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## 9.6Caratteristiche dei sistemi fisici↓

Abbiamo già osservato come il legame T[x(t)]=y(t) definito al § 1.7.1↑ tra ingresso x(t) ed uscita y(t) di un sistema fisico sia definito, in base alla conoscenza della risposta impulsiva, dall’integrale di convoluzione y(t)=x(t)*h(t), che descrive il risultato di una operazione di filtraggio. Alla luce di questo risultato, torniamo ad analizzare le proprietà enunciate al § 1.7.1↑, assieme ad altre due.
LinearitàUn sistema è lineare se, in presenza di una combinazione lineare di ingressi, l’uscita è la combinazione lineare delle uscite, ossia sussiste la legge di sovrapposizione degli effetti, ovvero
T[ ⎲⎳iaixi(t)]= ⎲⎳iaT[xi(t)]
Ad esempio, il legame ingresso-uscita descritto dall’integrale di convoluzione è di tipo lineare, in virtú della distributività dell’integrale. Al contrario, un operatore basato sulla elevazione a potenza è non lineare, come approfondito al § 14.7↓.
MemoriaNotiamo che un sistema descritto da una risposta impulsiva h(t) con estensione temporale non nulla, è detto con memoria, in quanto i singoli valori di uscita dipendono da tutti i valori di ingresso “raccolti” dalla risposta impulsiva.
PermanenzaUn sistema è permanente se la risposta ad un ingresso ritardato è anch’essa ritardata. Se la risposta impulsiva non cambia nel tempo, il sistema è permanente.
Realizzabilità idealeUn sistema è idealmente realizzabile se h(t) è reale.
Realizzabilità fisicaLa proprietà di osservare valori di uscita che dipendono solo dagli ingressi passati, è automaticamente verificata se h(t)= 0 con t< 0. Abbiamo già osservato (nota 59↑ a pag. 1↑) come sistemi non realizzabili fisicamente possano essere approssimati da sistemi realizzabili accettando un ritardo dell’uscita.
StabilitàSi può mostrare che la proprietà di stabilità equivale alla condizione ∫|h(t)|dt< ∞, ovvero che h(t) sia un segnale impulsivo. Notiamo che questa circostanza garantisce l’esistenza della sua trasformata H(f).
Risposta in frequenza↓ Se un sistema, oltre che stabile, è anche idealmente realizzabile, allora H(f)=H*(−f), e dunque è sufficiente conoscere la parte a frequenze positive indicata con H+(f), dato che l’altra metà è ottenibile mediante una operazione di coniugazione. Questo fatto permette di misurare
H(f)=M(f)ejφ(f)
(ossia modulo e fase di H(f)), che prende il nome di risposta in frequenza, utilizzando come ingresso una funzione sinusoidale con ampiezza A e fase θ note: x(t)=Acos(2πf0t+θ). Il segnale in uscita sarà ancora una cosinusoide [439] [439]Svolgiamo i calcoli nel dominio della frequenza:
X(f)=(A)/(2)(ejθδ(f−f0)+e−jθδ(f+f0));
Y(f)=X(f)H(f)=(A)/(2)M(f0)(ejθejφ(f0)δ(f−f0)+e−jθe−jφ(f0)δ(f+f0))
e antitrasformando si ottiene
y(t)=A⋅M(f0)cos(2πf0t+φ(f0)+θ)
e avrà ampiezza A⋅M(f0) e fase φ(f0)+θ; pertanto potremo ricavare
M(f0)=(max{y(t)})/(max{x(t)}), e φ(f0)= arg{y(t)}− arg{x(t)}
Ripetendo il procedimento per diverse f0, possiamo “campionare” H(f).
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