t) triangolare.
[428] Ricordiamo (vedi § 9.4.2↑) che l’uscita di un filtro al cui ingresso è posto un processo gaussiano, è anch’essa gaussiana.
[429] Infatti mHoz(T)=E{ℛXN(0)}=E{∫T0x*(t)n(t)dt}, che è pari a zero se E{n(t)}= 0.
[430] Risulta σ2z(T)=E{z2(T)}=ℛZ(τ)|τ= 0. Sappiamo che ℛZ(τ)= ℛN(τ)*ℛHR(τ)=(N0)/(2)δ(τ)*ℛHR(τ)=(N0)/(2)ℛHR(τ); pertanto
σ2z(T)=(N0)/(2)ℛHR(0)=(N0)/(2)∞⌠⌡− ∞h*R(t)hR(t)dt=(N0)/(2)ℰG
dato che hR(t) ha la stessa energia di g(t).
[431] Infatti, ora risulta mH1z(T)=E{ℛX(0)+ ℛXN(0)}, in cui il contributo del secondo termine è nullo come già osservato, mentre quello del primo non è aleatorio, e vale ℛX(0)=∫T0x*(t)x(t)dt= ℰG, in quanto il segnale x(t) ha la stessa energia di g(t). Per ciò che riguarda σ2z(T), osserviamo che essendo il filtro di ricezione un operatore lineare, l’uscita si ottiene come sovrapposizione degli effetti delle due cause x(t) ed n(t), e la componente aleatoria dell’uscita è dovuta al solo n(t); pertanto, la sua varianza è la stessa calcolata per il caso H0 di segnale assente.
[432] Il significato fisico del rapporto indicato può essere meglio visualizzato considerandone le radice quadrata, ossia (mH1z(T))/(σz(T)), che costituisce il rapporto tra l’uscita per t=T in presenza di solo segnale, e la deviazione standard di tale valore introdotta dal rumore. In altre parole, è indicativo della separazione tra le gaussiane riportate in figura. Pertanto, maggiore è questo rapporto, e minore sarà la probabilità di errore.
[433] Consideriamo il caso in cui si abbia una HR(f)=H(f) generica. In presenza di solo segnale, si ottiene
|z(T)|2=|F−  1{Z(f)}|t=T|2=|∞⌠⌡− ∞H(f)X(f)ej2πfTdf|2
A questa espressione può essere applicata la diseguaglianza di Schwartz (a pag. 1↑ si enuncia la relazione |∫∞− ∞a(θ)b*(θ)dθ|2≤∫∞− ∞|a(θ)|2dθ⋅∫∞− ∞|b(θ)|2dθ, con l’eguaglianza solo se a(θ)=k⋅b(θ)), qualora si faccia corrispondere H(f) ad a(θ), e X(f)ej2πfT a b*(θ), ottenendo così
|z(T)|2=(mH1z(T))2≤∞⌠⌡− ∞|H(f)|2df⋅∞⌠⌡− ∞|X(f)|2df
con l’eguaglianza solo se H(f)=kX*(f)e−j2πfT, ovvero (vedi pag. 1↑) se h(t)=kx(T−t), ossia se H(f) è adattata a X(f). Scegliendo k= 1, i due integrali a prodotto hanno lo stesso valore, pari a ℰG.
[434] Vedi ad es. `https://en.wikipedia.org/wiki/Op_amp_integrator`
[435] Il circuito non lineare mostrato non è un filtro adattato, dato che per t≠T non produce la stessa uscita (vedi `http://dsp.stackexchange.com/questions/9094/understanding-matched-filter`).
[436] La condizione (17.32↓) si ottiene anche in questo caso imponendo la minimizzazione di SNR=((mH1z(T))2)/(σ2z(T))=(|∫∞− ∞H(f)X(f)ej2πfTdf|2)/(∫∞− ∞|H(f)|2PN(f)df) il cui denominatore tiene conto che σ2z(T)=∫∞− ∞PZ(f)df è dovuta al solo rumore. Applichiamo ora a SNR la diseguaglianza di Schwartz posta nella forma (|∫∞− ∞a(θ)b*(θ)dθ|2)/(∫∞− ∞|a(θ)|2dθ)≤∫∞− ∞|b(θ)|2dθ e identifichiamo a(θ) con H(f)√(PN(f)) e b*(θ) con X(f)ej2πfT⁄√(PN(f)). Imponendo di nuovo la condizione a(θ)=k⋅b(θ) con k=  1, otteniamo il massimo SNR come SNR=∫∞− ∞|b(θ)|2dθ=∫∞− ∞(|X(f)|2)/(PN(f))df, e quindi scrivendo a(θ)=b(θ) ossia H(f)√(PN(f))=X*(f)e−j2πfT⁄√(PN(f)) si ottiene il risultato (17.32↓).
[437] `http://en.wikipedia.org/wiki/Wiener_filter`
[438] Anche se nel caso di banda base il segnale trasmesso è reale, volendo applicare la teoria esposta ad un inviluppo complesso (§ 10.2.1↓) si rende necessario tener conto dell’operazione di coniugato.
[439] Svolgiamo i calcoli nel dominio della frequenza:
X(f)=(A)/(2)(ejθδ(f−f0)+e−jθδ(f+f0));
Y(f)=X(f)H(f)=(A)/(2)M(f0)(ejθejφ(f0)δ(f−f0)+e−jθe−jφ(f0)δ(f+f0))
e antitrasformando si ottiene
y(t)=A⋅M(f0)cos(2πf0t+φ(f0)+θ)
[440] Se il segnale certo è periodico, il risultato della moltiplicazione per un processo stazionario dà luogo ad un processo detto ciclostazionario, in quanto le statistiche variano nel tempo, ma assumono valori identici con periodicità uguale a quella del segnale certo.
[441] Compreso il caso di processi armonici!
[442] La proprietà di ergodicità congiunta corrisponde a verificare le condizioni ergodiche anche per i momenti misti m(1, 1)XY(x,y) relativi a coppie di valori estratti da realizzazioni di due differenti processi.
[443] Come per il prodotto, se il segnale certo è periodico, la somma si dice ciclostazionaria perché la dipendenza temporale non è assoluta, ma periodica.
[444] Si tratta di una stima (vedi § 7.5.4↑) in quanto l’intervallo di integrazione T è limitato.
[445] Il tema delle realizzazioni numerihe dei filtri digitali non è al momento qui svolto, ma citiamo come fonte di approfondimento `http://www.dspguide.com/ch14/6.htm`).
[446] I coefficienti cn vengono indicati nei testi inglesi come taps (rubinetti) in quanto possono essere pensati “spillare” frazioni del segnale. Per effetto di un processo di trasposizione linguistica, gli stessi coefficienti in italiano vengono a volte indicati discorsivamente come tappi (!).
[447] Il troncamento (§ 2.2.2↑) della serie di coefficienti ck avviene in modo simmetrico rispetto a c0, prendendo cioè sia gli indici positivi che quelli negativi. Viceversa, nello schema di filtro trasversale si usano solo coefficienti con indici ≥ 0. Nel caso in cui l’H(f) da cui partiamo sia reale pari, allora i ck sono una serie reale (pari), garantendo un filtro idealmente realizzabile, ma la cui h(t)=∑N⁄ 2k=  −N⁄ 2ckδ(t−kT) necessita di una traslazione temporale per essere anche fisicamente realizzabile. Se invece H(f) ha un andamento qualunque, non si può dire nulla a riguardo di eventuali simmetrie per i coefficienti ck.
[448] In questo caso pur risultando H(f) a simmetria coniugata (H(f)=H*(−f)), è complessa. Pertanto, i coefficienti ck ottenibili dalla (17.35↑) sono reali, ma non necessariamente pari. Svolgendo i calcoli, si ha: ck=T∫1  ⁄ 2T− 1 ⁄ 2T(1 +αe−j2πfT)ej2πfkTdf=T∫1 ⁄ 2T− 1 ⁄ 2Tej2πfkTdf+αT∫1 ⁄ 2T− 1 ⁄ 2Tej2πf(k− 1)Tdf. Il primo integrale è nullo per k≠ 0, mentre il secondo per k≠ 1, in quanto le funzioni integrande hanno media nulla sull’intervallo 1  ⁄T; pertanto c0= 1 e c1=α, esattamente come è definita la risposta impulsiva.
[449] In altre parole, l’andamento ondulatorio di |H(f)|2 rende il filtro idoneo a diversi utilizzi, in funzione dell’andamento in frequenza del segnale di ingresso.
[450] In questo caso si parla di filtro iir o infinite impulse response.
[451] L’analogia non è poi troppo peregrina, considerando che se x è estratta da un processo ergodico a media nulla, la sua varianza σ2x coincide con la potenza del segnale da cui è estratta, mentre se x ed y sono estratte da segnali congiuntamente ergodici, la covarianza σxy coincide con la funzione di intercorrelazione (eq. (17.24↑)), ovvero con la loro potenza mutua.
[452] Si verifichi per esercizio che nel caso di una coppia di v.a. congiuntamente gaussiane, a media nulla ed uguale varianza, si ottiene l’espressione (17.8↑) di pag. 1↑.
[453] La definizione di autocorrelazione prescrive il calcolo ℛy(τ)=limα→ ∞(1)/(α)∫α⁄ 2−α⁄ 2y(t)y(t+τ)dt ma, se y(t) è periodico, il valore dell’integrale su di un intervallo pari ad un periodo fornisce lo stesso valore per qualunque possibile traslazione temporale di y(t)
[454] E’ facile verificare dalla figura mostrata che sia (1)/(β)rectβ(t) che (1)/(β)tri2β(τ) possiedono area unitaria, e dunque per β→ 0 convergono ad un impulso.
[455] S. Barbarossa, http://infocom.uniroma1.it/sergio/PAM.pdf
[456] Più precisamente, l’autocorrelazione tra simboli bn è valutabile solo per distanze temporali multiple del periodo di simbolo, ed in virtù della presenza di h(t), risulta ℛb((n−m)T)=E{bnbm}=σ2AℛH((n−m)T).
[457] Nell’ultima serie di passaggi si può valutare Pπ(f) come (1)/(T2)∑nδ⎛⎝f−(n)/(T)⎞⎠, in quanto Π(f)= ℱ{π(t)}= ℱ{∑nδ(t−nT)}=(1)/(T)∑nδ⎛⎝f−(n)/(T)⎞⎠ (vedi § 3.8.3↑) e quindi Pπ(f)=|Π(f)|2, oppure applicando la relazione Pπ(f)= ℱ{ℛπ(τ)} a partire dalla (17.40↑).
[458] La dimostrazione sarà sperabilmente sviluppata in una prossima edizione... è una delle poche a mancare in questo libro! ..al momento, la fonte che trovo più in accordo con questa tesi, è ancora una volta `https://en.wikipedia.org/wiki/Raised-cosine_filter`
[459] Consideriamo valori ai equiprobabili, ovvero p(ai)=1⁄L, e con dinamica bilanciata attorno allo zero, ossia valori compresi tra −Δ⁄2 e Δ⁄2
[460] Facciamo uso delle relazioni ∑Nn= 1n=(N(N+  1))/(2) e ∑Nn= 1n2=(N(N+ 1)(2N+ 1))/(6)
[461] Infatti, ℛx(τ)*h(τ)=x*(−τ)*x(τ)*h(τ)=x*(−τ)*y(τ), che è appunto la definizione di ℛxy(τ), vedi anche eq. (17.27↑) a pag. 1↑.
[462] Senza entrare nei dettagli, specifichiamo semplicemente che celle limitrofe adottano regioni di frequenza differenti, onde evitare interferenze tra celle; inoltre (per il sistema gsm↓) nell’ambito di una stessa portante è realizzata una struttura di trama, in modo da permettere l’utilizzo dello stesso canale da parte di più terminali contemporaneamente, multiplati a divisione di tempo.
[463] Un minimo di approfondimento (sempre per il gsm) però ci sta bene... Aggiungiamo quindi che la scelta del canale su cui comunicare avviene in base alle condizioni di ricezione del singolo radiomobile che, per effetto dei cammini multipli (§ 15.3.3.5↓) sul segnale del ripetitore, può ricevere meglio certe portanti che non altre.
La trasmissione che ha luogo su di una portante, inoltre, può aver origine da più terminali, che si ripartiscono la medesima banda a divisione di tempo, in accordo ad una suddivisione di trama dell’asse dei tempi. Pertanto, dopo che un terminale si è aggiudicato una portante ed un intervallo temporale, la trasmissione (attuata mediante una modulazione numerica) ha luogo solo per brevi periodi, in corrispondenza del time-slot di propria pertinenza.
Dato che i singoli terminali si trovano a distanze diverse dal ripetitore di cella, diversi sono i tempi di propagazione del segnale di sincronismo di trama e di time-slot, e dunque l’intervallo temporale che viene “riempito” da ogni terminale giunge al ripetitore con un ritardo variabile. Per questo motivo, i time-slot della trama sono separati da piccoli periodi di inattività, chiamati intervalli di guardia, che garantiscono l’assenza di sovrapposizioni temporali delle trasmissioni originate dai diversi terminali.
[464] Un altro fattore particolarmente rilevante è la limitazione della potenza che è possibile immettere su di un singolo collegamento telefonico che, associato al precedente, identifica il canale telefonico come limitato sia in banda che in potenza, e dunque con capacità (§ 17.2.4↓) C=Wlog2⎛⎝1  +(Ps)/(N0W)⎞⎠ dipendente solo dal livello del rumore. La limitazione in potenza è storicamente motivata da problemi di diafonia (pag. 1↓) dovuti a fenomeni di induzione elettromagnetica, mentre attualmente è determinata dalla limitata dinamica del segnale che viene campionato e trasmesso in forma numerica.
[465] Questo valore massimo nominale determina che la frequenza di campionamento del PCM telefonico è pari a 2*4000 = 8000 campioni al secondo. Utilizzando 8 bit/campione, si ottiene la velocità binaria fb= 64000 campioni/secondo. Velocità inferiori si possono conseguire adottando metodi di codifica di sorgente per il segnale vocale.
[466] L’ibrido telefonico è un trasformatore con quattro porte, che realizza la separazione tra le due vie di comunicazione che viaggiano sullo stesso cavo (vedi § 6.9.1↑). Nel caso di una linea ISDN, invece, il telefono stesso effettua la conversione numerica, ed i campioni di voce viaggiano nei due sensi (tra utente e centrale) secondo uno schema a divisione di tempo (vedi § 6.9.2↑).
[467] Antenne più corte hanno una efficienza ridotta, ma sono ancora buone. Altrimenti la radio AM (540 - 1600 KHz) avrebbe bisogno di (3⋅108)/(1000⋅103)= 300 metri ! Al § 15.5.2↓ è riportata una tabella dei valori di λ per i diversi servizi di tlc.
[468] Se un segnale è strettamente limitato in banda, deve avere durata infinita, e viceversa. E’ pratica comune, invece, parlare di limitazione in banda anche per segnali di durata finita. Nel fare questo, si considera un X(f) pari a zero per le frequenze f tali che |X(f)|<ε, ovvero considerare anziché X(f) a banda illimitata, una sua finestra in frequenza XW(f)=X(f)W(f) a banda limitata, la cui antitrasformata xW(t) è diversa da x(t) (sappiamo infatti che si ha xW(t)=x(t)*w(t)), ma ne costituisce una approssimazione.
[469] xc(t) e xs(t) si ottengono a partire dalla rappresentazione polare x(t)=a(t)ejφ(t) di x(t), semplicemente sviluppando la stessa come x(t)=a(t)ejφ(t)=a(t)cosφ(t)+ja(t)sinφ(t)=xc(t)+jxs(t)
[470] Si faccia uso della relazione cos(α+β)= cosαcosβ− sinαsinβ.
[471] Indicata anche come am (amplitude modulation).
[472] Indicata anche come pm (phase modulation).
[473] L’antitrasformata di Fourier di Hℋ(f) è calcolata al § 10.7.1↓, e fornisce l’espressione della risposta impulsiva del filtro di Hilbert hℋ(t)= ℱ− 1{Hℋ(f)}=(1)/(πt), permettendo di scrivere la trasformata di Hilbert nella forma di un integrale di convoluzione: ^x(t)= ℋ{x(t)}=(1)/(π)∫∞− ∞(x(τ))/(t−τ)dτ=x(t)*(1)/(πt). La realizzazione di un filtro di Hilbert con una risposta in frequenza esattamente descritta dalla (17.46↑) può risultare molto ardua, a causa della brusca transizione della fase in corrispondenza di f= 0. In realtà, il filtro di Hilbert si usa principalmente per segnali modulati, che non presentano componenti spettrali a frequenze prossime allo zero. Pertanto, lo stesso scopo può essere svolto da un diverso filtro Hℋ(f), con andamento più dolce della fase, e che presenti gli stessi valori nominali del filtro di Hilbert solamente per le frequenze comprese nella banda di segnale.
[474] Accenniamo brevemente alle principali proprietà della trasformata di Hilbert↓:

- ℋ{x(t)=x0}= 0: una costante ha trasformata di Hilbert nulla, e la trasformata di Hilbert è definita a meno di una costante. Il valore medio di x(t) non si ripercuote su ^x(t);
- ℋ{ℋ{x(t)}}=^^x(t)=   −x(t): infatti una rotazione di fase pari a π radianti corrisponde ad una inversione di segno;
- ∫∞− ∞x(t)^x(t)dt= 0: ortogonalità tra un segnale e la sua trasformata di Hilbert;
- ℋ{x(t)*h(t)}=^x(t)*h(t)=x(t)*^h(t): la trasformata di Hilbert di una convoluzione (cioè dell’uscita di un filtro) è la convoluzione tra un operando trasformato e l’altro no.

[475] Il risultato è valido solamente se xc(t) ed xs(t) sono limitate in banda ±W con W<f0, come mostrato in appendice 10.7.2↓.
[476] Potremmo notare come la matrice dei coefficienti costituisca una rotazione di assi (vedi as es. a pag. 1↓), rotazione che “ruota” letteralmente a velocità angolare ω0. Tale rotazione stabilisce che le coppie di segnali (xc(t), xs(t)) e (x(t), ^x(t)) rappresentano comunque l’evoluzione dell’inviluppo complesso x(t)=a(t)ejφ(t): mentre xc(t) e xs(t) lo rappresentano su due assi ad esso solidali, x(t) e ^x(t) sono definiti su assi ruotanti che tengono conto della frequenza portante.
[477] L’eguaglianza si dimostra valutandola nel domino nella frequenza, ricordando la definizione di filtro di Hilbert, in quanto risulta:
X+(f)=(1)/(2)(X(f)+j^X(f))=⎧⎨⎩ (1)/(2){X(f)+j[−jX(f)]}=X(f) con f> 0 (1)/(2){X(f)+j[jX(f)]}= 0 con f< 0
infatti, a frequenze negative il prodotto j⋅j=  − 1 costituisce uno sfasamento di π radianti per tutte le frequenze, provocando l’elisione tra X(f) e -X(f) per tutti i valori f< 0.
[478] Sviluppando il secondo membro di (17.48↑) si ottiene:
(1)/(2)x(t)ejω0t = (1)/(2)(xc(t)+jxs(t))(cosω0t+jsinω0t)=(1)/(2)[(xc(t)cosω0t−xs(t)sinω0t)]+ + j(xc(t)sinω0t+xs(t)cosω0t)]=(1)/(2)(x(t)+j^x(t))
che corrisponde al secondo membro di (17.47↑), e quindi a x+(t).
[479] Il pedice fp stà per frequenze positive.
[480] La (17.49↓) può essere motivata seguendo le stesse linee guida indicate alla nota 9.2.1↑ a pag. 1↑.
[481] Approfittiamo dell’occasione per notare che, pur potendo scrivere X(f)=Xc(f)+jXs(f), non è assolutamente lecito dire che ℜ{X(f)}=Xc(f) e ℑ{X(f)}=Xs(f); infatti sia Xc(f) che Xs(f) possono a loro volta essere complessi (mentre xc(t) e xs(t) sono necessariamente reali).
[482] Per dimostrare il risultato, mostriamo innanzitutto che il segnale analitico in uscita vale y+(t)=x+(t)*h+(t). Infatti, omettendo di indicare nei passaggi la variabile (t) per compattezza di notazione, risulta
x+(t)*h+(t)=[x*hfp]*[h*hfp]=[x*h]*[hfp*hfp]=y*hfp=y+
in cui hfp(t) è la risposta impulsiva del filtro necessario ad estrarre il segnale analitico. Non resta ora che mostrare lo sviluppo per il risultato anticipato:
(1)/(2)x(t)*h(t) = (1)/(2)[2x+(t)e−jω0t]*[2h+(t)e−jω0t]= = 2∞⌠⌡− ∞x+(τ)e−jω0τh+(t−τ)e−jω0(t−τ)dτ= = 2e−jω0t∞⌠⌡− ∞x+(τ)h+(t−τ)dτ= 2e−jω0ty+(t)=y(t)
[483] Con queste parole si indica l’uso in ricezione della stessa identica portante usata per la trasmissione, senza errori né di fase né di frequenza, e le cui modalità sono indicate al § 11.2.1↓.
[484] Si fa uso delle relazioni cos2α=(1)/(2)(1 + cos2α) e sinαcosα=(1)/(2)sin2α
[485] Il simbolo rappresenta un filtro passa-basso, poichè viene cancellata l’ondina superiore. Nello stesso stile, sono a volte indicati un passa-alto ed un passa-banda .
[486] Infatti ℛxcxs(τ)=^ℛx(τ)cosω0τ− ℛx(τ)sinω0τ, in cui ℛx(τ)= ℱ− 1{Px(f)} è pari e sinω0t è dispari, mentre ^ℛx(τ) è dispari (non è stato dimostrato, ma vale per le trasformate di Hilber di segnali pari) e cosω0τ è pari. Inoltre, essendo xc(t) ed xs(t) reali, ℛxcxs(τ) è reale.
[487] Per i segnali numerici si usano tecniche peculiari, esposte al capitolo 13↓.
[488] Come sarà più chiaro nel seguito, l’acronimo vsb simboleggia che, anziché sopprimere completamente una delle due bande laterali, se ne mantengono delle vestigia.
[489] Considerando che la portante di modulazione può avere una fase iniziale arbitraria, e che con una traslazione temporale ci si può sempre ricondurre ad usare una funzione cosω0t, la convenzione posta tratta il caso di un segnale modulato x(t)  =a(t)cos(ωot+φ) generico, con φ costante.
[490] Si definisce come potenza istantanea di m(t), il segnale PI(t)  =m2(t), e la potenza di picco PMaxI ne rappresenta il massimo valore per qualunque t.
[491] Ad esempio, nel caso in cui m(t) sia un processo con densità di probabilità uniforme tra ±(Δ)/(2), la potenza di picco risulta essere (Δ2)/(4)= 3σ2M, dato che (come mostrato al § 7.2.3↑) in quel caso risulta σ2M=(Δ2)/(12); se invece m(t)  =asin2πfMt, allora si ha una potenza di picco a2= 2σ2M (dato che PM=σ2M=(a2)/(2)). Oppure ancora, se m(t) è gaussiano la potenza di picco (e dunque a2P⁄k2a per ottenere la portante intera) risulta infinita. E cosa accade allora? Si avrà necessariamente una portante ridotta...
[492] Un indice Ia pari al 100% indica che si sta sfruttando tutta la dinamica della portante, mentre se Ia> 100 ci troviamo in condizioni di sovramodulazione, e non più di portante intera.
[493] Ad esempio, se m(t) = sin2πfMt si ha PM= 1 ⁄ 2 e, nel caso di portante intera, deve risultare ap=ka e dunque η=(1)/(1 + 2)= 0.33. Ovvero solo 1/3 della potenza trasmessa è utile al ricevitore!
[494] Nel caso ad esempio di ampie zone di immagine uniformi ed a luminosità costante, il segnale è praticamente costante.
[495] In appendice 11.4.3↓ sono illustrate due tecniche di realizzazione del moltiplicatore.
[496] Dato che un qualunque canale presenta un ritardo di propagazione τ, la portante del segnale ricevuto sarà nella forma cos2πf0(t−τ)= cos(2πf0t− 2πf0τ)=  cos(2πf0t−θ), ovvero sarà sempre presente una fase incognita. Nel caso poi di un collegamento radiomobile, sarà anche presente un errore di frequenza, dovuto all’effetto doppler.
[497] Si applichi cosαcosβ=(1)/(2)[cos(α+β)+ cos(α−β)].
[498] Per un approccio alternativo, vedi §11.4.2↓.
[499] Se quest’ultimo ad esempio è costante (x(t)= Δ), allora si avrà: y(t)= sin(2πf0t+ 2πΔt)= sin[2π(f0+ Δ)t], ovvero la frequenza si è alterata di una quantità pari a Δ. Il lettore più attento avrà riconosciuto che il VCO realizza il processo di modulazione di frequenza.
[500] Si utilizzi cosαsinβ=(1)/(2)[sin(α+β)+ sin(α−β)].
[501] La grandezza di controllo ε(t) proporzionale a sin(Δθ) si azzera per Δθ=kπ con k intero, positivo o negativo. Per k dispari si hanno condizioni di instabilità, in quanto ad es. per Δθ che aumenta o diminuisce rispetto a Δθ=π, il segno di ε è ripettivamente negativo e positivo, causando un ulteriore ritardo o aumento di ^θ(t) che causa un ulteriore aumento o diminuzione di Δθ, finché questo non raggiunge il valore 0 o 2π, corrispondenti a condizioni di stabilità.
[502] Notiamo che un moltiplicatore, seguito da un filtro passabasso, esegue il calcolo dell’intercorrelazione tra gli ingressi del moltiplicatore (vedi §9.7.3↑), che nel nostro caso è una sinusoide.
[503] In particolare, le realizzazioni pratiche del PLL dipendono fortemente dalla banda e dall’ordine del filtro di loop, in quanto è quest’ultimo che limita la velocità di variazione di ε(t) e l’estensione dell’intervallo di aggancio. Lo studio teorico delle prestazioni si basa sull’uso della trasformata di Laplace e sulla approssimazione sin(Δθ)≃Δθ, in quanto così il PLL può essere studiato come un sistema di controllo linearizzato, sommariamente descritto al §11.3.1.1↓. Per approfondimenti, vedi `http://it.wikipedia.org/wiki/Phase-locked_loop`.
[504] La ricerca dell’emittente, che può essere banalmente l’azione di sintonizzare la propria radio sul programma preferito, può richiedere interventi automatici, qualora si tratti ad esempio di dover compensare le variazioni di frequenza dovute al movimento reciproco di trasmettitore e ricevitore (effetto doppler), come per il caso delle comunicazioni con mezzi mobili.
In questi casi, prima della comunicazione vera e propria, è necessario prevedere una fase di acquisizione della portante, svolta ad esempio mediante un circuito del tipo di quello che stiamo discutendo, in cui vengono provate diverse portanti di demodulazione, finché non si produce un segnale in uscita.
[505] Un radar trasmette ad elevata potenza per periodi molto brevi, e stima la presenza di oggetti basandosi sul ritardo con cui il segnale, riflesso da questi, torna indietro. Per questo, il ritardo di fase rappresenta proprio la grandezza che fornirà l’informazione relativa alla distanza, e può essere qualsiasi. Prima di iniziare a stimare tale informazione, è essenziale per il sistema accertarsi che ci sia un segnale da stimare.
[506] Il simbolo rappresenta un diodo, costituito da un bipolo di materiale semiconduttore drogato, che ha la particolarità di condurre in un solo verso (quello della freccia).
[507] Presso `http://it.wikipedia.org/wiki/Rivelatore_d'inviluppo` qualche linea guida di progetto.
[508] Si può dimostrare che per l’inviluppo complesso H(f) di H(f) deve risultare: H(f)+H*(−f)=cost perché in tal modo il residuo di banda parzialmente soppressa si combina esattamente con ciò che manca alla banda laterale non soppressa.
[509] Le difficoltà nascono sia dall’esigenza di accordare il filtro attorno alla frequenza portante desiderata, sia dalla necessità di attenuare sufficientemente le trasmissioni che avvengono su frequenze limitrofe, determinando la necessità di realizzare un filtro con regione di transizione molto ripida, problema che può divenire insormontabile se il rapporto tra banda del segnale e portante (la cosiddetta banda frazionaria) è particolarmente ridotto.
[510] Scegliere fe<f0 oppure fe>f0 praticamente ha l’effetto di scambiare i ruoli tra la portante desiderata, e la sua immagine. In particolare, il risultato non cambia se la modulazione è a banda laterale doppia, ma dato che nel secondo caso, X+(f) si rialloca sull’asse delle frequenze negative (ed il contrario per X−(f)), per la modulazione blu o blr questo fenomeno di inversione delle bande laterali deve essere tenuto in conto nel demodulatore omodina finale.
[511] Si fa qui uso della espansione in serie di potenze dell’esponenziale: ex= 1 +x+(x2)/(2)+(x3)/(3!)+ ....
[512] Un altro caso di multiplex fdm è quello del downlink di un trasponder dvb-s, introdotto al § 15.5.1↓
[513] Per utilizzare il demodulatore inviluppo, deve risultare sempre (f0)/(kf)+m(t)> 0, e dunque occorre scegliere (f0)/(kf)> maxt{|m(t)|}.
[514] Si è sostituito cos con sin nel caso PM per omogeneità di formulazione, senza alterare la sostanza delle cose.
[515] Le funzioni di Bessel del primo tipo, ordine n ed argomento β sono definite come Jn(β)=(1)/(2π)∫π−πej(βsinx−nx)dx.
[516] Integrando l’espressione di Px(f), e ricordando che ∑+ ∞n=  − ∞J2n(β)= 1, si ottiene ancora un risultato già noto, e cioè che la potenza totale del segnale modulato risulta pari a quella della portante non modulata, e pari a Px=(a2)/(2), indipendentemente da β.
[517] J. R. Carson fu uno dei primi ad investigare la modulazione negli anni ’20, vedi ad es. `http://en.wikipedia.org/wiki/John_Renshaw_Carson`
[518] In particolare, per β→ ∞ risulterà Px(f)=(a2)/(1 −(f⁄kf)2), che è l’andamento a cui tendono (per β→ ∞) i grafici in basso di fig. 11.19↑.
[519] Volendo applicare la regola di Carson per calcolare la banda, si avrebbe (considerando β≫1) BC= 2W(β+ 1)≃2(Δf)/(W)W= 2Δf, in cui Δf=kf(ΔM)/(2). Pertanto risulta BC= 2kf(ΔM)/(2)=kfΔM, in accordo al risultato previsto nel caso di modulazione ad alto indice.
Qualora si fosse invece posto β=(σf)/(W) (vedi 11.3.3.1↓) si sarebbe ottenuto BC= 2W(β+ 1)≃2(σf)/(W)W= 2σf= 2kf√(PM)= 2kf√((Δ2M)/(12))= 2kf(ΔM)/(2√(3))=(ΔMkf)/(√(3)), un risultato che è circa pari a 0.58 volte quello precedente. Data le particolarità di pM(m) uniforme, in questo caso è da preferire il primo risultato.
[520] Infatti, dalla definizione fi(t)=f0+kfm(t) si ottiene che σ2f=k2fσ2M, in cui σ2M=PM se m(t) è un processo stazionario ergodico a media nulla.
[521] Come sopra, partendo dalla relazione α(t)=kφm(t).
[522] La riproduzione di metà quadro alla volta è chiamata scansione interallacciata dell’immagine. Nulla vieta al costruttore del ricevitore di prevedere una memoria di quadro e di riprodurre le immagini in modo non interallacciato; il segnale trasmesso invece presenta sempre le righe in formato interallacciato.
[523] La frequenza di 50 semiquadri/secondo è stata scelta di proposito uguale alla frequenza di funzionamento della rete elettrica, in modo che eventuali disturbi elettrici avvengano sempre nello stesso punto dell’immagine, riducendo gli effetti fastidiosi.
[524] Il flicker si manifesta nel caso in cui la frequenza di rinfresco è inferiore al tempo di persistenza delle immagini sulla retina, pari a circa (1)/(40) di secondo.
[525] In questo modo si riduce mediamente la potenza trasmesa, dato che sono più frequenti scene chiare che scure.
[526] Nel tempo destinato alle linee che non sono mostrate, vengono comunque trasmesse altre informazioni, come ad esempio i dati che compaiono nelle pagine del televideo.
[527] Ad esempio, si può stabilire di realizzare la stessa risoluzione orizzontale e verticale. A fronte delle 625 linee, il rapporto di aspetto di (4)/(3) determina l’esigenza di individuare 625 ⋅(4)/(3)= 833 (punti)/(linea), e quindi 833 ⋅ 625 = 520625 (punti)/(quadro), ossia circa 13⋅106 (punti)/(secondo). Per il teorema del campionamento, il segnale deve avere una banda minore od uguale di (fc)/(2) = 6.5 MHz.
[528] In realtà ogni componente è pesata mediante un opportuno coefficiente che tiene conto della diversa sensibilità dell’occhio ai tre colori fondamentali. Infatti, per ottenere il bianco, i tre colori non devono essere mescolati in parti uguali, bensì 59% di verde, 30% di rosso e 11% di blu.
[529] Le ampiezze delle componenti in fase e quadratura del segnale di crominanza devono essere opportunamente scalate, per impedire al segnale complessivo (luminanza più crominanza) di assumere valori troppo elevati.
[530] Possiamo riflettere su quali siano le circostanze che producono la massima interferenza della luminanza sulla crominanza: ciò avviene in corrispondenza di scene molto definite, relative ad immagini con elevato contenuto di frequenze spaziali elevate, ad esempio nel caso di righe fitte; il disturbo è più appariscente nel caso in cui la zona ad elevato contrasto sia povera di componenti cromatiche. Avete mai notato cravatte a righine bianche e nere, divenire cangianti ?
[531] Introdotto al § 9.8↑, l’argomento può essere approfondito presso http://it.wikipedia.org/wiki/Filtro_comb
[532] Infatti i segnali xc(t)cosω0t e xs(t)sinω0t risultano ortogonali, e le potenze si sommano.
[533] In virtù di questa definizione, SNR0 è una grandezza che caratterizza le condizioni operative (Px, Pn(f)=(N0)/(2) e W sono grandezze indipendenti) ma non è legata alla particolare tecnica di modulazione adottata. Pertanto, esprimere SNR in funzione di SNR0 permette il confronto tra i diversi tipi di modulazione a parità di condizioni operative.
[534] Discusso al § 11.3.1.2↑, e che si basa sul demodulatore di inviluppo introdotto al § 11.2.3↑.
[535] Con questa posizione, la potenza della portante risulta ((√(2Px))2)/(2)=(2Px)/(2)=Px.
[536] In questo senso, il fenomeno può essere visto come una manifestazione del compromesso velocità-distorsione↓, vedi § 17.1.2↓.
[537] Letteralmente, slittamento di tasto a due fasi.
[538] Qui e nel seguito assumiamo di disporre di una portante di demodulazione omodina o coerente (§ 11.2.1↑), ossia priva di errori di fase e frequenza, così come di una perfetta temporizzazione di simbolo; le considerazioni al riguardo di quest’ultimo aspetto sono svolte all’appendice 13.10.1↓.
[539] Come discusso al § 11.1.1↑, la modulazione am-bld produce la traslazione della densità spettrale del segnale modulante alla frequenza portante f0. A sua volta (§ 5.1.2.1↑), in base all’eq. (6.36↑) il segnale nrz ha densità spettrale di tipo sinc2(fτ), il cui andamento in dB è mostrato in fig. 3.14↑, riportata in fig. 13.1↑.
[540] Come ad esempio i collegamenti satellitari.
[541] Per chi si sta chiedendo quanto valgono questi livelli, diciamo che il livello i-esimo (con i= 0, 1, ⋯,L− 1) corrisponde al valore ai=i⋅(Δ)/(L− 1)− 1 . Verificare per esercizio con Δ = 2 ed L= 4.
[542] Ad esempio: se L= 32 livelli, la banda si riduce di 5 volte, ed infatti con M= 5 bit si individuano L= 2M= 32 configurazioni. Dato che il numero M di bit/simbolo deve risultare un intero, si ottiene che i valori validi di L sono le potenze di 2.
[543] ricordiamo che Px esprime la potenza ricevuta, N0 rappresenta il doppio della Pn(f) presente al decisore, e W è la banda del segnale modulante.
[544] Forniamo qui dimostrazione forse inutilmente elaborata. Con riferimento alla figura seguente, il calcolo della Pe per l’l-ask si imposta definendo valori di Eb ed N0 equivalenti a quelli di banda base, ma ottenuti dopo demodulazione, e cioè Eb’  =Px’Tb e N0’ =PN’ ⁄W (infatti, PN’  =(N0’)/(2)2W, con W=(fs)/(2)=(fb)/(2log2L)).
L’equivalenza è presto fatta, una volta tarato il demodulatore in modo che produca in uscita la componente in fase xc(t) limitata in banda tra ±W. Infatti in tal caso (vedi § 12.2.1↑) Px’  =Pxc=k2aPM= 2Px e quindi Eb’  =Px’Ts= 2PxTs= 2Eb; per il rumore si ottiene N0’ =(PN’)/(W) in cui PN’  =Pnc=σ2nc=σ2n=(N0)/(2)4W e quindi N0’ = 2N0. Pertanto, il valore Eb’  ⁄N0’ su cui si basa ora il decisore è lo stesso Eb⁄N0 in ingresso al demodulatore.
[545] Se γ≠ 0, valgono le considerazioni svolte al § 5.3.5↑.
[546] Il caso in L= 2 ricade nel bpsk già discusso
[547] che non è una modulazione am-blu dato che xs≠^xc
[548] Infatti un rettangolo di durata Ts ha trasformata sinc(Tsf), con il primo zero in f=1⁄Ts=fs, e la modulazione am-bld produce un raddoppio della banda occupata.
[549] Se g(t)=rectTs(t), |x| giace su di un cerchio, spostandosi istantaneamente da un punto all’altro della costellazione
[550] In effetti, dovremmo mostrare che l’attuale valore di Eb⁄N0 è lo stesso del caso bpsk: ma mentre per N0 è evidente che si ha lo stesso valore, sembra che il valore di Eb si dimezzi. Infatti, a partità di potenza ricevuta, i punti di costellazione del bpsk giacciono all’intersezione tra l’asse cartesiano della c.a di b.f. ed il cerchio di raggio pari all’ampiezza a del segnale ricevuto, mentre nel qpsk (fig. 13.10↓) le fasi formano un angolo di 45o rispetto agli assi, riducendone di √(2) la distanza dallo zero, e riducendo dunque la potenza della c.a di b.f. di un fattore 2, e così pure il valore Eb. In realtà, la durata doppia del periodo di simbolo Ts compensa questa riduzione, e dunque Eb=PxTb si mantiene invariato.
[551] In effetti all’istante di decisione potrebbe verificarsi errore su entrambi i rami, ma tale evento avviene con probabilità P(c)e⋅P(s)e che si ritiene ≪P(c)e , e quindi trascurabile.
[552] Ultriore rispetto al commento alla nota 13.2.2↑, dove il ragionamento è svolto sull’Eb⁄N0, mentre ora sull’SNR.
[553] vedi il § 5.2.2.4↑
[554] In pratica, l’indice n si incrementa ogni due incrementi dell’indice k.
[555] Il cui effetto su xc(t) è discusso al § 11.2.1.1↑. Facciamo ricadere in questa casistica l’ambiguità di fase dei sistemi di recupero portante come al § 11.4.2↑, ma anche la distorsione di fase introdotta dal canale non selettivo in frequenza, vedi pag. 1↓.
[556] La similitudine non è per nulla casuale, dato che qualora il predittore mostrato a pag. 1↓ sia realizzato mediante un elemento di ritardo, i due schemi di elaborazione coincidono.
[557] A parte per il primo bit, che ha il solo scopo di stabilire il riferimento di fase per la decodifica del successivo. Da un punto di vista formale, combinando le 18.10↑ e 18.11↑ e in assenza di errori (ossia ŷk=yk) si ottiene ẑk=ŷk⊕ŷk− 1=xk⊕yk− 1⊕yk− 1=xk.
[558] E’ questo un caso tutt’altro che anomalo, in quanto il segnale bpsk contiene entrambe le fasi in egual misura (se i bit sono equiprobabili) e quindi un circuito come quello di pag. 1↑ può agganciarsi indifferentemente all’una o all’altra.
[559] Tratta da Andrea Goldsmith, Wireless Communications, pag. 151.
[560] Nel caso di L> 4 la tabella si modifica molto semplicemente scrivendo accanto al codice di Gray al L livelli, la sequenza crescente delle fasi differenziali Δθk=k(2π)/(L− 1).
[561] Vedi ad es. Krzysztof Wesolowski, Introduction to Digital Communication Systems, Wiley, pag. 328.
[562] La discussione al riguardo è sviluppata al § 13.10.2↓, definendo anche lo condizioni di demodulazione incoerente e coerente, ovvero se le portanti generate in ricezione cos[2π(f0+ Δfk)t+φk] presentino o meno una fase φk casuale rispetto a quella trasmessa. In particolare, la spaziatura Δ multipla di (1)/(2Ts) garantisce ortogonalità solo nel caso di modulazione coerente, mentre nel caso incoerente occorre una spaziatura doppia, ossia Δ multiplo di (1)/(Ts).
[563] L’ortogonalità tra le forme d’onda associate ai diversi simboli corrisponde alla intercorrelazione nulla tra le forme d’onda in un periodo (§ 9.1.4↑), ed infatti l’integrale 18.12↑ vale ℛnm=⎧⎨⎩ .5⋅Ts se n=m 0 altrimenti : ricordando che cos2α=(1)/(2)+(1)/(2)cos2α, l’uscita del correlatore per m=n vale (1)/(2)∫Ts0(1 + cos(4π(f0+mΔ)t))dt, e scegliendo opportunamente f0 (vedi § 13.10.2↓), il coseno che viene integrato descrive un numero intero di periodi all’interno dell’intervallo (0,Ts), fornendo quindi un contributo nullo. Se invece n≠m la funzione integranda non contiene il termine costante, ma solo termini a media nulla, dato che cosαcosβ=(1)/(2)cos(α+β)cos(α−β).
[564] tipo: Sinclair Spectrum , Commodore Vic20 e 64 ... Come noto, le cassette audio soffrono di variazioni di velocità di trascinamento del nastro (wow & flutter), ma il pll non ne risente.
[565] Tranne che, essendo ora presenti solo 2 frequenze, l’approssimazione (18.13↑) non è più corretta.
[566] Ovvero tenendo conto che (vedi § 17.2.3↓) fb non può superare la capacità di canale (eq. (18.114↓)), che a sua volta non può superare il limite C∞ espresso dalla (18.116↓). Ma per l’esattezza, l’espressione teorica della probabilità di errore per simbolo risulta essere
PFSKe(simbolo)= 1 −(1)/(√(πL))∞⌠⌡− ∞e−z2(z+√(log2L⋅Eb⁄N0)⌠⌡− ∞e−y2dy)L− 1dz
che deve essere valutata numericamente per ricavare le curve mostrate.
[567] A pagina 1↓ è esposta una motivazione informale del comportamento descritto.
[568] adsl = Asymmetric Digital Subscriber Line, vedi § 6.9.4↑.
[569] La trasmissione numerica contemporanea su più portanti è a volte indicata con il nome di Multi Carrier Modulation (mcm) o Discrete Multi Tone (dmt). La modulazione FSK utilizza invece una portante alla volta, in quanto la sua definizione prevede la presenza di un solo oscillatore.
[570] Osserviamo innanzitutto che per un segnale
x(t)= cosω1t=(1)/(2)(ejω1t+e−jω1t)
risulta x+(t)=(1)/(2)ejω1t, e quindi il suo inviluppo complesso x(t) calcolato rispetto ad f0 vale
x(t)= 2x+(t)e−jω0t= 2(1)/(2)ejω1te−jω0t=ej(ω1−ω0)t
Allo stesso modo, si ottiene che per y(t)= sinω1t risulta y(t)=(1)/(j)ej(ω1−ω0)t. Pertanto, considerando che (1)/(j)=(j)/(j2)=  −j, ad ogni termine zk(t)=aknccosωnt−aknssinωnt corrisponde un z(t)=akncej(ωn−ω0)t+jaknsej(ωn−ω0)t=aknej2π(fn−f0)t. Applicando ora la (18.14↑) si ottiene fn−f0= Δ⋅⎛⎝n−(N)/(2)⎞⎠ e quindi la (18.16↓).
[571] Come mostrato per il caso incoerente discusso al § 13.10.2↓
[572] Infatti la frequenza di simbolo fs=(1)/(T)=(1)/(T0+Tg) risulta ridotta rispetto al caso in cui Tg sia nullo.
[573] Infatti le variazioni di fase non influenzano lo spettro di energia ma solo quello di ampiezza.
[574] Vedi nota 26↑ a pag. 1↑
[575] Al § 9.10.4↑ si è mostrato che se gli an sono v.a. indipendenti e distribuite uniformemente su L’ livelli tra ±A, si ottiene σ2a=(A2)/(3)(L’ + 1)/(L’ − 1). Nel caso di una costellazione qam quadrata ad L livelli si ha L’ =√(L), e se le realizzazioni sui rami in fase e quadratura sono indipendenti risulta σ2an=E{(anc+jans)2}= 2σ2a=(2A2)/(3)(√(L)+ 1)/(√(L)− 1); volendo eguagliare tale valore a 2Pn, occorre quindi scegliere A=√(3Pn(√(L)− 1)/(√(L)+ 1)).
[576] La (18.21↓) è in qualche modo simile alla formula di ricostruzione (6.3↑) (vedi pag. 1↑) per il segnale periodico limitato in banda ±(N)/(2)F
x(t)=N⁄ 2⎲⎳m=  −N⁄  2Xmej2πmFt
che calcolata per t=hTc=(h)/(NF) fornisce x(hTc)=∑N⁄ 2m=  −N⁄ 2Xmej2π(m)/(N)h. Ponendo ora n=m+(N)/(2) e Yn=Xn−(N)/(2) otteniamo
x(hTc)=N− 1⎲⎳n= 0Ynej2π(n−(N)/(2))/(N)h=e−jπhN− 1⎲⎳n= 0Ynej2π(n)/(N)h
Osservando ora che e−jπh=(− 1)h e confrontando con la (18.17↑) si ottiene la (18.21↓). La coppia di relazioni
Xn=(1)/(N)N− 1⎲⎳h= 0xhe−j2π(h)/(N)n e xh=N− 1⎲⎳n= 0Xnej2π(n)/(N)h
sono chiamate Discrete Fourier Transform (dft↓) diretta e inversa, in quanto costituiscono la versione discreta della trasformata di Fourier (vedi § 4.4↑), e consentono il calcolo di una serie di campioni in frequenza a partire da campioni nel tempo e viceversa.
[577] In effetti la (18.21↑) fornisce un risultato periodico rispetto ad h, con periodo N, ossia con periodo N⋅Tc=N(1)/(fc)=N(1)/(ΔN)=(1)/(Δ)=T0 per la variabile temporale. Per questo motivo il preambolo dell’ofdm è detto anche estensione ciclica.
[578] Si tratta di invertire l’eq. 6.46↑ SNR=(Eb)/(N0)(2log2L)/((1  +γ)) considerando γ= 0 e notando che tale espressione è ottenuta nel caso di banda base, mentre per segnali am la banda (e la potenza di rumore) raddoppia.
[579] La riduzione da due ad una sommatoria, si ottiene scrivendo esplicitamente tutti i termini della doppia sommatoria, e notando che si ottiene per N volte lo stesso termine ℛN(0), N− 1 volte i termini ℛN(Tc)ejπe−j2π(1)/(N)n e ℛN(−Tc)e−jπej2π(1)/(N)n, N− 2 volte quelli ℛN(2Tc)ej2πe−j2π(2)/(N)n e ℛN(− 2Tc)e−j2πej2π(2)/(N)n, e così via.
[580] Se campioniamo z(t) con periodo Tc=(1)/(NΔ), il segnale Z•(f)=∑∞m=  − ∞Z(f−m⋅NΔ) non presenta aliasing (vedi figura), ed il passaggio di z•(t)=∑∞m=  − ∞z(mTc)δ(t−mTc) attraverso un filtro di
ricostruzione H(f)=(1)/(NΔ)rectNΔ⎛⎝f−(NΔ)/(2)⎞⎠ restituisce il segnale originario. Scriviamo pertanto
z(t)=z•(t)*h(t)=∞⎲⎳m=  − ∞z(mTc)δ(t−mTc)*sinc(NΔt)ejπNΔt
ed effettuiamone la trasformata:
Z(f) = ℱ{∞⎲⎳m=  − ∞z(mTc)δ(t−mTc)}⋅(1)/(NΔ)rectNΔ⎛⎝f−(NΔ)/(2)⎞⎠ = [∞⎲⎳m=  − ∞z(mTc)e−j2π(m)/(NΔ)f]⋅(1)/(NΔ)rectNΔ⎛⎝f−(NΔ)/(2)⎞⎠
che, calcolata alle frequenze f=nΔ con n= 0, 1, ...,N− 1 fornisce
Z(f)|f=nΔ=(1)/(NΔ)∞⎲⎳m=  − ∞z(mTc)e−j2π(m)/(N)n
Se ora non disponiamo di tutti i campioni z(mTc), ma solo degli 2N− 1 valori con m=  −(N− 1), ..., 0, 1, ...,N− 1, la relazione precedente si applica ad un nuovo segnale z’(t)=z(t)⋅rect2NTc(t), fornendo
Z’(f)|f=nΔ=(1)/(NΔ)N− 1⎲⎳m=  −(N− 1)z(mTc)e−j2π(m)/(N)n
In virtù delle proprietà delle trasformate, risulta
Z’(f)=Z(f)*ℱ{rect2NTc(t)}≃Z(f)*δ(f)=Z(f)
in cui l’approssimazione è lecita per N elevato.
[581] Infatti non siamo nelle condizioni di demodulazione coerente dell’fsk, e le portanti del simbolo ofdm ricevuto mantengono ortogonalità purchè finestrate su di un periodo T0=(1)/(Δ).
[582] Come discusso ai § 17.2.3↓ e 17.2.4↓, il risultato della teoria di Shannon asserisce che fb=C è la massima velocità di trasmissione per cui si può (teoricamente) conseguire una probabilità di errore nulla, ma anche che il canale consegue capacità C massima a seguito di una oculata scelta di come trasmettere il messaggio.
[583] Vedi ad es. `http://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_dei_moltiplicatori_di_Lagrange`
[584] Si consideri ad esempio il caso in cui H(f) ha origine da un fenomeno di cammini multipli, che determina un andamento di H(f) oscillante in frequenza.
[585] To spread = spalmare, vedi ad es. lo spread butter.
[586] `http://en.wikipedia.org/wiki/Pseudorandom_binary_sequence`
[587] Un modo di generare la sequenza pn è descritto presso `http://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_length_sequence`
[588] Data la sequenza deterministica ak={a0,a1, ⋯aL− 1} di lunghezza L− 1, la correlazione tra
coppie di elementi a distanza n è definita come
ℛa(n)=(1)/(L−n)L−n− 1⎲⎳k= 0akak+n
Considerando invece la sequenza periodica ottenuta ripetendo gli ak, possiamo definire la stessa grandezza come ℛa(n)=(1)/(L)∑L− 1k= 0aka(k+n) mod L
[589] Si veda l’esempio a pag. 1↑
[590] Ad esempio per i collegamenti WiFi si utilizza `http://en.wikipedia.org/wiki/Barker_code`
[591] Quando il messaggio x(t) è di natura numerica, esso è rappresentato da un flusso binario a velocità fb=1⁄Tb, e l’operazione di spreading si ottiene scegliendo Tp=Tb⁄L≪Tb. Moltiplicando modulo due ogni bit del messaggio per la sequenza di chip della pn, si ottiene di fatto una sequenza di sequenze pn, ognuna con segno invertito o meno a seconda del valore dei singoli bit del messaggio. Il segnale dati viene poi realizzato a partire dalla sequenza risultante a velocità fb⋅Wp.
[592] Considerando x(t) realizzazione di un processo ergodico indipendente da p(t), la potenza di x̃(t) risulta x̃2=E{x2(t)p2(t)}=x2=Px
[593] l’autocorrelazione del prodotto di processi indipendenti è pari al prodotto delle autocorrelazioni (§ 9.7.1↑), ed a questo si applica teorema di Wiener (§ 9.2.1↑).
[594] x̃(t)cos(ω0t+φ) con φ v.a. a d.d.p. uniforme può essere considerato come il prodotto di due processi statisticamente indipendenti, la cui potenza è il prodotto delle potenze.
[595] vedi § 12.1.2
[596] Il risultato si ottiene tenendo conto delle eq. (18.31↑) e (18.32↑)
[597] `http://en.wikipedia.org/wiki/Ultra-wideband`
[598] `http://en.wikipedia.org/wiki/Time-hopping`
[599] `http://en.wikipedia.org/wiki/Continuous_phase_modulation`
[600] `http://en.wikipedia.org/wiki/Phase-shift_keying#Offset_QPSK`
[601] `http://complextoreal.com/wp-content/uploads/2013/01/qpr.pdf`
[602] `http://en.wikipedia.org/wiki/Trellis_modulation`
[603] `http://en.wikipedia.org/wiki/MIMO`, `http://complextoreal.com/wp-content/uploads/2013/01/mimo.pdf`
[604] `http://en.wikipedia.org/wiki/Cognitive_radio`
[605] Od alla fine, come nel caso di un ricevitore a correlazione.
[606] Per il recupero della portante si possono usare circuiti del tipo di § 11.4.2↑, mentre l’uso del pll (§ 11.2.1.2↑) non è possibile a causa della assenza di residui di portante. Una volta acquisto il sincronismo di frequenza, quello di simbolo può essere ottenuto mediante schemi operanti in banda base, come quelli a pag. 78↑.
[607] `http://en.wikipedia.org/wiki/Costas_loop`
[608] Vedi as es. `http://en.wikipedia.org/wiki/Carrier_recovery#Decision-directed`
[609] Possiamo notare come la spaziatura tra le frequenze di segnalazione di (fs)/(2) fa si che due forme d’onda con una differenza di frequenza nΔ =n(fs)/(2) accumulino in un intervallo Ts una differenza di fase di nπ, ovvero un numero intero di semiperiodi.
[610] Elaborazione di segnale è la traduzione di signal processing, e così il risultato viene detto anche processato.
[611] Nella pratica, i valori a e τ non si conoscono, mentre invece possiamo disporre di coppie di segnali (x(t),y(t)). I valori vengono dunque definiti come quelli che rendono SNR massimo ovvero Pε minimo. Considerando segnali di potenza, ossia processi stazionari ergodici, si ha
Pε(a,τ) = E{(y(t)−ax(t−τ))2}=E{y2(t)}+a2E{x2(t)}− 2aE{y(t)x(t−τ)}= = Py+a2Px− 2aℛxy(τ)
in cui si è operata la sostituzione E{y(t)x(t−τ)}=  ℛyx(−τ)= ℛ*xy(τ)= ℛxy(τ).
Il valore di a che rende minimo Pε(a,τ) si ottiene eguagliando a zero la derivata: (∂)/(∂a)Pε(a,τ)= 2aPx− 2ℛxy(τ)= 0   ⇒aopt=(ℛxy(τ))/(Px), che sostituita nell’espressione di Pε fornisce
Pε(τ)=Py+⎛⎝(ℛxy(τ))/(Px)⎞⎠2Px− 2(ℛxy(τ))/(Px)ℛxy(τ)=Py−((ℛxy(τ))2)/(Px)=Py⎛⎝1  −((ℛxy(τ))2)/(PxPy)⎞⎠
Il valore di Pε evidentemente è minimo per quel valore di τ=τopt che rende massima (ℛxy(τ))2, ovvero per quella traslazione temporale che rende “più simili” i segnali di ingresso ed uscita.
[612] Vedi ad es. `http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Thévenin`
[613] `http://it.wikipedia.org/wiki/Partitore_di_tensione`
[614] E’ bene notare esplicitamente che questo massimo è valido solo nel caso in cui non sia possibile modificare la Zg(f). Altrimenti, per un qualunque valore fissato di Zc(f), il massimo di Wzc(f) si ottiene quando Zg(f)→ 0.
[615]
Sono chiaramente possibili modelli diversi, basati su topologie e relazioni differenti. Esistono infatti circuiti a T, ad L, a scala, a traliccio, a pigreco; le relazioni tra le grandezze di ingresso ed uscita possono essere espresse mediante modelli definiti in temini di impedenze, ammettenze, e parametri ibridi.
Il caso qui trattato è quello di un modello ibrido, con la particolarità di non presentare influenze esplicite dell’uscita sull’ingresso. Qualora il circuito che si descrive presenti una dipendenza, ad esempio di Zi da Zc, o Zu da Zg, questo deve risultare nell’espressione della grandezza dipendente. Viceversa, qualora il circuito presenti in ingresso un generatore controllato da una grandezza di uscita, il modello non è più applicabile.
[616] L’ultimo passaggio tiene conto che (omettendo la dipendenza da f):
|H|2⋅||(Zg+Zi)/(Zc)||2=||(Zi)/(Zi+Zg)Hq(Zc)/(Zc+Zu)||2||(Zg+Zi)/(Zc)||2=|Hq|2⋅||(Zi)/(Zu+Zc)||2
[617] Un decibel, per come è definito, è la decima parte del Bel. Chissà, forse dopo che definirono il Bel, si accorsero che era troppo grande ? :-)
[618] L’espressione di |H(f)|2 è stata ricavata al § 9.8.2↑. Per la fase (mostrata in figura), osservando che H(f)= 1 +ae−j2πfT e che φ(f)= arctan(ℑ)/(ℜ), si ottiene φ(f)=  arctan(asin2πfT)/(1 + cos2πfT).
[619] Al contrario, è sensibile alle sue variazioni: queste ultime sono infatti elaborate dal cervello per estrarne informazioni relative al “movimento” dei suoni percepiti. Confrontando i ritardi differenti e variabili dei segnali pervenuti alle orecchie, si può comprendere se la sorgente degli stessi è in movimento.
[620] `http://en.wikipedia.org/wiki/Analogue_filter`
[621] Operazione necessaria se il canale cambia da un collegamento all’altro, come nel transito in una rete commutata, o nel caso di una comunicazione radiomobile.
[622] Si veda l’eq. (17.29↑) a pag. 1↑, tralasciando il termine di fase lineare necessario a rendere hR(t) causale.
[623] Sia che si abbia HR(f)=HT(f)=√(G(f)) come per il caso del ricevitore ottimo § 5.7↑, sia nel caso in cui HT(f)=G(f) e HR(f) filtra il rumore.
[624] Dato che per evitare aliasing (§ 4.1.1↑) la frequenza di campionamento fc=(1)/(τ) deve risultare maggiore del doppio della massima frequenza presente in y(t), scegliamo (1)/(τ)= 2fs, ovvero adottiamo una frequenza di campionamento pari al doppio di quella di simbolo. Infatti, un segnale dati di banda base a coseno rialzato occupa una banda a frequenze positive pari a B=(fs)/(2)(1 +γ), e dunque scegliendo fc= 2fs ci cauteliamo anche nel caso di γ= 1. La scelta di porre τ<Ts viene indicata anche con il termine di fractionally spaced equalizer o fse.
[625] La (18.49↓) rappresenta l’uscita di un filtro fir anti-causale, dato che z(t) dipende da valori futuri di ingresso, fino a y(t+Nτ), mentre l’espressione causale che rispecchia la notazione usata nella figura dovrebbe essere z(t)=∑Nn=  −Ncny(t−nτ−Nτ), che corrisponde ad un semplice ritardo dell’ingresso di Nτ, trascurato per semplicità di notazione nel seguito.
[626] `http://en.wikipedia.org/wiki/Wiener_filter`
[627] `http://en.wikipedia.org/wiki/Toeplitz_matrix`
[628] `http://it.wikipedia.org/wiki/Discesa_del_gradiente`
[629] Infatti, sviluppando la (18.50↑) si ottiene e2(c)=∑Nn=  −N∑Nk=  −NcnckℛY(n−k)− 2∑Nk=  −NckℛYA(k)+E{a2m}, che è una forma quadratica (o paraboloide) e pertanto possiede un solo minimo globale.
[630] Dalla (18.51↑) osserviamo che g(ck) è valutabile come gk= 2(Bck−d).
[631] Una regola pratica suggerisce di porre Δ =(1)/(5(2N+ 1)PY) in cui PY è la potenza ricevuta di segnale più rumore. Valori maggiori possono accellerare la convergenza, ma anche dar luogo ad instabilità della soluzione, mentre valori più piccoli rallentano la convergenza, ma possono produrre errori finali minori.
[632] La sequenza dei simboli trasmessi è nota all’inizio della trasmissione, e spesso generata nella forma di una sequenza pseudo-noise. Dopo questa fase iniziale di apprendimento, l’equalizzatore commuta su di una modalità dipendente dalle decisioni, i cui sono invece usati i valori \widetildeak emessi dal decisore: se la probabilità di errore per simbolo non è troppo elevata, la maggior parte delle volte la decisione è esatta, ed il metodo continua a funzionare correttamente.
[633] Da un punto di vista intuitivo, la (18.55↓) si commenta notando che il generico coefficiente cn viene aumentato nel caso in cui em e yn sono di segno opposto, ovvero se l’uscita è troppo piccola (z(mTs)<am) ed il contributo dell’n-esima memoria (a cui corrisponde un cn positivo) va fatto pesare di più, oppure se l’uscita è troppo grande (z(mTs)>am) ed il contributo dell’n-esima memoria (a cui corrisponde un cn negativo) deve essere (in modulo) ridotto. Considerazioni opposte, nel caso em e yn abbiano lo stesso segno.
[634] `http://en.wikipedia.org/wiki/Least_mean_squares_filter`
[635] Nella fase di apprendimento sono usati i valori am noti a priori, mentre in quella successiva si usano quelli ãm emessi dal decisore, supposti per la maggior parte esatti.
[636] A questo proposito, è opportuno che HR(f) sia realizzato come un passa basso e non come un filtro ottimo, oppure che si effettui una operazione di sbiancamento di y(t).
[637] Tratta da J.G. Proakis, M. Salehi, Communication systems engineering, 2nd Ed., 2002 Prentice-Hall
[638] come ad esempio è il caso dei twta introdotti a pag. 1↓
[639] Si fa uso delle relazioni cos2α=(1)/(2)+(1)/(2)cos2α e cos3α=(3)/(4)cosα+(1)/(4)cos3α.
[640] Le relazioni mostrate si ottengono scrivendo
PI = (G2A2)/(2)⎛⎝1 +(3)/(4)βA2⎞⎠2≃(G2A2)/(2) ⎛⎝se β≪(4)/(3A2)⎞⎠ PII = (G2A4α2)/(8)=(G4A4)/(4)(1)/(G2)(α2)/(2)=P2Iμ22 PIII = (G2A6β2)/(32)=(G6A6)/(8)(1)/(G4)(β2)/(4)=P3Iμ23
[641] Scrivendo μ22≐(PII)/(P2I)=(G2A4α2)/(8)⋅(4)/(2G2) si ottiene μ2=(α)/(√(2)G) e quindi α≃0.7⋅μ2⋅G; allo stesso modo da μ23=(PIII)/(P3I)=(G2A6β2)/(32)⋅(8)/(G6A6)=(β2)/(4G4) si ha μ3=(β)/(2G2) e dunque β= 2⋅μ3⋅G2.
[642] Dato che l’uscita ha espressione y(t)=G[x(t)+αx2(t)+βx3(t)], il calcolo di ℛy(τ)=E{y(t)y(t+τ)} si sviluppa calcolando i momenti misti m(i,j)x(τ)=E{xi(t)xj(t+τ)}. Se x(t) è un processo gaussiano a media nulla, accade che m(i,j)x(τ)= 0 se i+j è dispari, mentre in caso contrario si applica il risultato per il valore atteso del prodotto di più v.a. estratte in tempi diversi:
E{x1⋅x2⋅...⋅xn}=⎲⎳(E{xp1⋅xp2}⋅E{xp3⋅xp4}⋅...⋅E{xpn− 1⋅xpn})
in cui la somma è estesa a tutte le possibili permutazioni non equivalenti di (1,  2...,n) (sono equivalenti se accoppiano con ordine diverso o in posizione diversa le stesse v.a.). Ad esempio, per quattro v.a. si ha:
E{x1⋅x2⋅...⋅xn}=E{x1⋅x2}⋅E{x3⋅x4}+E{x1⋅x3}⋅E{x2⋅x4}+E{x1⋅x4}⋅E{x2⋅x3}
[643] Infatti sussistono i seguenti passaggi
φpb(f) ≃ φpb(0)+f⋅(dφpb(f))/(df)||f= 0=φ(f0)+f⋅(dφ(f))/(df)||f=f0 = 2π⎛⎝f0(φ(f0))/(2πf0)+f(1)/(2π)(dφ(f))/(df)||f=f0⎞⎠=  − 2π(f0tp(f0)+ftg(f0))
[644] Infatti al termine z(t)=e−j2πf0tp corrispondono le componenti a frequenza positiva e negativa
z±(t)=(1)/(2)z(t)e±j2πf0t=(1)/(2)e−j2πf0tpe±j2πf0t=(1)/(2)e±j2πf0(t−tp)
da cui otteniamo in modo semplice il corrispondente segnale
z(t)=z+(t)+z−(t)=(1)/(2)(ej2πf0(t−tp)+e−j2πf0(t−tp))= cos(2πf0(t−tp))
[645] Come definito al § 12.2.1.1↑, SNR0 dipende solo dalle caratteristiche del collegamento, mentre il coefficiente α rappresenta la dipendenza dal tipo di modulazione adottata, e differisce da uno nei casi di modulazione fm, am-pi e am-pps.
[646] Notiamo che Gs è definito come ingresso/uscita, contrariamente agli altri guadagni. Infatti, non è una grandezza del collegamento, bensì una potenzialità dello stesso.
[647] Questa circostanza è comune con le trasmissioni in fibra ottica (vedi fig. 15.34↓ a pag. 1↓), ed è legato alla presenza nel mezzo di una componente dissipativa, in questo caso la resistenza.
[648] ... le famose interferenze telefoniche, praticamente scomparse con l’avvento della telefonia numerica (PCM), da non confondere con ... le intercettazioni.
[649] Omettiamo di indicare di operare in dB per chiarezza di notazione.
[650] Ovvero, tali che |cos2dβ(f)−jsin2dβ(f)|= 1, e quindi dβ(f)=k(π)/(2) con k= 0, 1, 2, …
[651] Può ad esempio rendersi necessario “tarare” un trasmetttore radio, la prima volta che lo si collega all’antenna.
[652] E’ questa la fase in cui il modem che usiamo per collegarci al provider internet emette una serie di orribili suoni....
[653] Dall’inglese to feed = alimentare.
[654] Il processo di focalizzazione parabolica, comunemente usato ad esempio nei fanali degli autoveicoli, era ben noto ad un certo siracusano...
[655] Si tratta di un concetto del tutto analogo alla “frequenza di taglio a 3 dB”, ma applicata ad un dominio spaziale con geometria radiale.
[656] Indicando con Ar l’area reale (fisica) dell’antenna, risulta Ae=ρAr, con ρ< 1. La diseguaglianza tiene conto delle perdite dell’antenna, come ad esempio le irregolarità nella superficie della parabola, o l’ombra prodotta dalle strutture di sostegno. Ovviamente, anche l’antenna trasmittente presenta perdite, ed il valore GT misurato è inferiore a quello fornito dalla (18.68↑), a meno di non usare appunto il valore di area efficace.
[657] La costante c= 3⋅108 metri/secondo rappresenta la velocità della luce nel vuoto, ossia la velocità di propagazione dell’onda elettromagnetica nello spazio.
[658] Mantenendo fissa la dimensione delle antenne, si ottiene il risultato che trasmissioni operanti a frequenze più elevate permettono di risparmiare potenza. Purtroppo però, guadagni superiori a 30-40 dB (corrispondenti a piccoli valori di θb) sono controproducenti, per i motivi esposti al § 15.3.3.1↓.
[659] `http://it.wikipedia.org/wiki/Onda_superficiale`
[660] equivalente ad una riduzione di potenza di 102.5= 316 volte
[661] `http://it.wikipedia.org/wiki/Diffrazione`
[662] Lo stesso fenomeno di diffrazione è egualmente valido per l’energia luminosa, e può essere sperimentato illuminando una fessura, ed osservando le variazioni di luminosità dall’altro lato.
[663] `http://en.wikipedia.org/wiki/Tropospheric_scatter`
[664] `http://en.wikipedia.org/wiki/Skywave`
[665] Anche, ma non solo, in concorso con la riflessione operata da masse d’acqua, come mostrato in figura.
[666] L’elevata attenuazione chilometrica presente a 60 GHz può essere sfruttata nei sistemi di comunicazione cellulare, allo scopo di riusare una stessa banda di frequenze anche a breve distanza.
[667] L’assorbimento di potenza da parte delle molecole d’acqua per onde elettromagnetiche a 22 GHz è il principio su cui si basa il forno a microonde.
[668] Nel caso in cui una massa d’aria calda ne sovrasti una più fredda, si verifica una inversione dell’indice di rifrazione, e l’onda elettromagnetica di propaga come in una guida d’onda, vedi anche `http://en.wikipedia.org/wiki/Tropospheric_propagation`.
[669] Ad esempio, desiderando (1)/(T)> 1 MHz, si ottiene TMax= 1 μsec; se l’onda radio si propaga alla velocità c= 3⋅108 m/sec, la massima differenza di percorso vale Δmax=c⋅TMax= 3⋅108⋅10− 6= 300 metri.
[670] Il termine fading si traduce come affievolimento o evanescenza, ma è spesso usato in inglese, cosicchè l’assenza di distorsione lineare per segnali a banda stretta è anche detta condizione di fading piatto, sottintendendo in frequenza.
[671] Alla frequenza di 1 GHz si ha λ= 30 cm e per una distanza di 100 metri dal trasmettitore si ottiene un raggio massimo dell’ellissoide pari a (1)/(2)√(.3⋅100)=(1)/(2)√(30)≃2.7 metri.
[672] Vedi ad es. il § 10.1.1.2↑.
[673] Mentre il fading produce una attenuazione variabile al segnale, la stessa variabilità delle condizioni di propagazione può portare a livelli interferenza variabili, causati da altre trasmissioni nella stessa banda. La variabilità temporale della qualità del segnale ricevuto, in particolare quella veloce (vedi § 15.3.4.6↓), produce errori a burst, che possono essere corretti mediante codifica di canale ed interleaving (vedi § 5.4.3.3↑).
[674] Il termine fading si traduce come affievolimento o evanescenza.
[675] Per una rassegna dei diversi modelli di propagazione, si veda ad es. `http://www.slideshare.net/deepakecrbs/propagation-model`.
[676] La d.d.p. gaussiana discende dall’ipotesi che uno dei cammini multipli pervenga al ricevitore con una potenza nettamente predominante rispetto agli altri. In questo caso l’inviluppo complesso x del segnale ricevuto è adeguatamente rappresentato da una v.a. di Rice (vedi pag. 1↑) x=a+r, in cui r ha d.d.p. di Rayleigh e rappresenta l’effetto di molte cause indipendenti, relative ai cammini multipli, ed a è l’ampiezza della eco di segnale ricevuta con la maggiore ampiezza. Se a≫|r| possiamo scrivere
as(dB) = 10log10(1)/(|a+r|2)=  − 10log10((a+rc)2+r2s)= = − 10log10(a2)/(a2)(a2+ 2arc+r2c+r2s)= = 10⎛⎝log10a2+ log10⎛⎝1 +(2rc)/(a)+(|r|2)/(a2)⎞⎠⎞⎠= ≃ 10⎛⎝log10a2+(2rc)/(a)⎞⎠= 10log10a2+ 20(rc)/(a)
in quanto log(1 +α)≃α con α≪1, e quindi as(dB) ha media 10log10a2 (compresa nel path loss) ed esibisce una d.d.p. gaussiana, la stessa di rc.
[677] All’aumentare dell’altezza dell’antenna, si estende l’area di copertura della stessa, ma in ambito urbano questo corrisponde ad una maggiore variabilità delle effettive condizioni operative.
[678] A frequenza di 1 Ghz, si ha λ≃30 cm. Questo fenomeno può essere facilmente sperimentato quando, durante una sosta al semaforo, si perde la sintonia di una radio fm, riacquistandola per piccoli spostamenti dell’auto; un altro esempio può essere la ricerca del campo per poter telefonare.
[679] La (18.74↓) si ottiene considerando un generico segnale modulato in ampiezza x(t)=a(t)cos2πf0t ed il suo inviluppo complesso x(t)=a(t): per ognuna delle repliche
xn(t)=x(t−τn)=a(t−τn)cos2πf0(t−τn)=a(t−τn)cos(2πf0t− 2πf0τn)
l’inviluppo complesso rispetto ad f0 può essere scritto come
xn(t)=a(t−τn)e−j2πf0τn=x(t−τn)e−j2πf0τn
[680] Si consideri che il risultato dell’esempio di pag. 1↑ valuta i ritardi in gioco dell’ordine di grandezza delle decine di nanosecondi.
[681] Se ad esempio i ritardi τn sono dell’ordine di 10− 8, l’ipotesi è valida per f0>  100 MHz.
[682] Impostando il cambiamento di variabile s=ρ2, si possono applicare le regole viste al § 7.4↑, individuando la funzione inversa come ρ=√(s), la cui (d)/(ds)ρ(s) fornisce (1)/(2√(s)). Pertanto, la d.d.p. della nuova v.a. s vale:
pS(s)=pP(√(s))⋅(d)/(ds)ρ(s)=(√(s))/(σ2)exp⎛⎝−((√(s))2)/(2σ2)⎞⎠⋅(1)/(2√(s))=(1)/(2σ2)exp⎛⎝−(s)/(2σ2)⎞⎠
[683] Infatti, osserviamo che il collegamento va fuori servizio quando la potenza ricevuta è inferiore alla sensibilità del ricevitore WRmin, e dunque (vedi eq. (17.15↑) a pag. 1↑) la probabilità di questo evento si esprime come α=Pr(ρ2<WRmin)= 1 − exp⎛⎝−(WRmin)/(mρ2)⎞⎠, dato che il valor medio della v.a. esponenziale ρ2 è mρ2= 2σ2. Esprimendo ora il margine M come il rapporto tra la potenza media ricevuta e la sensibilità del ricevitore M=(mρ2)/(WRmin), si ottiene α= 1 −e−(1)/(M), e dunque −(1)/(M)= ln(1  −α) e, passando ai decibel, − 10log10M= 10log10(− ln(1 −α)), da cui la 18.77↓.
[684] Questa e la prossima analisi sono tratte da `http://www.dii.unisi.it/~abrardo/comunicazioni_radiomobili.pdf`
[685] Si sottintende pertanto che T sia minore di metà della banda di Z(t).
[686] Una approssimazione migliore valuta Δτ come la deviazione standard dei ritardi, vedi `http://en.wikipedia.org/wiki/Delay_spread`.
[687] Del ricevitore, del trasmettitore, o degli oggetti riflettenti.
[688] Dall’espressione x(t)= cos2πf0t=(ej2πf0t+e−j2πf0t)/(2) si riconosce che x+(t)=(1)/(2)ej2πf0t dato che X(f) =(1)/(2)[δ(f−f0)+δ(f+f0)]; ma dato che x(t)= 2x+(t)e−j2πf0t, si ottiene appunto x(t)= 2(1)/(2)ej2πf0te−j2πf0t= 1.
[689] Lo stesso che produce la variazione del suono di una sirena, vedi `http://it.wikipedia.org/wiki/Effetto_Doppler`
[690] La stessa analisi è valida anche nel caso di un ricevitore fermo ma con i riflettori in movimento, come per la la riflessione ionosferica: in tal caso l’espressione si scrive come fnd=f0(vn)/(c)cosϑn, considerando cioè la possibilità che i riflettori abbiano velocità diverse tra loro.
[691] Notiamo che se ϑn= 0 non stiamo trattando di un raggio riflesso, ma di quello diretto.
[692] In questo modo si ottiene una trattazione unificata sia per il caso di un singolo mobile in un contesto statico, sia per quello di un ricevitore fermo con riflettori in movimento. In entrambi i casi il Doppler sperad fD può essere effettivamente misurato al ricevitore, in presenza di una portante non modulata.
[693] Si veda l’interessante animazione java presso `http://www.wirelesscommunication.nl/reference/chaptr03/rayjava/rayjava.htm`.
[694] Ciò avviene perché in pratica è come se due simboli consecutivi pervenissero attraverso due differenti canali, e dunque non è possibile eseguire operazioni di media.
[695] Infatti le due condizioni possono essere riscritte come BdTs≪1 e WΔτ≪1; moltiplicandole tra loro si ha BbTsWΔτ≪1; ma se poniamo W≃(1)/(Ts) si ottiene la condizione indicata.
[696] Il ramo di iperbole che individua il luogo dei punti W⋅Ts è tracciato in base all’osservazione della nota precedente, ossia W≃(1)/(Ts), da cui W⋅Ts≃1.
[697] Vedi `http://it.wikipedia.org/wiki/Indice_di_rifrazione`, ma anche il video`https://www.youtube.com/watch?v=k7ohfaMmTKg.`
[698] Si passa dai 50 μm per le fibre multimodo, a circa 8 μm nel caso monomodo.
[699] Il fenomeno della dispersione cromatica è l’equivalente ottico della distorsione di fase (o distorsione di ritardo) introdotta al § 14.5↑ per i segnali elettrici.
[700] La potenza emessa da un laser non può aumentare a piacimento: oltre un certo valore intervengono infatti fenomeni non lineari, e la luce non è più monocromatica, causando pertanto un aumento della dispersione cromatica.
[701] In questo senso, il prodotto banda-lunghezza costituisce un parametro di sistema che tiene conto di un concorso di cause. Un pò come il concetto di tenuta di strada di una autovettura, che dipende da svariati fattori, come il peso, i pneumatici, la trazione, il fondo stradale....
[702] Tuttavia, il dimezzamento della durata di un bit causa una perdita di potenza di 3 dB, in base alle considerazioni riportate a pag. 1↓.
[703] `http://it.wikipedia.org/wiki/Diodo_PIN`
[704] `http://it.wikipedia.org/wiki/Fotodiodo_a_valanga`
[705] La consuetudine del dimensionamento dei collegamenti in fibra otttica porta a considerare ogni bit in transito nella sua purezza, senza cioè confidare (o meno) nella presenza di elaborazioni terminali come la codifica di canale, e/o il numero di bit/simbolo. In tale prospettiva, si ritiene che un valore di Pe= 10− 11 sia più che sufficiente a qualunque tipo di trasmissione: un errore ogni 100.000 miliardi di bit!
[706] Questo metodo di calcolo della sensibilità ad una fb diversa da quella delle tabelle è approssimato, in quanto nei trasduttori avvengono fenomeni non-lineari che legano il livello di potenza del rumore alla potenza di segnale ricevuta. Trascurando questo effetto, si può applicare l’espressione sopra riportata.
[707] Si sfrutta il principio “dell’arcobaleno” (o dei Pink Floyd ?), in quanto uno stesso materiale (il prisma) presenta indici di rifrazione differenti per lunghezze d’onda diverse, e quindi è in grado di focalizzare più sorgenti di diverso colore in un unico raggio.
[708] Soluzione nota come Fiber to the home o ftth: `http://it.wikipedia.org/wiki/Fttx`.
[709] A titolo integrativo, si propongono i riferimenti a
`http://it.wikipedia.org/wiki/Amplificatore_ottico`,
`http://en.wikipedia.org/wiki/Wavelength-division_multiplexing#Dense_WDM`,
`http://www.fiber-optics.info/articles/dense_wavelength-division_multiplexing`
[710] Dal greco hypsos che significa altezza. Mentre l’ipsografia è un diagramma che individua il rilievo altimetrico terrestre, il termine ipsogramma è a volte usato nelle telecomunicazioni per descrivere l’andamento del livello di potenza in un collegamento.
[711] Più precisamente, l’eirp è la potenza che erogherebbe una antenna isotropa, per generare lo stesso campo elettrico prodotto dalla antenna direttiva nella direzione di massimo guadagno.
[712] Un satellite in orbita geostazionaria è visto da terra sempre nella stessa posizione (e ciò consente di puntare l’antenna in modo permanente) in quanto la sua orbita giace sul piano definito dall’equatore, ed il suo periodo di rivoluzione attorno all’asse terrestre coincide con quello di rotazione della terra (pari ad un giorno). Il moto orbitale è causa di una forza centrifuga, che è bilanciata da quella centripeta prodotta dall’attrazione terrestre. Dato che all’aumentare della distanza dalla terra, la prima aumenta (con orbite più grandi, deve aumentare la velocità tangenziale) e la seconda diminuisce, la quota di 36.000 Km costituisce un punto di equilibrio, al disotto del quale il satellite precipiterebbe al suolo, ed al disopra del quale si perderebbe nello spazio.
[713] Le considerazioni sulla diafonia si applicano altrettanto bene anche al caso di ripetitori terrestri.
[714] Come descritto al § 11.2.5↑, l’oscillatore locale deve avere una frequenza fe tale che fd=fu−fe, in modo che il segnale di downlink sia centrato ad una frequenza pari alla differenza tra quella di uplink e quella di eterodina.
[715] La suddivisione della amplificazione in due stadi a frequenza diversa previene fenomeni di reazione positiva.
[716] Travelling Wave Tube Amplifier, ovvero tubi amplificatori ad onda progressiva: http://it.wikipedia.org/wiki/Travelling_wave_tube.
[717] http://en.wikipedia.org/wiki/Phased_array)
[718] Per contro, nel caso in cui dietro al satellite verso cui è puntata l’antenna vi sia una stella luminosa, la Ta è più elevata.
[719] Come descritto nel paragrafo che discute dell’effetto pelle (pag. 1↑), l’attenuazione in dB del cavo aumenta con l’aumentare della radice della frequenza.
[720] Possiamo pensare che gli elettroni, qualora si trovino in maggior misura in una metà della resistenza, producano una differenza di potenziale negativa in quella direzione. Allo zero assoluto (- 273 oC) il moto caotico degli elettroni cessa, e si annulla così la tensione di rumore. Di qui l’aggettivo termico per descrivere il fenomeno.
[721] Si tratta di una forma della legge di Plank, vedi
`http://en.wikipedia.org/wiki/Thermal_noise#Noise_at_very_high_frequencies`
[722] Espandendo ex= 1 +x+(x2)/(2)+(x3)/(3!)+ ⋯ si ottiene che per x≪1 risulta ex≃1 +x, e quindi e(ℏf)/(kT)≃1 +(ℏf)/(kT).
[723] Si intende dire che il filtro non introduce altro rumore oltre quello di natura termica.
[724] A volte si incontra anche il termine figura di rumore, derivato dall’inglese noise figure (che in realtà si traduce cifra di rumore), e che si riferisce alla misura di F in decibel.
[725] Per calcolare il logaritmo in base 2, si ricordi che log2α=(log10α)/(log102)≃3.32log10α.
[726] Si presti attenzione sulla differenza: la ridondanza della codifica di sorgente indica i binit/simbolo che eccedono il valore dell’entropia, mentre la ridondanza della codifica di canale indica il rapporto tra binit di protezione e quelli di effettivamente emessi dalla sorgente, come definito a pag. 1↑.
[727] La notazione ⌈α⌉ indica l’intero superiore ad α: ad esempio, se α= 3.7538, si ha ⌈α⌉= 4.
[728] Mettere in corrispondenza i diversi simboli di sorgente con una loro codifica binaria è detta codifica per blocchi, discussa al § 17.1.1.4↓, dove si mostra anche la possibilità di emettere le codeword in corrispondenza di più di un simbolo di sorgente.
[729] Essendo la corrispondenza tra xk ed Nk univoca, non vi è perdita di informazione.
[730] `http://it.wikipedia.org/wiki/Primo_teorema_di_Shannon`
[731] In effetti la (18.91↓) sussiste qualora il codificatore non operi indipendentemente su ogni simbolo di sorgente, ma più in generale possa emettere i binit in corrispondenza di sequenze di xk via via più lunghe.
[732] Ad esempio, un valore η = 0.33 indica che ogni binit trasporta solo 1⁄3 di bit.
[733] Ad esempio, la sequenza 10110010 potrebbe essere interpretata come x3x4x1x1x3 oppure x2x1x4x1x1x2x1 o x3x2x2x1x1x3
[734] Nonostante il codice C non soddisfi la regola del prefisso, non è ambiguo in quanto lo zero indica comunque l’inizio di una nuova codeword.
[735] Vedi `http://en.wikipedia.org/wiki/Huffman_coding`
[736] Presso Wikipedia si trova una descrizione dell’algoritmo di Vitter `http://en.wikipedia.org/wiki/Adaptive_Huffman_coding`
[737] operazione resa possibile in conseguenza della indipendenza statistica tra i simboli binari
[738] In realtà, nel caso specifico del fax le cose non stanno esattamente in questi termini: infatti, anziché usare una parola di lunghezza fissa di k binit, l’ITU-T ha definito un apposito codebook `http://www.itu.int/rec/T-REC-T.4-199904-S/en` che rappresenta un codice di Huffman a lunghezza variabile, in modo da codificare le run lenght più frequenti con un numero ridotto di bit.
[739] Il lettore più curioso si chiederà a questo punto, come è fatto il predittore. Molto semplicemente, scommette sul prossimo simbolo più probabile, in base alla conoscenza di quelli osservati per ultimi, ed ai parametri del modello markoviano: se questo simbolo possiede una probabilità a priori > 0.5, allora la maggioranza delle volte la predizione sarà corretta, ed il metodo inizia a consentire una riduzione di velocità. Nel caso di sorgenti continue, troveremo invece alcune particolarità aggiuntive.
[740] Ad esempio con L=96 simboli si ha n=7 bit, ed un dizionario iniziale con 128 posizioni, di cui 96 occupate e 32 libere.
[741] `http://en.wikipedia.org/wiki/Lempel-Ziv-Welch`
[742] `http://tools.ietf.org/html/rfc1951`
[743] `http://en.wikipedia.org/wiki/Rate-distortion_theory`
[744] In effetti esiste una misura di entropia assoluta per sorgenti continue, che però ha la sgradevole caratteristica di risultare sempre infinita. Infatti, approssimando la (18.97↑) come limite a cui tende una sommatoria, e suddividendo l’escursione dei valori di x in intervalli uguali Δx, possiamo scrivere
habs(x) = limΔx→ 0 ⎲⎳ip(xi)Δxlog2(1)/(p(xi)Δx) = limΔx→ 0 ⎲⎳i⎡⎣p(xi)Δxlog2(1)/(p(xi))+p(xi)Δxlog2(1)/(Δx)⎤⎦=h(x)+h0
in cui h(x) è proprio la (18.97↑) mentre h0=  −limΔx→ 0log2Δx∫∞− ∞p(x)dx=  −limΔx→ 0log2Δx= ∞. D’altra parte, la differenza tra le entropie assolute di due sorgenti z e x risulta pari a habs(z)−habs(x)=h(z)−h(x)+h0(z)−h0(x), in cui la seconda differenza tende a − log2(Δz)/(Δx) che, se z ed x hanno la medesima dinamica, risulta pari a zero.
[745] Questo risultato si ottiene massimizzando la (18.97↑) rispetto a p(x) mediante il metodo dei moltiplicatori di Lagrange `http://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_dei_moltiplicatori_di_Lagrange`, in modo da tener conto dei vincoli espressi dalle condizioni ∫px(x)dx= 1 e ∫x2px(x)dx=σ2x. Notiamo esplicitamente la differenza rispetto al caso continuo, in cui la d.d.p. che rende massima l’entropia, è invece quella uniforme.
[746] Si può mostrare che γ2x può essere interpretato come il rapporto tra la media aritmetica e la media geometrica della densità spettrale di potenza Px(f) del processo x(t): indicando con Sk=Px(fk), k= 1,  2, ⋯,N, i campioni equispaziati della densità spettrale valutati a frequenze positive fk tra zero e la massima frequenza del processo, si ha
γ2x= limN→ ∞((N∏k= 1Sk)1⁄N)/((1)/(N)N⎲⎳k= 1Sk)
Nel caso di un processo bianco, per il quale i valori Sk sono tutti uguali, le due medie coincidono, e γ2x= 1. Altrimenti, γ2x risulta tanto più piccolo quanto più i valori Sk si discostano dal loro valore medio.
[747] In caso contrario (ovvero x1 ed x2 sono equiprobabili) la 18.102↓ è equivalente alla 18.101↑. Nei casi in cui non si conosca la statistica di sorgente, non si può quindi fare altro che attuare una decisione di massima verosimiglianza.
[748] Per ottenere (18.103↓) si ricordi che p(xi,yj)=p(xi⁄yj)p(yj)=p(yj⁄xi)p(xi)
[749] Infatti
⎲⎳i ⎲⎳jp(xi,yj)log2(p(xi⁄yj))/(p(xi)) = ⎲⎳i ⎲⎳jp(xi,yj)⎡⎣log2(1)/(p(xi))− log2(1)/(p(xi⁄yj))⎤⎦= = ⎲⎳i ⎲⎳jp(xi,yj)log2(1)/(p(xi))− ⎲⎳i ⎲⎳jp(xi,yj)log2(1)/(p(xi⁄yj))
e, saturando la sommatoria doppia del primo termine rispetto ad j, si ottiene la (18.105↓). Per la (18.105↓), il passaggio è del tutto simile.
[750] In definitiva, questo modo di ottenere una grandezza rappresentativa del solo canale ricorda un pò la via per la quale si è definita ad es. la potenza disponibile di un generatore (vedi § 14.2.2.1↑), al variare di tutti i possibili valori di impedenza di carico.
[751] Osserviamo l’invarianza di (18.110↓) rispetto alla modifica del numero di livelli: se M bit sono raggrupati per generare simboli ad L= 2M livelli, come noto fs si riduce di M volte, mentre Cs aumenta della stessa quantità, dato che ogni simbolo trasporta ora M bit anziché uno.
[752] `http://it.wikipedia.org/wiki/Secondo_teorema_di_Shannon`
[753] Infatti, potrebbe risultare R>C solo se fb<R, ovvero il codificatore dovrebbe produrre meno binit/secondo di quanti bit/secondo produca la sorgente
[754] Sono mostrati solo i valori per 0 ≤pe≤  0.5 dato che successivamente l’andamento di Cs si riflette in modo speculare.
[755] Per il fatto di avere una ddp di y sia a numeratore che a denominatore del logaritmo, la (18.111↑) non soffre dei problemi discussi alla nota 17.1.2.2↑
[756] `http://en.wikipedia.org/wiki/Shannon-Hartley_theorem`
[757] Senza pretendere di svolgere l’esatta dimostrazione, tentiamo di dare credibilità a questo risultato. Osserviamo quindi che se r(t)=xk(t)+n(t), il valore atteso dell’errore εk si riduce a (1)/(Ts)∫Ts0[n(t)]2dt→σ2n, dato che essendo n(t) stazionario ergodico, le medie di insieme coincidono con le medie temporali. Viceversa, se il segnale trasmesso è xh(t) con h≠k, allora il relativo errore quadratico vale ε(h)k=(1)/(Ts)∫Ts0(xh(t)+n(t)−xk(t))2dt, ed il suo valore atteso E{ε(h)k}→σ2n+ 2σ2x essendo le forme d’onda dei simboli ortogonali tra loro e rispetto al rumore. I valori limite mostrati sono in realtà grandezze aleatorie, ma la loro varianza diviene sempre più piccola all’aumentare di Ts, e quindi in effetti con Ts→ ∞ risulta sempre εk<ε(h)k, azzerando la probabilità di errore.
[758] La (18.115↓) si ottiene considerando che se la capacità di canale per B→ ∞ fornita dalla (18.116↓) vale C∞=(Ps)/(N0ln2), e se deve risultare R≤C, allora ln2  =(Ps)/(N0C∞)≤(Ps)/(N0R)=(Eb)/(N0).
[759] La (18.116↓) si ottiene riscrivendo la (18.114↑) nella forma
C=(Ps)/(N0(Ps)/(N0B))⋅(ln⎛⎝1  +(Ps)/(N0B)⎞⎠)/(ln2)=(Ps)/(N0ln2)⋅(ln(1 +λ))/(λ)
in cui ln è il logaritmo naturale in base e, e si è posto (Ps)/(N0B)=λ. Ricordando ora lo sviluppo di Maclaurin f(x)=f(0)+∑∞n= 1⎛⎝(∂nf(x))/(∂xn)||x= 0⋅(xn)/(n!)⎞⎠ e che (d)/(dx)lnx=(1)/(x), il termine ln(1 +λ) può essere espanso in serie di potenze come ln(1 +λ)=λ−(1)/(2)λ2+(1)/(3)λ3+ ⋯; notando infine che per B→ ∞ si ha λ→ 0, e che limλ→  0(ln(1 +λ))/(λ)= 1, si giunge in definitiva al risultato (18.116↓).
[760] Riscrivendo la (18.114↑) come 2(C)/(B)− 1 =(Ps)/(N0B), moltiplicando ambo i membri per (B)/(R), e semplificando il risultato, si ottiene (B)/(R)(2(C)/(B)− 1)=(Ps)/(N0R). L’uguaglianza individua la circostanza limite in cui R=C, mentre se nell’esponente di 2 a primo membro sostituiamo C con R, e R<C, il primo membro diviene più piccolo, e pertanto (B)/(R)(2(R)/(B)− 1)<(Ps)/(N0R). Infine, notiamo che (Ps)/(N0R)=(Eb)/(N0), da cui il risultato mostrato (18.117↓).
[761] Vedi ad es. il caso di banda base al § 5.3.5↑ o quello del qam al § 13.3.1↑.
[762] Indicati come codici mds, vedi `http://en.wikipedia.org/wiki/Singleton_bound#MDS_codes`.
[763] Infatti dalla definizione di somma otteniamo che la distanza tra due codeword x e y è pari al peso della codeword z=x+y: infatti z presenterà componenti zj= 1 solo in corrispondenza di elementi xj≠yj. Ma per la linearità anche z appartiene al codebook, e dunque la ricerca su tutte le coppie si trasforma in una ricerca su tutte le codeword.
[764] Sono valide le normali regole di moltiplicazione tra matrici, tranne per l’accortezza di usare la somma modulo due anziché quella convenzionale.
[765] Per questo detta hard decision decoding in quanto opera su decisioni già prese.
[766] Tale possibilità è indicata come soft decision decoding (decodifica con decisioni soffici) in quanto richiede operazioni in virgola mobile; si veda ad es. la spegazione fornita presso `http://www.gaussianwaves.com/2009/12/hard-and-soft-decision-decoding-2/`.
[767] Si veda lo sviluppo a pag. 1↑ per mettere in relazione la distanza dE(y,xj) con la verosimiglianza logaritmica ln(pn(y⁄xj)) della v.a. n−dimensionale y rispetto all’ipotesi che sia stata trasmessa la codeword xj, in presenza del rumore gaussiano n in sede di decisione.
[768] Ad esempio, il codice [000, 110,  101, 011] è un codice ciclico, mentre [000, 010,  101, 111] no.
[769] `http://it.wikipedia.org/wiki/Campo_finito`
[770] Si veda `http://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_code`
[771] `http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_code`
[772] Si applicano le regole di divisione tra polinomi `http://it.wikipedia.org/wiki/Divisione_dei_polinomi`
[773] Il valore dei coefficienti del polinomio prodotto è indicato anche come prodotto di Cauchy (vedi `http://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_di_Cauchy`), e che si ottenga come una convoluzione è facilmente verificabile: dati ad es. a(p)=a0+a1p+a2p2 e b(p)=b0+b1p, si ottiene c(p)=a0b0+(a0b1+a1b0)p+a2p2=∑2i= 0pi∑2j= 0ajbi−j. La notazione lievemente diversa del testo, è dovuta al diverso modo di indicizzare i coefficienti.
[774] Forse ho trovato dove si spiega come faccia un registro a scorrimento controreazionato a svolgere questo genere di compiti: penso che in una prossima edizione sarà interessante aggiungerlo.
[775] `http://en.wikipedia.org/wiki/BCH_code`
[776] `http://en.wikipedia.org/wiki/Berlekamp-Massey_algorithm`
[777] `http://en.wikipedia.org/wiki/Reed-Solomon_error_correction`
[778] Gli n modi di scegliere quali dei k⋅K bit sommare, per ottenere ognuno degli n bit di uscita, sono determinati mediante n vettori generatori gi, i= 1, 2, ...,n, di lunghezza k⋅K, contenenti una serie di cifre binarie zero od uno, a seconda che l’i-esimo sommatore modulo due sia connesso (o meno) al corrispondente bit di memoria.
[779] Lo stesso valore di bi potrebbe essere prodotto da più di una delle 2k⋅K diverse memorie del codificatore.
[780] La dipendenza di bj da (aj,Sj) è legata alla scelta dei generatori gi. Nel caso in cui un valore bj(i) sia sempre uguale ad uno dei k bit di aj, il codice è detto sistematico. La scelta dei gi può essere effettuata mediante simulazioni numeriche, per individuare il gruppo che determina le migliori prestazioni.
[781] Per comodità di rappresentazione, il bit più a destra nella sequenza {a} è il primo in ordine di tempo ad entrare nel codificatore.
[782] Questo caso viene indicato con il termine hard-decision decoding in quanto il ricevitore ha già operato una decisione (quantizzazione) rispetto a b̃. Al contrario, se i valori ricevuti sono passati come sono al decodificatore di Viterbi, questo può correttamente valutare le probabilità p(b̃⁄^b) ed operare in modalità soft decoding, conseguendo prestazioni migliori.
[783] Ad esempio, con riferimento alla fig. 17.21↑, la {S}={00, 10, 11, 01, 10} ha un costo pari a 3.
[784] Qualora la distanza tra b̃j ed un possibile ^bj sia espressa come probabilità condizionata p(b̃j⁄^bj), il processo di decodifica è detto di massima verosimiglianza↓.
[785] La minima distanza tra le sequenze codificate è indicata come dmin, e può essere trovata come la dH tra una {b0} tutta nulla ({b0}={...000000000}) e quella con il minor numero di uni, che si diparte e ritorna (nel traliccio) dallo/allo stato 00.
[786] `http://www.itu.int/rec/T-REC-G.711/e`
[787] Una raccolta di riferimenti a risorse relative a codec audio orientati alle applicazioni multimedali può essere trovata presso `http://labtel.ing.uniroma1.it/codecs`
[788] `http://en.wikipedia.org/wiki/Pitch_accent_(intonation)`
[789] Si applica in pratica la stessa teoria valida per le linee elettriche, in cui al posto di tensione e corrente, ora si considerano rispettivamente pressione p e velocità u
[790] Si tratta di un fenomeno in qualche modo simile a quello che si verifica soffiando in una bottiglia, e producendo un suono che dipende dalla dimensione della stessa.
[791] Infatti i diversi suoni vocalici e/o consonantici sono prodotti mediante diverse posture articolatorie (la posizione di lingua, mascella e labbra), ovvero diversi profili d’area del tratto vocale, nonchè l’attivazione o meno del tratto nasale. Pertanto ai diversi fonemi corrispondono differenti frequenze formanti, e dunque una diversa risposta in frequenza.
[792] I simboli usati sono noti come arphabet, vedi `http://en.wikipedia.org/wiki/Arpabet`, e la pronuncia dovrebbe essere qualcosa del tipo sciuduiceis.
[793] Tratti da https://books.google.it/books?id=Z6Otr8Hj1WsC
[794] Una finestra di 10 msec ha durata comparabile con il periodo di pitch, e ciò produce l’effetto a striature verticali del primo diagramma, meno pronunciato verso la fine, dove il pitch è più elevato. Una finestra di 40 msec si estende su più periodi di pitch, e determina una migliore risoluzione in frequenza, cosicché nel diagramma inferiore si possono notare delle striature orizzontali che corrispondono alle armoniche della frequenza di pitch.
[795] La durata di una sillaba può estendersi da 10-15 msec per le vocali ridotte, fino a più di 100 msec per quelle accentate.
[796] Sottintendendo una ipotesi di stazionarietà ed ergodicità non vera, ma molto comoda per arrivare ad un risultato.
[797] La (18.121↑) è effettivamente una stima della autocorrelazione↓ del segnale a durata limitata che ricade nella finestra di segnale, mentre l’inclusione nella sommatoria di un numero di termini pari al numero di campioni disponibili porta ad un diverso tipo di risultato, detto metodo della covarianza, ed un diverso modo di risolvere il sistema (18.122↓).
[798] dette di Yule-Walker↓.
[799] In base alle assunzioni adottate, Ryy(j) risulta una funzione pari dell’indice j, e la corrispondente matrice dei coefficienti viene detta di Toeplix, consentendone l’inversione mediante il metodo di Levinson-Durbin (vedi `http://en.wikipedia.org/wiki/Levinson_recursion`), che presenta una complessità O(n2) anziché O(n3), come sarebbe necessario per invertire la matrice dei coefficienti.
[800] Una breve analisi della relazione tra dft e trasformata zeta è svolta al § 4.4.1↑.
[801] Il pitch varia durante la pronuncia di una frase in accordo alla sua semantica, alla lingua, ed all’enfasi emotiva impressa dal parlatore. Da un punto di vista musicale, la dinamica dei valori (da metà al doppio) si estende quindi su di un intervallo di due ottave. L’intera gamma dei registri dell’opera si differenzia per 22 semitoni, dal Mi2 del basso al Do4 del soprano, ovvero un rapporto di frequenze pari a 3,6.
[802] In realtà prima del calcolo della autocorrelazione, il segmento di segnale è stato moltiplicato per una finestra di Hamming, che provoca lo smussamento visibile ai bordi.
[803] In questo modo si evita anche di dover operare una esplicita decisione sonoro/sordo, visto che in realtà le due fonti di eccitazione posso essere presenti contemporaneamente, come per i cosiddetti suoni affricati.
[804] Generato per tentativi, oppure da sceglire in un dizionario di sequenze di eccitazione già codificate.
[805] Il filtro di pesatura percettiva si ottiene a partire dagli stessi coefficienti di predizione ai che descrivono l’andamento spettrale della finestra di segnale, definendo la sua trasformata zeta come W(z)=(A(z⁄α1))/(A(z⁄α2))=(H(z⁄α2))/(H(z⁄α1)) in cui, se α1,  2 sono numeri reali, i poli di W(z) si trovano alle stesse frequenze di quelli di H(z) ma con raggio α2 volte maggiore, così come gli zeri di W(z) hanno modulo α1 volte maggiore. Scegliendo 0 <α1,  2< 1 e α1>α2 per la W(z) si ottiene l’effetto desiderato, e mostrato in fig. 18.16↓
[806] La procedura di minimizzazione determina una eccitazione tale da rendere bianco il residuo al suo ingresso; dato però che questo ha subito il filtraggio da parte di W(z), significa che le frequenze da questo depresse sono in realtà enfatizzate per il segnale di errore reale.
[807] In effetti, mentre i coefficienti spettrali (denominati parcor in questo caso) sono determinati a partire dall’analisi dell’intera finestra di 20 msec, l’eccitazione rpe ed i parametri ltp sono ottenuti a partire da sottofinestre di 40 campioni, pari a 5 msec.
[808] Per questa classificazione, così come per poter definire l’insieme dei centroidi, occorre che sia definita una funzione di distanza tra vettori.
[809] Vedi `http://www.data-compression.com/vq.html`, ma anche la nota 4.2.2↑ a pag. 1↑.
[810] vedi `http://en.wikipedia.org/wiki/Speex`
[811] Eseguito mediante un banco di filtri polifase, vedi ad es. `http://en.wikipedia.org/wiki/Polyphase_quadrature_filter` o`http://cnx.org/content/m32148/latest/`. Le uscite dei filtri polifase, anche se campionate a frequenza inferiore a quella di Nyquist, sono esenti da aliasing, che viene cancellato dall’effetto delle altre sottobande.
[812] Vedi `http://en.wikipedia.org/wiki/Modified_discrete_cosine_transform`
[813] Esempi di formati per la grafica vettoriale sono svg, eps, pdf, e vrml.
[814] Per alcuni anni, si è usato come sinonimo anche il termine pel `http://www.foveon.com/files/ABriefHistoryofPixel2.pdf`.
[815] Il sito di ITU-R `http://www.itu.int/ITU-R/index.asp?category=information&link=rec-601&lang=en` non consente l’accesso pubblico alla raccomandazione. Un approfondimento può essere svolto presso Wikipedia `http://it.wikipedia.org/wiki/BT.601`.
[816] Vedi fig. 11.24↑ a pag. 1↑.
[817] La figura è tratta da Wikipedia, dove possono essere approfonditi gli altri aspetti legati a queste risoluzioni video `http://it.wikipedia.org/wiki/Risoluzioni_standard`.
[818] Vedi nota 197↑ a pag. 1↑.
[819] Per una breve introduzione alla quantizzazione cromatica, può essere consultata Wikipedia `http://en.wikipedia.org/wiki/Color_quantization`
[820] Il documento di specifica può essere trovato presso W3C: `http://www.w3.org/Graphics/GIF/spec-gif89a.txt`
[821] Vedi § 17.1.1.7↑.
[822] Reperibile presso il sito di ietf: `http://tools.ietf.org/html/rfc2083`
[823] Scaricabile presso il W3C: `http://www.w3.org/Graphics/JPEG/itu-t81.pdf`
[824] Notiamo incidentalmente come le dimensioni definite nella tabella di pag 1↑ siano multipli interi di 8. Se questo non è il caso, i blocchi ai bordi destro ed inferiore vengono riempiti con pixel scelti in modo da minimizzare le distorsioni risultanti.
[825] Potremmo tentare comunque di estendere le considerazioni svolte al § 4.4.3↑ al caso bidimensionale...
[826] La nuova sequenza di coppie corrisponde ad una sequenza di coefficienti ac pari a 6  7  0  0  0  3   − 1  0  0 …… 0
[827] Il confronto è svolto considerando i soli valori di luminanza, e la similitudine valutata come media tra i valori assoluti delle differenze di luminanza.
[828] l’effettiva estensione dell’area di ricerca non è oggetto di standardizzazione, mentre lo è la rappresentazione del risultato della ricerca.
[829] Viene decretato il fallimento quando anche la migliore compensazione di movimento possibile non determina una riduzione della quantità di bit, rispetto ad una codifica jpeg.
[830] Vedi ad es. `http://www0.cs.ucl.ac.uk/teaching/GZ05/08-h261.pdf` (una presentazione di Mark Handley), o la trattazione su `http://en.wikipedia.org/wiki/H.261`.
[831] Il Common Intermediate Format è stato pensato per facilitare la compatibilità con pal e ntsc; il Quarter-cif ha una superficie di 1⁄4. Sono poi stati anche definiti il 4cif e 16cif, oltre che il sif (352 x 240) che interopera con flussi mpeg.
[832] First in First out, è la disciplna di coda del primo arrivato primo servito, opposta a lifo Last In First Out, realizzata come uno stack.
[833] Nel 1998 viene rilasciato l’H.263v2, noto anche come H.263+ o H.263 1998, e nel 2000 è emesso l’H.263v3 noto anche come H.263++ o H.263 2000; inoltre l’MPEG-4 Part 2 è compatibile con l’H.263, in quanto un bitstream H.263 di base viene correttamente riprodotto da un decodificatore MPEG-4.
[834] Qualcuno potrebbe aver notato che nella definizione degli standard fin qui discussi, non sono previsti controlli di tipo checksum nel bitstream prodotto. D’altra parte essendo le informazioni codificate di natura auto-sincronizzante, la presenza di errori determina presto presso il ricevitore una condizione di disallineamento, e la decodifica di valori non previsti, come ad esempio la ricezione di vettori di movimento o coefficienti dct fuori dinamica, o codeword di Huffman non valide, od un numero eccessivo di coefficienti. Per tale via, il ricevitore diviene in grado di accorgersi dell’errore che si è verificato.
[835] ad es., 22 macroblocchi in risoluzione cif
[836] Per un approfondimento, vedi `http://en.wikipedia.org/wiki/Packetized_elementary_stream`
[837] In realtà pts e dts non sono inseriti in tutti i pacchetti, ma una volta ogni tanto (con intervalli fino a 700 msec per i ps e 100 msec per i ts): il decoder rigenera infatti localmente il clock, ed i timestamp ricevuti servono a mantenerlo al passo con quello trasmesso.
[838] in realtà le intestazioni dei pacchetti del ts possono essere estese e contenere più di 4 byte: in questo caso, la dimensione del paylod si riduce, in modo che il totale sia ancora 188.
[839] Un payload vuoto è in realtà comunque riempito di 184 bytes inutili, e viene inserito da parte del multiplatore che realizza il ts per mantenere una riserva di banda che consenta di assecondare le fluttazioni di velocità dei tributari.
[840] Altri pid riservati sono l’uno, che annuncia la presenza di una Conditional Access Table (cat) contenente i parametri crittografici per visualizzare contenuti a pagamento, ed il pid 18, che annuncia la presenza della Network Information Table (nit), che descrive altri ts disponibili. Per approfondimenti, vedi `http://en.wikipedia.org/wiki/Program-specific_information`.