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## 2.3Teorema di Parseval↓

Stabilisce l’equivalenza di due rappresentazioni del segnale dal punto di vista energetico. La potenza, infatti, è calcolabile in modo simile in entrambi i domini del tempo e della frequenza, risultando
Px= limΔT→ ∞(1)/(ΔT)(ΔT)/(2)⌠⌡−(ΔT)/(2)|x(t)|2dt=∞⎲⎳n=  − ∞|Xn|2
Sviluppiamo i calcoli che danno luogo al risultato mostrato:
Px = limΔT→ ∞(1)/(ΔT)(ΔT)/(2)⌠⌡−(ΔT)/(2)|x(t)|2dt=(1)/(T)(T)/(2)⌠⌡−(T)/(2)|x(t)|2dt=(1)/(T)(T)/(2)⌠⌡−(T)/(2)x(t)x*(t)dt= = (1)/(T)(T)/(2)⌠⌡−(T)/(2)[ ⎲⎳nXn ej2πnFt][ ⎲⎳mX*m e−j2πmFt]dt= = ⎲⎳n ⎲⎳mXnX*m(1)/(T)(T)/(2)⌠⌡−(T)/(2)ej2π(n−m)Ftdt= = ∞⎲⎳n=  − ∞XnX*n=∞⎲⎳n=  − ∞|Xn|2=∞⎲⎳n=  − ∞M2n=∞⎲⎳n=  − ∞(R2n+I2n)
Ortogonalità degli esponenziali complessi↓
Nei precedenti calcoli si è fatto uso del risultato
(6.5) (1)/(T)(T)/(2)⌠⌡−(T)/(2)ej2π(n−m)Ftdt=⎧⎨⎩ 0 con n≠m 1 con n=m
che deriva dalla circostanza che la funzione integranda (per n≠m) è periodica con periodo uguale o sotto-multiplo di T, e quindi a valor medio nullo; per n=m invece essa vale e0= 1, e dunque il risultato. Questo prende il nome di proprietà di ortogonalità degli esponenziali complessi, in base ai princìpi di algebra vettoriale forniti in appendice 27↓.
Spettro di potenza per segnali periodici ↓
In appendice (pag. 1↓) si mostra come l’integrale
∥x(t)∥2=(1)/(T)(T)/(2)⌠⌡−(T)/(2)x(t)x(t)*dt
oltre a misurare la potenza del segnale periodico x(t), ne misuri la norma quadratica da un punto di vista algebrico.
Tornando ad esaminare il risultato Px=∑∞n=  − ∞|Xn|2 espresso dal teorema di Parseval, notiamo che |Xn|2 è la potenza di una singola componente armonica di x(t):
Pn=(1)/(T)(T)/(2)⌠⌡−(T)/(2)[Xn ej2πnFt][X*n e−j2πnFt]dt=(|Xn|2)/(T)(T)/(2)⌠⌡−(T)/(2)dt=|Xn|2
e quindi osserviamo che

> La potenza totale Px di un segnale periodico x(t) è pari alla somma delle potenze delle sue componenti armoniche Xn ej2πnFt.

Si presti attenzione che il risultato è una diretta conseguenza dell’ortogonalità della base di rappresentazione: infatti, la potenza di una somma non è in generale pari alla somma delle potenze [27] [27]In generale risulta, con la notazione di prodotto scalare (a, b) tra vettori-segnali a e b introdotta al § 27↓: (x+y, x+y)=(x, x)+(y, y)+(x, y)+(y, x). ; l’uguaglianza ha luogo solo nel caso di in cui gli addendi siano ortogonali.
La successione {Pn}={..., |X−k|2,  ..., |X0|2,   ..., |Xk|2,  ...} rappresenta come la potenza totale si ripartisce tra le diverse armoniche a frequenza f=nF, e prende il nome di spettro di potenza del segnale x(t).
Osserviamo che necessariamente i termini Pn=|Xn|2 risultano reali e positivi. Inoltre, se x(t) è reale, risulta |Xn|2=|X*−n|2=|X−n|2, e quindi si ottiene Pn=P−n; pertanto un segnale reale è caratterizzato da uno spettro di potenza pari.
Problema: si determini lo spettro di potenza di un’onda quadra. Soluzione: Essendo Xn=(1)/(2)sinc⎛⎝(n)/(2)⎞⎠, si ottiene {Pn}={|Xn|2}=(1)/(4)⎧⎩sinc2⎛⎝(n)/(2)⎞⎠⎫⎭.
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