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## 13.8Sistemi a spettro espanso↓

In questa tecnica di modulazione la stessa banda di frequenze è utilizzata contemporaneamente da più trasmissioni differenti, che non interferiscono tra loro grazie all’uso di forme d’onda mutuamente ortogonali; ciò avviene adottando una manipolazione del messaggio da trasmettere, in modo che questo occupi una banda molto maggiore di quella originaria, e sulla manipolazione inversa in ricezione: tale caratteristica è quindi indicata con il termine di Spread Spectrum [585] [585]To spread = spalmare, vedi ad es. lo spread butter., e la tecnica di trasmissione risultante prende anche il nome di Multiplazione a Divisione di Codice.
Sebbene la doppia operazione di spreading/despreading non produca nessun vantaggio effettivo nei riguardi delle prestazioni ottenibili nel caso in cui la ricezione sia disturbata dalla sola presenza di rumore additivo gaussiano, si ottengono invece i seguenti altri benefici:

- la presenza di eventuali altre trasmissioni e/o disturbi nella stessa banda del segnale espanso causa una potenza interferente ridotta;
- la densità spettrale del segnale trasmesso può confondersi con quella del rumore, rendendo la trasmissione stessa poco rilevabile da parte di soggetti ostili;
- l’ignoranza della effettiva manipolazione adottata rende la trasmissione indecifrabile da parte di soggetti ostili.

### 13.8.1Sequenze pseudo-casuali

La manipolazione che produce l’espansione spettrale si basa a sua volta sull’utilizzo di una sequenza cosiddetta pseudo-noise↓ (pn) [586] [586]`http://en.wikipedia.org/wiki/Pseudorandom_binary_sequence`, le cui caratteristiche statistiche si avvicinano a quelle di un rumore stazionario bianco (ovvero a valori incorrelati), tranne per il fatto che tali valori non sono casuali ma deterministici, in modo che la loro ripetizione ciclica rende la sequenza pn riproducibile dal lato ricevente. La fig. 13.34↓a mostra una parte di un possibile segnale dati p(t) pseudo casuale, bipolare, di durata L⋅Tp
(18.30) p(t)=L− 1⎲⎳k= 0akg(t−kTp−θ)
Figura 13.34 a) - sequenza pseudonoise; b) densità di potenza; c) autocorrelazione
realizzato mediante impulsi rettangolari g(t)=rectTp(t) di durata Tp chiamati chip, con polarità stabilita dagli L valori ak= ±1 scelti [587] [587]Un modo di generare la sequenza pn è descritto presso `http://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_length_sequence` in modo da produrre media nulla e varianza unitaria (ak= 0, a2k= 1), mentre la correlazione ℛa(n) tende a zero con n≠ 0 ( [588] [588]Data la sequenza deterministica ak={a0,a1,  ⋯aL− 1} di lunghezza L− 1, la correlazione tra
coppie di elementi a distanza n è definita come
ℛa(n)=(1)/(L−n)L−n− 1⎲⎳k= 0akak+n
Considerando invece la sequenza periodica ottenuta ripetendo gli ak, possiamo definire la stessa grandezza come ℛa(n)=(1)/(L)∑L− 1k= 0aka(k+n) mod L), mimando così la proprietà di indipendenza statistica. Al § 9.10.3↑ abbiamo mostrato che un segnale del genere presenta uno spettro di densità di potenza
(18.31) Pp(f)=σ(|ℰG(f)|2)/(Tp)=Tpsinc2(fTp)
rappresentato in fig. 13.34↑b, e per il quale la frequenza Wp=(1)/(Tp) ne approssima l’occupazione di banda. Dalla (18.31↑) consegue che l’autocorrelazione di p(t) si esprime come [589] [589]Si veda l’esempio a pag. 1↑
ℛp(τ)= ℱ− 1{Pp(f)}=tri2Tp(τ)
mostrata in fig. 13.34↑c, e che appunto si azzera per τ>Tp. Le sequenze pseudo-noise utilizzate realmente non soddisfano in pieno tutti questi requisiti, ma vi si avvicinano molto [590] [590]Ad esempio per i collegamenti WiFi si utilizza `http://en.wikipedia.org/wiki/Barker_code`.

### 13.8.2Sequenza diretta↓

La moltiplicazione del segnale pn (18.30↑) per un segnale di banda base x(t) realizza la tecnica di espansione spettrale nota come Direct Sequence Spread Spectrum (o dsss↓) il cui effetto, sebbene valido per x(t) qualsiasi, viene ora discusso con riferimento ad un segnale numerico [591] [591]Quando il messaggio x(t) è di natura numerica, esso è rappresentato da un flusso binario a velocità fb=1⁄Tb, e l’operazione di spreading si ottiene scegliendo Tp=Tb⁄L≪Tb. Moltiplicando modulo due ogni bit del messaggio per la sequenza di chip della pn, si ottiene di fatto una sequenza di sequenze pn, ognuna con segno invertito o meno a seconda del valore dei singoli bit del messaggio. Il segnale dati viene poi realizzato a partire dalla sequenza risultante a velocità fb⋅Wp. binario nrz polare, con frequenza binaria che determina una densità di potenza Px(f) del tipo di (18.31↑) ma con banda Wx≪Wp; il risultato del prodotto x(t)p(t) quindi modula am-bld-ps una portante a frequenza f0. La fig. 13.36↓ indica con x̃(t)=x(t)p(t) il segnale allargato, la cui potenza è la stessa [592] [592]Considerando x(t) realizzazione di un processo ergodico indipendente da p(t), la potenza di x̃(t) risulta x̃2=E{x2(t)p2(t)}=x2=Px Px di x(t), che ora risulta però spalmata sulla banda Wp di p(t).
Figure 13.36 Generazione di un segnale modulato dsss
Infatti, la densità di potenza Px̃(f) è il risultato della convoluzione in frequenza [593] [593]l’autocorrelazione del prodotto di processi indipendenti è pari al prodotto delle autocorrelazioni (§ 9.7.1↑), ed a questo si applica teorema di Wiener (§ 9.2.1↑).
Px̃(f)=Px(f)*Pp(f)≃Wx⌠⌡−WxPx(λ)Pp(f−λ)dλ
in cui la definizione degli estremi di integrazione tiene conto del fatto che Px(f)≈ 0 per |f|>Wx. Considerando ora che Wp≫Wx, notiamo che per |λ|≤Wx si ha Pp(f−λ)≃Pp(f), e quindi
Px̃(f)≈[Wx⌠⌡−WxPx(λ)dλ]Pp(f)=PxPp(f)

#### 13.8.2.1Guadagno di processo↓

Il rapporto di espansione spettrale (Wp)/(Wx) tra la banda del segnale allargato e quella del segnale di partenza varia tipicamente tra 10 e 10000 volte, ossia tra 10 e 40 dB, e viene indicato anche come guadagno di processo (o processing gain), in quanto come vedremo rappresenta una misura del miglioramento dell’snr nel caso di presenza di segnali interferenti.

#### 13.8.2.2Despreading

Per proseguire nell’analisi, consideriamo lo schema di ricevitore mostrato in fig. 13.37↓, nella cui parte sinistra è mostrato il segnale modulato ricevuto xc(t)=x̃(t)cosω0t con potenza [594] [594]x̃(t)cos(ω0t+φ) con φ v.a. a d.d.p. uniforme può essere considerato come il prodotto di due processi statisticamente indipendenti, la cui potenza è il prodotto delle potenze. SR=(1)/(2)Px, a cui si sovrappone un disturbo n(t), ed insieme attraversano il filtro passabanda di ricezione caratterizzato da una banda di rumore BR≫Wp≫Wx, dato che deve lasciar passare l’intero spettro allargato, compresi i suoi lobi laterali. Il fatto che la potenza SR sia spalmata su tutta la banda BR rende il segnale utile poco distinguible dal livello di rumore, e dunque difficilmente intercettabile.
Figura 13.37 Ricevitore DSSS con rumore additivo n(t) o interferenza z(t)
Dopo demodulazione omodina si ottiene il nuovo segnale di banda base y(t)=x̃(t)+nc(t) in cui nc(t) è la componente in fase del rumore. A questo punto avviene l’operazione di despreading che si avvale della possibilità per il ricevitore di generare la stessa sequenza pn usata in trasmissione, in forma temporalmente sincrona, in modo da poter scrivere
ỹ(t)=[x̃(t)+nc(t)]p(t)=x(t)p2(t)+nc(t)p(t)=x(t)+ñc(t)
Pertanto,mentre il messaggio x(t) è di nuovo quello precedente all’allargamento, il rumore ha subito a sua volta un effetto di allargamento. Un successivo filtraggio passa-basso con banda Wx pari a quella di segnale produce infine il risultato yd(t)=x(t)+nd(t), in cui il segnale utile ha potenza Sd=Px= 2SR, mentre al termine di disturbo additivo nd(t) è stata rimossa la potenza che cade al difuori della banda di segnale.

#### 13.8.2.3Prestazioni in presenza di rumore

Nel caso in cui n(t) sia rumore bianco con densità di potenza Pn(f)=N0⁄2, la sua componente in fase dopo demodulazione omodina ha densità [595] [595]vedi § 12.1.2 Pnc(f)=N0rectBR(f)e dunque autocorrelazione
ℛnc(τ)=N0BRsinc(BRτ)
Allo scopo di valutare la densità di potenza Pñc(f) del rumore dopo despreading, con l’aiuto della figura a lato osserviamo che l’autocorrelazione di ñc(t) è pari a ℛñc(τ)= ℛnc(τ)ℛp(τ), e che ℛnc(τ)≃0 con |τ|≫(1)/(BR)≪(1)/(Wp), mentre ℛp(τ)≃1 con |τ|≪Tp=(1)/(Wp): pertanto possiamo scrivere ℛñc(τ)≃ℛnc(τ) e quindi
Pñc(f)≃Pnc(f)=N0rectBR(f)
La componente di rumore nd(t) in uscita dall’ultimo passa basso ha quindi una potenza Nd= 2N0Wx, permettendo di valutare il rapporto segnale-rumore dopo demodulazione come
⎛⎝(S)/(N)⎞⎠d=(2SR)/(2N0Wx)=(SR)/(N0Wx)
ossia proprio pari all’SNR di riferimento (pag. 1↑), mostrando come la concatenazione delle operazioni di spreading e despreading non alteri le prestazioni del processo di modulazione nei confronti del rumore bianco.

#### 13.8.2.4Prestazioni in presenza di un tono interferente

Mostriamo che se il termine di disturbo additivo z(t) occupa una banda relativamente stretta in rapporto a BR, allora la sua potenza dopo demodulazione risulterà ridotta di un fattore pari al guadagno di processo Wp⁄Wx. Ad esempio, consideriamo il caso di un tono interferente (jammer), in cui
z(t)=√(2Pj)cos(ω0+ωz)t
con potenza z2=Pj alla frequenza f0+fz. In tal caso zc(t)=√(2Pj)cosωzt e
(18.32) Pzc(f)=(Pj)/(2)[δ(f−fz)+δ(f+fz)]
Una volta che il tono interferente viene demodulato e moltiplicato per p(t), esso produce Pz̃c(f)=Pzc(f)*Pp(f), mostrato alla riga centrale della figura a lato [596] [596]Il risultato si ottiene tenendo conto delle eq. (18.31↑) e (18.32↑). Notiamo ora che la massima interferenza si ottiene quando |fz|≪Wp, al limite pari a zero, come mostrato all’ultima riga della figura in scala espansa per il caso limite di fz= 0. Pertanto, il limite superiore della potenza interferente uscente dal passa basso con banda Wx è
z2d=Wx⌠⌡−WxPz̃c(f)df≤ 2Wx(Pj)/(Wp)
e dunque il rapporto segnale-interferente diviene
⎛⎝(S)/(z2d)⎞⎠d≥ 2SR(Wp)/(2WxPj)=(SR)/(Pj)(Wp)/(Wx)
mostrando quindi un miglioramento pari proprio al guadagno di processo.

#### 13.8.2.5Accesso multiplo↓

Una frequente applicazione delle tecniche spread spectrum consiste nel permettere la comunicazione contemporanea di una pluralità di soggetti, possibile qualora ognuno di essi adotti una diversa sequenza pn: la tecnica prende allora il nome di cdma↓ (Code Division Multiple Access). Mostriamo che in tal caso per ogni comunicazione l’effetto delle altre si riduce ad un modesto innalzamento del rumore di fondo, tanto più piccolo quanto minore è il valore della intercorrelazione tra i codici pn utilizzati.
Dopo la demodulazione, il termine interferente z(t) causato da N diversi utenti, ognuno con un diverso codice pn(t) e segnale dati xn(t), può essere scritto come
z(t)=N⎲⎳n= 1Anxn(t−τn)pn(t−τn)cosθn
in cui An, τn e cosθn sono ripettivamente ampiezza, ritardo di simbolo e fase della portante relativi all’n-esimo utente. Assumendo ora eguali tra loro le ampiezze del segnale utile x(t) e degli interferenti, dopo il despreading otteniamo
ỹ(t)=x(t)+[N⎲⎳n= 1xn(t−τn)pn(t−τn)cosθn]p(t)
Se rappresentiamo ora il filtro passa basso di fig. 13.37↑ come un integratore esteso ad un periodo di bit, ovvero un filtro adattato al segnale nrz, il valore della sua uscita campionata al termine della durata del k-esimo periodo di bit risulta
ỹ(tk) = x(tk)+N⎲⎳n= 1[cosθn(k+ 1)Tb⌠⌡kTbxn(t−τn)pn(t−τn)p(t)dt] = x(tk)+z(tk)
in cui z(tk) rappresenta il termine di interferenza complessiva da parte di tutti gli altri N utenti; dato che i valori di xn possono essere ±1, l’integrale calcola in effetti l’intercorrelazione ℛppn(τn) (§ 9.1.4↑) tra p(t) e le altre pn(t), calcolata per un ritardo τn. Pertanto, scegliendo la famiglia di sequenze pseudo-noise in modo che esibiscano una intercorrelazione molto ridotta (in teoria nulla, se le pn fossero ortogonali), è possibile rendere trascurabile l’effetto degli interferenti.

### 13.8.3Frequency Hopping↓

Si tratta di una diversa tecnica spread spectrum, in cui la sequenza pn è di tipo multilivello, ed è utilizzata in uno schema l-fsk incoerente (§ 13.5↑) per cambiare in continuazione la frequenza portante a cui avviene la trasmissione, tipicamente fsk anch’essa (vedi figura), da cui il nome di Saltando di Frequenza (traduzione di Frequency Hop-ping). Per una corretta ricezione, è necessaria una accurata sincronizzazione temporale tra la pn usata in trasmissione e quella in ricezione.
Dunque l’espansione spettrale si verifica ancora, ma stavolta non tutta la banda è occupata in modo permanente come nel dsss, ma anzi durante ogni salto si occupa solo la banda necessaria alla modulazione non allargata. In questo caso un disturbo a banda stretta provoca interferenza solo durante il salto che occupa la sua stessa frequenza, e dunque può essere facilmente contrastata adottando una codifica di canale (§ 17.3↓). Inoltre, la tecnica fhss è proficuamente impiegata in sistemi di accesso multiplo cdma, dato che possono avvenire contemporaneamente più trasmissioni fhss utilizzando per esse differenti sequenze pn a bassa intercorrelazione.
Se il periodo di chip (ovvero il tempo per cui il vco permane sulla stessa frequenza) è più breve del periodo di simbolo, il sistema è detto fast frequency hopping o ffhss, mentre se è maggiore è detto slow fh o sfhss.

### 13.8.4Time Hopping

In questo caso la trasmissione avviene su intervalli temporali molto ridotti, e dunque con una occupazione di banda molto elevata (a volte indicata come ultra wide band o uwb [597] [597]`http://en.wikipedia.org/wiki/Ultra-wideband`); l’altro aspetto in comune con le tecniche a spettro espanso è il posizionamento pseudo-casuale degli impulsi nell’ambito di una trama temporale, in base ad una sequenza pn [598] [598]`http://en.wikipedia.org/wiki/Time-hopping`.
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