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## 9.5Filtro adattato↓

Si tratta del filtro da utilizzare da parte di un detettore di impulso, ovvero un dispositivo che deve decidere per la presenza o assenza di una forma d’onda nota immersa nel rumore, in modo da rendere minima la probabilità di sbagliare. Un problema simile è già stato affrontato al § 7.6.2↑, ma ora ci riferiamo ad una detezione coerente, in cui il segnale è completamente specificato, compresa la sua temporizzazione o fase. Supponiamo quindi di trasmettere un segnale x(t), ottenuto facendo transitare un impulso δ(t) in un filtro con risposta impulsiva (di durata limitata T) hT(t)=g⎛⎝t−(T)/(2)⎞⎠, e di ricevere lo stesso segnale in presenza di rumore gaussiano a media nulla n(t), con densità spettrale PN(f)=(N0)/(2).
Figura 9.8 Detezione di impulso mediante filtro adattato
Un ricevitore a filtro adattato effettua una decisione di massima verosimiglianza↓ (vedi § 7.5.3↑) a riguardo della presenza (ipotesi H1) o assenza (ipotesi H0) del segnale x(t) in base alla osservazione della grandezza z(T) ottenuta (vedi figura 9.8↑) filtrando il segnale ricevuto y(t) mediante il filtro (adattato) di ricezione HR(f), la cui uscita z(t) è campionata↓ all’istante t=T. Il valore osservato z(T) è quindi confrontato con una soglia λ, determinando la decisione per H1 o H0 a seconda se λ sia superata o meno. Si commette un errore sia decidendo per H1 in assenza di segnale, sia decidendo per H0 in sua presenza [425] [425]Indicando rispettivamente con Pe0 e Pe1 i due tipi di errore, pari a Pe0=∫∞λpZ(z⁄H0)dz e Pe1=∫λ− ∞pZ(z⁄H1)dz, la probabilità di errore complessiva vale Pe=Pe0P0+Pe1P1, in cui Po=Pr(H0) e P1=Pr(H1). . Si dimostra [426] [426]la dimostrazione è rimandata alla nota 9.5↓ che la probabilità di errore può essere resa minima se HR(f) è scelto in modo da rendere massimo il rapporto SNR all’istante di decisione, che corrisponde a scegliere [427] [427]Avendo definito hT(t)=g⎛⎝t−(T)/(2)⎞⎠, risulta che
H*T(f)=(G(f)e−j2πf(T)/(2))*=G*(f)e+j2πf(T)/(2)
e dunque H*T(f)e−j2πfT=X*(f)e−j2πfT=G*(f)e−j2πf(T)/(2). D’altra parte, potendo scrivere H*T(f)e−j2πfT=(HT(f)ej2πfT)* e ricordando ora la proprietà (6.8↑) espressa a pag. 1↑ ℱ− 1{X*(f)}=x*(−t), otteniamo che
hR(t) = ℱ− 1{H*T(f)e−j2πfT}= ℱ− 1{(HT(f)ej2πfT)*}= = h*T(θ+T)|θ=  −t=h*T(T−t)=x*(T−t)
Infine, essendo x(t)=g(t−T⁄2) si ottiene anche hR(t)=g*(θ−T⁄2)|θ=T−t=g*(T⁄2−t). La fig. 9.8↑ mostra l’esito di tali operazioni nel caso di una g(t) triangolare.
(17.29) HR(f)=H*T(f)e−j2πfT=X*(f)e−j2πfT=G*(f)e−j2πf(T)/(2)
ovvero
(17.30) hR(t)=h*T(T−t)=x(T−t)=g*⎛⎝(T)/(2)−t⎞⎠
Con tali scelte, nel caso H0 in cui x(t) è assente risulta y(t)=n(t), e la grandezza di decisione z(T) è una v.a. gaussiana [428] [428]Ricordiamo (vedi § 9.4.2↑) che l’uscita di un filtro al cui ingresso è posto un processo gaussiano, è anch’essa gaussiana. definita come
z(T) = ∞⌠⌡− ∞hR(τ)y(T−τ)dτ= = T⌠⌡0x(T−τ)n(T−τ)dτ= ℛXN(0)
ossia pari all’intercorrelazione tra x(t) e n(t), calcolata nell’origine, e presenta valore atteso mH0z(T) nullo [429] [429]Infatti mHoz(T)=E{ℛXN(0)}=E{∫T0x*(t)n(t)dt}, che è pari a zero se E{n(t)}= 0. e varianza [430] [430]Risulta σ2z(T)=E{z2(T)}=ℛZ(τ)|τ= 0. Sappiamo che ℛZ(τ)= ℛN(τ)*ℛHR(τ)=(N0)/(2)δ(τ)*ℛHR(τ)=(N0)/(2)ℛHR(τ); pertanto
σ2z(T)=(N0)/(2)ℛHR(0)=(N0)/(2)∞⌠⌡− ∞h*R(t)hR(t)dt=(N0)/(2)ℰG
dato che hR(t) ha la stessa energia di g(t). σ2z(T)=(N0)/(2)ℰG in cui ℰG è l’energia dell’impulso g(t).
Se invece il segnale è presente (ipotesi H1), si ottiene
z(T)=T⌠⌡0x(T−τ)[x(T−τ)+n(T−τ)]dτ= ℛX(0)+ ℛXN(0)
producendo in una grandezza di decisione z(T) sempre gaussiana, con valor medio mH1z(T)= ℰG e varianza σ2z(T) uguale al caso di assenza di segnale [431] [431]Infatti, ora risulta mH1z(T)=E{ℛX(0)+ ℛXN(0)}, in cui il contributo del secondo termine è nullo come già osservato, mentre quello del primo non è aleatorio, e vale ℛX(0)=∫T0x*(t)x(t)dt= ℰG, in quanto il segnale x(t) ha la stessa energia di g(t). Per ciò che riguarda σ2z(T), osserviamo che essendo il filtro di ricezione un operatore lineare, l’uscita si ottiene come sovrapposizione degli effetti delle due cause x(t) ed n(t), e la componente aleatoria dell’uscita è dovuta al solo n(t); pertanto, la sua varianza è la stessa calcolata per il caso H0 di segnale assente.. Notiamo che mH1z(T)= ℰG non dipende dalla particolare g(t) adottata, né dalla sua durata T, ma solo dalla sua energia, ed è per questo che il filtro di ricezione è detto adattato
La figura a fianco mostra la d.d.p. di z(T) nelle ipotesi H0 ed H1; osserviamo ora (vedi nota 9.5↑) che nel caso in cui la probabilità a priori delle due ipotesi sia uguale (ovvero Po=Pr(H0)=P1=Pr(H1)), fissando la soglia λ al valore (ℰG)/(2) la probabilità di errore (calcolata nel seguito) risulta minima.
Il rapporto ((mH1z(T))2)/(σ2z(T)) rappresenta [432] [432]Il significato fisico del rapporto indicato può essere meglio visualizzato considerandone le radice quadrata, ossia (mH1z(T))/(σz(T)), che costituisce il rapporto tra l’uscita per t=T in presenza di solo segnale, e la deviazione standard di tale valore introdotta dal rumore. In altre parole, è indicativo della separazione tra le gaussiane riportate in figura. Pertanto, maggiore è questo rapporto, e minore sarà la probabilità di errore. l’SNR all’istante di decisione, ed il suo valore
(17.31) SNR=((ℰG)2)/((N0)/(2)ℰG)=(2ℰG)/(N0)
costituisce il massimo [433] [433] Consideriamo il caso in cui si abbia una HR(f)=H(f) generica. In presenza di solo segnale, si ottiene
|z(T)|2=|F− 1{Z(f)}|t=T|2=|∞⌠⌡− ∞H(f)X(f)ej2πfTdf|2
A questa espressione può essere applicata la diseguaglianza di Schwartz (a pag. 1↑ si enuncia la relazione |∫∞− ∞a(θ)b*(θ)dθ|2≤∫∞− ∞|a(θ)|2dθ⋅∫∞− ∞|b(θ)|2dθ, con l’eguaglianza solo se a(θ)=k⋅b(θ)), qualora si faccia corrispondere H(f) ad a(θ), e X(f)ej2πfT a b*(θ), ottenendo così
|z(T)|2=(mH1z(T))2≤∞⌠⌡− ∞|H(f)|2df⋅∞⌠⌡− ∞|X(f)|2df
con l’eguaglianza solo se H(f)=kX*(f)e−j2πfT, ovvero (vedi pag. 1↑) se h(t)=kx(T−t), ossia se H(f) è adattata a X(f). Scegliendo k= 1, i due integrali a prodotto hanno lo stesso valore, pari a ℰG. che si può ottenere, adottando la (17.30↑) tra tutte le scelte possibili per il filtro di ricezione hR(t), di energia pari a ℰG. Notiamo che (17.31↑) è valida solo in presenza di rumore bianco, mentre se questo è colorato, l’SNR diminuisce, ed il filtro ottimo va determinato nel modo specificato alla pagina seguente.
Integrate and dump↓
Si tratta di una soluzione circuitale [434] [434]Vedi ad es. `https://en.wikipedia.org/wiki/Op_amp_integrator` in grado di conseguire le prestazioni di detezione del filtro adattato nel caso di un g(t)=rectT(t), a cui corrisponde una hR(t) anch’essa rettangolare. Infatti, il segnale in uscita vale
vo(t) =  −(1)/(RC)t⌠⌡0vi(t)dt+c
in cui c rappresenta vo(0) e quindi, a parte il segno ed il fattore (1)/(RC), il valore vo(T) corrisponde a quello che si trova allo stesso istante in uscita da un filtro adattato [435] [435]Il circuito non lineare mostrato non è un filtro adattato, dato che per t≠T non produce la stessa uscita (vedi `http://dsp.stackexchange.com/questions/9094/understanding-matched-filter`). alla g(t) rettangolare. L’interruttore che scarica (dump) la capacità C per t=nT ha lo scopo di azzerare la costante c dopo la ricezione di ogni impulso, rendendo possibile l’uso dello schema per la detezione ottima di flussi binari a velocità fb=1⁄T.
Rumore colorato
Nel caso in cui PN(f) non sia pari ad una costante, la condizione per massimizzare (17.31↑) non è più la (17.29↑), bensì deve risultare [436] [436]La condizione (17.32↓) si ottiene anche in questo caso imponendo la minimizzazione di SNR=((mH1z(T))2)/(σ2z(T))=(|∫∞− ∞H(f)X(f)ej2πfTdf|2)/(∫∞− ∞|H(f)|2PN(f)df) il cui denominatore tiene conto che σ2z(T)=∫∞− ∞PZ(f)df è dovuta al solo rumore. Applichiamo ora a SNR la diseguaglianza di Schwartz posta nella forma (|∫∞− ∞a(θ)b*(θ)dθ|2)/(∫∞− ∞|a(θ)|2dθ)≤∫∞− ∞|b(θ)|2dθ e identifichiamo a(θ) con H(f)√(PN(f)) e b*(θ) con X(f)ej2πfT⁄√(PN(f)). Imponendo di nuovo la condizione a(θ)=k⋅b(θ) con k= 1, otteniamo il massimo SNR come SNR=∫∞− ∞|b(θ)|2dθ=∫∞− ∞(|X(f)|2)/(PN(f))df, e quindi scrivendo a(θ)=b(θ) ossia H(f)√(PN(f))=X*(f)e−j2πfT⁄√(PN(f)) si ottiene il risultato (17.32↓).
(17.32) HR(f)=(X*(f)e−j2πfT)/(PN(f))
in modo che HR(f), oltre ad esaltare le frequenze per le quali lo spettro del segnale è maggiore, riesce anche ad attenuare quelle per le quali la potenza di rumore è più grande. Questa soluzione è nota come filtro di Wiener [437] [437]`http://en.wikipedia.org/wiki/Wiener_filter`.
Assenza di rumore
Se non fosse presente rumore, l’andamento dell’uscita del filtro adattato sarebbe proprio pari alla funzione di autocorrelazione di g(t), che viene campionata in corrispondenza del suo massimo. Notiamo che la HR(f) non presenta modulo costante e fase lineare, dato che lo scopo qui non è quello di preservare la forma d’onda in transito, ma di massimizzare l’SNR all’istante di decisione.
Probabilità di errore↓
In base alla nota 9.5↑, nel caso di equiprobabilità delle due ipotesi H1e H0, la Pe è pari alla probabilità che una v.a. gaussiana con media nulla e varianza σ2=(N0)/(2)ℰG sia maggiore di (ℰG)/(2); in accordo con la notazione introdotta in § 7.2.4↑, si ottiene Pe=(1)/(2)erfc⎧⎩(ℰG⁄2)/(√(2)√((N0)/(2)ℰG))⎫⎭=(1)/(2)erfc⎧⎩(1)/(2)√((ℰG)/(N0))⎫⎭. Ma questa non è ancora la minima Pe conseguibile, che si ottiene invece nel caso di segnalazione antipodale, molto più indicata nel caso in cui lo scopo del ricevitore non sia di individuare un solo impulso isolato, ma una sequenza simbolica binaria.

### 9.5.1Segnalazione antipodale↓

Desiderando distinguere tra due possibili messaggi (ad es, x1 ed x2), e volendo rendere minima la probabilità di errore, la scelta ottima consiste nell’adottare x1(t)=g⎛⎝t−(T)/(2)⎞⎠ e x2(t)=  −x1(t), e di porre in ingresso al ricevitore un filtro adattato ad
x1(t). In tal modo l’uscita del filtro all’istante di campionamento rappresenta una v.a. gaussiana z con media mz= ±ℰG (a seconda se sia stato trasmesso x1 o x2) e varianza σ2z=(N0)/(2)ℰG. Pertanto ora la soglia di decisione è pari a zero, e nel caso di simboli equiprobabili, in base alla nota 9.5↑, la probabilità di errore↓ Pe corrisponde a quella di osservare z> ℰG: in conseguenza del risultato (17.3↑) di pag. 1↑ si ottiene quindi
(17.33) Pe=(1)/(2)erfc⎧⎩(ℰG)/(√(2)√((N0)/(2)ℰG))⎫⎭=(1)/(2)erfc{√((ℰG)/(N0))}
che, identificando in ℰG l’energia per bit Eb, fornisce un valore identico a quello di eq. (6.49↑) (pag. 1↑) e relativo al caso di trasmissione di un impulso di Nyquist a coseno rialzato con L= 2 e γ= 0, e con un filtro di ricezione passabasso. Ma se γ=  0, la trasmissione avviene a banda minima (§ 5.2.2.3↑), e dunque il filtro rettangolare passa-basso è proprio il filtro adattato!

### 9.5.2 Segnalazione ortogonale↓

Dovendo trasmettere N diversi messaggi (x1,x2,  ...,xN), associamo ad ognuno di essi una forma d’onda xi(t) tale che ∫xi(t)xj(t)dt= 0 con i≠j, ovvero in modo che i segnali xi(t) siano ortogonali. In tal caso il ricevitore ottimo è costituito da un banco di filtri, ognuno adattato ad una diversa xi(t), e in assenza di rumore la ricezione di una delle forme d’onda xi(t) non produce nessuna uscita sui filtri del banco per j≠i. In presenza di rumore, la decisione su cosa sia stato trasmesso viene presa valutando quale dei filtri presenta il valore massimo in corrispondenza dell’istante di campionamento, realizzando così un ricevitore a correlazione (vedi § 13.5↓ a pag. 1↓).
Esempio L’impulso δ(t) entra in uno di filtri mostrati nella figura seguente, le cui risposte impulsive xi(t) realizzano una famiglia di funzioni ortogonali, dato che le rispettive forme d’onda non si sovrappongono nel tempo. In ricezione, solo uno dei filtri adattati con risposta impulsiva hi(t) produce una uscita diversa da zero per t=T, come verificabile ricordando la costruzione grafica dell’operazione di convoluzione mostrata a pag. 1↑.
Correlatore↓
Si tratta di un modo alternativo di realizzare un filtro adattato, derivante dall’osservazione che il suo ruolo essenzialmente si riduce al calcolo della intercorrelazione (eq. 17.26↑) tra il segnale ricevuto e quello atteso. Tale funzione può essere realizzata anche ricorrendo allo schema in figura, dove un integratore (implementato ad es. mediante il circuito integrate and dump, pag. 1↑) opera sul prodotto tra il segnale in arrivo ed una copia locale del coniugato [438] [438]Anche se nel caso di banda base il segnale trasmesso è reale, volendo applicare la teoria esposta ad un inviluppo complesso (§ 10.2.1↓) si rende necessario tener conto dell’operazione di coniugato. della forma d’onda trasmessa. Un caso di applicazione di questo schema si trova a pag. 1↓ a proposito del ricevitore fsk ortogonale, mentre una variante idonea a stimare l’autocorrelazione di y(t) è proposta al § 9.7.3↓.
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