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## 12.1Il rumore nei segnali modulati

Consideriamo un segnale modulato, affetto da un rumore additivo gaussiano bianco n(t) (§ 9.2.3↑), con densità di potenza
Pn(f)=(N0)/(2)
Similmente a quanto già illustrato al § 5.3.1↑ per trasmissioni di banda base, prima di essere demodulato il segnale ricevuto attraversa un filtro di ricezione passa-banda HR(f), allo scopo di limitare la banda del rumore ricevuto, e quindi ridurre l’entità della potenza di rumore in ingresso al ricevitore. Il filtro HR(f) presenta un modulo costante nella banda del segnale, mentre tende a zero al di fuori di tale banda. In questo modo, il segnale utile x(t) transita inalterato, ed il rumore n(t) viene limitato in banda, producendo ν(t).

### 12.1.1Rapporto segnale-rumore↓ e banda di rumore↓

Considerando la densità di potenza del segnale modulato Px(f) e quella del rumore Pν(f), la qualità di ricezione (in funzione della frequenza) è descritta dal rapporto
SNRRF(f)=(Px(f))/(Pν(f))
in cui Px(f) dipende dal tipo di modulazione (cap. 11↑), mentre dopo il filtraggio passa-banda, Pν(f) risulta pari a
Pν(f)=Pn(f)|HR(f)|2=(N0)/(2)|HR(f)|2
D’altra parte, ha senso valutare l’SNR complessivo, ovvero il rapporto tra le potenze di segnale e di rumore totali: la potenza di segnale risulta allora pari a Px=∫∞− ∞Px(f)df, mentre per quella di rumore si ottiene Pν=∫∞− ∞(N0)/(2)|HR(f)|2df, valutando cioè la potenza che attraversa il filtro di ricezione HR(f). A questo proposito, data l’impossibilità pratica di realizzare un filtro passa-banda ideale (rettangolare), HR(f) è caratterizzata da una banda (a frequenze positive, vedi § 10.1.4↑) Bν, piú estesa di BRF (che è la banda di segnale). La potenza totale del rumore uscente da HR(f)
risulta pertanto pari a
Pν = (N0)/(2)⋅∞⌠⌡− ∞|HR(f)|2df= = N0∞⌠⌡0|HR(f)|2df=N0BN|HR(f0)|2
Il termine BRF≤BN≤Bυ rappresenta la cosiddetta banda di rumore definita come
BN=(∞⌠⌡0|HR(f)|2df)/(|HR(f0)|2)
ossia come la banda di un filtro ideale (rettangolare) che lascia passare la stessa quantità di rumore.

### 12.1.2Demodulazione di un processo di rumore↓↓

Il rumore ν(t) che esce dal filtro di ricezione HR(f) è di tipo passa-banda, e può quindi essere descritto nei termini delle sue componenti analogiche di bassa frequenza:
ν(t)=νc(t)cosω0t−νs(t)sinω0t
in cui, ricordando i risultati ottenuti al § 10.6.2↑, νc(t) e νs(t) sono entrambe gaussiane se ν(t) lo è; osserviamo inoltre che nel caso in cui la banda di ν(t) sia stretta rispetto a f0, l’inviluppo complesso ν(t)=νc(t)+jνs(t) evolve lentamente rispetto alla velocità di rotazione di ν(t)ejω0t.
La figura a lato rappresenta la situazione in cui il rumore n(t) in ingresso a HR(f) sia un processo ergodico bianco con densità di potenza Pn(f)=(N0)/(2), ed il filtro di ricezione possegga una risposta in frequenza unitaria |HR(f0)|2= 1; in questo caso si ottiene che
Pν(f)=(N0)/(2)rectBN(f−f0) +(N0)/(2)rectBN(f+f0)
e quindi
Pνc(f)=Pνs(f)= 2P+ν(f+f0)=N0rectBN(f)
Pertanto, νc(t) e νs(t) risultano essere due processi congiuntamente gaussiani, ergodici, a media nulla ed uguale varianza (e potenza)
σ2νc=σ2νs=Pν=N0BN
In definitiva quindi, operando una demodulazione coerente in fase ed in quadratura del segnale ricevuto, nelle componenti analogiche risultanti saranno presenti i termini additivi νc(t) e νs(t), entrambi di potenza Pν=N0BN.
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