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## 9.4Filtraggio di segnali e processi↓

Ora che siamo in grado di descrivere da un punto di vista spettrale tutti i segnali, analizziamo le caratteristiche relative al segnale y(t)=x(t)*h(t) uscente da un filtro con risposta impulsiva h(t). Innanzitutto, individuiamo quanto valgano Py e Py(f), oppure ℰy ed ℰy(f) se x(t) è di energia.

### 9.4.1Densità spettrale in uscita da un filtro

Segnali di energia
Sappiamo che per il teorema di Parseval risulta ℰy(f)=Y(f)Y*(f); dato che Y(f)=X(f)H(f), allora
ℰy(f)=X(f)H(f)X*(f)H*(f)=|X(f)|2|H(f)|2= ℰx(f)|H(f)|2
A questo punto, eseguendo l’antitrasformata di Fourier di ambo i membri, si ottiene:
ℛy(τ)= ℱ− 1{ℰy(f)}= ℱ− 1{ℰx(f)|H(f)|2}= ℛx(τ)*ℛh(τ)
Il risultato ottenuto è posto in evidenza perché è valido anche per i due casi successivi di segnale periodico e di processo, e mostra come l’autocorrelazione dell’uscita di un filtro è pari alla convoluzione tra l’autocorrelazione dell’ingresso e quella della risposta impulsiva.
A corollario di quanto esposto, sussistono le seguenti uguaglianze [421] [421]La terza uguaglianza sussiste in virtù del teorema di Parseval, mentre la quarta è valida se ℛH(τ) è reale, ossia h(t) è idealmente realizzabile, proprietà quest’ultima definita al § 9.6↓., equivalenti ai fini del calcolo dell’energia totale:
ℰy = ∞⌠⌡− ∞ℰy(f)df=∞⌠⌡− ∞ℰx(f)|H(f)|2df=∞⌠⌡− ∞ℛx(τ)ℛh(τ)dτ= = ∞⌠⌡− ∞ℛx(τ)ℛ*h(τ)dτ= ℛy(0)
Pertanto è possibile utilizzare tutte queste come relazioni di equivalenza, quando si ha necessità di determinare una grandezza a partire da altre note.
Segnali periodici
Se in ingresso ad un filtro è presente un segnale periodico, il segnale in uscita è anch’esso periodico [422] [422]Questa affermazione è vera, purchè il filtro non presenti fenomeni di non linearità (definiti al § 9.6↓): in tal caso infatti, vale la sovrapposizione degli effetti, e non possono prodursi armoniche diverse da quelle in ingresso., e per esso è valido lo sviluppo in serie di Fourier
y(t)= ⎲⎳nYnej2πnFt
i cui coefficienti Yn possono esprimersi in termini di quelli dell’ingresso Xn e dei valori della risposta in frequenza (vedi § 9.6↓) come Yn=XnH(nF), ovvero in modulo e fase come
|Yn|=|Xn||H(nF)|; arg(Yn)= arg(Xn)+ arg(H(nF))
Per la densità di potenza di un segnale periodico possiamo scrivere (vedi § 26↑) Py(f)=∑n|Yn|2δ(f−nF), ovvero
Py(f)= ⎲⎳n|Xn|2|H(nF)|2δ(f−nF)=|H(f)|2Px(f)
Di nuovo, antitrasformando si ottiene ℛy(τ)= ℛx(τ)*ℛh(τ).
Processi ergodici e segnali di potenza
Anche in questo caso, si verifica (in appendice 9.10.5↓) che m(1,  1)Y(τ)=m(1,  1)X(τ)*ℛh(τ), e dunque
(17.28) Py(f)=Px(f)|H(f)|2
Il risultato ovviamente si applica a qualunque membro del processo, per il quale come noto risulta m(1, 1)X(τ)= ℛxx(τ), e dunque la (17.28↑) è valida anche per un qualunque segnale di potenza
Risposta in frequenza di potenza (o energia)
E’ il nome che può essere dato alla grandezza |H(f)|2=Py(f)⁄Px(f), o ℰy(f)⁄ℰx(f), visto che ripropone in termini energetici il legame ingresso-uscita rappresentato da H(f) (vedi § 3.6.1↑); ma per |H(f)|2 è anche usato il termine di guadagno di potenza (§ 14.5.1↓).

### 9.4.2Caratteristiche statistiche in uscita da un filtro

Passiamo quindi a calcolare le altre grandezze rappresentative:
Media
è a quella dell’ingresso, moltiplicata per il guadagno in continua del filtro:
mY = E{y(t)}=E{x(t)*h(t)}=E{x(t)}*h(t)= = mX∫∞− ∞h(τ)dτ=mXH(0)
Potenza
in linea generale, è sempre vero che Py=σ2y+(my)2; inoltre, valgono le relazioni
Py = ℛy(0)=∫∞− ∞Py(f)df=∫∞− ∞Px(f)|H(f)|2df= = ∫∞− ∞ℛx(τ)ℛh(τ)dτ
Se ad esempio x(t) è un processo bianco a media nulla e banda finita, con Px(f)=(N0)/(2)rect2B(f) e quindi ℛx(τ)=N0B⋅sinc(2Bt), si ottiene [423] [423]in realtà si fa l’ulteriore ipotesi che la banda passante di H(f) sia minore di B
σ2y=Py=(N0)/(2)B⌠⌡−B|H(f)|2df=(N0)/(2)ℛh(0)
e per la densità di potenza si ha Py(f)=(N0)/(2)|H(f)|2: pertanto, il processo in uscita dal filtro non è più bianco, ed in questo caso il processo si dice colorato. A questo fenomeno corrisponde anche una modifica della funzione di autocorrelazione: questa infatti non è più un sinc, ma vale ℛy(τ)=N0B⋅ℛh(τ)*sinc(2Bt); mentre prima quindi (per il processo bianco) due suoi valori estratti in istanti multipli di 1⁄2B erano comunque incorrelati, la colorazione introdotta dal filtro ha causato l’insorgenza di una dipendenza statistica tra i valori estratti a tali intervalli [424] [424]Il motivo di questo risultato può essere meglio compreso ricordando che l’integrale di convoluzione calcola i singoli valori in uscita da un filtro, come dipendenti da tutti gli ingressi passati, ognuno pesato con il valore della risposta impulsiva relativo al ritardo tra ingresso passato ed uscita presente. Pertanto, anche se i singoli valori in ingresso sono incorrelati, quelli di uscita (distanti tra loro per meno della durata della risposta impulsiva) condividono una porzione di storia comune, e quindi i loro valori non sono più indipendenti..
Densità di probabilità
A riguardo della pY(y) non si può dire nulla di generale, tranne che essa dipende dalla pX(x) di ingresso e dalle operazioni compiute dal filtro; la sua espressione esatta va però determinata caso per caso. L’unico caso in cui la teoria fornisce una regola certa, è relativo ancora una volta al caso di processi gaussiani: posti in ingresso ad un filtro, producono in uscita un processo anch’esso gaussiano. Questo risultato è una diretta conseguenza della definizione stessa di processo gaussiano, come risultato della somma di infinite cause identicamente distribuite: dato che l’integrale di convoluzione effettivamente esegue una somma tra infiniti valori di ingresso, in linea di principio è lecito affermare che nel transito in un filtro la densità di probabilità dell’uscita si gaussianizza.
Esercizio
Sia dato il filtro in figura, con
H(f)=rect3(f)
ed al cui ingresso viene posto il segnale
x(t)= 2∞⎲⎳n=  − ∞rect(1)/(2)(t−n)
Calcolare:
1) la potenza in ingresso Px,
2) la potenza in uscita Py,
3) l’espressione di y(t).
Risposte
1) Calcoliamo la media temporale: Px=(1)/(T)∫T⁄ 2−T⁄ 2x2(t)dt=(1)/(T)∫1 ⁄ 4− 1 ⁄ 422(t)dt=(4)/(2)= 2;
2) Sappiamo che Py=∫∞− ∞Py(f)df, in cui Py(f)=|Y(f)|2, ed a sua volta Y(f)=X(f)H(f). Calcoliamo perciò innanzitutto
X(f)=F{2rectτ(t)*∞⎲⎳n=  − ∞δ(t−nT)}  = 2τ⋅sinc(fτ)(1)/(T)∞⎲⎳n=  − ∞δ⎛⎝f−(n)/(T)⎞⎠
essendo τ=(1)/(2) e T= 1, risulta
X(f)=sinc⎛⎝(f)/(2)⎞⎠∞⎲⎳n=  − ∞δ(f−n)=∞⎲⎳n=  − ∞Xnδ(f−n)
con Xn=sinc⎛⎝(n)/(2)⎞⎠. Dunque, dato che gli unici impulsi che cadono entro la risposta in frequenza H(f) sono quelli per f=  − 1,  0 e 1, si ha:
Y(f)=X(f)H(f)=1⎲⎳n=  − 1XnH(n)δ(f−n)
il cui modulo quadro fornisce Py(f)=∑1n=  − 1|Xn|2|H(n)|2δ(f−n), e pertanto si ottiene
Py=∞⌠⌡− ∞Py(f)df=⎛⎜⎜⎝(sin  −(π)/(2))/(−(π)/(2))⎞⎟⎟⎠2+ 1 +⎛⎜⎜⎝(sin(π)/(2))/((π)/(2))⎞⎟⎟⎠2= 1 + 2⎛⎝(2)/(π)⎞⎠2= 1.811
3) Risulta
y(t)=1⎲⎳n=  − 1XnH(n)ej2πnt= 1 +(2)/(π)(ej2πt+e−j2πt)= 1 +(4)/(π)cos2πt
Notiamo come il filtro lasci passare solamente la componente continua e la prima armonica.
Dopo aver illustrato le trasformazioni subite da un segnale generico che attraversa un filtro generico, affrontiamo lo studio del caso in cui il filtro è appositamente progettato per uno specifico segnale noto a priori.
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