PrecSezione 3.8: Trasformata di segnali periodici SuCapitolo 3: Trasformata di Fourier Capitolo 4: Campionamento, quantizzazione ed elaborazione numericaSegue

## 3.9Appendici

### 3.9.1Esercizio: quanti modi di calcolare la ℱ{x(t)}?

Sia dato il segnale
x(t)=⎧⎨⎩ 1 −(t)/(T) con 0 ≤t≤T 0 altrimenti
mostrato in figura. Descrivere quanti più modi possibili di calcolarne lo spettro di densità di energia ℰx(f).

1. Si calcola X(f)= ℱ{x(t)}=∫∞−  ∞x(t)e−j2πftdt e quindi ℰx(f)=|X(f)|2;
2. Anticipando un risultato del capitolo 9, è possibile calcolare ℛx(f)=∫∞−  ∞x(t)x(t+τ)dt, e quindi ℰx(f)= ℱ{ℛx(f)};
3. Notando che x(t)=y(t)⋅z(t) con y(t)=tri2T(t) e z(t)=rectT⎛⎝t−(T)/(2)⎞⎠, possiamo scrivere X(f)=Y(f)*Z(f), e quindi procedere come in 1);
4. Notiamo che la derivata [47] [47]La derivata di una discontinuità di prima specie è pari ad un impulso matematico, di area uguale all’altezza della discontinuità. Infatti l’integrale dell’impulso ∫t− ∞δ(θ)dθ è proprio un gradino. Questa considerazione consente di risolvere in modo semplice le trasformate di segnali in cui è presente una discontinuità. di x(t) vale g(t)=(d)/(dt)x(t)=δ(t)−(1)/(T)rectT⎛⎝t−(T)/(2)⎞⎠; questo ci permette di calcolare G(f) come G(f)= ℱ{g(t)}= 1 −sinc(fT). Otteniamo quindi X(f)=(G(f))/(j2πf), e procediamo come in 1).

### 3.9.2Sulla trasformata di una costante↓

Svolgiamo alcune considerazioni sul risultato mostrato a pag. 1↑, illustrando come l’impulso δ(.) permetta di rappresentare particolari situazioni. Consideriamo pertanto il segnale costante x(t)=A, che trattiamo come un segnale periodico con periodo T tendente ad ∞ [48] [48]In effetti, un segnale costante è un segnale periodico, con periodo T qualsiasi. , ed esprimiamo x(t) nei termini dei coefficienti di Fourier. L’integrale Xn=(1)/(T) ∫(T)/(2)−(T)/(2)A e−j2πnFtdt per T→ ∞ fornisce zero per tutti gli n tranne che per n= 0, e quindi si ottiene Xn=⎧⎨⎩ A con n= 0 0 con n≠ 0 .
In alternativa, pensiamo la costante come il limite a cui tende un’onda quadra con duty-cycle (τ)/(T) al tendere di τ a T: lo spettro di ampiezza è stato calcolato al Capitolo 2, pag. 1↑, presenta righe alle armoniche f=(n)/(T), mentre gli Xn con andamento sinc(nFτ) si azzerano alle frequenze f=(n)/(τ). Se τ→T, gli zeri annullano tutte le armoniche tranne X0, il cui valore A(τ)/(T) tende ora ad A.

Qualora invece si desideri calcolare la trasformata di Fourier anziché la serie, applicando la definizione X(f)=∫∞− ∞Ae−j2πftdt si ottiene X(f)= 0 ovunque, tranne che in f= 0 dove X(0)= ∞. Conviene allora ricorrere ad un’operazione di passaggio al limite, e pensare il segnale x(t)=A come il risultato dell’allargamento progressivo di un rectτ(t), cioè come x(t)=limτ→ ∞Arectτ(t). La figura a lato mostra come, considerando valori τi via via più grandi, si ottenga una trasformata Xτi(f)=Aτisinc(fτi) sempre più alta e stretta. |

Notiamo ora che l’energia di xτ(t)=Arectτ(t) vale ℰxτ=∫∞− ∞|xτ(t)|2dt=A2τ; per il teorema di Parseval, l’energia coincide nei dominii di tempo e frequenza, e quindi risulta
ℰxτ=∞⌠⌡− ∞|Xτ(f)|2df=A2τ
Al tendere di τ ad ∞, l’energia diviene infinita, mentre la potenza vale
Px= limτ→ ∞(ℰxτ)/(τ)= limτ→ ∞∞⌠⌡− ∞(|Xτ(f)|2)/(τ)df=A2
L’espressione limτ→ ∞(|Xτ(f)|2)/(τ) rappresenta dunque [49] [49]vedi anche § 9.3.1↓ a pag. 1↓ lo spettro di densità di potenza Px(f) della costante A, che finalmente scriviamo come Px(f)=A2δ(f), in cui δ(f) è la funzione impulso matematico introdotta in 3.4↑. In tal modo infatti, è facile verificare che risulta Px=∫∞− ∞A2δ(f)df=A2, e Px(f)=⎧⎨⎩ ∞ con f= 0 0 altrove . In altre parole, il formalismo dell’impulso matematico rende possibile trattare questo caso, dove la potenza (finita) è tutta concentrata in un unico punto (f= 0) dando luogo ad una densità infinita.

### 3.9.3Finestratura e stima spettrale↓

Applichiamo ora la teoria svolta al § 3.6.2↑ per speculare sul problema dell’analisi spettrale effettuata a partire da un solo segmento temporale del segnale.
Il calcolo dello spettro di y(t)=x(t)w(t) fornisce, come noto, il valore Y(f)=X(f)*W(f). Quindi, il vero spettro X(f) di x(t) non può essere conosciuto, se non tramite l’effetto della convoluzione con quello W(f) della funzione finestra w(t). Già a pagina 1↑ si è fatto notare come, se x(t)=Acos2πf0t e w(t)=rectT(t), si ottiene che W(f)=Tsinc(fT), pertanto
ℱ{x(t)⋅w(t)}=(AT)/(2)(sinc[(f−f0)T]+sinc[(f+f0)T])
che è tanto più diverso dalle due linee spettrali del coseno (vedi Fig. 3.13↑), quanto più è piccolo T.
Valutiamo ora gli effetti derivanti dall’uso di una funzione finestra diversa da quella rettangolare. Se ad esempio si sceglie di adottare una finestra triangolare di eguale durata T, il risultato mostrato a pag. 1↑ dalle (6.11↑) e (6.12↑) permette di ottenere
W(f)= ℱ{w(t)=triT(t)}=(T)/(2)⎡⎣sinc⎛⎝(fT)/(2)⎞⎠⎤⎦2
Come può essere verificato dalla figura a fianco, la finestra triangolare esibisce un andamento nel tempo più dolce rispetto al rect(t), e ciò si riflette in una maggiore concentrazione della sua trasformata alle frequenze più basse. Infatti, W(f) ha ora un lobo principale di estensione doppia (il primo zero si trova ad f=(2)/(T) anzichè ad (1)/(T) come per il rect), e le code laterali decrescono più rapidamente, andando a zero come (1)/(f2), mentre l’ampiezza risulta dimezzata.
L’andamento del lobo principale e delle code di W(f) si riflette nell’andamento della trasformata qualora il segnale originario contenga, ad esempio, più di una frequenza: per la linearità della trasformata, il risultato sarà la replica di W(f) centrata alle frequenze presenti.
La Fig. 3.18↓ mostra la trasformata di una finestra rettangolare di base τ= 2, 0.5, e 0.25 secondi, contenente la somma di due cosinusoidi di frequenza f0= 10 e f1= 15 Hz. Osserviamo come al diminuire del prodotto (f1−f0)⋅τ, le due trasformate W(f) interagiscono, fino ad esibire un andamento complessivo in cui non è più possibile distinguere la presenza di due diversi toni. Il fenomeno illustrato avviene tanto prima, quanto più il lobo principale di W(f) è esteso; pertanto, l’uso di una finestra triangolare peggiora la situazione. D’altro canto, se la frequenza dei due coseni è sufficentemente diversa, la rapidità di azzeramento delle code di una finestra triangolare consente di ottenere una stima spettrale più vicina alla reale composizione del segnale, evitando di mostrare artefatti conseguenza dalle lunghe code presenti nel caso di finestra rettangolare.
Figura 3.18 Trasformata di due toni a 10 e 15 Hz, con finestra temporale rectT e triT di durata 2, .5 e .25 secondi
Considerazioni analoghe a quelle ora svolte, possono essere intraprese per diverse scelte [50] [50]Nel tempo sono state definite un elevato numero di finestre temporali, ognuna migliore sotto certi aspetti, e peggiore sotto altri. Consultando Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Window_function, possiamo elencare le finestre di Hamming, Hann, Cosine, Lanczos, Bartlett, Gauss, Blackman, Kaiser, Nuttall, Bessel, Dolph-Chebyshev, Exponential, Tukey.... di funzione finestra, in dipendenza dal particolare obiettivo della stima spettrale.

### 3.9.4Trasformata di un gradino↓

Definiamo la funzione gradino come g(t)=⎧⎪⎨⎪⎩ 1 per t> 0 (1)/(2) per t= 0 0 per t< 0 che, fornendo ∫∞− ∞|g(t)|dt= ∞, non dovrebbe avere una trasformata. Come già visto per la costante, il calcolo può essere condotto a termine come limite a cui tende la trasformata di una diversa funzione, il cui limite tende al gradino. Scegliamo quindi gα(t)=e−αt per t> 0, per la quale risulta limα→ 0gα(t)=g(t), e troviamo
Gα(f)=∞⌠⌡0e−αte−j2πft=(e−(α+j2πf)t)/(−(α+j2πf))||∞0=(1)/(α+j2πf)=(α−j2πf)/(α2+(2πf)2)
Si può mostrare che
limα→ 0ℜ{Gα(f)}= limα→ 0(α)/(α2+(2πf)2)=(1)/(2)δ(f)
mentre risulta
limα→ 0ℑ{Gα(f)}= limα→ 0(−j2πf)/(α2+(2πf)2)=(1)/(j2πf)
ottenendo [51] [51]In realtà per f= 0 si ottiene che ℑ{Gα(f)}= 0, e lo stesso vale per G(f), ossia ℑ{G(f= 0)}= 0. in definitiva
G(f)= ℱ{g(t)}=(1)/(2)⎛⎝δ(f)−(j)/(πf)⎞⎠

### 3.9.5Sintesi delle proprietà della trasformata di Fourier

Proprietà | z(t) | Z(f)= ℱ{z(t)}
Linearità | ax(t)+by(t) | aX(f)+bY(f)
Coniugato | x*(t) | X*(−f)
Cambiamento di scala | x(at) | (1)/(a)X⎛⎝(f)/(a)⎞⎠
Ritardo | x(t−T) | X(f)e−j2πfT
Traslazione in frequenza | x(t)ej2πf0t | X(f−f0)
Modulazione di ampiezza | x(t)cos2πft | (1)/(2)X(f−f0)+(1)/(2)X(f+f0)
Prodotto in frequenza | ∫∞− ∞x(τ) y(t−τ) dτ | X(f)Y(f)
Prodotto nel tempo | x(t)y(t) | ∫∞− ∞X(σ) Y(f−σ) dσ
Dualità | X(t) | x(−f)
Simmetria coniugata | x(t) reale | X(f)=X*(−f)
Derivazione | (d)/(dt)x(t) | j2πf⋅X(f)
Integrazione | ∫t− ∞x(θ)dθ | (X(f))/(j2πf)

### 3.9.6 Trasformate di segnali

x(t) | X(f) | P  ⁄ E | P(f)⁄ ℰ(f) | Pot/En
cos(2πf0t+φ) | (1)/(2)ejφδ(f−f0)+ | (1)/(2) | (1)/(4)δ(f−f0)+ | P
| (1)/(2)e−jφδ(f+f0) |  | (1)/(4)δ(f−f0) |
A | A⋅δ(f) | A2 | A2⋅δ(f) | P
A⋅rectτ(t) | A⋅τsinc(fτ) | A2⋅τ | A2⋅τ2sinc2(fτ) | E
A⋅tri2τ(t) | A⋅τsinc2(fτ) | A2⋅(2)/(3)⋅τ | A2⋅τ2sinc4(fτ) | E
e−βt,t≥ 0 | (1)/(β+j2πf) |  | (1)/(β2+ 4(πf)2) | E
e−β|t| | (2β)/(β2+ 4(πf)2) |  | (4β2)/(β4+ 8(πβf)2+ 16(πf)4) | E
e−α(βt)2 | (1)/(β)e−α⎛⎝(f)/(β)⎞⎠2 |  | (1)/(β2)e− 2α⎛⎝(f)/(β)⎞⎠2 | E

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