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## 15.2Collegamenti in cavo↓

La descrizione completa delle caratteristiche e delle prestazioni dei cavi in rame è una materia molto vasta, di cui forniamo di seguito solo alcuni risultati, strettamente legati agli aspetti di telecomunicazione, il più rilevante dei quali è senz’altro il manifestarsi dell’effetto pelle, che determina (per f> 100 KHz) una attenuazione in dB proporzionale a √(f). La sezione è completata da una breve catalogazione dei cavi usati per telecomunicazioni.

### 15.2.1Costanti distribuite, grandezze derivate, e condizioni generali

Un conduttore elettrico uniforme e di lunghezza infinita, è descritto in base ad un modello a costanti distribuite, espresso in termini delle costanti primarie costituite dalla resistenza r, la conduttanza g, la capacità c e l’induttanza l per unità di lunghezza. La teoria delle linee uniformi definisce quindi due grandezze derivate dalle costanti primarie: l’impedenza caratteristica Z0(f) e la costante di propagazione γ(f).
Impedenza caratteristica↓
E’ definita come
(18.61) Z0(f)=R0(f)+jX0(f)=√((r+j2πfl)/(g+j2πfc))
e rappresenta il rapporto tra V(f) ed I(f) in un generico punto del cavo, permettendo di scrivere
I(f)=(V(f))/(Z0(f))
Costante di propagazione↓
E’ definita come
(18.62) γ(f)=α(f)+jβ(f)=√((r+j2πfl)(g+j2πfc))
mentre la grandezza e−γ(f)d rappresenta il rapporto dei valori di tensione presenti tra due punti di un cavo di lunghezza infinita, distanti d, permettendo di scrivere
V(f,x+d)=e−γ(f)dV(f,x)
Condizioni di chiusura
Qualora il cavo di lunghezza d sia chiuso ai suoi estremi su di un generatore con impedenza Zg(f) e su di un carico Zc(f), risultano definiti i coefficienti di riflessione del generatore e del carico:
(18.63) rg(f)=(Zg(f)−Z0(f))/(Zg(f)+Z0(f)) e rc(f)=(Zc(f)−Z0(f))/(Zc(f)+Z0(f))
Osserviamo subito che nel caso in cui Zg(f)=Zc(f)=Z0(f), risulta rg(f)=rc(f)= 0.
Quadripolo equivalente
L’impedenza vista dai morsetti di ingresso e di uscita di un cavo, interposto tra generatore e carico, vale rispettivamente
(18.64) Zi(f)=Z0(f)(1 +rc(f)⋅e− 2dγ(f))/(1 −rc(f)⋅e− 2dγ(f)) e Zu(f)=Z0(f)(1 +rg(f)⋅e− 2dγ(f))/(1 −rg(f)⋅e− 2dγ(f))
Allo stesso tempo, la funzione di trasferimento intrinseca risulta
(18.65) Hq(f)= 2(e−dγ(f))/(1 −rg(f)⋅rc(f)⋅e− 2dγ(f))
Condizioni di adattamento
Nel caso in cui Zg(f)=Zc(f)=Z0(f), come sappiamo, il quadripolo si comporta in modo perfetto. In tal caso, risultando rg(f)=rc(f)= 0, si ottiene che Zi(f)=Zu(f)=Z0(f) e Hq(f)=(Vq(f))/(Vi(f))= 2e−dγ(f): il cavo si comporta allora come se avesse lunghezza infinita. In tal caso, inoltre, risulta che Hi(f)=(1)/(2) ed Rg(f)=Ru(f); pertanto il guadagno disponibile risulta
Gd(f)=|Hi(f)|2|Hq(f)|2(Rg(f))/(Ru(f))=(1)/(4)|2e−d[α(f)+jβ(f)]|2=e− 2dα(f)
Condizione di Heaviside↓
Nel caso in cui i valori delle costanti primarie siano tali da risultare r⋅c=l⋅g, relazione nota come condizione di Heaviside, le (18.61↑) e (18.62↑) si modificano, e si ottiene
γ(f)=√(rg)+j2πf√(lc) e Z0(f)=√((r)/(g))=√((l)/(c))=R0
e pertanto, risultando α(f) costante e β(f) linearmente crescente con la frequenza, si realizzano le condizioni di un canale perfetto; dato inoltre che l’impedenza caratteristica Z0(f)=R0 è solo resistiva ed indipendente dalla frequenza, diviene semplice realizzare la condizione di adattamento Zg(f)=Zc(f)=R0, il che determina al contempo anche il massimo trasferimento di potenza, e implica che rg(f)=rc(f)= 0, e quindi
Hq(f)= 2e−dα(f)e−jdβ(f)= 2e−d√(rg)e−jd2πf√(lc)
In definitiva, la funzione di trasferimento complessiva in questo caso vale
H(f)=Hi(f)Hq(f)Hu(f)=(1)/(2)2e−d√(rg)e−jd2πf√(lc)(1)/(2)=(1)/(2)e−d√(rg)e−jd2πf√(lc)
equivalente quindi ad un canale perfetto con guadagno G=(1)/(2)e−d√(rg) e ritardo tR=d√(lc); al contempo, l’attenuazione disponibile risulta indipendente da f, e pari a
Ad(f)= 1 ⁄Gd(f)=e2d√(rg)

### 15.2.2Trasmissione in cavo

In generale, le costanti primarie del cavo non soddisfano le condizioni di Heaviside, e le impedenze di chiusura non sono adattate. In tal caso si ha rg(f)≠ 0 e/o rc(f)≠ 0, e devono essere applicate le (18.64↑) e (18.65↑).
Cavo molto lungo
Se il cavo è sufficientemente lungo da poter porre e− 2dγ(f)≪1, ossia |e− 2dγ(f)|=e− 2dα(f)≪1, le (18.64↑) divengono Zi(f)=Zu(f)≃Z0(f), mentre la (18.65↑) si semplifica in Hq(f)= 2e−dγ(f); nel caso generale risulta pertanto
Gd(f)=|Hq(f)|2⋅|Hi(f)|2⋅(Rg(f))/(Ru(f))= 4⋅e− 2dα(f)⋅|Hi(f)|2⋅(Rg(f))/(Ru(f))
che evidenzia due cause di distorsione lineare, di cui la prima dipende dal disadattamento di impedenze in ingresso ed uscita: qualora invece si realizzi la condizione Zg(f)=Zc(f)=Z0(f), si ottiene
Ad(f)=(1)/(Gd(f))=e2dα(f)
La seconda causa di distorsione dipende dal comportamento non perfetto di Hq(f)= 2e−dγ(f), che secondo la teoria può essere completamente corretto, solo nel caso in cui le costanti primarie soddisfino le condizioni di Heaviside. In pratica, però, il risultato è diverso, perchè.... le “costanti primarie” non sono costanti !!!
Effetto pelle↓
Si tratta di un fenomeno legato all’addensamento del moto degli elettroni verso la superficie del cavo, al crescere della frequenza. Per questo motivo, si riduce la superficie del conduttore realmente attraversata da corrente elettrica, a cui corrisponde un aumento della resistenza per unità di lunghezza r. Si può mostrare che, per frequenze maggiori di 50-100 KHz, la resistenza per unità di lunghezza r aumenta proporzionalmente a √(f), e quindi si può scrivere α(f)=α0√(f), in cui la costante α0 dipende dal tipo di cavo.
In tali condizioni, l’attenuazione disponibile risulta Ad(f)=e2dα(f)=e2dα0√(f), a cui corrisponde un valore in dB pari a
Ad(f)|dB= 10log10e2dα0√(f)=dα0√(f)⋅10log10e2=A0⋅d⋅√(f)
Il valore A0 riassume in sè tutte le costanti coinvolte, prende il nome di attenuazione chilometrica↓, ed è espresso in db/Km; il suo valore dipende dal tipo di cavo, ed è fornito con riferimento ad una determinata frequenza fR (ad es. 1 MHz), permettendo di scrivere
(18.66) Ad(f)|dB=A0(fR)⋅dKm⋅√((f)/(fR))
in cui fR rappresenta appunto la frequenza per la quale è disponibile il valore di A0, ed il valore della f per cui si calcola Ad va espresso nella stessa unità di misura di fR. Questo risultato può essere usato come formula di progetto, e mette in evidenza come l’attenuazione in dB dei cavi sia linearmente proporzionale alla lunghezza [647] [647]Questa circostanza è comune con le trasmissioni in fibra ottica (vedi fig. 15.34↓ a pag. 1↓), ed è legato alla presenza nel mezzo di una componente dissipativa, in questo caso la resistenza..
La figura a lato mostra l’andamento di Gd(f)|dB=  −Ad(f)|dB adottando i valori di A0 e fR riportati al § 15.2.3↓ per alcune tipologie di cavo.
Equalizzazione
In presenza di effetto pelle, la funzione di trasferimento intrinseca Hq(f)= 2e−dγ(f) presenta una dipendenza da f tutt’altro che perfetta, causando potenzialmente distorsioni lineari sui segnali in transito. Un problema analogo insorge anche in assenza di effetto pelle, qualora si manifesti un disadattamento di impedenze ed il cavo non sia sufficentemente lungo (vedi appresso).
Se la banda di segnale è sufficientemente estesa da causare una distorsione lineare non trascurabile, o se la particolare natura del segnale (ad es. numerico) richiede la presenza di un ritardo strettamente costante con f, è necessario prevedere uno stadio di equalizzazione.
Diafonia↓
La diafonia, indicata in inglese con il termine di crosstalk, consiste nei fenomeni di interferenza tra i messaggi trasportati su cavi disposti in prossimità reciproca, e dovuti a fenomeni di induzione elettromagnetica ed accoppiamenti elettrostatici. Il fenomeno è particolarmente rilevante in tutti i casi in cui molti cavi giacciono affasciati in una medesima canalizzazione, condividendo un lunghezza significativa di percorso. Nel caso di telefonia analogica, la diafonia può causare l’ascolto indesiderato di altre comunicazioni [648] [648]... le famose interferenze telefoniche, praticamente scomparse con l’avvento della telefonia numerica (PCM), da non confondere con ... le intercettazioni.; nel caso di trasmissioni numeriche o di segnali modulati, la diafonia produce un disturbo additivo supplementare, che peggiora le prestazioni espresse in termini di probabilità di errore o di SNR.
Con riferimento allo schema della figura soprastante, consideriamo un collegamento D-C su cui gravano due cause di interferenza di diafonia: il collegamento da E ad F produce il fenomeno di paradiafonia (in inglese Segue↓, near end crosstalk), mentre il collegamento da B ad A produce il fenomeno di telediafonia (fext↓, far end crosstalk). Nel primo caso, il segnale disturbante ha origine in prossimità del punto di prelievo del segnale disturbato, mentre nel secondo ha origine in prossimità del punto di immissione.
L’entità del disturbo è quantificata mediante un valore di attenuazione di diafonia tra le sorgenti disturbanti e l’estremo disturbato. La circostanza che, nei rispettivi punti di immissione, i segnali disturbanti hanno la stessa potenza della sorgente che emette il segnale disturbato, permette di definire lo scarto di paradifonia
ΔAEC|dB=AEC|dB−ADC|dB
come la differenza in dB tra l’attenuazione di paradiafonia AEC|dB e l’attenuazione del collegamento ADC|dB. Il livello di potenza del segnale disturbante proveniente da E ed osservato al punto C risulta quindi pari a [649] [649]Omettiamo di indicare di operare in dB per chiarezza di notazione. WSegueE=WE−AEC=WD−AEC=WC+ADC−AEC=WC− ΔAEC , ossia di ΔAEC dB inferiore al segnale utile. Una definizione del tutto analoga risulta per la telediafonia (fext), per la quale il livello di potenza del segnale disturbante proveniente da B ed osservato al punto C risulta WfextB=WC− ΔABC in cui lo scarto di telediafonia ha il valore
ΔABC|dB=ABC|dB−ADC|dB

#### 15.2.2.1Casi limite

Cavo a basse perdite
E’ un modello applicabile per tutte quelle frequenze per cui risulti r≪2πfl e g≪2πfc. In tal caso le (18.61↑) e (18.62↑) forniscono
Z0(f)=R0=√((l)/(c)) reale e γ(f)=j2πf√(lc)
Di conseguenza, è facile realizzare Zg=Zc=R0, che determina
Hq(f)= 2e−jd2πf√(lc)
quindi il cavo non presenta distorsioni di ampiezza, ha una attenuazione trascurabile, e manifesta una distorsione di fase lineare in f, realizzando quindi le condizioni di canale perfetto.
Cavo corto
E’ il caso di collegamenti interni agli apparati, o tra un trasmettitore-ricevitore e la relativa antenna. La ridotta lunghezza del cavo permette di scrivere
e−dγ(f)=e−dα(f)e−jdβ(f)≃e−jdβ(f)
in quanto e−dα(f)≃1.
Qualora si verifichi un disadattamento di impedenze, i coefficienti di riflessione rg(f) e rc(f) risultano diversi da zero, rendendo
Hq(f)= 2(e−jdβ(f))/(1 −rg(f)⋅rc(f)⋅e−j2dβ(f))
periodica con d e con f (quest’ultimo in assenza di effetto pelle). In particolare, se il carico viene sconnesso, o l’uscita del cavo posta in corto circuito, l’eq. (18.63↑) mostra come risulti rc(f)= ±1 rispettivamente, e la prima delle (18.64↑) diviene
Zi(f)=Z0(f)(1±e−j2dβ(f))/(1∓e−j2dβ(f))
e si vede che per quei valori (ricorrenti) di frequenza f che rendono e−jdβ(f)= ±1 ( [650] [650]Ovvero, tali che |cos2dβ(f)−jsin2dβ(f)|= 1, e quindi dβ(f)=k(π)/(2) con k= 0, 1, 2, …), l’impedenza di ingresso del cavo può risultare infinita o nulla.
Evidentemente, le distorsioni lineari prodotte in questo caso hanno un andamento del tutto dipendente dalle particolari condizioni operative, e dunque la loro equalizzazione deve prevedere componenti in grado di adattarsi alla Hq(f) del caso [651] [651]Può ad esempio rendersi necessario “tarare” un trasmetttore radio, la prima volta che lo si collega all’antenna.. D’altra parte, una volta equalizzato il cavo, non sono necessari ulteriori aggiustamenti, a parte problemi di deriva termica. Diverso è il caso dal punto di vista di un terminale di rete, per il quale il cavo effettivamente utilizzato può essere diverso da collegamento a collegamento, e pertanto i dispositivi modem a velocità più elevate devono disporre di un componente di equalizzazione adattiva, da regolare ogni volta ad inizio del collegamento [652] [652]E’ questa la fase in cui il modem che usiamo per collegarci al provider internet emette una serie di orribili suoni.....

### 15.2.3Tipologie di cavi per le telecomunicazioni

Descriviamo i principali tipi di cavo utilizzati, per i quali forniamo in tabella i valori tipici delle grandezze essenziali, nelle condizioni illustrate nel testo che segue.

Tipo di cavo | A0 [dB⁄Km] | Z0 [Ω] | r, g, l, c per 1 Km
Linee aeree | 0.036 ad 1 KHz | 600 | 5, 10− 6, 2⋅10− 3, 5⋅10− 9
| 0.14 a 100 KHz |  |
Coppie ritorte | 1.2 ad 1 KHz | 600e−j(π)/(4) | 100, 5⋅10− 5, 10− 3, 5⋅10− 8
| 6 a 100 KHz |  |
| 20 a 1 MHz |  |
Coax 1.2/4.4 mm | 5.3 ad 1 MHz | 75 con politene | 89, 1.88⋅10−  7, .26⋅10− 6, 10− 10
“ 2.6/9.5 mm | 2.3 ad 1 MHz | 50 con aria | 41, “, “, “
“ 8.4/38 mm | .88 ad 1 MHz | (138)/(√(εr))log10(D)/(d) | 1.45, “, “, “

#### 15.2.3.1Coppie simmetriche

Linea aerea↓
E’ costituita da una coppia di conduttori nudi, di bronzo od acciaio
rivestito in rame, con diametro φ da 2 a 4 mm, sostenuti da una palificazione che li mantiene a distanza di 15 - 30 cm. L’uso delle linee aeree è andato estinguendosi con il tempo, ma rimane largamente diffuso nei paesi più poveri.
I valori riportati in tabella sono riferiti a conduttori con φ = 3 mm, a frequenza di 1 KHz; la r già a 100 KHz cresce al valore di 20 Ω/Km, mentre la conduttanza g a 100 KHz e con tempo molto umido, può crescere fino a decine di volte il suo valore nominale ad 1 KHz. I valori riportati mostrano come le condizioni di Heaviside non siano rispettate, in quanto rc≫lg, anche se lo scarto è inferiore rispetto al caso delle coppie ritorte.
L’impedenza caratteristica riportata in tabella, di circa 600 Ω, è ottenuta applicando il modello a basse perdite, con le costanti primarie indicate.
Coppia ritorta↓
E’ costituita da una coppia di conduttori in rame, con φ da 0.4 ad 1.3 mm, rivestiti di materiale isolante, ed avvolti tra loro secondo eliche con passo
grande rispetto al diametro. Un numero variabile di tali coppie (tra qualche decina e qualche centinaio) sono poi raggruppate assieme, e rivestite con guaine protettive isolanti o metalliche; il risultato dell’operazione è interrato o sospeso mediante una fune in acciaio. L’uso delle coppie ritorte, nato allo scopo di realizzare il collegamento tra utente e centrale telefonica, si è esteso al cablaggio di reti locali (lan) con topologia a stella (ieee 802.3); in tale contesto, i cavi sono indicati come utp (unshielded twisted pair).
I valori riportati in tabella sono riferiti a conduttori con φ = .7 mm, a frequenza di 1 KHz; la r a 100 KHz è circa doppia. La g dipende sostanzialmente dall’isolante utilizzato, mentre l’aumento di c è evidentemente legato alla vicinanza dei conduttori. Anche in questo caso, risulta rc≫lg, e dunque le condizioni di Heaviside non sono verificate. Nel passato, si è fatto largo uso dell’espediente di innalzare artificialmente l, collocando ad intervalli regolari una induttanza “concentrata” (le cosiddette bobine Pupin), realizzando così nella banda del canale telefonico un comportamento approssimativamente perfetto.
Al crescere della frequenza, però, le bobine Pupin producono un effetto passa basso, aumentando di molto il valore di attenuazione; attualmente, se le stesse coppie ritorte sono utilizzate per la trasmissione di segnali numerici PCM, le bobine Pupin sono state rimosse, ed al loro posto inseriti ripetitori rigenerativi.
L’impedenza caratteristica riportata in tabella, di circa 600 Ω, è valida a frequenze audio, con cavi φ = .7 mm. Prevalendo l’aspetto capacitivo, al crescere della frequenza Z0 si riduce a 100-200 Ω, con fase di -10 gradi. L’attenuazione chilometrica riportata, è sempre relativa al caso φ = .7 mm; per diametri di 1.3 mm si ottengono valori circa dimezzati, mentre con φ = .4 mm il valore di A0 risulta maggiore.
Come ultima osservazione, illustriamo come l’avvolgimento della coppia su se stessa ha lo scopo di ridurre i disturbi di diafonia. Infatti, se il passo dell’elica è diverso tra le coppie affasciate in unico cavo, le tensioni e correnti indotte da una coppia su di un’altra non interessano sempre lo stesso conduttore, ma entrambi in modo alternato. L’avvolgimento della coppia disturbante, inoltre, produce una alternanza dei conduttori in vicinanza della coppia disturbata, aggiungendo una ulteriore alternanza del verso del fenomeno di disturbo. Con questi accorgimenti, si trovano attenuazioni di diafonia a frequenze vocali, dell’ordine di 80-90 dB su 6 Km. All’aumentare della frequenza, e della lunghezza del percorso comune, l’attenuazione di diafonia diminuisce (e quindi l’interferenza aumenta), fino a mostrare valori di 60-70 dB a 750 KHz su 1.6 Km.

#### 15.2.3.2Cavo coassiale↓

Un conduttore centrale è ricoperto di dielettrico, su cui è avvolto il secondo conduttore, intrecciato a formare una sorta di calza, e racchiuso a sua volta in una guaina isolante. La particolare conformazione del cavo lo rende molto più resistente ai fenomeni di interferenza; indicando con φ il diametro del conduttore interno e con D quello esterno, la teoria mostra che si determina un minimo di attenuazione se D⁄φ= 3.6; per questo sono stati normalizzati i diametri mostrati nella tabella a pag. 1↑. Il tipo con φ⁄D= 8.4 ⁄ 38 mm è sottomarino, e presenta la minima attenuazione chilometrica; A0 aumenta al diminuire della sezione del cavo.
Finchè D⁄φ= 3.6, l’impedenza caratteristica dipende solo dal dielettrico, con l’espressione generale fornita in tabella, ottenendo i valori di 50 e 75 Ω con dielettrico aria e polietilene rispettivamente.
I valori delle costanti primarie riportati in tabella sono ottenuti facendo uso delle seguenti relazioni: r=  8.4⋅10− 8√(f)⎛⎝(1)/(D)+(1)/(φ)⎞⎠Ω ⁄m; l= 0.46log10(D)/(φ) μH⁄m; g= 152⋅10− 12(fεrtanδ)/(log10(D)/(φ)) S⁄m; c=(24.2⋅εr)/(log10(D)/(φ)) pF⁄m; in cui si è posto f (in Hz nelle formule) pari a 1 MHz, D e d sono espressi in metri, εr è la costante dielettrica, e tanδ è l’angolo di perdita del dielettrico; nel caso del polietilene, risulta εr= 2.3, tanδ= 3⋅10− 4.
Esercizio Si desidera effettuare una trasmissione FDM di 120 canali telefonici, ognuno modulato AM-BLU, su di un cavo coassiale, nella banda di frequenze 1÷1.48 MHz. Desiderando una potenza ricevuta per ogni canale di almeno 1 mW, e disponendo di un trasmettitore in grado di erogare 10 W, determinare la massima lunghezza del collegamento, supponendo verificate le condizioni di adattamento agli estremi del cavo, con impedenza caratteristica resistiva, ed attenuazione chilometrica A0 = 5.3 dB/Km ad 1MHz. Di quanto dovrebbe aumentare la potenza trasmessa WdT per raddoppiare la lunghezza?
Soluzione Supponendo tutti i canali contemporaneamente attivi, la potenza trasmessa per ciascuno di essi risulta pari a
W(n)dT=(10)/(120)= 83.3 mW, con n= 1, 2, …, 120.
Tra tutti i canali, quello che subisce la massima attenuazione chilometrica è quello con portante più elevata, per il quale
A(120)d (dB/Km) =A0√(1.48)= 5.3⋅1.22 = 6.46 dB/Km.
Per questo canale, il guadagno di sistema risulta pari a
G(120)s|dB= 10log10(W(120)dT)/(WRMin)= 10log10(83.3)/(1)= 19.2 dB,
essendo WRMin= 1 mW come indicato nel testo. Come noto, Gs corrisponde alla massima attenuazione AdTot che può essere accettata, e pertanto
A(120)dTot|dB=A(120)d(dB⁄Km)⋅LKm= 19.2 dB,
da cui si ricava per la massima lunghezza
LKm=(A(120)dTot|dB)/(A(120)d(dB⁄Km))=(19.2)/(6.46)= 2.97 Km,
che come vediamo è imposta dal canale più attenuato. Per il primo canale, invece, si ha A(1)d(dB⁄Km)=A0, e dunque
A(1)dTot|dB=A0(dB⁄Km)⋅LKm= 5.3⋅2.97 = 15.74 dB.
La differenza tra Gs|dB (uguale per tutti i canali) e A(1)dTot|dB rappresenta il margine di sistema per il primo canale, pari a
M=Gs−Ad=  19.2 − 15.74 = 3.46 dB.
La stessa quantità, è anche uguale alla distorsione lineare di ampiezza del cavo nella banda del segnale. Nel caso in cui si voglia superare una lunghezza doppia, anche A(120)dTot|dB raddoppia, e per mantenere WRMin= 1 mW, deve raddoppiare anche G(120)s|dB. Pertanto la nuova potenza/canale risulta
W’dT(dBm)=WRmin(dBm)+G’s(dB)= 0 + 2Gs(dB); quindi
W’dT(mW)= 10(W’dT(dBm))/(10)= 10(2Gs(dB))/(10)= 10(2⋅19.2)/(10)= 103.84= 6918.3
milliWatt, cioè 6.91 Watt/canale, e quindi 6.91⋅120 = 830 Watt complessivi !
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