PrecSezione 13.6: Schema riassuntivo delle prestazioni SuCapitolo 13: Modulazione numerica Sezione 13.8: Sistemi a spettro espansoSegue

## 13.7Modulazione OFDM↓↓

La sigla sta per Orthogonal Frequency Division Multiplex, ossia multiplazione a divisione di frequenza ortogonale. Si tratta della tecnica di modulazione numerica adottata per le trasmissioni adsl [568] [568]adsl = Asymmetric Digital Subscriber Line, vedi § 6.9.4↑., dvb-t, e WiFi, ed ha la particolarità di utilizzare in modo ottimo la banda del canale, e di ricondurre l’operazione di equalizzazione ad un prodotto tra vettori.

### 13.7.1Rappresentazione nel tempo ed in frequenza

La modulazione ofdm suddivide una sequenza binaria su N diversi flussi, trasmessi a divisione di frequenza mediante forme d’onda ortogonali. Concettualmente possiamo pensare l’ofdm come una evoluzione [569] [569]La trasmissione numerica contemporanea su più portanti è a volte indicata con il nome di Multi Carrier Modulation (mcm) o Discrete Multi Tone (dmt). La modulazione FSK utilizza invece una portante alla volta, in quanto la sua definizione prevede la presenza di un solo oscillatore. della modulazione fsk, in cui le diverse frequenze spaziate tra loro di Δ Hz in accordo all’espressione
(18.14) fn=f0+ Δ⋅⎛⎝n−(N)/(2)⎞⎠
con n= 0, 1, ...,N− 1 sono utilizzate contemporaneamente, e su ognuna si realizza una modulazione numerica anche a più livelli (es. qpsk o qam) con impulso nrz rettangolare di durata T. Indicando ora con akn=aknc+jakns le coordinate nel piano dell’inviluppo complesso di un generico punto della costellazione realizzata per la portante fn all’istante t=kT, il segnale ofdm può essere scritto come
(18.15) xOFDM(t) = ⎲⎳krectT(t−kT)N− 1⎲⎳n= 0(aknccosωn(t−kT)−aknssinωn(t−kT)) = ∞⎲⎳k=  − ∞δ(t−kT)*(rectT(t)N− 1⎲⎳n= 0(aknccosωnt−aknssinωnt))
in cui la prima sommatoria (su k) identifica gli istanti di simbolo, e la seconda (su n) le diverse portanti. Tale segnale presenta [570] [570]Osserviamo innanzitutto che per un segnale
x(t)= cosω1t=(1)/(2)(ejω1t+e−jω1t)
risulta x+(t)=(1)/(2)ejω1t, e quindi il suo inviluppo complesso x(t) calcolato rispetto ad f0 vale
x(t)= 2x+(t)e−jω0t= 2(1)/(2)ejω1te−jω0t=ej(ω1−ω0)t
Allo stesso modo, si ottiene che per y(t)=  sinω1t risulta y(t)=(1)/(j)ej(ω1−ω0)t. Pertanto, considerando che (1)/(j)=(j)/(j2)=  −j, ad ogni termine zk(t)=aknccosωnt−aknssinωnt corrisponde un z(t)=akncej(ωn−ω0)t+jaknsej(ωn−ω0)t=aknej2π(fn−f0)t. Applicando ora la (18.14↑) si ottiene fn−f0= Δ⋅⎛⎝n−(N)/(2)⎞⎠ e quindi la (18.16↓). un inviluppo complesso rispetto a f0 pari a
(18.16) xOFDM(t)=∞⎲⎳k=  − ∞δ(t−kT)*(rectT(t)N− 1⎲⎳n= 0aknej2π⎡⎣Δ⎛⎝n−(N)/(2)⎞⎠⎤⎦t)
L’espressione (18.15↑) non vincola la durata T di un simbolo ad un valore particolare; deve però risultare T≥T0=(1)/(Δ), in quanto il ricevitore opera sul segnale xR(t) ottenuto per moltiplicazione con una finestra temporale di estensione T0=(1)/(Δ), allo scopo di rendere ortogonali tra loro [571] [571]Come mostrato per il caso incoerente discusso al § 13.10.2↓ le frequenze fn=f0+ Δ⋅⎛⎝n−(N)/(2)⎞⎠, e mettere in grado il ricevitore di calcolare i valori akn per tutti gli n presenti all’istante t=kT, mediante un ricevitore concettualmente simile a quello a correlazione presentato a pag. 1↑.
L’intervallo T0 è detto periodo principale del simbolo ofdm, mentre la differenza Tg=T−T0 è indicata come tempo di guardia↓, od anche preambolo, ed il segnale ricevuto durante Tg non è usato in ricezione. Il motivo di tale “spreco” [572] [572]Infatti la frequenza di simbolo fs=(1)/(T)=(1)/(T0+Tg) risulta ridotta rispetto al caso in cui Tg sia nullo. risiede nel fatto che, in presenza di un canale non perfetto, la parte iniziale di ogni simbolo risulta corrotta (vedi figura) da una interferenza intersimbolica (isi) dovuta al risultato della convoluzione tra la coda del simbolo precedente e l’h(t) del canale. Consideriamo ora un solo simbolo (fissiamo k= 0 e consideriamo l’origine dei tempi ritardata di Tg) ricevuto nell’intervallo T0=(1)/(Δ)≤T, con inviluppo complesso
(18.17) xT0(t)=rectT0(t)⋅N− 1⎲⎳n= 0anej2π⎡⎣Δ⎛⎝n−(N)/(2)⎞⎠⎤⎦t
e calcoliamone la trasformata per determinare l’occupazione di banda:
(18.18) XT0(f) = T0 sinc(fT0) *N− 1⎲⎳n= 0anδ⎛⎝f− Δ⎛⎝n−(N)/(2)⎞⎠⎞⎠= = T0N− 1⎲⎳n= 0an sinc⎛⎝⎛⎝f− Δ⎛⎝n−(N)/(2)⎞⎠⎞⎠T0⎞⎠
Otteniamo allora la costruzione grafica mostrata alla figura a lato, dove si evidenzia come ogni funzione sinc risulti moltiplicata per uno dei coefficienti an, che potrebbero quindi essere ri-ottenuti in ricezione campionando (in modo complesso) X(f) su frequenze spaziate di Δ.
Per quanto riguarda la densità di potenza↓ PxR(f) dell’inviluppo complesso xR(t) ricevuto e finestrato, consideriamo l’espressione (vedi § 9.3.1↑)
(18.19) PxR(f)=(1)/(T)E{|XT0(f)|2}
in cui |XT0(f)|2 è la densità di energia di un simbolo ofdm (eq. (18.18↑)): la figura a lato ne mostra l’andamento (in scala lineare ed in dB) per un simbolo a 32 portanti, di cui 16 (esterne) spente (vedi appresso), mentre per le 16 centrali si è posto an= 1. Notiamo come si ottenga una densità spettrale di potenza quasi rettangolare pur utilizzando simboli a durata finita.
Potenza complessiva
Mostriamo ora come mettere in relazione la potenza ricevuta complessiva PxR di xR(t) e del suo inviluppo complesso PxR
(18.20) PxR=⌠⌡PxR(f)df
con la dinamica dei valori an utilizzati per modulare le singole portanti: nel seguito ci riferiamo a costellazioni l-qam, indicando con Mn ed Ln= 2Mn rispettivamente il numero di bit e di punti di costellazione per la portante n-esima, ad ognuna delle quali la (18.15↑) attribuisce una potenza Pn.
Per calcolare la (18.20↑) mediante la (18.19↑) utilizzando l’espressione di XT0(f) fornita dalla (18.18↑), osserviamo che le funzioni sinc(fT0) che vi compaiono sono ortogonali↓ se spaziate per un multiplo di Δ =(1)/(T0), ovvero (vedi § 4.1.3↑) sussite la condizione
∫sinc((f−nΔ)T0)sinc((f−mΔ)T0)df=⎧⎨⎩ 0 se n≠m (1)/(T0) se n=m
Pertanto, introducendo una insignificante [573] [573]Infatti le variazioni di fase non influenzano lo spettro di energia ma solo quello di ampiezza. traslazione di f pari a (N)/(2)Δ, si ha
PxR = (1)/(T)⌠⌡E{|XT0(f)|2}df= = (1)/(T)⌠⌡T20N− 1⎲⎳n= 0N− 1⎲⎳m= 0E{ana*m}sinc((f− Δn)T0)sinc((f−  Δm)T0)df= = (T20)/(T)N− 1⎲⎳n= 0E{a2n}⌠⌡sinc2((f−  Δn)T0)df=(T20)/(T)N− 1⎲⎳n= 0E{a2n}(1)/(T0)=(T0)/(T)N− 1⎲⎳n= 0σ2an
in quanto i termini incrociati prodotti dalla doppia sommatoria si annullano [574] [574]Vedi nota 26↑ a pag. 1↑.
Scegliendo il lato della costellazione qam in modo opportuno [575] [575]Al § 9.10.4↑ si è mostrato che se gli an sono v.a. indipendenti e distribuite uniformemente su L’ livelli tra ±A, si ottiene σ2a=(A2)/(3)(L’ + 1)/(L’ − 1). Nel caso di una costellazione qam quadrata ad L livelli si ha L’ =√(L), e se le realizzazioni sui rami in fase e quadratura sono indipendenti risulta σ2an=E{(anc+jans)2}= 2σ2a=(2A2)/(3)(√(L)+ 1)/(√(L)− 1); volendo eguagliare tale valore a 2Pn, occorre quindi scegliere A=√(3Pn(√(L)− 1)/(√(L)+ 1))., si può ottenere σ2an=E{a2n}= 2Pn, in cui Pn è la potenza per la n-esima portante qam; considerando infine (vedi eq. (17.49↑) a pag. 1↑) che
PxR=P+xR+P−xR=(2)/(4)PxR=(1)/(2)PxR
possiamo scrivere
PxR=(1)/(2)(T0)/(T)N− 1⎲⎳n= 02Pn=(T0)/(T)N− 1⎲⎳n= 0Pn
in cui è evidenziata la perdita di potenza legata alla presenza del preambolo.

### 13.7.2Architettura di modulazione

Una caratteristica fondamentale della modulazione ofdm↓ è quella di essere realizzata senza oscillatori e integratori, ma completamente tramite circuiti digitali. Con riferimento alla figura 13.31↓, il flusso binario a frequenza fb viene parallelizzato per formare simboli ad L= 2M livelli a frequenza fs=(fb)/(M)=(fb)/(log2L). Questi M bit/simbolo sono suddivisi in Ñ gruppi di Mn (n= 0, 1, ...,Ñ− 1) bit ciascuno, con M=∑Ñ− 1n= 0Mn, e ad ogni gruppo di Mn bit corrisponde un punto di costellazione an, scelto tra Ln= 2Mn punti possibili.
Figura 13.31  Architettura di un modulatore ofdm numerico
La sequenza {an} viene poi arricchita con N−Ñ valori nulli (metà all’inizio e metà
alla fine) ottenendo una nuova sequenza {an} di N valori, in modo che la sommatoria in (18.18↑) dia luogo ad un inviluppo complesso praticamente limitato in banda (vedi figura) tra (circa) ±(N)/(2)⋅Δ Hz, che può essere pertanto rappresentato dai suoi campioni presi a frequenza fc=N⋅Δ(campioni)/(secondo). Il blocco indicato come FFT− 1↓ svolge proprio questa operazione: esso infatti esegue efficentemente [576] [576]La (18.21↓) è in qualche modo simile alla formula di ricostruzione (6.3↑) (vedi pag. 1↑) per il segnale periodico limitato in banda ±(N)/(2)F
x(t)=N⁄ 2⎲⎳m=  −N⁄ 2Xmej2πmFt
che calcolata per t=hTc=(h)/(NF) fornisce x(hTc)=∑N⁄ 2m=  −N⁄ 2Xmej2π(m)/(N)h. Ponendo ora n=m+(N)/(2) e Yn=Xn−(N)/(2) otteniamo
x(hTc)=N− 1⎲⎳n= 0Ynej2π(n−(N)/(2))/(N)h=e−jπhN− 1⎲⎳n= 0Ynej2π(n)/(N)h
Osservando ora che e−jπh=(− 1)h e confrontando con la (18.17↑) si ottiene la (18.21↓). La coppia di relazioni
Xn=(1)/(N)N− 1⎲⎳h= 0xhe−j2π(h)/(N)n e xh=N− 1⎲⎳n= 0Xnej2π(n)/(N)h
sono chiamate Discrete Fourier Transform (dft↓) diretta e inversa, in quanto costituiscono la versione discreta della trasformata di Fourier (vedi § 4.4↑), e consentono il calcolo di una serie di campioni in frequenza a partire da campioni nel tempo e viceversa. il calcolo
(18.21) N− 1⎲⎳n= 0anej2π(n)/(N)h=(1)/((− 1)h)xT0(hTc)
Il risultato della FFT− 1 è quindi una sequenza di coefficienti complessi {xh}, che a meno di un segno alterno sono uguali ai campioni dell’inviluppo complesso xT0(t) fornito dalla (18.17↑) relativamente ad un simbolo. Il preambolo da trasmettere durante il tempo di guardia Tg si ottiene aggiungendo in testa a {xh} un gruppo di campioni prelevati dalla coda [577] [577]In effetti la (18.21↑) fornisce un risultato periodico rispetto ad h, con periodo N, ossia con periodo N⋅Tc=N(1)/(fc)=N(1)/(ΔN)=(1)/(Δ)=T0 per la variabile temporale. Per questo motivo il preambolo dell’ofdm è detto anche estensione ciclica..
Infine, le parti reale ed immaginaria di {xh} sono inviate ad una coppia di convertitori D/A operanti a fc=(N+Ng)/(T)=(N)/(T0)=NΔ in modo da ottenere le c.a. di b.f., utilizzate per produrre il segnale xOFDM(t) mediante una coppia di modulatori in fase e quadratura.

### 13.7.3Efficienza dell’OFDM↓

Come vedremo al § 13.7.8↓, questa è una tra le tecniche di modulazione che meglio approssima i risultati della teoria dell’informazione, tanto più quanto maggiore è la sua efficienza. Quest’ultima si ottiene considerando che solo Ñ portanti su N trasportano informazione, e che solo fc⋅T0 campioni su fc⋅T sono unici; combinando queste quantità si ottiene
ρ=(Ñ)/(N)(T0)/(T)=(Ñ)/(N)(T−Tg)/(T)=(Ñ)/(N)⎛⎝1 −(Tg)/(T)⎞⎠
che misura la frazione di segnale utile rispetto all’occupazione di banda ed al numero di campioni/simbolo presenti in xOFDM(t). La ridondanza↓ introdotta (le portanti vuote ed il preambolo) è della stessa natura di quella introdotta dal roll-off γ di un impulso a coseno rialzato, in quanto ha lo scopo di evitare che si verifichino fenomeni di interferenza tra simboli. Osserviamo che l’efficienza migliora all’aumentare di T e di N, dato che Tg ed N−Ñ sono fissi.

### 13.7.4Architettura di demodulazione

Per ottenere gli elementi della sequenza {an} e quindi il gruppo di M bit che hanno originato il simbolo, si adotta l’architettura mostrata in figura 13.32↓ che svolge una azione del tutto inversa a quella del modulatore.
Figura 13.32  Architettura di un demodulatore ofdm numerico
Innanzitutto il ricevitore deve acquisire il sincronismo di frequenza (vedi § 13.7.10↓), in modo che il segnale ricevuto possa essere demodulato in fase e quadratura, e le c.a. di b.f. campionate a frequenza fc=(N+Ng)/(T). Dopo l’inversione di segno ad indici alterni, ed avere acquisito il sincronismo di simbolo, fc⋅T campioni complessi sono bufferizzati, quindi gli Ng campioni del preambolo rimossi, e sugli N valori del periodo principale viene calcolata una fft, ottenendo i valori
(18.22) (1)/(N)N− 1⎲⎳h= 0xhe−j2π(h)/(N)n=XT0⎛⎝⎛⎝n−(N)/(2)⎞⎠Δ⎞⎠=an
Solo gli Ñ valori centrali sono avviati verso altrettanti decisori, che determinano il punto di costellazione più vicino all’an ricevuto per ogni portante, associandovi il relativo codice di Mn bit, ed il risultato finale è nuovamente serializzato per produrre gli M bit che hanno dato origine al simbolo.

### 13.7.5Prestazioni↓

Il calcolo della Pe per bit si basa su quello relativo alle probabilità di errore↓ Pen condizionato alle singole portanti. Dato che la portante n-esima trasporta Mn bit/simbolo, la probabilità che un bit generico provenga dalla portante n-esima risulta pari a Pr(n)=(Mn)/(M) e quindi la probabilità che sia errato è pari a
(18.23) Pe=Ñ− 1⎲⎳n= 0Pr(n)Pe⁄n=(1)/(M)Ñ− 1⎲⎳n= 0MnPen

#### 13.7.5.1Calcolo della Pe per portante

Per determinare il valore di Pen per la portante n-esima, si applica il risultato trovato al § 13.3.1↑ per la modulazione qam, che esprime Pen in funzione del numero di livelli Ln= 2Mn e dal rapporto ⎛⎝(Eb)/(N0)⎞⎠n per tale frequenza. Ma l’eq. (18.9↑) suppone la presenza di un filtro passabasso in ingresso al ricevitore per limitare la densità di potenza del rumore a quella che ricade nella banda di segnale, mentre ora tale filtro non c’è, ed al suo posto deve essere invece tenuto conto l’effetto della fft sul rumore. Inoltre, vorremmo pervenire ad un risultato valido anche in presenza di rumore non bianco, e/o di una distribuzione di potenza sulle portanti non uniforme. Pertanto, al posto del rapporto Eb⁄N0 che compare nella (18.9↑) utilizziamo ora il rapporto SNRn tra la potenza di segnale e quella del rumore per l’n-esima portante, ottenendo così
(18.24) Pe⁄n=(2)/(log2Ln)Pαn in cui Pαn=⎛⎝1  −(1)/(√(Ln))⎞⎠erfc{√((3)/(2)SNRn(1)/(Ln− 1))}
derivata [578] [578]Si tratta di invertire l’eq. 6.46↑ SNR=(Eb)/(N0)(2log2L)/((1  +γ)) considerando γ= 0 e notando che tale espressione è ottenuta nel caso di banda base, mentre per segnali am la banda (e la potenza di rumore) raddoppia. dalla (18.9↑) considerando (Ebn)/(N0)=(PRn)/(N0fb)=(SNRn)/(log2L), ed in cui \strikeout off\uuline off\uwave offPαn\uuline default\uwave default esprime la probabilità di errore su di uno dei rami (in fase od in quadratura) della n-esima costellazione qam con Ln punti, che rappresentano gruppi di bit secondo la codifica di Gray. Per il calcolo di
SNRn=(PcRn)/(PcNn)=(PsRn)/(PsNn)=((1)/(2)PRn)/((1)/(2)PNn)=(PRn)/(PNn)
osserviamo che la potenza PRn dell’inviluppo complesso del segnale ricevuto sulla portante n-esima è pari a
PRn= 2PRn= 2(T0)/(T)αnP
in cui P è la potenza totale ricevuta, e αn=(Pn)/(P) è la frazione di potenza assegnata alla n-esima portante. Resta quindi da determinare PNn.

#### 13.7.5.2Potenza di rumore per portante

Per quanto riguarda PNn, si tratta di applicare la (18.22↑) alla sequenza {(− 1)hn(hTc)} dei campioni dell’inviluppo complesso del rumore, e determinare il valore
PNn=E{(Nn)2}=σ2Nn in cui Nn=(1)/(N)N− 1⎲⎳h= 0(− 1)hn(hTc)e−j2π(h)/(N)n
in virtù del fatto che i valori n(hTc) sono a media nulla, che (con n fissato) la fft ne effettua una combinazione lineare con coefficienti e−j2π(h)/(N)n, e che essendo n(t) ergodico è possibile scambiare medie temporali e di insieme. Sviluppando
(Nn)2=NnN*n=(1)/(N2)N− 1⎲⎳h= 0N− 1⎲⎳k= 0(− 1)h−kn(hTc)n*(kTc)e−j2π(h−k)/(N)n
e tenendo conto che E{(− 1)h−kn(hTc)n*(kTc)}=ejπ(h−k)ℛN((h−k)Tc) otteniamo [579] [579]La riduzione da due ad una sommatoria, si ottiene scrivendo esplicitamente tutti i termini della doppia sommatoria, e notando che si ottiene per N volte lo stesso termine ℛN(0), N− 1 volte i termini ℛN(Tc)ejπe−j2π(1)/(N)n e ℛN(−Tc)e−jπej2π(1)/(N)n, N− 2 volte quelli ℛN(2Tc)ej2πe−j2π(2)/(N)n e ℛN(− 2Tc)e−j2πej2π(2)/(N)n, e così via.
(18.25) PNn = (1)/(N2)N− 1⎲⎳h= 0N− 1⎲⎳k= 0ℛN((h−k)Tc)ejπ(h−k)e−j2π(h−k)/(N)n= = (1)/(N)N− 1⎲⎳m=  −(N− 1)(N−|m|)/(N)ℛN(mTc)ej2π(mTc)/(2Tc)e−j2π(m)/(N)n= = (1)/(N)N− 1⎲⎳m=  −(N− 1)z(m)e−j2π(m)/(N)n
in cui l’ultima riga semplifica l’espressione introducendo la sequenza {z(m)} di lunghezza N, che si ottiene campionando
(18.26) z(t)=⎛⎝1  −(|t|)/(NTc)⎞⎠ℛN(t)ej2π(t)/(2Tc)
agli istanti t=mTc con Tc=(1)/(NΔ). Mostriamo ora come, per N sufficientemente elevato, la (18.25↑) possa essere calcolata in funzione dei campioni di Z(f)= ℱ{z(t)}, ed in particolare di come risulti
PNn≃Δ⋅Z(f)|f=nΔ≃4Δ⋅PN(fn)
Analizzando i termini che compaiono in (18.26↑), osserviamo che il prodotto ℛN(t)ej2π(t)/(2Tc) ha trasformata pari a PN(f), translata in frequenza di −(1)/(2Tc)=  −(NΔ)/(2), ovvero
ℱ{ℛN(t)ej2π(t)/(2Tc)}=PN⎛⎝f−(NΔ)/(2)⎞⎠
mentre il termine ⎛⎝1 −(|t|)/(NTc)⎞⎠=tri2NTc(t)=tri(2)/(Δ)(t) possiede come noto trasformata ℱ{tri(2)/(Δ)(t)}=(1)/(Δ)sinc2⎛⎝(f)/(Δ)⎞⎠; pertanto per N elevato il prodotto z(t)= ℛN(t)ej2π(t)/(2Tc)⋅tri(2)/(Δ)(t) ha trasformata
Z(f)=PN⎛⎝f−(NΔ)/(2)⎞⎠*(1)/(Δ)sinc2⎛⎝(f)/(Δ)⎞⎠≃PN⎛⎝f−(NΔ)/(2)⎞⎠
avendo approssimato (1)/(Δ)sinc2⎛⎝(f)/(Δ)⎞⎠ come un impulso di area unitaria, per NΔ grande rispetto a Δ.
Dato che PN(f) è limitato in banda tra ±(NΔ)/(2), allora Z(f) è limitato in una banda compresa tra f= 0 ed f=NΔ, e z(t) è perfettamente rappresentato dai suoi campioni z(m)=z(mTc) che compaiono nella (18.25↑); in particolare, per N sufficientemente elevato, si ottiene [580] [580]Se campioniamo z(t) con periodo Tc=(1)/(NΔ), il segnale Z•(f)=∑∞m=  − ∞Z(f−m⋅NΔ)
non presenta aliasing (vedi figura), ed il passaggio di z•(t)=∑∞m=  − ∞z(mTc)δ(t−mTc) attraverso un filtro di
ricostruzione H(f)=(1)/(NΔ)rectNΔ⎛⎝f−(NΔ)/(2)⎞⎠ restituisce il segnale originario. Scriviamo pertanto
z(t)=z•(t)*h(t)=∞⎲⎳m=  − ∞z(mTc)δ(t−mTc)*sinc(NΔt)ejπNΔt
ed effettuiamone la trasformata:
Z(f) = ℱ{∞⎲⎳m=  −  ∞z(mTc)δ(t−mTc)}⋅(1)/(NΔ)rectNΔ⎛⎝f−(NΔ)/(2)⎞⎠ = [∞⎲⎳m=  −  ∞z(mTc)e−j2π(m)/(NΔ)f]⋅(1)/(NΔ)rectNΔ⎛⎝f−(NΔ)/(2)⎞⎠
che, calcolata alle frequenze f=nΔ con n= 0, 1, ...,N− 1 fornisce
Z(f)|f=nΔ=(1)/(NΔ)∞⎲⎳m=  − ∞z(mTc)e−j2π(m)/(N)n
Se ora non disponiamo di tutti i campioni z(mTc), ma solo degli 2N− 1 valori con m=  −(N− 1), ..., 0, 1, ...,N− 1, la relazione precedente si applica ad un nuovo segnale z’(t)=z(t)⋅rect2NTc(t), fornendo
Z’(f)|f=nΔ=(1)/(NΔ)N− 1⎲⎳m=  −(N− 1)z(mTc)e−j2π(m)/(N)n
In virtù delle proprietà delle trasformate, risulta
Z’(f)=Z(f)*ℱ{rect2NTc(t)}≃Z(f)*δ(f)=Z(f)
in cui l’approssimazione è lecita per N elevato.
che
PNn = (1)/(N)N− 1⎲⎳m=  −(N− 1)z(m)e−j2π(m)/(N)n≃Δ⋅Z(f)|f=nΔ= = Δ⋅PN⎛⎝nΔ  −(NΔ)/(2)⎞⎠= Δ⋅PN⎛⎝Δ⎛⎝n−(N)/(2)⎞⎠⎞⎠= = 4Δ⋅P+N⎛⎝f0+ Δ⎛⎝n−(N)/(2)⎞⎠⎞⎠= 4Δ⋅PN(fn)= 2Δ⋅N0(fn)
in cui si è tenuto conto che PN(f)= 4P+N(f+f0) e si è indicata la densità di potenza in ingresso come PN(f)=(N0(f))/(2).

#### 13.7.5.3Prestazioni per portante

Siamo finalmente in grado di scrivere
SNRn = (PRn)/(PNn)=(2(T0)/(T)αnP)/(2ΔN0(fn))=(T0)/(T)αn(T0P)/(N0(fn))=(T0)/(T)αn(Es)/(N0(fn))= = (T0)/(T)αn(EbM)/(N0(fn))=(T0)/(T)(Ebn)/(Eb)(EbM)/(N0(fn))=(T0)/(T)(EbnM)/(N0(fn))
avendo posto T0P=Es=EbM pari all’energia di un simbolo di durata T0=(1)/(Δ), ed avendo riscritto αn=(Pn)/(P) come αn=(Ebn)/(Eb) in modo da porre in evidenza la Ebn della portante n-esima. La Pe per portante risulta quindi
(18.27) Pe⁄n=(2)/(Mn)⎛⎝1 −(1)/(√(Ln))⎞⎠erfc{√((3)/(2)(T0)/(T)(Ebn)/(N0(fn))(M)/(Ln− 1))}

#### 13.7.5.4Caso di rumore bianco

Se PN(f) non dipende da f, possiamo scrivere
P+N(f)=(N0)/(2)rectNΔ(f−f0)
e semplificare la (18.27↑), sostituendo ad N0(fn) la costante N0. In questo caso, il risultato PNn= 2Δ⋅N0 può essere ottenuto direttamente dalla (18.25↑): infatti, risulta
ℛN(t)= ℱ− 1{PN(f)}= ℱ− 1{4P+N(f+f0)}= 2N0NΔsinc(NΔt)
e dunque ℛN(t)= 0 con t=mTc=(m)/(NΔ) per m≠ 0. Ciò permette di scrivere in definitiva
PNn=(1)/(N)ℛN(0)=(1)/(N)2N0NΔ  = 2Δ⋅N0

#### 13.7.5.5Confronto con la portante singola

Proviamo a verificare se la modulazione ofdm è vantaggiosa in termini di prestazioni rispetto ad una qam monoportante con lo stesso numero di bit/simbolo M, per una medesima occupazione di banda, ed a parità di potenza. Nel caso ofdm, considerando un tempo di guardia Tg=T−T0 nullo, in presenza di rumore bianco, e scegliendo un intervallo di simbolo T0=(1)/(Δ) da cui derivare MOFDM=T0⋅fb, si ottiene αn=(1)/(Ñ) e dunque valori Ebn=αnEb=(Eb)/(Ñ) uguali per le diverse portanti; pertanto la 18.27↑ diviene
POFDMe=Pe⁄n=(2Ñ)/(MOFDM)⎛⎝1 −(1)/(√(Ln))⎞⎠erfc{√((3)/(2)(Eb)/(N0)(1)/(Ñ)(MOFDM)/(Ln− 1))}
Nel caso qam a portante singola, considerando un impulso a coseno rialzato e roff-off γ=(N)/(Ñ)− 1 si determina una occupazione di banda pari a B=fs(1 +γ) che, se eguagliata a quella del caso ofdm, fornisce fs=ÑΔ  =(Ñ)/(T0) e quindi MQAM=(fb)/(fs)=(MOFDM)/(Ñ). Pertanto, visto il risultato del § 13.3.1↑ si ottiene
PQAMe = (2)/(MQAM)⎛⎝1 −(1)/(√(L))⎞⎠erfc{√((3)/(2)(Eb)/(N0)(MQAM)/(L− 1))} = (2Ñ)/(MOFDM)⎛⎝1 −(1)/(√(L))⎞⎠erfc{√((3)/(2)(Eb)/(N0)(1)/(Ñ)(MOFDM)/(L− 1))}
che risulta identico a POFDMe qualora si noti che Ln=  2Mn= 2(MOFDM)/(Ñ) e L= 2MQAM= 2(MOFDM)/(Ñ)=Ln.
E allora dov’è la convenienza ? E’ il tema delle prossime sottosezioni.

### 13.7.6Equalizzazione↓↓

Consideriamo il caso in cui la trasmissione attraversi un canale descritto da un inviluppo complesso H(f) in cui il modulo non è costante e/o la fase non è lineare: in tal caso XT0(f) di (18.18↑) si altera, ed i valori an restituiti dalla (18.22↑) si modificano in bn=an⋅H⎛⎝f− Δ⎛⎝n−(N)/(2)⎞⎠⎞⎠. Come anticipato, l’equalizzazione è pertanto ridotta ad eseguire un semplice prodotto scalare tra il vettore dei valori {bn} e quello dei valori ⎧⎨⎩(1)/(H⎛⎝f−  Δ⎛⎝n−(N)/(2)⎞⎠⎞⎠)⎫⎬⎭, ovviamente purché si conosca H(f), od una sua stima.

#### 13.7.6.1Codifica differenziale↓

Nel caso in cui la distorsione lineare introdotta dal canale non sia eccessiva, si può evitare del tutto lo stadio di equalizzazione, e ricorrere ad una codifica differenziale (§ 13.4↑). Infatti, in presenza di distorsione di fase, il piano dell’inviluppo complesso subisce, per ogni portante consecutiva, una rotazione pari alla differenza della fase di H(f) in corrispondenza delle due frequenze contigue. Se questa rotazione non è eccessiva, si può prendere come riferimento di fase il risultato della demodulazione della portante precedente.

### 13.7.7Sensibilità alla temporizzazione

Nel caso in cui il ricevitore non acquisisca una perfetta sincronizzazione di simbolo, il calcolo della fft su di un gruppo di campioni presi a partire dalla coda del preambolo non altera per nulla il risultato [581] [581]Infatti non siamo nelle condizioni di demodulazione coerente dell’fsk, e le portanti del simbolo ofdm ricevuto mantengono ortogonalità purchè finestrate su di un periodo T0=(1)/(Δ)., in virtù della caratteristica di periodicità dello stesso.

### 13.7.8Ottimalità

Come stiamo per mostrare, questa proprietà è intimamente legata alla possibilità dell’ofdm di assegnare valori di potenza differenti alle diverse portanti.
La trasmissione numerica con una fb elevata, eseguita utilizzando una sola portante, deve necessariamente occupare una banda molto ampia; nel caso in cui H(f) presenti una elevata distorsione di ampiezza, l’equalizzazione della stessa causa una colorazione del rumore in ingresso al demodulatore, ed un peggioramento delle prestazioni. Un problema analogo nasce nel caso in cui il rumore non sia bianco, ad esempio perchè derivante da un segnale interferente.
In entrambi i casi, la teoria di Shannon che definisce [582] [582]Come discusso ai § 17.2.3↓ e 17.2.4↓, il risultato della teoria di Shannon asserisce che fb=C è la massima velocità di trasmissione per cui si può (teoricamente) conseguire una probabilità di errore nulla, ma anche che il canale consegue capacità C massima a seguito di una oculata scelta di come trasmettere il messaggio. una capacità di canale↓ pari a C=Wlog2⎛⎝1  +(Pr)/(WN0)⎞⎠ in presenza di un rumore bianco, con PN(f)=(N0)/(2) e con una potenza ricevuta Pr in una banda (positiva) W, si modifica nel seguente modo, per tenere conto dell’andamento incostante di Pr(f) e PN(f). Considerando il canale scomposto in infinite sottobande entro le quali le densità di potenza possono ritenersi costanti, l’espressione della capacità diviene ora:
(18.28) C= supPr(f) ⌠⌡f∈Iflog2⎛⎝1  +(Pr(f))/(PN(f))⎞⎠df
in cui Pr(f) viene fatto variare in tutti i modi possibili e tali che ∫f∈IfPr(f)df=Pr, con Pr(f)≥ 0, ed If rappresenta l’insieme delle frequenze in cui è presente il segnale: If={f:Pr(f)> 0}. La (18.28↑) asserisce quindi che, nel caso in cui PN(f) in ingresso al canale non sia bianco, le migliori prestazioni (fb che tende a C) si ottengono solamente sagomando la densità di potenza del segnale ricevuto in modo
opportuno.
Per determinare l’andamento ottimo di Pr(f) si ricorre allora al calcolo delle variazioni basato sui moltiplicatori di Lagrange [583] [583]Vedi ad es. `http://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_dei_moltiplicatori_di_Lagrange`, che in questa sede non affrontiamo, e che fornisce la condizione
(18.29) Pr(f)+PN(f)=⎧⎨⎩ λ se PN(f)<λ PN(f) se PN(f)≥λ
detta anche del riempimento d’acqua perché asserisce che (vedi figura) il segnale debba essere presente in misura maggiore nelle regioni di frequenza dove il rumore è minore. La costante λ è scelta in modo tale da ottenere ∫Pr(f)df=Pr.
In un sistema di modulazione numerica a singola portante, Pr(f) non può essere modificato a piacere, in quanto il suo andamento è vincolato dalla particolare caratteristica di Nyquist G(f) scelta per ottenere una ricezione priva di isi. Nel caso dell’ofdm invece, la potenza assegnata a ciascuna portante può essere variata liberamente, e se la Pr(f) che realizza le condizioni (18.29↑) può essere comunicata al modulatore, è possibile avvicinarsi alla velocità massima permessa dalla (18.28↑).
In particolare, si ottiene che la massima velocità fb è conseguibile attribuendo a tutte le portanti la medesima probabilità di errore, e quindi in definitiva determinando dei valori ⎛⎝(Eb)/(N0)⎞⎠n per ogni portante n= 0, 1, ...,Ñ− 1 tali da rendere le Pe⁄n=Pe. Questo risultato può essere ottenuto scegliendo le potenze Pn in accordo alla (18.29↑), e quindi trasmettere più bit Mn sulle portanti n per le quali Pn è maggiore.

### 13.7.9Codifica↓

Abbiamo appena mostrato come, conoscendo la H(f) e la PN(f) del canale, sia possibile equalizzare Px(f)=(Pr(f))/(|H(f)|2) e al contempo soddisfare (18.29↑) e rendere massima la fb. Nel caso di collegamenti tempo-varianti però, la H(f) non è nota, ed anche se lo fosse non esiste garanzia che rimanga costante. In tal caso allora non ha senso determinare una distribuzione ottima della potenza e dei bit sulle portanti, mentre invece occorre aggiungere della ridondanza↓ al segnale trasmesso mediante un codice di canale, allo scopo di correggere i bit errati.
Osserviamo ora che, nel caso di una modulazione a portante singola, in presenza di una H(f) tempo-variante, il processo di equalizzazione è particolarmente complesso in quanto deve inseguire le variazioni di H(f). Se l’equalizzazione non è perfetta, insorge isi e la trasmissione diviene rapidamente cosí piena di errori da renderne impossibile la correzione anche adottando codici di canale.
Nel caso dell’ofdm, al contrario, l’andamento di H(f) determina un peggioramento di prestazioni solamente per quelle portanti per le quali H(f) si è ridotto [584] [584]Si consideri ad esempio il caso in cui H(f) ha origine da un fenomeno di cammini multipli, che determina un andamento di H(f) oscillante in frequenza.. Pertanto, l’applicazione di un codice di canale al blocco di M bit che costituisce un simbolo, seguito da una operazione di scrambling, consente al lato ricevente di recuperare l’informazione trasmessa anche nel caso in cui per alcune portanti si determini un elevato tasso di errore.
La trasmissione ofdm in cui è presente una codifica di canale prende il nome di trasmissione cofdm (Coded ofdm).

### 13.7.10Portanti pilota↓

Fin qui abbiamo assunto che il ricevitore ofdm mostrato in fig. 13.32↑ operi in condizioni di sincronismo sia per quanto riguarda la portante di demodulazione, che per quanto gli intervalli di simbolo. A questo scopo alcune delle sottoportanti - dette pilota - non sono usate per trasmettere dati, ma sono mantenute costantemente attive, con potenza di poco superiore, allo scopo di facilitare la sincronizzazione in frequenza. In figura è rappresentato il caso per il dvb-t, in cui ogni riga rappresenta le portanti di un simbolo, e quelle pilota si trovano in posizione fissa; sono inoltre mostrate delle portanti disperse (scattered) le cui posizioni evolvono ciclicamente di simbolo in simbolo, e consentono di acquisire un sincronismo sia di simbolo che di trama, oltre che eventualmente a permettere una stima della H(f) del canale attraversato.
PrecSezione 13.6: Schema riassuntivo delle prestazioni SuCapitolo 13: Modulazione numerica Sezione 13.8: Sistemi a spettro espansoSegue