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## 12.2Prestazioni delle trasmissioni AM↓

Per valutare il rapporto SNR per le diverse tecniche di modulazione am, esprimiamo il segnale modulato nei termini delle sue componenti analogiche
xAM(t)=xc(t)cosω0t−xs(t)sinω0t
Operando una demodulazione coerente del segnale x(t) affetto da rumore bianco n(t) e filtrato da HR(f) come in figura, si ottengono le due componenti analogiche per il segnale demodulato: ⎧⎨⎩ dc(t) = xc(t)+νc(t) ds(t) = xs(t)+νs(t) . Tra la potenza del segnale ricevuto e quella delle sue c.a. di b.f. sussiste [532] [532]Infatti i segnali xc(t)cosω0t e xs(t)sinω0t risultano ortogonali, e le potenze si sommano. la relazione: Px=(1)/(2)Pxc+(1)/(2)Pxs.

### 12.2.1Potenza di segnale e di rumore dopo demodulazione ed SNR ↓

Nel caso di modulazione am, siamo interessati alla sola componente in fase, che è sufficiente a fornire m(t); il rapporto tra Pxc e Pνc fornirà dunque il valore di SNR che stiamo cercando. La tabella che segue mostra i valori delle componenti di segnale e di rumore, assieme alle rispettive potenze espresse in funzione di una medesima potenza di messaggio Pm, per tre casi di modulazione am, di cui discutiamo individualmente.

| xc(t) | xs(t) | Pxc | Px | BN | Pνc
BLD-PS | m(t) | 0 | Pm | (1)/(2)Pm | 2W | 2WN0
BLD-PI | √(η)(ap+m(t)) | 0 | η⋅α | (1)/(2)η⋅α=(1)/(2)Pm | 2W | 2WN0
BLU-PS | (1)/(√(2))m(t) | ∓(1)/(√(2))^m(t) | (1)/(2)Pm | (1)/(2)Pm | W | WN0

Rispetto alla notazione adottata al capitolo 11↑, si considera ora il termine ka inglobato in m(t), e quindi non evidenziato in tabella; inoltre, si pone α=(a2p+Pm). Inoltre, la banda di rumore BN presa in considerazione nella tabella è la minima possibile, pari a quella del segnale modulato BRF, direttamente legata (nella modulazione am) a quella (±W) del segnale modulante. Pertanto, i risultati che otterremo sono i migliori possibili: infatti, se BN>BRF, l’SNR risulterà peggiore. Precisiamo infine che nella valutazione dell’SNR che segue, ci si riferisce sempre ad una medesima potenza ricevuta Px e ad una densità di rumore Pn(f)=(N0)/(2), allo scopo di rendere confrontabili i risultati.

#### 12.2.1.1Modulazione BLD-PS

In questo caso si ha Pxc=Pm e Px=(1)/(2)Pm; dopo demodulazione il segnale dc(t)=xc(t)+νc(t) presenta dunque una potenza di segnale utile Pxc=Pm= 2Px (con Px pari alla potenza del segnale ricevuto) ed una potenza di rumore Pνc=  2WN0; dunque un rapporto segnale-rumore pari a
SNR=(Pxc)/(Pνc)=(Pm)/(2WN0)=(Px)/(WN0)=SNR0
in cui nell’ultima eguaglianza si definisce:

> SNR di riferimento↓ La grandezza SNR0 è denominata rapporto segnale-rumore di riferimento, ed è il rapporto tra la potenza di segnale ricevuto e la potenza di rumore in una banda pari a quella del messaggio di banda base. [533] [533]In virtù di questa definizione, SNR0 è una grandezza che caratterizza le condizioni operative (Px, Pn(f)=(N0)/(2) e W sono grandezze indipendenti) ma non è legata alla particolare tecnica di modulazione adottata. Pertanto, esprimere SNR in funzione di SNR0 permette il confronto tra i diversi tipi di modulazione a parità di condizioni operative.

Osserviamo dunque che la modulazione bld-ps non altera il rapporto SNR0 di banda base, ovvero è come se il processo di modulazione fosse assente. Notiamo infine (e questo è valido anche per i casi che seguono) che SNR può riferirsi indifferentemente sia alle potenze di segnale che a quelle disponibili (vedi § 14.2.2.1↓), in quanto SNR0=(Px)/(WN0)=(Px)/(WN0)(4Rg)/(4Rg)=(Wdx)/(WdN).

#### 12.2.1.2Modulazione BLU-PS

In questo caso, per ottenere una Px=(1)/(2)Pm uguale al caso bld-ps, le componenti xc(t) ed xs(t) devono essere poste rispettivamente pari a (1)/(√(2))m(t) e (1)/(√(2))^m(t) (vedi § 11.1.4↑).
A seguito del processo di demodulazione, si ottiene un rumore in banda base che occupa ancora una banda ±BN come nel caso am-bld, ma possiede una densità uguale a quella del rumore a radio frequenza (e non doppia come al § 12.1.2↑), in quanto i contenuti a frequenze positive e negative non si sovrappongono, come mostrato in figura. Pertanto risulta:
SNR=(Pxc)/(Pνc)=((1)/(2)Pm)/(WN0)=(Px)/(WN0)=SNR0
Dunque, si ottengono prestazioni identiche a quelle del caso am-bld. Si noti che il risultato è valido solo se ν(t) è effettivamente limitato alla sola banda BRF del segnale blu: se infatti si fosse adottato un filtro con banda piú larga, come ad esempio un HR(f) con BN= 2W, si sarebbe ottenuto Pνc(f)=N0, ed SNR risulterebbe dimezzato.

#### 12.2.1.3Modulazione BLD-PI

Per ottenere una potenza di segnale ricevuto Px=(1)/(2)Pm uguale ai due casi precedenti, si considera la ricezione di un segnale
x(t)=√(η)(ap+m(t))cosω0t in cui η=(Pm)/(a2p+Pm)
dove η è proprio pari all’efficienza della bld-pi introdotta al § 11.1.1.4↑. Nel valutare l’SNR, faremo riferimento alla sola componente di messaggio √(η)m(t) del segnale demodulato Px, che ha potenza ηPm= 2ηPx: la quantità a2p si riferisce infatti alla portante non modulata, e non trasporta informazione. Si ha pertanto:
SNR=(Pxc)/(Pνc)=(2ηPx)/(2WN0)=η(2Px)/(2WN0)=ηSNR0
Dunque in questo caso constatiamo che la presenza della portante comporta una riduzione di prestazioni proprio pari all’efficienza η=(Pm)/(a2p+Pm).
L’analisi fin qui esposta si riferisce però al caso di demodulazione coerente: invece per bld-pi si usa il demodulatore di inviluppo (§ 11.2.3↑) ! In tal caso, il segnale demodulato è il modulo dell’inviluppo complesso, ovvero
d(t)=|x(t)+ν(t)|=√([√(η)(ap+m(t))+νc(t)]2+ν2s(t))
Nel caso in cui ν(t) sia piccolo, si può ottenere una approssimazione che ci riconduce al caso precedente. In caso contrario, sorgono termini prodotto tra m(t) e νc(t), ed in definitiva l’SNR risulta peggiore (per bassi SNR0) del caso di demodulazione sincrona omodina, come illustrato nella curva riportata a fianco.
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