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## 13.1Modulazione di ampiezza

In questo caso l’informazione numerica è impressa sulla portante alterando le ampiezze di una delle componenti analogiche di b. f.

### 13.1.1Modulazione BPSK↓↓

E’ l’acronimo di Bi-Phase Shift Keying [537] [537]Letteralmente, slittamento di tasto a due fasi., e individua una tecnica per il trasporto dell’informazione basata sull’utilizzo di 2 possibili fasi per la portante:
(18.1) xBPSK(t)=asin(ω0t+φ(t)) dove φ(t)=∞⎲⎳k=  − ∞φkrectTb(t−kTb)
con i valori φk pari a ±(π)/(2) per rappresentare le cifre binarie 0 ed 1 trasmesse agli istanti kTb. Sebbene l’operazione così definita corrisponda ad una modulazione di fase (§ 11.3↑), è facile mostrare come possa essere realizzata mediante una comune modulazione di ampiezza bld (§ 11.1.1↑). Se definiamo infatti un segnale m(t) come un codice di linea nrz bipolare (§ 5.2.1↑), che assume valori ±1 in corrispondenza delle cifre binarie 0 ed 1, allora il segnale
xBPSK(t)=m(t)cosω0t
è equivalente al precedente, e la sua mo-demodulazione coerente avviene mediante l’architettura mostrata alla fig. 13.1↓
Figura 13.1  Architettura di mo-demodulazione bpsk, forme d’onda, e densità spettrali
. Il segnale uscente dal moltiplicatore di demodulazione [538] [538]Qui e nel seguito assumiamo di disporre di una portante di demodulazione omodina o coerente (§ 11.2.1↑), ossia priva di errori di fase e frequenza, così come di una perfetta temporizzazione di simbolo; le considerazioni al riguardo di quest’ultimo aspetto sono svolte all’appendice 13.10.1↓. ha espressione
y(t)=x(t)⋅2cosω0t= 2m(t)⋅cos2ω0t=m(t)+m(t)⋅cos2ω0t
e dunque il codice di linea m(t) può essere riottenuto mediante filtraggio passa-basso.
Una buona caratteristica di questa tecnica è l’andamento costante dell’ampiezza della portante modulata, che permette di utilizzare la massima potenza del trasmettitore, appena inferiore al valore che inizia a produrre fenomeni di distorsione (§ 14.7↓). L’aspetto negativo è l’elevata occupazione di banda [539] [539]Come discusso al § 11.1.1↑, la modulazione am-bld produce la traslazione della densità spettrale del segnale modulante alla frequenza portante f0. A sua volta (§ 5.1.2.1↑), in base all’eq. (6.36↑) il segnale nrz ha densità spettrale di tipo sinc2(fτ), il cui andamento in dB è mostrato in fig. 3.14↑, riportata in fig. 13.1↑., dovuta all’uso di forme d’onda rettangolari per m(t) che, nel caso di trasmissione su canali con limitazioni di banda, causano vincoli sulla massima frequenza binaria. Per questi motivi, il metodo è paricolarmente indicato nel caso di collegamenti in cui la potenza di trasmissione è limitata, ma non la banda [540] [540]Come ad esempio i collegamenti satellitari..
Gli aspetti ora illustrati possono essere sovvertiti qualora il segnale m(t) sia generato utilizzando forme d’onda g(t) con occupazione di banda limitata, come ad esempio la famiglia a coseno rialzato (§ 5.2.2.3↑). In quest’ultimo caso la banda occupata a frequenze positive risulta pari a fb(1 +γ), doppia rispetto al caso di banda base, a causa della modulazione bld, e l’ampiezza del segnale modulato non è più costante. Mentre infatti in corrispondenza degli istanti kTb l’ampiezza di xBPSK(t) assume esattamente uno dei valori (±1) del segnale dati m(t), nell’intervallo tra due istanti kTb<t<(k+ 1)Tb questa dipende della somma di tutte le code delle funzioni g(t) relative ai simboli trasmessi (vedi fig. 5.13↑ a pag. 1↑).

### 13.1.2Modulazione L-ASK↓

Ci riferiamo ora al caso in cui si operi una classica am-bld (da cui il termine Amplitude Shift Keying - ask) a partire da un segnale dati m(t) multilivello (§ 5.1.2.4↑), producendo un segnale modulato di espressione
xL−ASK(t)=m(t)cos(2πf0t) dove m(t)=∞⎲⎳k=  − ∞ak⋅rectTs(t−kTs)
in cui m(t) agli istanti kTs assume valori ak distribuiti uniformemente, in un intervallo Δ, su L livelli di ampiezza centrati sullo zero [541] [541]Per chi si sta chiedendo quanto valgono questi livelli, diciamo che il livello i-esimo (con i= 0, 1, ⋯,L− 1) corrisponde al valore ai=i⋅(Δ)/(L− 1)− 1 . Verificare per esercizio con Δ  = 2 ed L= 4..
L’ampiezza di l-ask subisce dunque variazioni, come mostrato nella figura a fianco per un caso con L= 8, in cui è rappresentato anche un diagramma detto costellazione, che rappresenta i valori assunti dall’inviluppo complesso in corrispondenza degli istanti di simbolo, che in virtù della am-bld presenta la sola c.a. di b.f. xc(t). Ogni ak rappresenta dunque M= log2L bit, ed il periodo di simbolo Ts=MTb ha durata multipla di Tb, pertanto la banda occupata da l-ask è minore rispetto a quella del bpsk di un fattore pari a M= log2L( [542] [542]Ad esempio: se L= 32 livelli, la banda si riduce di 5 volte, ed infatti con M= 5 bit si individuano L= 2M= 32 configurazioni. Dato che il numero M di bit/simbolo deve risultare un intero, si ottiene che i valori validi di L sono le potenze di 2.).
Anche qui, nel caso in cui m(t) sia generato mediante forme d’onda con caratteristica a coseno rialzato (§ 5.2.2.3↑) anziché con un codice di linea nrz, la densità spettrale assume il noto andamento (fig. 5.12↑) riportato a fianco, assieme al suo andamento in dB, e la banda a frequenze positive occupata da xL−ASK(t) risulta pari a
(18.2) BL−ASK=fs(1  +γ)=(fb)/(log2L)(1 +γ)
Efficienza spettrale↓ o densità di informazione
E’ definita come il rapporto ρ tra la frequenza binaria e la banda occupata
ρ=(fb)/(B)
e si esprime in bit/sec/Hz, rappresentando appunto quanti bit/sec sono trasmessi per ogni Hz utilizzato. Nel caso di l-ask con impusi a banda minima (γ= 0) si trova allora ρL−ASK=(fb)/(B)= log2L, mentre per altre forme di modulazione e/o di impulsi si ottengono altri valori, confrontando i quali si valuta la bontà di un metodo rispetto all’altro nei termini dell’utilizzo di banda. Ad esempio, se compariamo il risultato per ρL−ASK con quello relativo ad una trasmissione numerica di banda base (vedi eq. (6.41↑)), notiamo un peggioramento di un fattore 2, dovuto all’uso di una am-bld. Come per il caso analogico, la banda può essere dimezzata adottando una am-blu, ma vedremo invece tra breve che si preferiscono seguire approcci diversi, come ad esempio psk e qam.
Natura di Eb⁄N0 ↓
L’analisi delle prestazioni delle tecniche di modulazione numerica che affronteremo esprime la probabilità di errore per simbolo Pe(simbolo) o per bit Pe(bit) in funzione della grandezza (Eb)/(N0), introdotta a pag. 64↑, che rappresenta l’equivalente del rapporto segnale rumore di riferimento↓ SNR0=(Px)/(N0W) definito al §12.2.1.1↑ [543] [543]ricordiamo che Px esprime la potenza ricevuta, N0 rappresenta il doppio della Pn(f) presente al decisore, e W è la banda del segnale modulante., e quindi consente il confronto tra tecniche diverse. Infatti, considerando che la potenza ricevuta può essere espressa come Px=(Eb)/(Tb)=Eb⋅fb, si ottiene
(18.3) SNR0=(Px)/(N0fb)=(Eb)/(N0)
che dipende unicamente da grandezze che identificano la qualità del collegamento (Px ed N0) e la velocità del messaggio (fb) senza alcun riferimento al metodo di modulazione. A pag. 64↑ si deriva la relazione esatta tra (Eb)/(N0) e SNR effettivo per un segnale dati a coseno rialzato e multilivello.

### 13.1.3Prestazioni di L-ASK

Valutiamo ora la probabilità di errore per un segnale l-ask in funzione di Eb⁄N0, al variare del numero di livelli. Abbiamo osservato al § 13.1.2↑ come l’l-ask sia ottenibile come modulazione am bld di un segnale dati di banda base, ed al § 12.2.1.1↑ si è mostrato che nel caso am-bld, dopo demodulazione, risulta SNR=SNR0. Pertanto in base alla (18.3↑) si ottiene che le prestazioni per un segnale multilivello a coseno rialzato di banda base sono le stesse [544] [544] Forniamo qui dimostrazione forse inutilmente elaborata. Con riferimento alla figura seguente, il calcolo della Pe per l’l-ask si imposta definendo valori di Eb ed N0 equivalenti a quelli di banda base, ma ottenuti dopo demodulazione, e cioè Eb’ =Px’Tb e N0’ =PN’  ⁄W (infatti, PN’  =(N0’)/(2)2W, con W=(fs)/(2)=(fb)/(2log2L)).
L’equivalenza è presto fatta, una volta tarato il demodulatore in modo che produca in uscita la componente in fase xc(t) limitata in banda tra ±W. Infatti in tal caso (vedi § 12.2.1↑) Px’  =Pxc=k2aPM= 2Px e quindi Eb’  =Px’Ts= 2PxTs= 2Eb; per il rumore si ottiene N0’ =(PN’)/(W) in cui PN’  =Pnc=σ2nc=σ2n=(N0)/(2)4W e quindi N0’ = 2N0. Pertanto, il valore Eb’  ⁄N0’ su cui si basa ora il decisore è lo stesso Eb⁄N0 in ingresso al demodulatore.
di quelle ricavate al § 5.3.5↑, ovvero una probabilità di errore↓ per simbolo pari a
(18.4) PL−ASKe(simbolo)=⎛⎝1  −(1)/(L)⎞⎠erfc{√(3(Eb)/(N0)(log2L)/((L2− 1)))}
e che si riferisce ad un segnale a coseno rialzato con γ= 0( [545] [545]Se γ≠ 0, valgono le considerazioni svolte al § 5.3.5↑.), ossia a banda minima (§ 5.2.2.3↑), e pertanto le curve di Pe(bit) sono quelle di fig. 5.24↑ a pag. 1↑, dove si tiene anche conto dell’uso di un codice di Gray (§ 5.2.2.4↑) per associare i livelli a configurazioni binarie.
Figura 13.4  Prestazioni bpsk
Osserviamo esplicitamente che per L= 2 la (18.4↑) si riduce a
(18.5) PBPSKe(bit)=(1)/(2)erfc{√((Eb)/(N0))}
che rappresenta le prestazioni ottenibili per la modulazione bpsk, graficate in fig. 13.4↑, ed identica alla (6.50↑) ottenuta per il caso di banda base, ed alla (17.33↑) relativa al filtro adattato. Per completare i confronti, osserviamo che ora all’aumentare di L la banda (18.2↑) (per γ= 0)
BL−ASK=fs=(fb)/(log2L)
si riduce, mentre la Pe (18.4↑) aumenta: ciò può tornare utile in presenza di canali con limitazioni di banda ma non di potenza, dato che in tal caso la Pe può essere ripristinata aumentando la potenza e quindi Eb⁄N0, in base al cosiddetto compromesso banda-potenza↓. Al § 13.5.1↓ vedremo come nella tecnica di fsk ortogonale lo stesso compromesso operi in direzione opposta, ovvero riuscendo a migliorare Pe aumentando la banda occupata.
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