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## 9.10Appendici

### 9.10.1Coefficiente di correlazione↓

I diagrammi di esempio presentati alla nota (9.1.1↑) a pag. 1↑ basano la valutazione di quanto una coppia di v.a. x ed y siano correlate, anche sul calcolo del coefficiente di correlazione ρxy, che ha valori compresi tra + 1 e − 1, ed è definito come
ρxy=(σxy)/(σxσy)
In tal modo, si opera una normalizzazione del valore della covarianza σxy, rispetto alle deviazioni standard σx e σy delle due v.a., rendendo così il valore di ρ indipendente dalla dinamica dei valori assunti da x ed y.
Il coefficiente ρ si presta ad una interessante interpretazione geometrica, una volta identificate (vedi § 27↑) la deviazione standard σx come la norma ∥x∥ di x, e la covarianza σxy come il prodotto scalare (x, y) tra x ed y [451] [451]L’analogia non è poi troppo peregrina, considerando che se x è estratta da un processo ergodico a media nulla, la sua varianza σ2x coincide con la potenza del segnale da cui è estratta, mentre se x ed y sono estratte da segnali congiuntamente ergodici, la covarianza σxy coincide con la funzione di intercorrelazione (eq. (17.24↑)), ovvero con la loro potenza mutua.. In tale contesto, possiamo indicare due v.a. come ortogonali se risulta σxy=ρxy= 0, mentre un valore ρxy= ±1 indica che una delle due v.a. è costantemente uguale all’altra, a meno di un coefficiente costante. Notiamo che l’ortogonalità ρxy= 0 esprime unicamente l’assenza di legami di tipo lineare tra x ed y, come esemplificato dal caso F) della nota (9.1.1↑) a pag. 1↑.
Per ultima citiamo l’estensione formale del risultato noto come diseguaglianza di Schwartz (pag. 1↑), una volta che al coefficiente di correlazione ρxy sia stato associato il concetto di coseno tra x ed y: tale posizione deriva dall’essere − 1 <ρxy< 1, e permette di asserire che |σxy|≤σxσy.

### 9.10.2Gaussiana multidimensionale↓ ed indipendenza statistica↓

In fondo al § 9.1.2↑ si è affermato che, unicamente nel caso di v.a. congiuntamente gaussiane, il sussistere di incorrelazione tre le stesse ne implica l’indipendenza statistica: mostriamo qui il motivo. Iniziamo con il definire la d.d.p. di una v.a. gaussiana multidimensionale X come
(17.36) pX(x)=(1)/(√((2π)ndetΣx))exp⎧⎩−(1)/(2)(x−mx)Σ−  1x(x−mx)T⎫⎭
in cui x=[x1,x2, ⋯,xn] è un vettore riga che rappresenta le n v.a. marginali, mx è il vettore dei rispettivi valori medi, e Σx è la matrice di covarianza i cui n×n elementi risultano pari a σxi,xj=E{(xi−mxi)(xj−mxj)}. Notiamo che la conoscenza di mx e Σx definisce in modo completo la densità di probabilità.
Osserviamo ora che nel caso in cui le v.a. siano incorrelate, ossia σxi,xj= 0 con i≠j, la matrice di covarianza Σx risulta essere diagonale, e così la sua inversa, i cui elementi risultano in tal caso essere pari a 1⁄σ2xi. Sotto queste ipotesi la (17.36↑) si esprime come
p(x)=(1)/(√((2π)n)n∏i= 1σxi)exp⎧⎩−(1)/(2)⎡⎣n⎲⎳i= 1((xi−mxi)2)/(σ2xi)⎤⎦⎫⎭
e dunque equivale al prodotto delle singole d.d.p. marginali [452] [452]Si verifichi per esercizio che nel caso di una coppia di v.a. congiuntamente gaussiane, a media nulla ed uguale varianza, si ottiene l’espressione (17.8↑) di pag. 1↑.
p(xi)=(1)/(√(2π)σxi)exp⎧⎩−(1)/(2)((xi−mxi)2)/(σ2xi)⎫⎭
Ma dato che questo risultato è proprio la definizione di indipendenza statistica (§ 9.1.2↑) tra le v.a. marginali, abbiamo ottenuto la dimostrazione cercata.

### 9.10.3Densità spettrale per onda PAM↓

L’acronimo pam sta per Pulse Amplitude Modulation (pag. 54↑), e individua una classe di segnali realizzati ripetendo indefinitivamente uno stesso impulso elementare g(t) con periodo T, ognuno moltiplicato (o modulato in ampiezza) per un diverso coefficiente an. Entro questa generica definizione rientra sia il segnale dati, che la conversione d/a per segnali campionati, di cui in questa sezione si fornisce una trattazione unificata.
Accingiamoci pertanto a verificare quanto affermato al § 9.2.4↑, ossia che al segnale dati
(17.37) x(t)=⎲⎳ang(t−nT−θ)
corrisponde uno spettro di densità di potenza↓ pari a
(17.38) Px(f)=σ2A(|G(f)|2)/(T)
Il segnale (17.37↑) rappresenta un processo stazionario ergodico qualora θ sia una v.a. aleatoria uniformemente distribuita tra ±(T)/(2), ed i valori an realizzazioni di v.a. statisticamente indipendenti, a media nulla ed identicamente distribuite, e varianza σ2A=E{a2n}.
Per verificare la (17.38↑) adottiamo il modello di generazione del segnale (17.37↑) rappresentato in figura: un processo gaussiano bianco a media nulla a(t) è moltiplicato per un processo impulsivo πT(t−θ)=∑nδ(t−nT−θ), dando luogo ad un nuovo processo impulsivo Δ(t)=∑nanδ(t−nT−θ) in cui i coefficienti an sono (per costruzione) statisticamente indipendenti e quindi incorrelati, in modo che ℛa(τ)=E{anan+τ}=⎧⎨⎩ σ2A per τ= 0 0 altrimenti , e quindi
(17.39) ℛΔ(τ)= ℛπ(τ)⋅ℛa(τ)=⎧⎨⎩ σ2A⋅ℛπ(0) per τ= 0 0 altrimenti
Per quanto riguarda ℛπ(τ), osserviamo che

- deve risultare periodica con periodo T, come lo è πT(t);
- gli estremi dell’integrale che ne definisce il valore possono limitarsi [453] [453]La definizione di autocorrelazione prescrive il calcolo ℛy(τ)=limα→ ∞(1)/(α)∫α⁄ 2−α⁄ 2y(t)y(t+τ)dt ma, se y(t) è periodico, il valore dell’integrale su di un intervallo pari ad un periodo fornisce lo stesso valore per qualunque possibile traslazione temporale di y(t) alla durata di un periodo;
- l’ergodicità consente di eseguire il calcolo su di una particolare realizzazione di θ, ad es. pari a zero

permettendo di scrivere
ℛπ(τ) = (1)/(T)T⁄ 2⌠⌡−T⁄ 2 ⎲⎳nδ(t−nT) ⎲⎳mδ(t−mT+τ)dt = (1)/(T)T⁄ 2⌠⌡−T⁄ 2δ(t)δ(t+τ)dt
in quanto gli altri termini delle sommatorie cadono al difuori dell’intervallo di integrazione.
Notiamo ora che ℛπ(τ) risulta pari a zero se τ≠ 0, mentre per valutare ℛπ(0)=(1)/(T)∫T⁄ 2−T⁄  2[δ(t)]2dt occorre riscrivere δ(t) in base alla sua definizione, ossia il limite a cui tende una successione di funzioni; ponendo (ad es.) δ(t)=limβ→ 0(1)/(β)rectβ(t), si
ottiene [454] [454]E’ facile verificare dalla figura mostrata che sia (1)/(β)rectβ(t) che (1)/(β)tri2β(τ) possiedono area unitaria, e dunque per β→ 0 convergono ad un impulso. (per −(T)/(2)≤τ<(T)/(2))
ℛπ(τ) = limβ→ 0(1)/(T)T⁄ 2⌠⌡−T⁄ 2(1)/(β2)rectβ(t)rectβ(t+τ)dt= = limβ→ 0(1)/(T)(1)/(β)tri2β(τ)=(1)/(T)δ(τ)
e quindi in definitiva, dovendo risultare ℛπ(τ) periodico, ottieniamo
(17.40) ℛπ(τ)=(1)/(T)∞⎲⎳n=  − ∞δ(τ−nT)
Sostituendo ora (17.40↑) in (17.39↑), arriviamo al risultato ℛΔ(τ)=(σ2A)/(T)δ(τ) e PΔ(f)= ℱ{ℛΔ(τ)}=(σ2A)/(T). Pertanto, si è dimostrato che l’onda pam x(t) ha densità di potenza
(17.41) Px(f)=PΔ(f)|G(f)|2=σ2A(|G(f)|2)/(T)
Mediante una diversa trattazione [455] [455]S. Barbarossa, http://infocom.uniroma1.it/sergio/PAM.pdf si mostra che, nel caso in cui il valor medio mA=E{an} dei valori an non sia nullo, risulta
Px(f)=σ2A(|G(f)|2)/(T)+⎛⎝(mA)/(T)⎞⎠2∞⎲⎳n=  − ∞||G⎛⎝(n)/(T)⎞⎠||2δ⎛⎝t−(n)/(T)⎞⎠
che, rispetto alla (17.41↑), evidenzia l’aggiunta di un termine a righe.
Infine, prendiamo in considerazione il caso in cui ai simboli an si sostituiscano dei bn ancora a media nulla, ma non più indipendenti tra loro, ovvero la cui autocorrelazione ℛb(τ)=E{bnbn+τ} sia diversa da zero per τ=nT, adottando lo schema funzionale disegnato sotto per realizzare un modello di ciò che accade.
Mentre a(t) è lo stesso di prima, il suo passaggio attraverso il filtro h(t) introduce una correlazione tra i valori estratti da b(t) mediante moltiplicazione per πT(t+θ), ottenendo infatti ℛb(τ)= ℛH(τ)*ℛa(τ) [456] [456]Più precisamente, l’autocorrelazione tra simboli bn è valutabile solo per distanze temporali multiple del periodo di simbolo, ed in virtù della presenza di h(t), risulta ℛb((n−m)T)=E{bnbm}=σ2AℛH((n−m)T).; indicando ora l’ingresso al filtro g(t) come Δ’(t)=∑bnδ(t−nT+θ), si ottiene
ℛΔ’(τ)= ℛπ(τ)⋅ℛb(τ)=σ2A⋅ℛπ(τ)⋅ℛH(τ)
e dunque [457] [457]Nell’ultima serie di passaggi si può valutare Pπ(f) come (1)/(T2)∑nδ⎛⎝f−(n)/(T)⎞⎠, in quanto Π(f)= ℱ{π(t)}= ℱ{∑nδ(t−nT)}=(1)/(T)∑nδ⎛⎝f−(n)/(T)⎞⎠ (vedi § 3.8.3↑) e quindi Pπ(f)=|Π(f)|2, oppure applicando la relazione Pπ(f)= ℱ{ℛπ(τ)} a partire dalla (17.40↑).
PΔ’(f) = ℱ{ℛΔ’(τ)}=σ2A⋅Pπ(f)*|H(f)|2= = (σ2A)/(T2)⋅ ⎲⎳nδ⎛⎝f−(n)/(T)⎞⎠*|H(f)|2=(σ2A)/(T2)⋅ ⎲⎳n||H⎛⎝f−(n)/(T)⎞⎠||2
ma dato che Py(f)=|G(f)|2PΔ’(f), in definitiva si ottiene
(17.42) Py(f)=(σ2A)/(T2)|G(f)|2 ⎲⎳n||H⎛⎝f−(n)/(T)⎞⎠||2
ovvero la densità spettrale dell’onda pam viene a dipendere da quella dei dati trasportati. Notiamo che esiste un caso particolare in cui ciò non avviene, e si verifica se ∑n||H⎛⎝f−(n)/(T)⎞⎠||2=cost, condizione simile a quella (6.38↑) di Nyquist per l’assenza di isi. Seguendo gli sviluppi analitici svolti in quel caso, otteniamo che la (17.42↑) può non dipendere da H(f) nel caso in cui
ℱ− 1⎧⎩||H⎛⎝f−(n)/(T)⎞⎠||2⎫⎭= ℛH(τ)=⎧⎪⎨⎪⎩ 1⁄T per τ= 0 0 per τ=nT ∀ altrimenti
che corrisponde alla incorrelazione tra i valori b presi a distanza multipla di T.
Osserviamo infine che la (17.42↑) costituisce una diversa derivazione della (6.18↑) di pag. 1↑, nel caso in cui i bn siano campioni di segnale.

### 9.10.4Potenza di un segnale dati

Al § 65↑ si è affermato che la potenza di un segnale dati
s(t)= ⎲⎳nang(t−nT)
in cui g(t) è una caratteristica di Nyquist a coseno rialzato con roll-off γ, e gli ai sono una sequenza di v.a. discrete, statisticamente indipendenti, a media nulla ed uniformemente distribuite su L livelli in una dinamica −(Δ)/(2)≤ai≤(Δ)/(2), ha valore
Ps=(Δ2)/(12)(L+ 1)/(L− 1)⎛⎝1  −(γ)/(4)⎞⎠
Mostriamo ora i passi necessari ad arrivare a questo risultato. Nella precedente appendice, si è mostrato che per lo stesso segnale risulta Ps(f)=σ2A(|G(f)|2)/(T), e dunque
Ps=⌠⌡Ps(f)df=⌠⌡σ2A(|G(f)|2)/(T)df
Svolgendo i relativi calcoli, si può mostrare [458] [458]La dimostrazione sarà sperabilmente sviluppata in una prossima edizione... è una delle poche a mancare in questo libro! ..al momento, la fonte che trovo più in accordo con questa tesi, è ancora una volta `https://en.wikipedia.org/wiki/Raised-cosine_filter` che ∫|G(f)|2df=T⎛⎝1  −(γ)/(4)⎞⎠, e quindi Ps=σ2A⎛⎝1  −(γ)/(4)⎞⎠; resta pertanto da calcolare σ2A:
σ2A= (ai a media nulla) =EX{a2i}=∑L− 1i= 0pai⋅a2i= ( [459] [459]Consideriamo valori ai equiprobabili, ovvero p(ai)=1⁄L, e con dinamica bilanciata attorno allo zero, ossia valori compresi tra −Δ⁄2 e Δ⁄2) =
=(1)/(L)∑L− 1i= 0⎛⎝i(Δ)/(L− 1)−(Δ)/(2)⎞⎠2=(Δ2)/(L)∑L− 1i= 0⎛⎝(i2)/((L− 1)2)+(1)/(4)−(i)/(L− 1)⎞⎠=
=(Δ2)/(L)⎛⎝(1)/((L− 1)2)∑L− 1i= 0(i)2+(L)/(4)−(1)/(L− 1)∑L− 1i= 0i⎞⎠= ( [460] [460]Facciamo uso delle relazioni ∑Nn= 1n=(N(N+ 1))/(2) e ∑Nn= 1n2=(N(N+ 1)(2N+ 1))/(6) ) =
=(Δ2)/(L)⎛⎝(L)/(4)−(1)/(L− 1)(L(L− 1))/(2)+(1)/((L− 1)2)((L− 1)L(2(L−  1)+ 1))/(6)⎞⎠= Δ2⎛⎝(1)/(4)−(1)/(2)+(2L− 2 + 1)/(6(L− 1))⎞⎠=
= Δ2(6L− 6 − 12L+ 12 + 8L− 8  + 4)/(24(L− 1))= Δ2(2L+ 2)/(24(L− 1))=(Δ2)/(12)(L+ 1)/(L− 1).

### 9.10.5Autocorrelazione dell’uscita di un filtro↓

Al § 161↑ si è affermato che, quando un processo attraversa un filtro, il processo di uscita è caratterizzato da ℛy(τ)= ℛx(τ)*ℛh(τ). Mostriamo che è vero.
ℛy(t,t+τ) = E{y(t)y(t+τ)}= = E{⌠⌡h(α)x(t−α)dα⌠⌡h(β)x(t+τ−β)dβ}= = ⌠⌡⌠⌡h(α)h(β)E{x(t−α)x(t+τ−β)}dαdβ= = ⌠⌡h(α)⌠⌡h(β)ℛx(τ+α−β)dβdα= = ⌠⌡h(α)ℛxy(τ+α)dα= ℛxy(τ)*h(−τ)
nel cui terz’ultimo passaggio si è assunto che x(t) sia stazionario, e ℛxy(τ)= ℛx(τ)*h(τ) è l’intercorrelazione tra x(t) ed y(t) [461] [461]Infatti, ℛx(τ)*h(τ)=x*(−τ)*x(τ)*h(τ)=x*(−τ)*y(τ), che è appunto la definizione di ℛxy(τ), vedi anche eq. (17.27↑) a pag. 1↑..
Scritto in altra forma: ℛy(τ)= ℛx(τ)*h(τ)*h(−τ), e dunque antitrasformando si ottiene Py(f)=Px(f)⋅H(f)⋅H*(f)=Px(f)⋅|H(f)|2= ℱ{ℛx(τ)*ℛh(τ)}.

### 9.10.6Grafici di esempio

Alla pagina seguente sono riportati i grafici della forma d’onda, dell’autocorrelazione, della densità spettrale e della densità di probabilità, per alcuni segnali tipici.

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