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## 10.2Rappresentazione dei segnali modulati ↓

Questa sezione è dedicata alla teoria che permette di scrivere un qualunque segnale x(t) nella forma
(17.43) x(t)=xc(t)cos2πf0t−xs(t)sin2πf0t
che assume una particolare rilevanza nel caso in cui x(t) sia un segnale modulato attorno ad f0, perchè allora xc(t) e xs(t) sono segnali limitati in banda con banda contigua all’origine, e le alterazioni prodotte sul segnale modulato, compresa l’estrazione del messaggio modulante m(t), possono essere descritte mediante operazioni condotte su xc(t) ed xs(t).

### 10.2.1Inviluppo complesso↓

Introduciamo l’argomento ricordando (vedi § 2.1.3↑) come un segnale x(t)=acos(ω0t+φ) può essere rappresentato per mezzo del fasore x=aejφ, mediante la relazione x(t)= ℜ{xejω0t}. Estendiamo ora il concetto, definendo l’inviluppo complesso x(t) come un fasore per il quale il modulo a e la fase φ siano funzioni del tempo
(17.44) x(t)=a(t)ejφ(t)
rappresentato nella figura a fianco assieme ad una sua potenziale traiettoria temporale. Ad x(t) possiamo quindi associare un segnale reale
(17.45) x(t)= ℜ{x(t)ejω0t}=a(t)cos(ω0t+φ(t))
corrispondente ad imprimere al piano dell’inviluppo complesso una rotazione antioraria a velocità angolare ω0. D’altra parte, indicando con xc(t)=a(t)cosφ(t) ed xs(t)=a(t)sinφ(t) la parte reale ed immaginaria dell’inviluppo complesso x(t) [469] [469]xc(t) e xs(t) si ottengono a partire dalla rappresentazione polare x(t)=a(t)ejφ(t) di x(t), semplicemente sviluppando la stessa come x(t)=a(t)ejφ(t)=a(t)cosφ(t)+ja(t)sinφ(t)=xc(t)+jxs(t), la (17.45↑) è equivalente alla (17.43↑), dato che [470] [470]Si faccia uso della relazione cos(α+β)= cosαcosβ−  sinαsinβ.
x(t) = ℜ{x(t)ejω0t}=a(t)cos(ω0t+φ(t))= = a(t)[cosω0tcosφ(t)−  sinω0tsinφ(t)] = xc(t)cos2πf0t−xs(t)sin2πf0t

### 10.2.2Modulazione↓ di ampiezza e/o angolare

L’inviluppo complesso è un potente strumento che permette di descrivere il processo di modulazione in modo semplice ed omogeneo. Ad esempio, il caso (già noto) di traslazione in frequenza del segnale a(t) mediante moltiplicazione per un coseno, corrisponde ad un inviluppo complesso x(t)=a(t) a fase nulla: ad esso si dà il nome di modulazione di ampiezza [471] [471]Indicata anche come am (amplitude modulation). per (l’evidente) ragione che l’ampiezza del coseno varia in funzione del segnale a(t); la frequenza f0=(ω0)/(2π) prende il nome di frequenza portante. Se al contrario consideriamo un inviluppo complesso con modulo costante x(t)=ejφ(t), l’andamento della fase φ(t) imprime alla portante non modulata un diverso tipo di modulazione, detto modulazione di fase [472] [472]Indicata anche come pm (phase modulation). o angolare in quanto il segnale modulante (φ(t) in questo caso) altera l’argomento del coseno.
Prima di proseguire, riflettiamo sul risultato mostrato alla figura seguente, in cui si considera un segnale modulante m(t) prima costante, poi a rampa lineare, e quindi decrescente. Ponendo x(t)=m(t) si ottiene una portante modulata in ampiezza, mentre con x(t)=ejm(t) la portante modulata angolarmente x(t)= cos(2πf0t+m(t)) presenta una ampiezza costante, ed una frequenza che (nell’intervallo in cui m(t) aumenta
linearmente) cambia in un valore più elevato, per poi diminuire. In pratica, se m(t)=αt, allora l’argomento del coseno diviene 2πf0t+αt= 2π⎛⎝f0+(α)/(2π)⎞⎠t.
Per meglio descrivere il caso di modulazione angolare, definiamo una fase istantanea
ψ(t)= 2πf0t+φ(t)
ed una frequenza istantanea
fi(t)=(1)/(2π)(d)/(dt)ψ(t)=f0+(1)/(2π)(d)/(dt)φ(t)
In questi termini, la modulazione angolare viene distinta in modulazione di fase propriamente detta quando
φ(t)=kφm(t)
mentre viene detta modulazione di frequenza quando
φ(t)= 2πkft⌠⌡− ∞m(τ)dτ
dato che in questo caso è la frequenza istantanea a dipendere direttamente dal segnale modulante: fi(t)=f0+kfm(t).

### 10.2.3Componenti analogiche di bassa frequenza↓

Abbiamo mostrato come un generico segnale modulato x(t) possa essere rappresentato per mezzo di un diverso segnale chiamato inviluppo complesso x(t)=a(t)ejφ(t), le cui parti reale ed immaginaria xc(t)=a(t)cosφ(t) ed xs(t)=a(t)sinφ(t), che prendono il nome di componenti analogiche di bassa frequenza di x(t) per un motivo presto chiaro, permettono di ri-scrivere x(t) come x(t)=xc(t)cos2πf0t−xs(t)sin2πf0t.
Mentre il risultato ottenuto è valido per un qualunque segnale, esso riveste una importanza particolare nel caso in cui x(t) sia di tipo limitato in banda con banda 2W centrata attorno ad f0, con W<f0 (fig. a lato): in tal caso infatti, sia xc(t) che xs(t) risultano limitate in banda tra ±W e contigue all’origine. Che sia vero anche il viceversa, può essere verificato in modo intuitivo, partendo da xc(t) e xs(t) limitate in banda, e moltiplicandole per coseno e seno, come mostrato alla figura seguente.
L’ultima osservazione ci mostra una via per sintetizzare un segnale modulato in ampiezza, od angolarmente, od entrambe le cose, mediante il semplice schema circuitale disegnato, che si basa sulla conoscenza delle componenti analogiche di bassa frequenza, che a loro volta sono ottenibili a partire da a(t) e φ(t). Restano comunque (per ora) aperti i seguenti problemi:

- noto x(t), come ottenere xc(t) ed xs(t) ?
- noto lo spettro di densità di potenza Px(f), che dire di Px(f) ?

Mentre la prima domanda può trovare una risposta di tipo operativo nella demodulazione omodina (vedi § 10.5↓), dal punto di vista formale occorre prima definire il segnale analitico (vedi § 10.2.5↓), e prima ancora, definire il...

### 10.2.4Filtro di Hilbert↓

Il filtro di Hilbert è caratterizzato da una risposta in frequenza descritta come
(17.46) Hℋ(f)=  −j⋅sgn(f)
Filtro di Hilbert
ed il cui andamento è rappresentato nella figura a lato, che permette di evidenziare l’andamento costante del modulo |Hℋ(f)|= 1, e quello discontinuo della fase ∠Hℋ(f), che passa da (π)/(2) per f< 0 a −(π)/(2) per f> 0.
Il risultato del passaggio di un segnale x(t) attraverso [473] [473]L’antitrasformata di Fourier di Hℋ(f) è calcolata al § 10.7.1↓, e fornisce l’espressione della risposta impulsiva del filtro di Hilbert hℋ(t)= ℱ− 1{Hℋ(f)}=(1)/(πt), permettendo di scrivere la trasformata di Hilbert nella forma di un integrale di convoluzione: ^x(t)= ℋ{x(t)}=(1)/(π)∫∞− ∞(x(τ))/(t−τ)dτ=x(t)*(1)/(πt). La realizzazione di un filtro di Hilbert con una risposta in frequenza esattamente descritta dalla (17.46↑) può risultare molto ardua, a causa della brusca transizione della fase in corrispondenza di f= 0. In realtà, il filtro di Hilbert si usa principalmente per segnali modulati, che non presentano componenti spettrali a frequenze prossime allo zero.
Pertanto, lo stesso scopo può essere svolto da un diverso filtro Hℋ(f), con andamento più dolce della fase, e che presenti gli stessi valori nominali del filtro di Hilbert solamente per le frequenze comprese nella banda di segnale.
il filtro di Hilbert è un un secondo segnale, identificato come la trasformata di Hilbert del primo, indicato come ^x(t)= ℋ{x(t)}, ed il cui andamento in frequenza ha espressione
^X(f)= ℱ{^x(t)}=Hℋ(f)X(f)=  −j⋅sgn(f)⋅X(f)
ossia differisce da X(f) per uno sfasamento di ∓(π)/(2) per frequenze rispettivamente positive o negative.

#### 10.2.4.1Estrazione delle componenti analogiche di bassa frequenza

Senza soffermarci ora sulle proprietà [474] [474]Accenniamo brevemente alle principali proprietà della trasformata di Hilbert↓:

- \setlength\itemsep-0.5\parsepℋ{x(t)=x0}= 0: una costante ha trasformata di Hilbert nulla, e la trasformata di Hilbert è definita a meno di una costante. Il valore medio di x(t) non si ripercuote su ^x(t);
- ℋ{ℋ{x(t)}}=^^x(t)=  −x(t): infatti una rotazione di fase pari a π radianti corrisponde ad una inversione di segno;
- ∫∞− ∞x(t)^x(t)dt= 0: ortogonalità tra un segnale e la sua trasformata di Hilbert;
- ℋ{x(t)*h(t)}=^x(t)*h(t)=x(t)*^h(t): la trasformata di Hilbert di una convoluzione (cioè dell’uscita di un filtro) è la convoluzione tra un operando trasformato e l’altro no.

della trasformata di Hilbert, introduciamo direttamente il risultato [475] [475]Il risultato è valido solamente se xc(t) ed xs(t) sono limitate in banda ±W con W<f0, come mostrato in appendice 10.7.2↓.
⎧⎨⎩ ℋ{xc(t)cosω0t}=xc(t)sinω0t ℋ{xs(t)sinω0t}=  −xs(t)cosω0t
che, assieme all’espressione (17.43↑) di x(t) in funzione di xc(t) ed xs(t), permette di esprimere la trasformata di Hilbert di un segnale modulato, e quindi di impostare un sistema di due equazioni nelle due incognite xc(t) e xs(t):
⎧⎨⎩ x(t)=xc(t)cosω0t−xs(t)sinω0t ^x(t)=xc(t)sinω0t+xs(t)cosω0t
Il sistema può essere risolto [476] [476]Potremmo notare come la matrice dei coefficienti costituisca una rotazione di assi (vedi as es. a pag. 1↓), rotazione che “ruota” letteralmente a velocità angolare ω0. Tale rotazione stabilisce che le coppie di segnali (xc(t), xs(t)) e (x(t), ^x(t)) rappresentano comunque l’evoluzione dell’inviluppo complesso x(t)=a(t)ejφ(t): mentre xc(t) e xs(t) lo rappresentano su due assi ad esso solidali, x(t) e ^x(t) sono definiti su assi ruotanti che tengono conto della frequenza portante., permettendo in definitiva di esprimere le componenti analogiche di bassa frequenza in termini di x(t) e di ^x(t):
⎧⎨⎩ xc(t)=x(t)cosω0t+^x(t)sinω0t xs(t)=^x(t)cosω0t−x(t)sinω0t
Pertanto, le componenti analogiche di bassa frequenza possono essere estratte direttamente da x(t), utilizzando un filtro di Hilbert per ottenere ^x(t), e combinando i due segnali per mezzo di oscillatori in quadratura, in accordo allo schema circuitale mostrato nella figura a fianco.
Infine, xc(t) e xs(t) permettono di risalire alle modulazioni di ampiezza ed angolare:
⎧⎨⎩ a(t)=|x(t)|=√(x2c(t)+x2s(t)) φ(t)= ∠x(t)= arctan(xs(t))/(xc(t))
Prima di procedere a calcolare Px(f), occorre introdurre l’ulteriore concetto di segnale analitico.

### 10.2.5Segnale analitico↓

Il segnale analitico associato ad x(t) corrisponde al suo contenuto a frequenze positive x+(t), introdotto al § 10.1.5↑; si può mostrare che x+(t) è esprimibile nei termini di x(t) e ^x(t), secondo l’espressione [477] [477] L’eguaglianza si dimostra valutandola nel domino nella frequenza, ricordando la definizione di filtro di Hilbert, in quanto risulta:
X+(f)=(1)/(2)(X(f)+j^X(f))=⎧⎨⎩ (1)/(2){X(f)+j[−jX(f)]}=X(f) con f> 0 (1)/(2){X(f)+j[jX(f)]}= 0 con f< 0
infatti, a frequenze negative il prodotto j⋅j=  − 1 costituisce uno sfasamento di π radianti per tutte le frequenze, provocando l’elisione tra X(f) e -X(f) per tutti i valori f< 0.
:
(17.47) x+(t)=(1)/(2)(x(t)+j^x(t))
Molto utile è anche la relazione che lega il segnale analitico all’inviluppo complesso:
(17.48) x+(t)=(1)/(2)x(t)ejω0t
che si ottiene tenendo conto dalla (17.47↑), come illustrato alla nota [478] [478]Sviluppando il secondo membro di (17.48↑) si ottiene:
(1)/(2)x(t)ejω0t = (1)/(2)(xc(t)+jxs(t))(cosω0t+jsinω0t)=(1)/(2)[(xc(t)cosω0t−xs(t)sinω0t)]+ + j(xc(t)sinω0t+xs(t)cosω0t)]=(1)/(2)(x(t)+j^x(t))
che corrisponde al secondo membro di (17.47↑), e quindi a x+(t).. Effettivamente, l’ultima relazione rappresenta il contenuto a frequenze positive di x(t), a patto che x(t) sia di banda base con frequenza massima W<f0; in tal caso infatti, trasformando la (17.48↑), risulta
X+(f)= ℱ{x+(t)}=(1)/(2)X(f−f0)
che giace completamente nel semipiano f> 0.
Alternativamente alla (17.47↑), si può ottenere x+(t) senza utilizzare ^x(t), pensandolo come il risultato del passaggio di x(t) attraverso un filtro Hfp(f) [479] [479]Il pedice fp stà per frequenze positive. (vedi fig. 10.17↓)
Figura 10.17 Derivazione di x+(t) mediante filtraggio e densità spettrale di x(t)
con funzione di trasferimento a gradino unitario:
x+(t)=x(t)*hfp(t)

### 10.2.6Densità spettrale di segnali passa-banda↓↓

Invertendo la (17.48↑) otteniamo che x(t)= 2x+(t)e−jω0t, la cui trasformata ci consente di valutare l’espressione di X(f):
X(f)= 2X+(f+f0)
Quest’ultima espressione consente di osservare, con riferimento alla fig. 10.17↑, che in linea di principio X(f) non gode di simmetria rispetto allo zero, come peraltro prevedibile per x(t) complesso. Ricordando ora che ℰx(f)=|X(f)|2, otteniamo
ℰx(f)= 4|X+(f+f0)|2=  4ℰx+(f+f0)
Un risultato del tutto simile può essere ottenuto [480] [480]La (17.49↓) può essere motivata seguendo le stesse linee guida indicate alla nota 9.2.1↑ a pag. 1↑. per segnali di potenza, ovvero
(17.49) Px(f)= 4Px+(f+f0)
Pertanto, la densità di potenza di x(t) si ottiene da quella a frequenze positive di x(t), traslata nell’origine e moltiplicata per 4. Infine, la discussione riportata al § 10.6↓ mostra come un risultato del tutto simile sia valido anche nel caso in cui x(t) è membro di un processo ergodico.
Esempi

- Sia dato il segnale x(t) la cui trasformata X(f) è riportata nel lato sinistro in alto di Fig. 10.18↓. Quali sono le sue componenti analogiche di bassa frequenza, espresse nel dominio della frequenza?
- Notiamo che |X+(f)|=(k)/(2)rect2B(f−f0), e dunque
  |X(f)|= 2|X+(f+f0)|=krect2B(f)
  Per la fase si opera una traslazione analoga, ma senza moltiplicare per il fattore 2 che, in quanto fattore, incide solo sul modulo.
  a) b)
  Figura 10.18 Densità spettrali utilizzate negli esempi
  Osserviamo ora che X(f) ha modulo pari e fase dispari, e dunque la sua antitrasformata è un segnale reale: x(t)=xc(t)+jxs(t)=xc(t), ovvero la componente in quadratura xs(t) è nulla. Pertanto, risulta [481] [481]Approfittiamo dell’occasione per notare che, pur potendo scrivere X(f)=Xc(f)+jXs(f), non è assolutamente lecito dire che ℜ{X(f)}=Xc(f) e ℑ{X(f)}=Xs(f); infatti sia Xc(f) che Xs(f) possono a loro volta essere complessi (mentre xc(t) e xs(t) sono necessariamente reali). ⎧⎨⎩ Xc(f)=krect2B(f)e−j2π(A)/(2πB)f Xs(f)= 0 , ed effettuando l’antitrasformata di Xc(f) si ottiene
  xc(t)= 2kBsinc⎡⎣2B⎛⎝t−(A)/(2πB)⎞⎠⎤⎦
  in cui la traslazione nel tempo è dovuta alla fase lineare presente in X(f).
- Lo stesso problema precedente, ma applicato al segnale b), la cui trasformata X(f) è mostrata al lato destro in alto di Fig. 10.18↑.
- Eseguendo di nuovo le operazioni di traslazione si ottiene l’inviluppo complesso riportato in basso. Questa volta la fase di X(f) non è dispari, e dunque non si verificano le condizioni di simmetria coniugata, quindi x(t) è complesso. Si ha: x(t)=kB⎛⎝(sinπBt)/(πBt)⎞⎠2ejφ e dunque
  ⎧⎨⎩ xc(t)=kB⎛⎝(sinπBt)/(πBt)⎞⎠2cosφ xs(t)=kB⎛⎝(sinπBt)/(πBt)⎞⎠2sinφ ⇒⎧⎨⎩ Xc(f)=k⎛⎝1  −(|f|)/(B)⎞⎠cosφ Xs(f)=k⎛⎝1  −(|f|)/(B)⎞⎠sinφ
  con |f|<B.

### 10.2.7Schema delle trasformazioni

La figura che segue riassume le relazioni esistenti tra le grandezze x(t), x̂(t), x(t), x+(t), xc(t) e xs(t).
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