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## 7.6Appendici

### 7.6.1Funzione caratteristica↓

E’ definita come l’antitrasformata di Fourier di una densità di probabilità, ovvero (equivalentemente) come il valore atteso di ejwz:
Φz(w)= ℱ− 1{pZ(z)}=EZ{ejwz}=⌠⌡pZ(z)ejwzdz
Osserviamo che, se applicata alla somma di v.a. indipendenti, si ha:
Φz(w) = EZ{ejw(x+y)}=EZ{ejwxejwy}=EX{ejwx}EY{ejwy} = Φx(w)Φy(w)
in quanto se x e y sono statisticamente indipendenti (§ 7.1.5↑) la loro d.d.p. congiunta si fattorizza, ed il valore atteso si scompone nel prodotto di due integrali. Pertanto, la funzione caratteristica di una somma di v.a. indipendenti, è pari al prodotto delle funzioni caratteristiche.
Effettuando ora l’operazione inversa (trasformata di Fourier della funzione caratteristica della somma) e ricordando che un prodotto in frequenza è una convoluzione nel tempo (e viceversa) si ottiene il risultato pZ(z)= ℱ{Φz(w)}= ℱ{Φx(w)Φy(w)}=pX(x)*pY(y) che ci permette di enunciare:

> La densità di probabilità della somma di v.a. indipendenti è pari alla convoluzione tra le rispettive densita’ di probabiltà marginali.

La funzione caratteristica ha altri usi... ma non approfondiamo oltre.

### 7.6.2Detezione di sinusoide↓ nel rumore

Applichiamo i principi della decisione statistica ad una caso “classico”, mostrando come i risultati ottenuti al 7.4.2↑ si applichino allo schema di demodulazione incoerente↓ mostrato al § 11.2.2↓. Qualora in ingresso al demodulatore sia presente un rumore di potenza σ2, pari a quella delle singole componenti analogiche, ed a questo sia sovrapposta una sinusoide di ampiezza A, per il modulo dell’inviluppo complesso ρ=|x(t)| valgono esattamente le considerazioni svolte per la v.a. di Rice↓.
La ricezione del rumore dà infatti luogo (vedi § 12.1.2↓) a due processi di rumore xc(t) ed xs(t) gaussiani ed ergodici, che in assenza di sinusoide hanno media nulla e varianza σ2, e quindi la d.d.p. di ρ assume un andamento di Rayleigh↓, come mostrato alla figura seguente, per il caso indicato con Ho, e relativo a σ= 1. La curva H1 mostra invece la d.d.p. di ρ nel caso di presenza di segnale, con andamento di Rice, per A= 4 e σ= 1.
Il problema nasce qualora il tono sinusoidale non sia presente con continuità, e si desideri operare una decisione relativa all’ipotesi di una sua presenza (indicata con H1) od assenza (H0). Nel caso in cui A e σ siano note, il problema è ben posto, e si riduce a determinare una soglia γ con cui confrontare ρ, e decidere per H0 od H1 nei casi in cui ρ<γ e ρ>γ rispettivamente. In tal caso, vengono definiti tre possibili eventi, assieme alle rispettive probabilità, che dipendono dal valore assegnato a γ:

- Probabilità di detezione↓ Pd=∫∞γH1(ρ)dρ
- Probabilità di falso allarme↓ Pfa=∫∞γH0(ρ)dρ
- Probabilità di perdita↓ Pp=∫γ0H1(ρ)dρ

in cui gli ultimi due valori sono riferiti ad eventi di errore.
La nomenclatura adottata è quella tipica dei radar; in tale contesto, può aver senso tentare di spostare γ in modo da favorire l’uno o l’altro evento in base a considerazioni strategiche [276] [276]In ambito militare, può aver senso ridurre la probabilità di perdita, a spese di un aumento di quella di falso allarme, tranne nel caso in cui quest’ultimo non provochi conseguenze del tutto irreversibili, e “sbagliate” in caso di errore. Ragionamenti opposti possono essere svolti in campo medico, in cui si dovrebbe preferire un falso allarme, piuttosto che trascurare l’importanza di un sintomo.. Nel caso in cui i due errori siano equivalenti, e se le probabilità a priori di H0 ed H1 sono uguali, la probabilità di errore
(17.12) Pe=Pr(H0)Pr(e⁄H0)+Pr(H1)Pr(e⁄H1)=(1)/(2)Pfa+(1)/(2)Pp
Figure 7.16Soglia e probabilità di decisione statistica
risulta minimizzata qualora si adotti una decisione di massima verosimiglianza↓ (vedi § 7.5.3↑), ponendo γ nel punto in cui le due curve si intersecano (come in figura 7.16↑), in modo da preferire l’ipotesi Hi per la quale la probabilità condizionata Pr(ρ⁄Hi) è più grande.
Una valutazione asintotica delle prestazioni può essere svolta notando che all’aumentare di (A)/(σ), il valore di γ si avvicina (da destra) ad (A)/(2); ponendo quindi γ=(A)/(2) e sostituendo le espressioni (17.9↑) e (17.11↑) delle d.d.p. a posteriori in quella (17.12↑) della Pe, otteniamo
(17.13) Pe=(1)/(2)∞⌠⌡(A)/(2)(ρ)/(σ2)exp⎛⎝−(ρ2)/(2σ2)⎞⎠dρ+(1)/(2)(A)/(2)⌠⌡0(ρ)/(σ2)exp⎛⎝−(ρ2+A2)/(2σ2)⎞⎠I0⎛⎝(ρA)/(σ2)⎞⎠dρ
Per ciò che riguarda il primo termine, applicando il risultato (17.10↑) si trova il valore ∫∞(A)/(2)(ρ)/(σ2)exp⎛⎝−(ρ2)/(2σ2)⎞⎠dρ= exp⎛⎝−(A2)/(8σ2)⎞⎠. Per il secondo termine, osserviamo che il suo valore è ben più piccolo del primo (si veda la figura tracciata per A=  4, o le considerazioni riportato in nota [277] [277]Come già osservato, la funzione modificata di Bessel può essere approssimata come I0⎛⎝(ρA)/(σ2)⎞⎠~(exp⎛⎝(ρA)/(σ2)⎞⎠)/(√(2π(ρA)/(σ2))) per (ρA)/(σ2)≫1, e quindi il secondo termine di (17.13↑) diviene
(1)/(2)(A)/(2)⌠⌡0(ρ)/(σ2)exp⎛⎝−(ρ2)/(2σ2)⎞⎠exp⎛⎝−(A2)/(2σ2)⎞⎠exp⎛⎝(ρA)/(σ2)⎞⎠(σ)/(√(2πρA))dρ= = (1)/(2)(A)/(2)⌠⌡0√((ρ)/(2πσ2A))exp⎛⎝((ρ−A)2)/(2σ2)⎞⎠dρ
Notiamo ora che per (A)/(σ)≫1 l’integrando è trascurabile tranne che per valori di ρ vicini ad A, cosicchè il limite inferiore può essere esteso a − ∞, e il termine √((ρ)/(2πσ2A)) può essere sostituito con (1)/(√(2π)σ), ottenendo quindi la maggiorazione (1)/(2)∫(A)/(2)− ∞(1)/(√(2π)σ)exp⎛⎝(ρ2−A2)/(2σ2)⎞⎠dρ, che è l’espressione dell’integrale di una gaussiana con media A2, e che può essere espresso come (1)/(2)⋅(1)/(2)erfc⎛⎝(A)/(2√(2)σ)⎞⎠.
Se z≫1, (1)/(2)erfc(z) può essere approssimata come (1)/(2z√(π))exp(−z2), ottenendo
(1)/(2)(A)/(2)⌠⌡− ∞(1)/(√(2π)σ)exp⎛⎝(ρ2−A2)/(2σ2)⎞⎠dρ~(σ)/(A√(2π))exp⎛⎝−(A2)/(8σ2)⎞⎠
che, essendo per ipotesi (A)/(σ)≫1, risulta trascurabile rispetto a (1)/(2)exp⎛⎝−(A2)/(8σ2)⎞⎠.
), e quindi può essere trascurato, fornendo in definitiva
Pe=(1)/(2)exp⎛⎝−(A2)/(8σ2)⎞⎠
per (A)/(σ)≫1. Notiamo infine che (A2)/(2) rappresenta la potenza della sinusoide, e che σ2 è la potenza del rumore. Pertanto, il risultato trovato ha una immediata interpretazione in termini di SNR=(A2⁄ 2)/(σ2):
Pe=(1)/(2)exp⎛⎝−(SNR)/(4)⎞⎠
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