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## 3.2Energia mutua↓ e densità di energia

Similmente al caso dei segnali periodici, viene ora stabilita una relazione tra l’energia di un segnale, e la distribuzione della stessa nel dominio della frequenza. In base alle considerazioni geometriche esposte al § 27↑, definiamo come prodotto scalare tra i segnali di energia x(t) e y(t) (detto anche energia mutua) il valore
ℰxy=(x, y)=∞⌠⌡− ∞x(t)y*(t)dt
che, nel caso in cui x(t)=y(t), coincide con l’energia ℰx di x(t). Se entrambi x(t) e y(t) possiedono trasformata di Fourier possiamo scrivere:
ℰxy = ⌠⌡ y*(t) [⌠⌡ X(f) ej2πftdf] dt=⌠⌡ X(f) [⌠⌡ y*(t) ej2πftdt] df = ∞⌠⌡− ∞X(f) Y*(f) df
Il risultato
∞⌠⌡− ∞x(t)y*(t)dt=∞⌠⌡− ∞X(f)Y*(f)df
esprime il teorema di Parseval↓ per segnali di energia, ed implica che le trasformate di segnali ortogonali, sono anch’esse ortogonali. Ponendo ora x(t)=y(t), si ottiene:
ℰx=(x, x)=∥x∥2=∞⌠⌡− ∞|x(t)|2dt=∞⌠⌡− ∞|X(f)|2df
Esaminando quest’ultima espressione, possiamo indicare↓
ℰx(f)=|X(f)|2
come lo spettro di densità di energia di x(t). Infatti, l’integrale ∫f2f1|X(f)|2df rappresenta il contributo all’energia totale ℰx di x(t), limitatamente alla banda di frequenze comprese tra f1 ed f2.
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