PrecSezione 2.1: Prerequisiti trigonometrici SuCapitolo 2: Serie di Fourier Sezione 2.3: Teorema di ParsevalSegue

## 2.2Serie di Fourier↓

Come anticipato a pag. 1↑, un segnale periodico x(t) è un segnale di potenza, che assume ripetutamente gli stessi valori a distanza multipla di un intervallo temporale T denominato periodo, ovvero tale che
x(t)=x(t+T)∀t
L’inverso di T è detto frequenza fondamentale F=(1)/(T) o prima armonica di x(t), espressa in Hertz, dimensionalmente pari all’inverso di un tempo [sec− 1].
Per i segnali periodici esiste una forma di rappresentazione basata sulla conoscenza di una serie infinita di coefficienti complessi {Xn} denominati coefficienti di Fourier, calcolabili a partire da un periodo del segnale come
(6.2) Xn=(1)/(T) (T)/(2)⌠⌡−(T)/(2)x(t) e−j2πnFtdt
e che permettono la ricostruzione di x(t), sotto forma di una combinazione lineare di infinite funzioni esponenziali complesse ej2πnFt, mediante l’espressione nota come serie di Fourier:
(6.3) x(t)=∞⎲⎳n=  − ∞Xn ej2πnFt
Osserviamo che:

- La conoscenza di {Xn} equivale a quella di x(t) e viceversa, esistendo il modo di passare dall’una all’altra rappresentazione;
- Le funzioni della base di rappresentazione ej2πnFt sono funzioni trigonometriche a frequenza multipla (n-esima) della fondamentale, detta anche n-esima armonica [21] [21]Questa terminologia richiama alla mente nozioni di teoria musicale, in cui gli armonici di una nota sono appunto note di frequenza multipla della prima. In particolare la seconda armonica corrisponde ad un intervallo di ottava, e la 4a a due ottave. E la terza armonica? Prendendo ad esempio un La a 440 Hz, la terza armonica si trova a 440*3 = 1320 Hz. Sapendo che ogni semitono della scala temperata corrisponde ad un rapporto di frequenza pari a 2(1)/(12) rispetto al semitono precedente, proviamo a determinare il numero di semitoni Ns tra la terza amonica ed il La (fondamentale). Risulta allora 2(Ns)/(12)=(1320)/(440)= 3  →(Ns)/(12)= log23≃1.5849  →Ns= 19 semitoni, ovvero un intervallo di tredicesima, ovvero il Mi che viene dopo il La dell’ottava successiva, che si trova ad 880 Hz.
- I temini Xnej2πnFt sono chiamati componenti armoniche di x(t) a frequenza f=nF;
- Il coefficiente X0=(1)/(T) ∫(T)/(2)−(T)/(2)x(t)dt rappresenta la componente continua (o valor medio) di x(t);
- La serie di Fourier dà valori esatti in tutti i punti in cui x(t) è continuo, mentre in corrispondenza di discontinuità di prima specie fornisce un valore pari alla media dei valori agli estremi, cosicché il valore dell’energia di un periodo è preservato;
- I coefficienti di Fourier Xn possono essere calcolati anche per un segnale di estensione finita T. Antitrasformando, il segnale diventa periodico!
- Se poniamo nF=f (con f variabile continua), possiamo interpretare le componenti armoniche come i valori campionati di una funzione (complessa) della frequenza: Xn=X(nF). Ad X(f) si dà il nome di inviluppo dello spettro di ampiezza di x(t), che si ottiene estendendo la definizione dei coefficienti di Fourier: X(f)=(1)/(T) ∫(T)/(2)−(T)/(2)x(t) e−j2πftdt;
- I coefficienti Xn sono valori complessi. Al loro posto si possono usare, in alternativa:
  ⎧⎨⎩ Mn = |Xn| Spettro di modulo φn = arctan(ℑ{Xn})/(ℜ{Xn}) Spettro di fase
  essendo
  Xn=|Xn|ejφn= ℜ{Xn}+jℑ{Xn}

### 2.2.1Segnali reali

#### 2.2.1.1Simmetria coniugata o Hermitiana↓

I coefficienti della serie di Fourier possono essere calcolati anche per segnali complessi; nel caso particolare di x(t) reale i coefficienti di Fourier risultano godere della proprietà di simmetria coniugata, ovvero per essi vale l’eguaglianza
X−n=X*n
che esprime come i coefficienti con indice n negativo abbiano una parte reale uguale a quella dei coefficienti con (uguale) indice positivo, e parte immaginaria cambiata di segno [22] [22]La dimostrazione di questa proprietà si basa sull’osservazione che scomponendo l’esponenziale complesso che compare nella formula (6.2↑) come e−j2πnFt= cos2πnFt−jsin2πnFt, ed essendo x(t) reale, l’integrale che calcola gli Xn si suddivide in due termini, relativi al calcolo della parte reale e quella immaginaria, ovvero: Xn=(1)/(T)∫(T)/(2)−(T)/(2)x(t)cos2πnFtdt−(j)/(T)∫(T)/(2)−(T)/(2)x(t)sin2πnFtdt. Essendo il coseno una funzione pari, il primo integrale fornisce gli stessi risultati per n cambiato di segno; il secondo integrale invece cambia segno con n, essendo il seno una funzione dispari.. Ciò comporta una proprietà analoga per il modulo e la fase di {Xn}, e dunque possiamo scrivere:
x(t) Reale⇔⎧⎨⎩ ℜ{X−n}= ℜ{Xn} ℑ{X−n}=  − ℑ{Xn} ;⎧⎨⎩ |X−n|=|Xn| arg{X−n}=  − arg{Xn}
Tali relazioni evidenziano che

> Se x(t) è reale, i coefficienti Xn risultano avere modulo pari e fase dispari, ovvero parte reale pari e parte immaginaria dispari.

Un corollario di questo risultato è che [23] [23]Con riferimento alla scomposizione del calcolo di Xn alla nota precedente, notiamo che se x(t) è (reale) pari, alloraℑ{Xn}= 0, in quanto x(t)sin2πnFtdt è dispari, ed il suo integrale esteso ad un intervallo simmetrico rispetto all’origine è nullo. Se invecex(t)è (reale) dispari, si ottiene ℜ{Xn}= 0, per lo stesso motivo applicato al termine x(t)cos2πnFtdt.

> Se x(t) è reale pari, i coefficienti Xn sono reali (pari), mentre se x(t) è reale dispari, gli Xn sono immaginari (dispari).

#### 2.2.1.2Interpretazione degli Xncome fasori↓

Confrontando la formula di ricostruzione
x(t)=∞⎲⎳n=  − ∞Xn ej2πnFt
con la (6.1↑) ricavata al § 2.1.3↑ per il caso di un coseno, e tenendo conto della proprietà di simmetria coniugata X−n=X*n, si nota come un segnale reale possa essere pensato composto a partire da un insieme infinito di fasori Xn (di valore doppio di quello dei coefficienti Xn), ognuno rotante con una velocità angolare ωn= 2πnF multipla della frequenza fondamentale.
Esercizio: calcoliamo i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier per il segnale x(t)=Acos(2πFt+φ). Esprimiamo innanzitutto l’integrale che fornisce i coefficienti, nei termini della formula di Eulero per il coseno:
Xn = (A)/(T)(T)/(2)⌠⌡−(T)/(2)(ej2πFtejφ+e−j2πFte−jφ)/(2) e−j2πnFtdt = (A)/(2T)(ejφ(T)/(2)⌠⌡−(T)/(2)ej2πFt e−j2πnFtdt+e−jφ(T)/(2)⌠⌡−(T)/(2)e−j2πFt e−j2πnFtdt)
in cui F=(1)/(T), e consideriamo la funzione integranda e±j2πFt e−j2πnFt per i diversi valori di n: per n=  − 1 valgono considerazioni analoghe, ottenendo in definitiva
X− 1=(A)/(2)e−jφ

- per n= 0, osserviamo che e−j2πnFt|n= 0=e0= 1, e dunque
  X0=(T)/(2)⌠⌡−(T)/(2)ej2πFtdt= 0
  poiché in un intervallo T entra esattamente un ciclo di (co)sinusoide a frequenza F, risultando in un valor medio nullo.
- per n= 1, si ha che ∫(T)/(2)−(T)/(2)ej2πFt e−j2πFtdt=∫(T)/(2)−(T)/(2)e0dt=T, mentre ∫(T)/(2)−(T)/(2)e−j2πFt e−j2πFtdt=∫(T)/(2)−(T)/(2)e−j2π2Ftdt= 0, dato che in un periodo T entrano due cicli esatti della funzione periodica integranda, ottenendo quindi
  X1=(A)/(2)ejφ

#### 2.2.1.3Serie trigonometrica↓

Nel caso in cui gli Xn abbiano simmetria coniugata, la formula di ricostruzione può scriversi
x(t)=X0+∞⎲⎳n= 1{Xn ej2πnFt+X−n e−j2πnFt}=M0+∞⎲⎳n= 1Mn2cos(2πnFt+φn)
ovvero in forma di serie di coseni; si noti che X0 è necessariamente reale, in quanto la fase deve risultare una funzione dispari della frequenza.
In modo simile, le proprietà relative alle parti reale ed immaginaria permettono di scrivere:
x(t) = X0+∞⎲⎳n= 1{(Rn+jIn) ej2πnFt+(Rn−jIn) e−j2πnFt} = R0+∞⎲⎳n= 1{2Rncos(2πnFt)− 2Insin(2πnFt)}
in cui
R0=M0=(1)/(T) (T)/(2)⌠⌡−(T)/(2)x(t)dt e ⎧⎨⎩ Rn = (1)/(T) (T)/(2)⌠⌡−(T)/(2)x(t) cos(2πnFt)dt In = (1)/(T) (T)/(2)⌠⌡−(T)/(2)x(t) sin(2πnFt)dt
Pertanto, nel caso in cui x(t) sia un segnale reale, la serie di Fourier si riduce ad uno sviluppo in termini di funzioni trigonometriche, ed in particolare ad una serie di soli coseni nel caso in cui x(t) sia pari, oppure una serie di soli seni, nel caso in cui sia dispari.

#### 2.2.1.4Serie di Fourier di un’onda rettangolare↓

La figura a lato mostra un segnale ad onda quadra con un duty cycle [24] [24]Il duty cycle si traduce come ciclo di impegno, ed è definito come il rapporto percentuale per il quale il segnale è diverso da zero, ossia duty cycle =(τ)/(T)*100 %. del 33%, la cui espressione analitica può essere scritta come
x(t)=∞⎲⎳n=  − ∞A rectτ(t−nT)
e per la quale si è adottata la notazione rectτ(t) per rappresentare un impulso rettangolare di base τ ed altezza unitaria, centrato nell’origine dei tempi. L’argomento (t−nT) indica una traslazione (o spostamento) del rettangolo a destra (ossia verso gli istanti positivi) di una quantità pari a nT, cosicché la sommatoria rappresenta appunto la replica dello stesso impulso rettangolare infinite volte in avanti ed all’indietro.
Esercizio Il calcolo dei coefficienti di Fourier per il segnale in questione non presenta particolari difficoltà, ma l’esito si presta ad alcune utili considerazioni. Applicando infatti un risultato noto [25] [25]Sappiamo infatti che (∂ef(x))/(∂x)=(∂f(x))/(∂x)⋅ef(x), e quindi ∫ba(∂f(x))/(∂x)⋅ef(x)dx=ef(x)|ba, si ottiene
(6.4) Xn = (1)/(T)(T)/(2)⌠⌡−(T)/(2)x(t)e−j2πnFtdt=(1)/(T)(τ)/(2)⌠⌡−(τ)/(2)Ae−j2πnFtdt= = (A)/(T)(e−j2πnFt)/(−j2πnF)||(τ)/(2)−(τ)/(2)=(A)/(πnFT)(ej2πnF(τ)/(2)−e−j2πnF(τ)/(2))/(2j)= = A(τ)/(T)(sin(πnFτ))/(πnFτ)=A(τ)/(T)sinc(nFτ)
Nella seconda uguaglianza, gli estremi di integrazione sono stati ristretti all’intervallo di effettiva esistenza del segnale, mentre la penultima eguaglianza si giustifica ricordando le formule di Eulero.
Definizione della funzione sinc↓
Il risultato (6.4↑) ottenuto mostra come i coefficienti Xn della serie di Fourier per l’onda rettangolare risultano dipendere dai valori di (sin(πnFτ))/(πnFτ) calcolati per n intero; tale espressione viene però rappresentata nei termini della funzione
sinc(x)=(sin(πx))/(πx)
che ricorrerà spesso nel testo, che è raffigurata nella parte di sinistra della Fig. 2.6↓, e che come si può notare passa da zero per valori interi dell’argomento x.
Figura 2.6 Funzione sinc(x) e coefficienti di Fourier dell’onda quadra
Nella parte centrale di Fig. 2.6↑ sono mostrati i valori Xn=sinc(nFτ), in cui si è posto τ=(T)/(3) (corrispondente al duty cycle del 33%), dando luogo a termini Xn nulli in corrispondenza degli indici n=  3, 6, 9, .... La parte destra di Fig. 2.6↑, infine, mostra ancora i coefficienti Xn, ma lungo una scala in Hertz, ottenuta considerando che nF=(n)/(T) rappresenta la frequenza dell’n-esima armonica, e che la posizione τ=(T)/(3) adottata fornisce nF=(n)/(T)=(n)/(3τ).
Osserviamo ora che, mentre la spaziatura tra le armoniche è pari ad F=(1)/(T) e dipende esclusivamente dal periodo della forma d’onda, gli zeri della funzione sinc(nFτ) occorrono a frequenze multiple di (1)/(τ). Per meglio comprendere le implicazioni di tali osservazioni, valutiamo come si modificano i valori Xn al variare di τ e di T.
Relazione tra i coefficienti della serie ed i parametri dell’onda quadra

Figura 2.7 Modifiche allo spettro di ampiezza per variazioni della forma d’onda
La parte in alto di Fig. 2.7↑ mostra quattro possibili modi di variare l’onda quadra di partenza: la colonna di sinistra rappresenta il caso in cui il periodo T si mantenga costante, mentre la durata τ di un singolo ciclo raddoppia (prima riga) o si dimezza (terza riga), mentre la colonna di destra considera il caso in cui τ si mantenga invariato, ed il periodo T varii in modo da ottenere lo stesso duty cycle (τ)/(T) di sinistra, ovvero pari al 66% (prima riga) o 12,5% (terza riga).
La parte inferiore di Fig. 2.7↑ mostra le corrispettive variazioni per i valori dei coefficienti dello sviluppo in serie, calcolate facendo uso della (6.4↑). Al lato sinistro (per T costante) osserviamo che le armoniche mantengono la stessa spaziatura (1)/(T), ma l’inviluppo sinc(nFτ) si contrae ed espande rispettivamente. Il lato destro della figura mostra invece come questa volta rimane costante la velocità con cui gli Xn vanno a zero, mentre le armoniche si diradano (sopra) ed infittiscono (sotto) all’aumentare ed al diminuire di T rispettivamente. Infine, notiamo come al diminuire del duty cycle si assista in entrambi i casi ad una riduzione dell’ampiezza degli Xn, legata alla riduzione di potenza del segnale (vedi sezione 2.3↓).

### 2.2.2Serie di Fourier troncata ↓

Consideriamo un’onda quadra con duty-cycle del 50%
x(t)=∞⎲⎳k=  − ∞rect(T)/(2)(t−kT)
rappresentata mediante una serie troncata di Fourier in cui si considerano solo i coefficienti Xn con indice −N≤n≤N. Sappiamo che Xn=(τ)/(T)(sin(πnFτ))/(πnFτ) e, per τ=(T)/(2), si ottiene Xn=(1)/(2)(sin⎛⎝n(π)/(2)⎞⎠)/(n(π)/(2))=(1)/(2)sinc⎛⎝(n)/(2)⎞⎠, che risulta diverso da zero solo con n dispari, e dunque:
X0=(1)/(2); Xn=⎧⎨⎩ ((− 1)(n− 1)/(2))/(πn) con n dispari 0 con n pari
Essendo inoltre x(t) reale pari, sappiamo che può essere espresso come serie di coseni:
x(t)=X0+∞⎲⎳n= 12Xncos(2πnFt)
Nella figura a fianco riportiamo il risultato ottenuto arrestando lo sviluppo in serie all’indice mostrato per ogni curva, e generando quindi il segnale
^xN(t)=X0+nMax⎲⎳N= 12Xncos(2πnFt)
Come osservabile, la ricostruzione è sempre più accurata, tranne che per le oscillazioni in prossimità della discontinuità, che prendono il nome di fenomeno di Gibbs.↓
Il caso mostrato è emblematico della inaccuratezza che si commette considerando contributi frequenziali ridotti rispetto a quelli propri della forma d’onda [26] [26]Un risultato teorico, che qui citiamo solamente, mostra che l’errore quadratico di ricostruzione ε=(1)/(T)∫(T)/(2)−(T)/(2)(x(t)−^x(t))2dt che è presente utilizzando solo le prime N armoniche è il minimo rispetto a quello ottenibile utilizzando un qualunque altro gruppo di N armoniche che non siano le prime., a causa (ad esempio) di un filtraggio del segnale.
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