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## 14.4Misure di potenza in decibel↓

Ci sono almeno due buoni motivi matematici per misurare le grandezze in unità logaritmiche: la prima è che in tal modo si rappresentano in modo uniforme anche grandezze dalla dinamica molto elevata, e la seconda è che prodotti e rapporti, si trasformano in somme e sottrazioni. Inoltre, c’è almeno un buon motivo fisiologico, e cioè che la sensibilità dei nostri sensi segue naturalmente una legge logaritmica, ossia è necessario uno stimolo che aumenta in progressione geometrica, per produrre una sensazione che aumenta linearmente. Ciò posto, va anche detto che l’esperienza di insegnamento mostra come, anche se le misure in dB sono qui per aiutarci nei calcoli, esse sono anche uno degli argomenti in cui lo studente medio tende più facilmente a perdersi. Proviamo quindi a fare un pò di ordine!
La misura logaritmica
Data una qualisiasi grandezza α, la sua misura in decibel [617] [617]Un decibel, per come è definito, è la decima parte del Bel. Chissà, forse dopo che definirono il Bel, si accorsero che era troppo grande ? :-) è definita come
(18.42) αdB= 10*log10α
e descrive le relazioni mostrate nella figura sottostante, a sinistra per valori α> 1, ed a destra per α< 1, a cui corrispondono rispettivamente valori in decibel positivi e negativi. Inoltre, è mostrata una tabella con alcune corrispondenze che possono comunemente ricorrere: ad esempio, dato che log102  = 0.30102..., un valore α pari a 2 equivale a circa 3 dB.

α | αdB
0 | -∞
10− 3 | -30
1 | 0
2 | ~3
5 | ~7
10 | 10
10n | n⋅10

Nota una grandezza espressa in dB, si può risalire al suo valore naturale, mediante l’ovvia relazione inversa
α= 10(αdB)/(10)
Misura relativa dei rapporti
Per esprimere un rapporto R=(α)/(β) molto grande o molto piccolo, si ricorre spesso alla scala logaritmica definita dai dB, calcolando direttamente il rapporto in tali termini, ovvero eseguendo la differenza tra le grandezze α e β espresse in dB, in quanto
(18.43) RdB= 10⋅log10(α)/(β)= 10⋅log10α−  10⋅log10β=αdB−βdB
Se le due grandezze α e β sono omogenee, come ad esempio due potenze di segnale Px e Py espresse in V2, o due potenze Wx e Wy espresse in Watt, allora il loro rapporto è un numero puro, e le sua misura in dB esprime di quanti dB il numeratore è maggiore (o minore) del denominatore. Conoscendo una delle due grandezze, ed il valore del loro rapporto, si può ovviamente risalire al valore dell’altra, ovvero ad esempio
(18.44) αdB=RdB+βdB
ma, perché questa ovvia relazione possa avere una utilità pratica, occore sapere cosa rappresenta β, dopodiché potremo concludere che α rappresenta la stessa cosa, ma RdB decibel più grande. Per questo, si definisce la
Misura assoluta delle grandezze
La (18.42↑) può essere usata per esprimere il valore assoluto di una grandezza, assieme alla sua unità di misura, se viene pensata come una applicazione della (18.43↑), ponendo il denominatore pari all’unità di misura stessa. Così ad esempio, la potenza Wx di α Watt viene espressa come
(18.45) WxdBW= 10⋅log10(αWatt)/(1 Watt) dBW
ovvero, misurandola in dB sopra il Watt. Quindi, una potenza misurata in dBW può ricondursi alla corrispondente potenza in Watt, calcolando
βWatt= 10(βdBW)/(10)
ed allo stesso modo, si può finalmente applicare la (18.44↑) per ottenere una grandezza effettiva:
αdBW=RdB+βdBW
Ovviamente, se qui β fosse stato riferito al milliWatt (e quindi misurato in dBm), anche per α si sarebbe ottenuta la medesima unità di misura.
Misura delle densità
Spesso non si ha a che fare con una potenza complessiva, bensì con una densità espressa in (V2)/(Hz) o (W)/(Hz) (a seconda se si tratti di potenza di segnale o fisica), ovvero con i suoi multipli e sottomultipli (MHz, mWatt...). Anche in questo caso, è possibile applicare la (18.42↑) per esprimere in unità logaritmiche la grandezza, purché intesa nel senso della (18.45↑), ossia indicando l’unità di misura di partenza, individuando così delle grandezze assolute misurate in (dBV2)/(Hz), (dBW)/(Hz), (dBW)/(MHz), (dBm)/(MHz)....
Quando poi si tratta di applicare una formula come quelle di progetto per i collegamenti, come ad es. la (18.72↓), occorre prestare attenzione a mantenere congruità dimensionale tra le grandezze usate, eventualmente convertendo dall’una e all’altra.
Corrispondenze tra grandezze
Passare da una unità di misura in dB all’altra è molto semplice, basta infatti ricordare le equivalenti relazioni nelle unità lineari rispettive, ed aver presente la misura in dB dei rapporti più comuni. Per questo, ad esempio

- zero dBW equivalgono a 30 dBm, dato che 1 Watt = 1000 mWatt;
- -60 (dBW)/(Hz) equivalgono a -30 (dBm)/(Hz), per lo stesso motivo;
- 20 (dBW)/(MHz) equivalgono a -40 (dBW)/(Hz), dato che 1 MHz = 106 Hz

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