PrecSezione 4.4: Trasformata discreta di Fourier SuCapitolo 4: Campionamento, quantizzazione ed elaborazione numerica Sezione 4.6: RiassumendoSegue

## 4.5Filtraggio numerico↓ via DFT

La definizione di DFT illustrata al § 4.4↑ ben si presta a calcolare il risultato relativo ad un integrale di convoluzione, a patto di seguire alcune accortezze.

### 4.5.1Convoluzione discreta ↓

Dati due segnali x(t) e h(t) limitati in banda tra −W e W, anche il risultato della convoluzione y(t)=x(t)*h(t) è limitato in banda, ed i suoi campioni yn=y(nTc) (con Tc>(1)/(2W)) possono essere calcolati [83] [83]Il risultato può essere ottenuto esprimendo l’integrale x(t)*h(t) nei termini dei campioni di x(t) e h(t), e sfruttando la proprietà di ortogonalità (vedi § 4.1.3↑) di sinc(.). a partire da quelli di x(t) e h(t), come
yn=∞⎲⎳k=  − ∞xkhn−k
Nel caso in cui le sequenze xn e hn abbiano durata finita e pari rispettivamente a N ed M campioni, si otterrà una sequenza yn di durata pari a N+M− 1 campioni.

Figura 4.21 Confronto tra convoluzione discreta, circolare, e via dft
Esempio: il lato sinistro di fig. (4.21↑) mostra una sequenza triangolare ed una rettangolare con un numero di elementi non nulli rispettivamente pari a 5 e 4, la cui convoluzione si estende su 8 valori.

### 4.5.2Convoluzione circolare↓

Date due sequenze xn ed hn di durata finita N, il prodotto Ym=XmHm delle rispettive DFT Xm=∑N− 1n= 0xne−j2π(m)/(N)n ed Hm=∑N− 1n= 0hne−j2π(m)/(N)n possiede antitrasformata ỹn=DFT− 1{Ym} periodica in n di periodo N, e pari a
(6.34) ỹn=N− 1⎲⎳p= 0x̃ph̃n−p
in cui x̃n e h̃n sono le sequenze periodiche di periodo N ottenute replicando infinitamente le sequenze originali xn ed hn ( [84] [84]Infatti, ad xn ed hn corrispondono le DFT periodiche X̃m ed H̃m, che hanno per antitrasformata x̃n ed h̃n. Il prodotto X̃mH̃m, espresso in termini di x̃n ed h̃n, risulta pari a Ỹm=X̃mH̃m=∑N− 1p= 0∑N− 1q= 0x̃ph̃qe−j2π(m)/(N)(p+q), ed applicando a questo la (6.25↑) , otteniamo:
ỹn=(1)/(N)N− 1⎲⎳m= 0Ỹmej2π(m)/(N)n=(1)/(N)N− 1⎲⎳p= 0N− 1⎲⎳q= 0x̃ph̃q(N− 1⎲⎳m= 0ej2π(m)/(N)(n−p−q))
Dato che ∑N− 1m= 0ej2π(m)/(N)(n−p−q)=⎧⎨⎩ N se q=(n−p)+lN 0 altrimenti , con l intero, risulta allora ỹn=∑N− 1p= 0x̃ph̃n−p, come espersso dalla (6.34↑).). La convoluzione (6.34↑) è detta circolare perché è possibile immaginare le sequenze xn ed hn incollate su due cilindri concentrici, e la somma svolta sui prodotti degli elementi coincidenti. Ogni valore di p corrisponde ad una diversa rotazione relativa (con angolo multiplo di 2π⁄N) dei cilindri, ed il campione di hn che era allineato ad xN− 1 rientra dall’altro lato, per corrispondere ad x0.
La parte centrale di fig. (4.21↑) mostra il risultato della periodicizzazione delle stesse sequenze dell’esempio precedente, assieme al risultato della convoluzione circolare tra esse, considerando un periodo N= 6 per entrambe: come evidente, il risultato è abbastanza differente da quello ottenuto nel caso della convoluzione discreta.

### 4.5.3Convoluzione tra sequenze di durata finita via DFT↓

Sappiamo che la convoluzione produce un risultato di durata pari alla somma delle durate degli operandi; come anticipato, nel caso di due sequenze xn ed hn di durata N ed M, il risultato della convoluzione discreta yn=∑N− 1k= 0xkhn−k produce valori non nulli per indici n= 0, 1, …,N+M− 1. Pertanto, perché la (6.34↑) produca lo stesso effetto di una convoluzione discreta, occorre costruire delle sequenze x’n e h’n di lunghezza almeno pari ad N+M− 1, ottenute a partire dai valori di xn ed hn, a cui si aggiungono M− 1 ed N− 1 valori nulli, rispettivamente. In tal modo, il prodotto X’mH’m tra le DFT ad N+M− 1 punti di queste due nuove sequenze, può essere antitrasformato, per fornire il risultato corretto.
La parte destra di fig. (4.21↑) mostra come estendendo con zeri le due sequenze di esempio fino ad una stessa lunghezza N= 9, il risultato della loro convoluzione circolare anch’esso di periodo N ora fornisca con esattezza lo stesso risultato ottenuto calcolando direttamente la convoluzione discreta.

### 4.5.4Convoluzione di segnali via DFT

Due segnali x(t) e h(t) limitati in banda non possono, a rigore, essere limitati nel tempo; viceversa, una finestra di segnale non può, a rigore, essere rappresentata dai suoi campioni. Infatti, l’effetto della convoluzione in frequenza tra la trasformata della finestra (nominalmente illimitata in banda) e lo spettro del segnale, produce una dispersione frequenziale di quest’ultimo.
Ciononostante, disponendo di un numero di campioni sufficientemente elevato, si può assumere che la trasformata della finestra si attenui, fino a rendersi trascurabile, oltre ad una certa frequenza. Inoltre, l’adozione di una frequenza di campionamento più elevata, provoca un allontanamento delle repliche spettrali del segnale campionato. In queste due ipotesi, è lecito ritenere l’elaborazione condotta sui campioni di segnale equivalente a quella da svolgere sul segnale originario.
Consideriamo ora il caso di operare su campioni prelevati alla frequenza opportuna, e di voler determinare la risposta di un filtro caratterizzato dalla propria hn di durata finita M, ad un ingresso xn di durata indefinita. Per applicare i risultati fin qui descritti, occorre suddividere la sequenza xn in segmenti xqn di lunghezza L
xqn=⎧⎨⎩ xn per qL≤n<(q+ 1)L 0 altrove
in modo da poter scrivere xn=∑∞q=  − ∞xqn, operare una successione di convoluzioni discrete yqn=xqn*hn, ed infine ottenere yn=xn*hn=∑∞q=  − ∞xqn*hq per la linearità della convoluzione.
Osserviamo ora che ognuno dei termini yqn risulta di estensione N=M+L− 1 punti, e può essere calcolato mediante la DFT inversa ad N punti del prodotto Xq’mHq’m tra le DFT ad N punti delle versioni allungate con zero (zero padded) di xqn ed hqn.
Infine, notiamo che l’estensione temporale N=M+L− 1 dei termini yqn è maggiore di quella dei segmenti originali xqn, di lunghezza L: pertanto la sequenza yn si ottiene sommando ai primi M− 1 valori di ognuna delle yqn, gli ultimi M− 1 valori risultanti dalle operazioni precedenti. Per questo motivo, il metodo prende il nome di Overlap and Add↓.
PrecSezione 4.4: Trasformata discreta di Fourier SuCapitolo 4: Campionamento, quantizzazione ed elaborazione numerica Sezione 4.6: RiassumendoSegue