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## 13.4Codifica differenziale↓

Qualora la portante con cui si effettua la demodulazione omodina presenti un errore di fase [555] [555]Il cui effetto su xc(t) è discusso al § 11.2.1.1↑. Facciamo ricadere in questa casistica l’ambiguità di fase dei sistemi di recupero portante come al § 11.4.2↑, ma anche la distorsione di fase introdotta dal canale non selettivo in frequenza, vedi pag. 1↓., il piano dell’inviluppo complesso subisce una rotazione, producendo
decisioni sistematicamente errate a causa dello spostamento dei punti di costellazione ottenuti campionando le c.a. di b.f. (crocette in figura) rispetto a quelli che si otterrebbero nel caso di demodulazione coerente (pallini). Per rimediare al problema, si può estendere il principio espresso a pag. 1↑ per segnali di banda base al caso delle modulazioni numeriche, rendendo la decisione su quale punto di costellazione sia stato ricevuto, indipendente dalla fase della portante di demodulazione, ma dipendente invece dalla fase dell’inviluppo complesso osservata per il simbolo precedente. Ciò si realizza modificando il modo in cui vengono determinati i punti di costellazione da trasmettere, scegliendoli ora in funzione di una coppia di simboli consecutivi, anziché di uno solo.

### 13.4.1Modulazione DBPSK↓

Per illustrare la tecnica, procediamo con un esempio relativo al caso di trasmissione bpsk della sequenza xk=  001011011010010 e mostriamo come la codifica differenziale consenta di neutralizzare un errore di fase di π. La fig. 13.20↓, simile [556] [556]La similitudine non è per nulla casuale, dato che qualora il predittore mostrato a pag. 1↓ sia realizzato mediante un elemento di ritardo, i due schemi di elaborazione coincidono. a quella a pag. 1↓, mostra la sequenza delle operazioni necessarie, e che consistono nel trasformare il messaggio binario xk in quello yk in base alla relazione
Figura 13.20  Codifica e detezione differenziali
(18.10) yk=xk⊕yk− 1
xk=`001011011010010`
yk=`001101101100011`
zk=  ⁄`01011011010010`
(in cui l’operatore ⊕ rappresenta un or esclusivo), e quindi effettuare la modulazione bpsk di yk anziché di xk. Dal lato ricevente, il segnale bpsk viene demodulato ottenendo la sequenza ŷk, che viene a suavolta trasformata in zk in base all’espressione
(18.11) zk=ŷk⊕ŷk− 1
che, in assenza di errori (ossia se ŷk=yk per tutti i k), permette di ottenere nuovamente i valori del messaggio originario [557] [557]A parte per il primo bit, che ha il solo scopo di stabilire il riferimento di fase per la decodifica del successivo. Da un punto di vista formale, combinando le 18.10↑ e 18.11↑ e in assenza di errori (ossia ŷk=yk) si ottiene ẑk=ŷk⊕ŷk− 1=xk⊕yk−  1⊕yk− 1=xk. xk a partire dalla sequenza zk, come la figura del riquadro precedente consente di verificare tramite un esempio. Notiamo come i bit della sequenza yk cambiano nel caso in cui il corrispondente bit di xk è un uno, mentre non cambiano se è uno zero.
Se assumiamo ora di rappresentare lo zero con una fase nulla, e l’uno con una fase di π, riscriviamo la (18.1↑) come
xBPSK(t)=acos(ω0t+φ(t)) con φ(t)=π⋅∞⎲⎳k=  − ∞xkrectTb(t−kTb)
e ponendo per semplicità il periodo di bit pari ad un ciclo di portante, otteniamo in fig. 13.21↓ la forma d’onda bpsk associata alla sequenza originaria xk, posta a confronto con quella relativa invece a yk ed indicata come dbpsk, in cui la d sta per differenziale.
Figura 13.21  Segnale bpsk e bpsk differenziale
Anche se i simboli del segnale dbpsk sono in corrispondenza univoca con i bit della sequenza yk, osserviamo che possono anche essere derivati direttamente dall’esame visivo della xk, dato che la fase del dbpsk si inverte per gli xk= 1, e non si inverte per xk=  0. Pertanto, è possibile realizzare un demodulatore che, senza utilizzare la formula che calcola zk, prende le corrette decisioni a riguardo dei bit di xk basandosi sui cambiamenti di fase anziché sui loro valori assoluti.
D’altra parte però lo schema di fig. 13.20↑ mostra l’uso di un modem bpsk convenzionale, delegando le operazioni di differenziazione e sua inversa a circuiti addizionali. Verifichiamo quindi che anche in tale forma si riesce a recuperare il segnale originario, nel caso in cui ad esempio la portante di demodulazione presenti un errore di fase di π [558] [558]E’ questo un caso tutt’altro che anomalo, in quanto il segnale bpsk contiene entrambe le fasi in egual misura (se i bit sono equiprobabili) e quindi un circuito come quello di pag. 1↑ può agganciarsi indifferentemente all’una o all’altra., tale da causare l’inversione di tutti i bit decodificati, producendo così un messaggio ŷk=`110010010011100`. E’ facile verificare che anche in questo caso, applicando l’operatore zk=ŷk⊕ŷk− 1, si ottiene nuovamente la sequenza originaria.
Prestazioni DBPSK
Esaminiamo ora cosa accade in presenza di errori: supponiamo di ricevere un messaggio yk=`000101101100011`, in cui il terzo bit (sottolineato) è errato. Calcolando zk=ŷk⊕ŷk− 1 questa volta si ottiene zk=  ⁄`00111011010010` che risulta uguale a xk tranne che nel terzo e quarto bit. Infatti, dato che zk dipende dagli indici k e k− 1 di y, l’effetto dell’errore non si propaga oltre il bit successivo a quello errato. Dato quindi che ad ogni errore del decisore si ottengono due bit errati anziché uno, a parità di Eb⁄N0 il dbpsk è affetto da un tasso di errore circa doppio di quello del bpsk.

### 13.4.2DQPSK

Il concetto di codifica differenziale può essere facilmente esteso al caso di l-psk, semplicemente mettendo in corrispondenza le configurazioni di bit previste dal codice di Gray

xk− 1xk | Δθ
`00` | `0`
`01` | π⁄2
`11` | π
`10` | −π⁄2

con rotazioni di fase Δθ (tra simboli successivi) contigue, come esemplificato nella tabella a fianco [559] [559]Tratta da Andrea Goldsmith, Wireless Communications, pag. 151. per L= 4( [560] [560]Nel caso di L> 4 la tabella si modifica molto semplicemente scrivendo accanto al codice di Gray al L livelli, la sequenza crescente delle fasi differenziali Δθk=k(2π)/(L− 1).), ovvero nel caso della modulazione dqpsk. L’inviluppo complesso di tale segnale quindi assumerà, negli istanti di simbolo, valori la cui fase dipende dalla fase del simbolo precedente, incrementata del Δθ mostrato in tabella, consentendo la corretta ricezione anche in presenza di una portante di demodulazione affetta da errori di fase multipli di (π)/(2). Anche qui se (a causa del rumore) si verifica un errore di ricezione, questo si propaga anche al simbolo successivo.
Nel caso del qam si può nuovamente applicare una forma di codifica differenziale, ma lo schema di corrispondenza tra gruppi di bit e punti della costellazione è più complesso [561] [561]Vedi ad es. Krzysztof Wesolowski, Introduction to Digital Communication Systems, Wiley, pag. 328., e non viene qui trattato.

### 13.4.3OFDM differenziale

Infine, citiamo l’uso che viene fatto della codifica differenziale nei sistemi di trasmissione multiportante come l’ofdm (§ 13.7↓), in cui il sincronismo di fase viene acquisto in corrispondenza di una sottoportante, ma la risposta in frequenza del canale causa una rotazione del piano dell’inviluppo complesso relativo alle altre sottoportanti. In tale circostanza, la codifica differenziale viene applicata ai gruppi di bit associati a portanti contigue, limitando così l’errore di fase introdotto dal canale, a quello che si verifica in un intervallo di frequenza pari alla spaziatura tra sottoportanti.
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