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## 9.3Stima spettrale↓

Il teorema di Wiener ci aiuta qualora si desideri conoscere la densità di potenza per un processo, di cui siamo in grado di stimare o postulare un m(1, 1)X(τ)= ℛX(τ). Spesso però si ha a che fare con segnali di cui, pur ricorrendo le ipotesi di appartenenza ad un processo ergodico, si ignorano le statistiche di insieme. Un altro caso tipico è quello di un segnale che, pur se rappresentativo di molti altri, non presenta caratteristiche spettrali costanti nel tempo, e sono proprio le variazioni di queste ultime ad interessare [416] [416]Un esempio può essere un segnale sonoro, ad esempio una voce recitante, per il quale vogliamo studiare le caratteristiche spettrali dei diversi suoni della lingua (i fonemi), per confrontarle con quelle di un’altro individuo, o per ridurre la quantità di dati necessaria a trasmettere il segnale in forma numerica (vedi § 18.1.2↓), o per realizzare un dispostivo di riconoscimento vocale.. In questi casi, tutto ciò che si può fare è di tentare una stima dello spettro di potenza del segnale, a partire da un suo segmento temporale. Esistono al riguardo tecniche differenti, come ad es. quella riportata al § 18.1.2↓; per ora ci limitiamo ad un caso semplice ma di rilievo teorico.

### 9.3.1Periodogramma↓

Definiamo un intervallo T in cui isoliamo un segnale a durata limitata xT(t)=x(t,θ)rectT(t) da una realizzazione x(t,θ). Questo segmento di segnale è di energia, con ℰxT(f)=|XT(f)|2, e sotto le ipotesi di stazionarietà, da questa si può stimare una densità di potenza
PxT(f)=(|XT(f)|2)/(T)
che viene detta periodogramma [417] [417]Il termine periodogramma trae origine dall’uso che ne fu inizialmente fatto, ossia per scoprire tracce di periodicità all’intero di segnali qualsiasi.. Al tendere di T ad ∞, il risultato trovato tende alla densità di potenza Px(f)=limT→ ∞(|XT(f,θ)|2)/(T) della realizzazione xT(t,θ) e, se questa appartiene ad un processo ergodico, a quella di un qualunque altro membro.
Nel caso più verosimile in cui T non tende ad infinito, si può mostrare [418] [418]Per una determinata frequenza f0, il valore (|XT(f0)|2)/(T) è una variabile aleatoria (dipende infatti da θ), che vorremmo avesse un valore atteso mT=Eθ{PxT(f0)} pari alla densità del processo (mX=Px(f0)) ed una varianza σ2T=Eθ{(PxT(f0)−mX)2} che diminuisce al crescere di T. Per verificare se tali proprietà siano soddisfatte, valutiamo il valore atteso del periodogramma, a partire dalle relazioni fornite dal teorema di Wiener, applicato ad XT(f), e cioè |XT(f)|2= ℰxT(f)= ℱ{ℛxT(τ)}:
Eθ{PxT(f)} = Eθ⎧⎩ℱ⎧⎩(1)/(T)∞⌠⌡− ∞x(t)rectT(t)x(t+τ)rectT(t+τ)dt⎫⎭⎫⎭= = ℱ⎧⎩(1)/(T)∞⌠⌡− ∞Eθ{x(t)x(t+τ)}rectT(t)rectT(t+τ)dt⎫⎭= = ℱ⎧⎩ℛx(τ)(1)/(T)∞⌠⌡− ∞rectT(t)rectT(t+τ)dt⎫⎭= ℱ{ℛx(τ)⋅tri2T(τ)}= = Px(f)*T(sinc(fT))2
Osserviamo quindi come, all’aumentare di T, il nostro stimatore tende al valore vero, dato che T(sinc(fT))2 tende ad un impulso. che usando PxT(f) come una stima ^Px(f) della vera densità Px(f) del processo, si commette un errore espresso come
^Px(f)=Px(f)*T(sinc(fT))2
che è il risultato ottenuto al § 3.9.3↑ a riguardo del procedimento di finestratura temporale↓, e che mostra come lo stimatore è polarizzato [419] [419]Ci consola verificare che, come commentato alla nota precedente, per T→ ∞ la polarizzazione tende a scomparire. Quando il valore atteso di uno stimatore tende al valore vero, si dice (vedi § 7.5.4↑) che lo stimatore è non polarizzato (o unbiased); se aumentando la dimensione del campione, la varianza della stima tende a zero, lo stimatore è detto consistente.. In base allo scopo con cui è condotta la stima spettrale, può essere opportuno adottare al posto della finestra rettangolare un diverso andamento wT(t), in modo da calcolare xT(t,θ)=x(t,θ)⋅wT(t).
Il calcolo del periodogramma viene svolto mediante una Trasformata Discreta di Fourier (DCT), o meglio ancora con una FFT (vedi § 4.4↑). In tal caso, l’aumento di T corrisponde all’aumento del numero di campioni utilizzati, ed all’aumento della risoluzione in frequenza ottenibile. In base a queste considerazioni, si può mostrare che la varianza dello stimatore ottenuto per via numerica non decresce con T [420] [420]Una possibile alternativa è quella di suddividere l’intervallo di osservazione in diversi sottointervalli, calcolare il periodogramma su ciascuno di essi, e mediare i risultati. In tal modo, all’aumentare dei dati a disposizione, viene mantenuta la stessa risoluzione in frequenza, ma si migliora la varianza della stima spettrale (vedi § 7.5.5↑)..
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