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## 14.5Distorsione lineare↓

E’ dovuta al passaggio del segnale x(t) attraverso un canale che non è perfetto, ossia un sistema fisico la cui risposta in frequenza H(f)=H(f)ejφh(f) non ha modulo costante e/o fase lineare. Questo determina una modifica della forma d’onda a causa della dipendenza delle componenti frequenziali del segnale di uscita Y(f)=|Y(f)|ejφy(f) oltre che da quelle in ingresso, anche dai valori di H(f) come descritto a pag. 1↑. Queste distorsioni sono dette lineari in quanto risultato di una operazione lineare come è la convoluzione, verificando così il principio di sovrapposizione degli effetti, e rendendo la distorsione invertibile mediante un dispositivo di equalizzazione (§ 14.6↓). D’altra parte, risultando |Y(f)|=|X(f)|⋅|H(f)| e φy(f)=φx(f)+φh(f), è possibile descrivere l’effetto della distorsione lineare considerando separatamente la risposta in frequenza |H(f)| e quella in fase φh(f), anche adottando per queste ultime rappresentazioni particolarmente utili a descrivere in modo complessivo l’entità delle distorsioni stesse.

### 14.5.1Guadagno di potenza in dB

E’ definito dall’espressione
GdB(f)= 10log10|H(f)|2= 20log10|H(f)|
Qualora l’occupazione di banda del segnale in transito si estenda su di una regione entro la quale GdB(f) non è costante, l’escursione di GdB(f) in tale banda è indicata come distorsione lineare di ampiezza, e quantificata appunto in dB.
Al contrario, qualora si specifichi quale debba essere la massima distorsione lineare in dB, mediante il grafico si individua la banda entro la quale GdB(f) si mantiene all’interno della fascia consentita, ottenendo così il valore della banda per distorsione assegnata (ad esempio, la banda a 3 dB, corrispondente alla frequenza di taglio, è definita per questa via).

### 14.5.2Tempo di ritardo di gruppo↓

Le conseguenze dello scostamento della risposta in fase φh(f) rispetto alle condizioni di canale perfetto possono essere sinteticamente espresse mediante la quantità
(18.46) tg(f)=  −(1)/(2π)(d)/(df)φh(f)
che rappresenta il ritardo subito da un gruppo di frequenze vicine a f. Per chiarire il senso di questa definizione, consideriamo un segnale am-bld-ps x(t)=a(t)cos(2πf0t) la cui densità di potenza è come noto concentrata attorno a f0: in appendice 14.8.5↓ viene mostrato che, in prima approssimazione, questo si presenta in uscita da H(f) con espressione
(18.47) y(t)=a(t−tg(f0))cos(2πf0(t−tp(f0)))
dove tp(f)=  −(φh(f))/(2πf) rappresenta il ritardo della portante, mentre tg(f) è fornito dalla (18.46↑). Nel caso di canale perfetto si avrebbe φh(f)=  − 2πfτ, e quindi tg=tp=τ per qualunque frequenza; in caso contrario i due valori possono differire, come mostrato
nella figura a lato, in cui notiamo che tg(f)≃τ alle frequenze per cui φh(f) viaggia parallela alla risposta in fase del canale perfetto, mentre risulta tp(f)=τ quando φh(f) la interseca.
La rappresentazione di φh(f) nei termini della sua derivata normalizzata tg(f)=  −(1)/(2π)(d)/(df)φ(f), misurabile strumentalmente, è utilizzata per valutare in modo grossolano l’entità della disorsione di fase, per questo detta anche distorsione di tempo di transito, espressa nei termini del massimo scarto tra i valori di tg(f) nell’ambito della banda di segnale, come mostrato in figura. Ovviamente, minore è questa differenza, e minore risulta l’entità della distorsione subita.
Esempio
Il filtro trasversale in figura rappresenta un collegamento radio in cui si verifica una eco dovuta a riflessione. Risulta [618] [618]L’espressione di |H(f)|2 è stata ricavata al § 9.8.2↑. Per la fase (mostrata in figura), osservando che H(f)=  1  +ae−j2πfT e che φ(f)=  arctan(ℑ)/(ℜ), si ottiene φ(f)=   arctan(asin2πfT)/(1 + cos2πfT).:
|H(f)|2=  1 +a2+ 2acos2πfT
e dunque è presente sia distorsione lineare di ampiezza che di fase (mostrate in figura per α= .8 e T= 1). In particolare, |H(f)|2 è periodica di periodo f=(1)/(T) e dunque può produrre una forte attenuazione (per a≃1) anche a frequenze elevate. Se poi T cambia (perché si sposta il corpo riflettente, oppure si spostano trasmettitore o ricevitore) allora si ha a che fare con un canale tempo-variante, il cui studio non è per ora affrontato.

### 14.5.3Effetto della distorsione lineare sui segnali

#### 14.5.3.1Segnali di banda base

E’ noto che l’orecchio umano non è sensibile alle spettro di fase [619] [619]Al contrario, è sensibile alle sue variazioni: queste ultime sono infatti elaborate dal cervello per estrarne informazioni relative al “movimento” dei suoni percepiti. Confrontando i ritardi differenti e variabili dei segnali pervenuti alle orecchie, si può comprendere se la sorgente degli stessi è in movimento. e dunque le distorsioni di fase non modificano la qualità del segnale audio - mentre alterazioni di modulo sì.
Se il segnale è numerico, una risposta di fase lineare è importante, perché altrimenti i diversi ritardi di transito alterano l’arrivo delle componenti spettrali dell’impulso elementare, che si deforma e perde la caratteristica di Nyquist. In conseguenza, insorge il fenomeno di interferenza intersimbolica (ISI) e aumenta la probabilità di errore.

#### 14.5.3.2Segnali modulati

Abbiamo mostrato al § 10.3.2↑ che l’inviluppo complesso y(t)=(1)/(2)x(t)*h(t) presenta c.a di b.f. pari a
⎧⎨⎩ yc(t)=(1)/(2)[xc(t)*hc(t)−xs(t)*hs(t)] ys(t)=(1)/(2)[xs(t)*hc(t)+xc(t)*hs(t)]
Si è anche osservato come, nel caso in cui H(f) risulti a simmetria coniugata rispetto ad f0, si ottiene hs(t)= 0. In tal caso, l’effetto si riduce a quello che si avrebbe in banda base, filtrando il messaggio modulante mediante hc(t). Pertanto, l’effetto può essere rimosso equalizzando i segnali di banda base yc(t) e ys(t) con un filtro He(f)=(aej2πfτ)/(Hc(f)) (vedi § 10.3.3↑).
Segnali a banda stretta↓
Nel caso in cui un segnale modulato x(t) presenti una occupazione di frequenza B molto piccola rispetto alla frequenza portante f0, si assume spesso che H(f) nella banda di segnale non vari di molto: ad esempio dal punto di vista del modello circuitale, ciò corrisponde a realizzare le condizioni di adattamento di impedenza in forma approssimata ponendo Zg(f)=Zi(f0) e Zc(f)=Zu(f0), dato che per fequenze |f−f0|<(B)/(2) con B≪f0, le impedenze Zi(f) e Zu(f) non variano di molto. Se invece si preferisce optare per le condizioni di massimo trasferimento di potenza, o più in generale per ciò che riguarda Hq(f), la condizione B≪f0 spesso permette comunque di approssimare sia modulo che fase come pressoché costanti e pari al valore assunto per f=f0, ossia H(f)≃H(f0)=G0ejφ0. Mostriamo che questa approssimazione permette di trascurare l’effetto delle distorsioni lineari, che nel caso attuale equivalgono ad una semplice rotazione degli assi dell’inviluppo complesso, reversibile scegliendo opportunamente la fase della portante di demodulazione.
Nelle ipotesi poste, risulta infatti H(f)= 2H+(f+f0)= 2G0ejφ0 e quindi h(t)= ℱ− 1{H(f)}= 2G0ejφ0δ(t); pertanto l’inviluppo complesso di h(t) è un impulso di area complessa 2G0ejφ0= 2G0(cosφ0+jsinφ0). All’uscita del canale H(f) troviamo quindi
y(t) = (1)/(2)⋅x(t)*h(t)=(xc(t)+jxs(t))*G0(cosφ0+jsinφ0)δ(t)= = G0[(xc(t)cosφ0−xs(t)sinφ0)+j(xc(t)sinφ0+xs(t)cosφ0)]
che identifica la trasformazione subita come una rotazione
⎡⎢⎣ yc(t) ys(t) ⎤⎥⎦=⎡⎢⎣ cosφ0 − sinφ0 sinφ0 cosφ0 ⎤⎥⎦⎡⎢⎣ xc(t) xs(t) ⎤⎥⎦
con una matrice dei coefficienti costante. Il risultato della rotazione è esemplificato in figura.
Modulazione di ampiezza
BLD-PSIn questo caso xs(t)= 0 ed allora ⎧⎨⎩ yc(t)=(1)/(2)[xc(t)*hc(t)] ys(t)=(1)/(2)[xc(t)*hs(t)] . Adottando, ad esempio, una demodulazione omodina, si ottiene un segnale demodulato pari a d(t)=xc(t)*hc(t), equivalente al caso di distorsione lineare di banda base.
BLD-PIIl problema maggiore con la portante intera può verificarsi se H(f0) è molto ridotto (ad esempio a causa di una attenuazione selettiva, esemplificata all’esempio di pag. 1↑), perché in tal caso il demodulatore inviluppo non funziona più.
BLUIn questo caso il segnale modulato contiene ambedue le c.a. di b.f., e dunque la presenza di distorsioni lineari provoca il fenomeno noto come intermodulazione tra componenti analogiche di bassa frequenza, in quanto in entrambe (yc(t), ys(t)), si trovano entrambe (xc(t), xs(t)), mescolate tra loro tramite (hc(t), hs(t)).
Modulazione angolare
Qualora un segnale modulato angolarmente attraversi un canale che presenta distorsioni lineari (di modulo, di fase, od entrambe), si verificano due fenomeni indicati come conversione PM-AM e PM-PM. Si manifesta infatti una modulazione di ampiezza sovrapposta, ed anche la modulazione di fase presenta delle alterazioni. Mentre la modulazione AM “parassita” può essere rimossa da un limitatore in ricezione, quella di fase no; inoltre quest’ultima presenta anche termini non-lineari e dunque non eliminabili mediante equalizzazione.

### 14.5.4Calcolo dell’SNR

Se il segnale ricevuto ha subito distorsioni di ampiezza, lo spettro di densità di potenza si è deformato, ed il calcolo dell’SNR al ricevitore deve tenere conto dell’effetto filtrante introdotto dal canale attraversato, ossia:
SNR=(Py)/(PN)=( ⌠⌡BPy(f)df)/( ⌠⌡BPN(f)df)=( ⌠⌡BPx(f)|H(f)|2df)/(N0B)
in cui si è indicata con B la banda a frequenze positive occupata dal segnale.
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