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## 14.2Bipoli

Passivi
Non contengono generatori, e sono caratterizzati dalle relazioni esistenti tra la tensione ai loro capi e la corrente che vi scorre (entrante). Il legame tra le due grandezze è una convoluzione
v(t)=i(t)*z(t)
in cui si suppone i(t) la causa e v(t) l’effetto. La trasformata di Fourier fornisce V(f)=I(f)⋅Z(f) in cui Z(f) prende il nome di impedenza, e può scriversi nei termini di parte reale ed immaginaria:
Z(f)=R(f)+jX(f)
in cui R(f) (resistenza) è una funzione pari di f (e sempre positiva), mentre X(f) (reattanza) è dispari: pertanto, Z(f)=Z*(−f) e quindi z(t) è reale. Allo stesso tempo, è definita l’ammettenza
Y(f)=(1)/(Z(f))=(R(f)−jX(f))/(|Z(f)|2)
e la corrispondente y(t)= ℱ− 1{Y(f)}, che permette di scrivere i(t)=v(t)*y(t).
Attivi
Sono bipoli al cui interno è presente un generatore. Per il teorema di Thevenin, [612] [612]Vedi ad es. `http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Thévenin` qualunque circuito può essere ridotto ad un generatore di tensione con in serie una impedenza (vedi figura), in cui Vg(f) rappresenta la tensione a vuoto, ossia quando I(f)= 0 (considerata uscente nei bipoli attivi).
Esempio
Una antenna trasmittente è schematizzabile come un bipolo passivo, di impedenza pari all’impedenza di ingresso dell’antenna, che assorbe la potenza erogata dal trasmettitore. Una antenna ricevente è schematizzabile come un generatore di tensione con in serie la propria impedenza di uscita, e trasferisce allo stadio di ingresso del ricevitore la potenza ricevuta per via elettromagnetica.

### 14.2.1Potenza assorbita da un bipolo↓

Se ad un bipolo passivo di impedenza Z(f) è applicato un segnale di tensione con spettro di densità di potenza Pv(f), la potenza dissipata sul bipolo, indicata come Wz(f) per distinguerla da quella di segnale, ha densità
(18.35) Wz(f)=Pv(f)⋅ℜ{Y(f)}=Pv(f)(R(f))/(|Z(f)|2) ⎡⎣(V2)/(Ω⋅Hz)⎤⎦=⎡⎣(Watt)/(Hz)⎤⎦
La dimostrazione della relazione illustrata è fornita in appendice 14.8.2↓. La dipendenza di Y(f) dalla frequenza svolge pertanto una azione filtrante, e la potenza totale assorbita (o dissipata) su Z(f) vale
Wz=∞⌠⌡− ∞Pv(f)(R(f))/(|Z(f)|2)df [Watt]

### 14.2.2Connessione tra generatore e carico

La tensione ai capi del carico è valutabile applicando la regola del partitore [613] [613]`http://it.wikipedia.org/wiki/Partitore_di_tensione`:
Vc(f)=Vg(f)(Zc(f))/(Zc(f)+Zg(f))
ossia Vc(f)=Vg(f)H(f) con H(f)=(Zc(f))/(Zc(f)+Zg(f)). La potenza di segnale ai capi del carico vale Pvc(f)=Pvg(f)|H(f)|2, e la potenza dissipata su Zc(f) risulta
(18.36) Wzc(f) = Pvc(f)(Rc(f))/(|Zc(f)|2)=Pvg(f)||(Zc(f))/(Zc(f)+Zg(f))||2(Rc(f))/(|Zc(f)|2)= = Pvg(f)(Rc(f))/(|Zc(f)+Zg(f)|2)
Osserviamo dunque che la potenza dissipata dal carico dipende da Zc(f), che compare sia a denominatore, che a numeratore con Rc(f). Ci chiediamo allora quale sia il valore di Zc che realizza il massimo trasferimento di potenza tra generatore e carico, sfruttando così appieno la potenzialità del generatore detta potenza disponibile.

#### 14.2.2.1Potenza disponibile↓ e massimo trasferimento di potenza↓

La Wzc(f) espressa da (18.36↑) risulta massimizzata qualora il suo denominatore viene reso minimo, e in appendice 14.8.3↓ si mostra che ciò avviene, per qualunque valore di Rc(f), se si pone Xc=  −Xg. Pertanto, per Zg(f) fissato, occorre porre anche Rc=Rg, ottenendo così il risultato cercato:
(18.37) se Zc(f)=Z*g(f) allora Wzc(f)=  maxZc(f){Wzc(f)}=(Pvg(f))/(4Rg(f))=Wdg(f)
Il valore Wdg(f)=(Pvg(f))/(4Rg(f)) prende il nome di spettro di potenza disponibile del generatore, dipende solo dai suoi parametri Pvg(f) e Rg(f), e rappresenta la massima potenza ceduta ad un carico che è adattato per il massimo trasferimento di potenza [614] [614]E’ bene notare esplicitamente che questo massimo è valido solo nel caso in cui non sia possibile modificare la Zg(f). Altrimenti, per un qualunque valore fissato di Zc(f), il massimo di Wzc(f) si ottiene quando Zg(f)→ 0..
La potenza disponibile Wdg(f) è pertanto una grandezza caratteristica del generatore; la potenza effettivamente ceduta ad un carico generico Zc(f)≠Z*g(f), risulta inferiore a Wdg(f) di una quantità
α(f)=(4Rg(f)Rc(f))/(|Zg(f)+Zc(f)|2)
(vedi appendice 14.8.4↓) e quindi in generale si ha Wzc(f)=α(f)Wdg(f).

#### 14.2.2.2Assenza di distorsioni lineari↓

Abbiamo già osservato come la tensione ai capi del carico abbia valore Vc(f)=Vg(f)⋅(Zc(f))/(Zc(f)+Zg(f))=Vg(f)H(f). Ci chiediamo ora quali condizioni debbano sussistere affinché H(f) si comporti come un canale perfetto, ovvero risulti |H(f)|=cost e arg{H(f)}= 2πfτ: tali condizioni sono anche indicate come assenza di distorsioni lineari. Il risultato cercato si ottiene qualora si ponga
Zc(f)=αZg(f) con α reale
infatti in tal caso risulta H(f)=(αZg(f))/((1 +α)Zg(f))=(α)/(1 +α), ossia H(f) costante. La condizione Zc(f)=αZg(f) prende il nome di adattamento di impedenza, a volte ristretta al caso in cui α= 1.

#### 14.2.2.3 Zg(f) reale

Notiamo che massimo trasferimento di potenza ed assenza di distorsioni lineari possono sussistere congiuntamente, a patto che Zg(f)=Rg, ovvero che sia il generatore che il carico siano caratterizzati da una impedenza reale.
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