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## 7.4Trasformazione↓ di v.a. e cambio di variabili

Quando più v.a. si combinano con leggi diverse dalla somma, il risultato del § 7.6.1↓ non è più sufficiente a fornire una espressione per la d.d.p. risultante. Illustriamo allora il procedimento analitico generale, necessario ad ottenere una espressione per la d.d.p. di generiche funzioni di v.a.

### 7.4.1Caso unidimensionale

Consideriamo una prima v.a. X, ed una seconda Y da essa derivata per mezzo della relazione y=f(x), che si applica alle determinazioni di x di X. La caratterizzazione statistica di Y in termini della sua d.d.p. pY(y) può ottenersi a partire da quella di X, nei termini della funzione di distribuzione di Y, come:
(17.5) FY(y)=Pr{Y≤y}=Pr{X≤f− 1(x)}
e calcolando poi pY(y)=(dFY(y))/(dy).
L’espressione (17.5↑) può dare luogo a risultati più o meno usabili a seconda della natura della trasformazione f(x): in fig. 7.12↓a) troviamo un esempio in cui i valori y≤ỹ hanno origine da due diversi intervalli di X; in corrispondenza di questi, l’area sottesa dalla pX(x) individua la probabilità cercata.
Figura 7.12  Trasformazioni tra variabili aleatorie
Nel caso in cui f(x) sia monotona crescente come in fig. 7.12↑ b), per ogni valore di ỹ esiste un solo intervallo di X̃⊂X tale che y=f(x)|x∈X̃≤ỹ, e la (17.5↑) può essere riscritta come
FY(y)=Pr{X≤f− 1(x)}=FX(x=f− 1(y))
che, derivata, permette di giungere alla espressione di calcolo della pY(y):
(17.6) pY(y)=(dFY(y))/(dy)=(dFX(x))/(dx)||x=f− 1(y)(df− 1(y))/(dy)=pX(f− 1(y))(df− 1(y))/(dy)
La (17.6↑) può essere interpretata a parole, osservando che la nuova v.a. y=f(x) possiede una d.d.p. pari a quella di x, calcolata con argomento pari alla funzione inversa x=f− 1(y), moltiplicata per la derivata di f− 1(y). La d.d.p. risultante da una trasformazione di v.a. si presta inoltre ad un processo di costruzione grafica, come esemplificato nella fig. 7.12↑ c).
Esempio
Determinare pY(y), qualora risulti y=f(x)=⎧⎨⎩ 0 con x≤ 0 x2 con x> 0 , nel caso in cui pX(x)=(1)/(Δ)rectΔ(x).
Osserviamo innanzitutto che tutte le determinazioni x≤ 0 danno luogo ad un unico valore y= 0; pertanto si ottiene pY(0)=(1)/(2)δ(y). Per 0  <y≤(Δ2)/(4) (corrispondente ad 0 <x≤(Δ)/(2)) si applica la teoria svolta, ottenendo FY(y)=Pr{x≤√(y)}=FX(√(y)), e dunque
pY(y)=(dFY(y))/(dy)=(dFX(x))/(dx)||x=√(y)(d(x=√(y)))/(dy)=(1)/(Δ)(1)/(2√(y))
in cui l’ultima eguaglianza tiene conto che (dFX(x))/(dx)=pX(x), che vale (1)/(Δ) per tutti gli x nell’intervallo in considerazione. L’ultima curva mostra la d.d.p risultante per questo esempio.

### 7.4.2Caso multidimensionale

Descriviamo questo caso per mezzo del vettore di v.a. X=(x1,x2,…,xn), a cui è associata una d.d.p. congiunta pX(x1,x2,…,xn), e di un secondo vettore aleatorio Y dipendente dal primo mediante la trasformazione Y=G(X), ovvero
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ y1=g1(x1,x2,…,xn) y2=g2(x1,x2,…,xn) ⋮ yn=gn(x1,x2,…,xn)
Se esiste la relazione inversa X=G− 1(Y), composta dall’insieme di funzioni xi=g− 1i(y1,y2,…,yn) per i= 1, 2, ⋯,n, allora per la d.d.p di Y sussiste [262] [262]
La dimostrazione segue le medesime linee guida del caso precedente, ed è impostata sulla base della considerazione che la funzione di distribuzione di Y, calcolata in un generico punto ỹ=(ỹ1,ỹ2,…,ỹn), rappresenta la probabilità che Y appartenga alla regione (dominio) delimitata dal punto ỹ, indicata con Dỹ:
FY(ỹ)  =Pr{Y≤ỹ}=Pr{Y∈Dỹ}
Alla stessa regione Dỹ, ne corrisponde una diversa Dx̃ nello spazio X, tale che per ogni valore x◇∈Dx̃ risulti y◇=G(x◇)  ∈Dỹ. Con queste posizioni, la FY(ỹ)  =Pr{Y∈Dỹ} si calcola a partire dalla d.d.p. pX(x), integrata sul dominio Dx̃:
FY(ỹ)  =Pr{X∈Dx̃}= ⌠⌡Dx̃pX(x)dx
Infine, osservando che
pY(y1,y2,…,yn)=(∂nFY(y1,y2,…,yn))/(∂y1∂y2⋯∂yn)
si ottiene il risultato mostrato.
un risultato formalmente molto simile a quello valido nel caso monodimensionale, e cioè
pY(y1,y2,…,yn)=pX(X=G− 1(Y))⋅|J(X⁄Y)|
in cui pX(x=G− 1(y)) è la d.d.p. di X calcolata con argomento dipendente da Y, e |J(X⁄Y)| è lo jacobiano↓ della trasformazione inversa G− 1, ossia il determinante della matrice costituita da tutte le sue derivate parziali:
J(X⁄Y)=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣ (∂x1)/(∂y1) (∂x1)/(∂y2) ⋯ (∂x1)/(∂yn) (∂x2)/(∂y1) ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ (∂xn)/(∂y1) ⋯ ⋯ (∂xn)/(∂yn) ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Variabile aleatoria di Rayleigh↓↓
Come applicazione della teoria sopra illustrata, consideriamo la relazione che lega il modulo ρ e la fase φ di un numero complesso z=x+jy, alle sue parti reale ed immaginaria, assieme alle corrispondenti funzioni inverse:
(17.7) ⎧⎨⎩ ρ=√(x2+y2) φ= arctan(y)/(x) ⎧⎨⎩ x=ρcosφ y=ρsinφ
Nel caso in cui x ed y siano due v.a. gaussiane indipendenti, a media nulla e uguale varianza σ2, la d.d.p. congiunta di (x,y) si ottiene come prodotto delle d.d.p. marginali, e vale
(17.8) pX,Y(x,y)=(1)/(2πσ2)exp⎛⎝−(x2+y2)/(2σ2)⎞⎠
La pP, Φ(ρ,φ) si ottiene come descritto, valutando [263] [263]
Il calcolo dei due termini si esegue come
pX,Y(x(ρ,φ),y(ρ,φ))=(1)/(2πσ2)exp⎛⎝−(ρ2(cos2φ+ sin2φ))/(2σ2)⎞⎠=(1)/(2πσ2)exp⎛⎝−(ρ2)/(2σ2)⎞⎠
|J(x,y⁄ρ,φ)|=|||⎡⎢⎣ (∂x)/(∂ρ) (∂x)/(∂φ) (∂y)/(∂ρ) (∂y)/(∂φ) ⎤⎥⎦|||=|||⎡⎢⎣ cosφ −ρsinφ sinφ ρcosφ ⎤⎥⎦|||=ρ(cos2φ+  sin2φ)=ρ
i due termini pX,Y(x(ρ,φ),y(ρ,φ)) e |J(x,y⁄ρ,φ)|, ed ottenendo quindi
pP, Φ(ρ,φ)=(ρ)/(2πσ2)exp⎛⎝−(ρ2)/(2σ2)⎞⎠ con ⎧⎨⎩ 0 <ρ< ∞ −π <φ< π
Le d.d.p. marginali pP(ρ) e pΦ(φ) si ottengono saturando [264] [264]Svolgiamo il calcolo solo per la prima relazione:
pP(ρ)=π⌠⌡−πpP, Φ(ρ,φ)dφ=(ρ)/(2πσ2)exp⎛⎝−(ρ2)/(2σ2)⎞⎠⋅π⌠⌡−πdφ=(ρ)/(σ2)exp⎛⎝−(ρ2)/(2σ2)⎞⎠
la d.d.p. congiunta rispetto all’altra variabile, ricavando
(17.9) pP(ρ)=(ρ)/(σ2)exp⎛⎝−(ρ2)/(2σ2)⎞⎠ con ρ≥ 0;pΦ(φ)=(1)/(2π) con−π<φ≤π
L’espressione di pP(ρ) in (17.9↑) prende nome di d.d.p. di Rayleigh, graficata appresso, mentre il valor medio e la varianza della v.a. ρ valgono rispettivamente
mP=σ√((π)/(2)) e σ2P=σ2⎛⎝2  −(π)/(2)⎞⎠
E’ inoltre possibile mostrare che per essa vale la proprietà
(17.10) Pr{ρ>γ}=∞⌠⌡γpP(ρ)dρ= exp⎛⎝−(γ2)/(2σ2)⎞⎠
Quest’ultimo valore può rappresentare la probabilità di mancare un bersaglio per una distanza superiore a γ, nell’ipotesi che gli errori di puntamento orizzontale e verticale siano entrambi gaussiani, indipendenti, a media nulla ed uguale varianza.
Variabile aleatoria di Rice↓
Consideriamo nuovamente la trasformazione (17.7↑), in cui si considera, al posto di x, la v.a. x’, somma di una v.a. gaussiana x e di una costante A. In tal caso, la d.d.p. pP(ρ) è detta di Rice, ed ha [265] [265]Osserviamo innanzitutto che d.d.p. congiunta di partenza si scrive ora come
pX’,Y(x’,y)(1)/(2πσ2)exp⎛⎝−((x’  −A)2+y2)/(2σ2)⎞⎠
in quanto x’ è una v.a. gaussiana con media A e varianza σ2. Sostituendo quindi nell’esponente x’ =ρcosφ e y=ρsinφ, si ottiene
(x’ −A)2+y2=ρ2cos2φ+A2− 2ρAcosφ+ρ2sin2φ=ρ2+A2− 2ρAcosφ
Osservando ora che il giacobiano della trasformazione ha un valore pari a ρ anche in questo caso, otteniamo
pP, Φ(ρ,φ) = pX’,Y(x’(ρ,φ),y=y(ρ,φ))|J(x’,y⁄ρ,φ)| = (ρ)/(2πσ2)exp⎛⎝−(ρ2+A2)/(2σ2)⎞⎠exp⎛⎝(2ρAcosφ)/(2σ2)⎞⎠
La saturazione di questa d.d.p. congiunta, operata eseguendo pP(ρ)=∫π−πpP, Φ(ρ,φ)dφ, determina il risultato mostrato. espressione
(17.11) pP(ρ)=(ρ)/(σ2)exp⎛⎝−(ρ2+A2)/(2σ2)⎞⎠I0⎛⎝(ρA)/(σ2)⎞⎠ per ρ≥ 0
dove I0(z)=(1)/(2π)∫2π0ezcosφdφ è la funzione modificata di Bessel↓ del primo tipo ed ordine zero, la cui espressione non ne permette il calcolo in forma chiusa, ma che può essere approssimata come I0(z)~e(z2)/(4) per z≪1, e come I0(z)~(ez)/(√(2πz)) per z≫1.
A lato è mostrato l’andamento di pP(ρ) con σ= 1 e tre diversi valori di A, che possiamo rapportare a quelle del secondo grafico per la d.d.p. di Rayleigh, ottenuto per lo stesso valore di σ. Notiamo infine che per A= 0 si torna al caso di Rayleigh, mentre per valori crescenti di A, l’andamento della d.d.p. di Rice approssima sempre più quello di una gaussiana.
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