PrecSezione 4.5: Filtraggio numerico via DFT SuCapitolo 4: Campionamento, quantizzazione ed elaborazione numerica Capitolo 5: Trasmissione dati in banda baseSegue

## 4.6Riassumendo

La dft (6.22↑) e la idft (6.25↑) costituiscono una coppia di relazioni invertibili che permettono di passare da una sequenza complessa di lunghezza N ad un’altra di pari lunghezza. Ma:

- calcolando la dft (6.22↑) su di una finestra di N campioni xn di un segnale x(t) limitato in una banda W<fc⁄2, si ottengono delle stime Xm dei campioni della sua trasformata di Fourier X(f) per f=(m)/(N)fc, ossia Xm≃fcX⎛⎝(m)/(N)fc⎞⎠ con m= 0, 1, …,N− 1;
- calcolando la idft (6.25↑) degli Xm si ri-ottengono i campioni di x(t) di partenza;
- sia gli Xm che gli xn sono in realtà sequenze periodiche di periodo N;
- i calcoli indicati dalle (6.22↑) e (6.25↑) sono in realtà svolti mediante un diverso algoritmo, chiamato Fast Fourier Transform o fft, che ha il vantaggio di richiedere una complessità O(Nlog2N) ridotta rispetto a quella della dft, che è O(N2).

Se la sommatoria (6.22↑) venisse applicata, anzichè ad un numero finito N di campioni xn, ad un loro numero infinito, allora

- si otterrebbe una sequenza periodica Xm̃ (6.29↑) di periodo N, corrispondente al campionamento dello spettro periodico X•(f);
- l’applicazione della idft a X̃(k) produrrebbe una sequenza periodica x̃n (6.30↑), coincidente con la sequenza originaria xn solo nel caso in cui questa fosse di durata finita, minore o uguale ad N;
- segmentando un segnale x(t) in sotto-intervalli disgiunti, si può eseguire la convoluzione tra x(t) ed una h(t) di durata finita (§ 4.5.4↑), operando esclusivamente nel dominio digitale, e sommando tra loro le idft dei prodotti tra la dft dei campioni di h(t) e le dft dei segmenti di x(t).

L’interpretazione dei valori che risultano dalla applicazione della dft su dei campioni di segnale, come stima della trasformata di Fourier del segnale, deve tenere conto oltre che delle fonti di approssimazioni evidenziate nella nota 4.4↑, anche dei corretti valori da assegnare alla scala delle frequenze e delle ampiezze, ossia:

### 4.6.1Le frequenze della DFT

Occorre tener presente il valore della frequenza di campionamento, e se il segnale di partenza x(t) è reale, della periodicità degli Xm. Infatti i valori Xm per m= 0, 1, …N− 1 corrispondono ai campioni di X•(f) per f=(m)/(N)fc, ma se x(t) è reale, X•(f) oltre ad essere periodico presenta simmetria coniugata, e dunque per valori f>(fc)/(2), ossia per m=(N)/(2), X•(f) assume valori speculari a quelli risultanti per f<(fc)/(2). Per fissare le idee, procediamo con un esempio: se N= 512 i primi 256 valori (da 0 a 255, ossia per m= 0, 1, 2, …,N⁄2− 1) sono da mettere in corrispondenza con quelli di X(f) con f=  0,(1)/(N)fc,(2)/(N)fc, …(N⁄2− 1)/(N)fc; mentre i restanti 256 valori (da 256 a 511, ossia per m=N⁄2,N⁄2+ 1, …,N− 1, e corrispondenti a f=(1)/(2)fc,(N⁄2+ 1)/(N)fc, …,(N− 1)/(N)fc) esibiscono un comportamento speculare a quello dei precedenti.

### 4.6.2Le ampiezze della DFT

Come espresso dalla (6.26↑), i valori Xm rappresentano una approssimazione dei coefficienti della serie di Fourier calcolati sulla finestra temporale da cui provengono i campioni di segnale, e moltiplicati per il numero di campioni utilizzati nel calcolo: Xm≃N⋅XSFm. Pertanto, i valori ottenuti dalla dft devono essere normalizzati, dividendoli per N.
PrecSezione 4.5: Filtraggio numerico via DFT SuCapitolo 4: Campionamento, quantizzazione ed elaborazione numerica Capitolo 5: Trasmissione dati in banda baseSegue