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## 3.7Derivazione ed integrazione nel tempo

Le ultime due proprietà riguardano un risultato di applicazione meno frequente, ma talvolta utile. Si ottiene infatti che le operazioni di derivata ed integrale di un segnale possono essere realizzate mediante il passaggio dello stesso attraverso un sistema fisico, dato che derivata ed integrale nel tempo sono equivalenti a prodotti in frequenza, e quindi realizzabili come convoluzione del segnale per una appropriata risposta impulsiva.
Derivazione nel tempo
↓E’ equivalente a moltiplicare lo spettro perj2πf:
ℱ⎧⎩(d)/(dt)x(t)⎫⎭=j2πf⋅X(f)
e più in generale ℱ⎧⎩(dn)/(dtn)x(t)⎫⎭=(j2πf)n⋅X(f). Per segnali di energia, la dimostrazione è svolta nella nota [44] [44]ℱ⎧⎩(dx(t))/(dt)⎫⎭=∫∞− ∞(dx(t))/(dt)e−j2πftdt=x(t)e−j2πft|∞− ∞+j2πf ∫∞− ∞x(t)e−j2πftdt=j2πf X(f) in quanto x(t) che compare nel primo termine dell’integrale per parti, essendo di energia, tende a zero per t→ ∞.. L’andamento dello spettro originario X(f) risulta esaltato alle frequenze più elevate, in quanto il suo modulo è moltiplicato per 2π|f|. La fase, invece, subisce un incremento di (π)/(2) a tutte le frequenze (il numero immaginario puro j2πf= 2πf ej(π)/(2) ha fase (π)/(2)).
Esempio Calcolare Y(f)= ℱ{y(t)} con
y(t)=(d)/(dt)x(t) e x(t)=  cos2πf1t+ cos2πf2t
Valutare quindi y(t)= ℱ− 1{Y(f)} con f1= 10, f2= 100.
Si ottiene:
X(f)=(1)/(2)(δ(f−f1)+δ(f+f1)+δ(f−f2)+δ(f+f2))
Dato che f⋅δ(f−a)=a⋅δ(f−a), risulta:
Y(f)=j2π(1)/(2)[f1(δ(f−f1)−δ(f+f1))+f2(δ(f−f2)−δ(f+f2))]
Considerando ora che j2π(1)/(2)=  −(2π)/(2j), si ottiene y(t)=   − 2πf1sinω1t− 2πf2sinω2t e quindi, per f1= 10 e f2= 100, si ha
y(t)=  − 2π[10sinω1t+ 100sinω2t]
Integrazione nel tempo
↓E’ equivalente a dividere lo spettro per j2πf:
ℱ{t⌠⌡− ∞x(θ)dθ}=(X(f))/(j2πf)
Tale risultato è diretta conseguenza del precedente, in virtù dei legami tra integrale e derivata. Infatti, ∫t− ∞x(θ)dθ è una funzione di t, che compare nel limite superiore di integrazione, e la sua derivata è proprio x(t).
In questo caso, le basse frequenze del segnale originario sono esaltate seguendo un andamento 1  ⁄ 2π|f|, mentre la fase subisce una variazione (un ritardo) costante pari a −(π)/(2). Notiamo come questa circostanza determini una singolarità per f= 0 nel caso in cui X(0)≠ 0, e come mostrato a pag. 1↑, ciò corrisponde ad un segnale x(t) che sottende una area non nulla, e quindi y(t)=∫t− ∞x(θ)dθ non si azzera per t→ ∞: pertanto y(t) non è di energia, e la sua trasformata non è garantita. [45] [45]In realtà si può dimostrare che anche nel caso in cui X(0)≠ 0, è comunque possibile giungere ad un risultato, qualora si ricorra all’impulso matematico, ottenendo ℱ{∫t− ∞x(θ)dθ}=(X(f))/(j2πf)+(δ(f))/(2)X(0).
Esempio: Trasformata di un triangolo. Consideriamo un segnale

- x(t)=rectT⎛⎝t+T2⎞⎠−rectT⎛⎝t−T2⎞⎠ ed il suo integrale z(t)=t⌠⌡− ∞x(θ)dθ=T tri2T(t) |

  ↓
  entrambi rappresentati nella figura precedente: z(t) è nullo fino a t<  −T, cresce linearmente fino a t= 0, e quindi il contributo all’integrale dato dall’area del rect negativo torna ad annullarne il valore.
  Per calcolare la ℱ-trasformata di z(t), calcoliamo prima quella di x(t), e poi applichiamo la proprietà dell’integrazione. Applicando la proprietà di traslazione nel tempo, scriviamo
  X(f) = T⋅sinc(fT)⋅e+j2πf(T)/(2)−T⋅sinc(fT)⋅e−j2πf(T)/(2)= = T⋅(sin(πfT))/(πfT)⋅2jsinπfT=j2T(sin2(πfT))/(πfT)
  Dividendo quindi per j2πf si ottiene
  Z(f)=(j2T)/(j2πf)(sin2(πfT))/(πfT)(T)/(T)=⎛⎝T(sin(πfT))/(πfT)⎞⎠2=(Tsinc(fT))2
  il cui andamento è mostrato in figura 3.14↓
  Figura 3.14 Andamento di (Tsinc(fT))2in scala lineare e logaritmica; T= 10.
  Da questo risultato ne consegue infine che ℱ{tri2T(t)}=Tsinc2(fT), come riportato al § 3.9.6↓.

Densità di energia di rectT(t)↓
Lo stesso risultato mostrato nell’esempio, può essere ottenuto per altra via, notando che il triangolo è il risultato della convoluzione di due rettangoli:
(6.11) z(t)=T⋅tri2T(t)=rectT(t)*rectT(t)
Come verifica, si ripercorra la costruzione grafica riportata alla sezione 3.5.3↑. E’ quindi ora sufficiente applicare la proprietà del prodotto in frequenza, per ottenere:
(6.12) Z(f)= ℱ{T⋅tri2T(t)}=[ℱ{rectT(t)}]2=[Tsinc(fT)]2
Il risultato fornito da (6.12↑), è anche pari alla densità di energia ℰy(f) di un segnale rettangolare y(t)=rectT(t): infatti per il teorema di Parseval, si ha ℰy(f)=Y(f)Y*(f), in cui Y(f)= ℱ{rectT(t)}=Tsinc(fT), e pertanto
ℰy(f)=[Tsinc(fT)]2
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