PrecSezione 15.2: Collegamenti in cavo SuCapitolo 15: Collegamenti e mezzi trasmissivi Section 15.4: Collegamenti in fibra otticaSegue

## 15.3Collegamenti radio↓

Questa sezione inizia dalla descrizione delle antenne e dei fenomeni di propagazione nei temini di potenza complessiva del segnale modulato, ponendosi nella semplice ipotesi di occupare una banda molto stretta attorno alla portante f0, da poterlo quasi assimilare ad una singola sinusoide. Pertanto, le condizioni di massimo trasferimento di potenza tra amplificatore finale e antenna trasmittente (Zg=Z*T) e tra antenna
ricevente e stadio di ingresso al ricevitore (ZR=Z*i) danno luogo, nella banda di segnale, ad una risposta in frequenza H(f) che non dipende dalla frequenza (modulo e fase costanti), e questo corrisponde (a parte una rotazione di fase) all’assenza di distorsione lineare, vedipag. 1↑. Tutta la potenza disponibile fornita dall’amplificatore finale WdT=(V2Teff)/(4Rg) viene ceduta all’antenna, e da questa allo spazio. In realtà ZT dipende dalla geometria dello spazio circostante; perciò l’amplificatore del trasmettitore Tx va accordato dopo aver posizionato l’antenna.

### 15.3.1Trasduzione elettromagnetica

Antenna↓ isotropa
Se l’antenna trasmittente irradia allo stesso modo in tutte le direzioni, WdT si distribuisce su di una sfera; dunque una superficie dS, posta a distanza d, è attraversata da una potenza pari a
(18.67) dW=WdT(dS)/(4πd2) [Watt]
Si noti che il denominatore rappresenta la superficie di una sfera di raggio d.
Antenna direttiva
Sono antenne che hanno direzioni privilegiate di emissione. Ad esempio, le antenne paraboliche dispongono di un illuminatore o feed [653] [653]Dall’inglese to feed = alimentare. posto in corrispondenza del fuoco della parabola stessa, la cui superficie riflette le onde elettromagnetiche in modo che si propaghino in forma pressoché parallela [654] [654]Il processo di focalizzazione parabolica, comunemente usato ad esempio nei fanali degli autoveicoli, era ben noto ad un certo siracusano....
WdT si distribuisce quindi non sfericamente, e la direzione di propagazione massima esibisce un guadagno GT rispetto all’antenna isotropa, mentre l’intensità di campo irradiato spazialmente è descritta da un diagramma di radiazione. Il valore di GT dipende dal rapporto tra le dimensioni dell’antenna e quelle della lunghezza d’onda λ secondo la relazione
(18.68) GT= 4π(A)/(λ2)
avendo indicato con A l’area dell’antenna.
Può essere definita una larghezza del fascio (beam width), che misura l’angolo θb entro cui la potenza irradiata è superiore alla metà della massima potenza presente nella direzione privilegiata [655] [655]Si tratta di un concetto del tutto analogo alla “frequenza di taglio a 3 dB”, ma applicata ad un dominio spaziale con geometria radiale.. Ovviamente minore è θb, e maggiore è GT.
Antenna ricevente
Se una antenna identica a quella trasmittente viene usata (dall’altro lato del collegamento) per ricevere, questa mantiene lo stesso guadagno GR=GT e lo stesso θb. Si definisce allora la sua area efficace come il valore
(18.69) Ae=GR(λ2)/(4π)
legato alla forma e dimensione dell’antenna, a meno di un fattore di efficienza ρ ( [656] [656]Indicando con Ar l’area reale (fisica) dell’antenna, risulta Ae=ρAr, con ρ< 1. La diseguaglianza tiene conto delle perdite dell’antenna, come ad esempio le irregolarità nella superficie della parabola, o l’ombra prodotta dalle strutture di sostegno. Ovviamente, anche l’antenna trasmittente presenta perdite, ed il valore GT misurato è inferiore a quello fornito dalla (18.68↑), a meno di non usare appunto il valore di area efficace.). Perciò una stessa antenna (Ae fisso) aumenta il suo guadagno (e stringe il beam) all’aumentare della frequenza, ovvero al diminuire di λ=(c)/(f) ( [657] [657]La costante c= 3⋅108 metri/secondo rappresenta la velocità della luce nel vuoto, ossia la velocità di propagazione dell’onda elettromagnetica nello spazio.).

### 15.3.2Trasferimento energetico

Potenza ricevuta
Usando l’area efficace dell’antenna ricevente (18.69↑) per intercettare parte della potenza irradiata (18.67↑), si ottiene
WR=WdTGT(Ae)/(4πd2)=WdTGTGR⎛⎝(λ)/(4πd)⎞⎠2[Watt]
Ovviamente, anche il ricevitore ha la propria Zi=Z*R accordata per il massimo trasferimento di potenza, e la banda di segnale è sempre stretta a sufficienza da garantire l’assenza di distorsioni lineari. Quindi la WR=WdR è proprio la potenza ricevuta.
Attenuazione di spazio libero↓
Il termine
(18.70) Asl=⎛⎝(4πd)/(λ)⎞⎠2=⎛⎝(4πdf)/(c)⎞⎠2
è chiamato attenuazione di spazio libero, che dipende da f2. In realtà ai fini del bilancio energetico, la dipendenza dalla frequenza si elide con quella relativa al guadagno delle antenne: GT=Ae(4π)/(λ2)=Ae(4πf2)/(c2) ( [658] [658]Mantenendo fissa la dimensione delle antenne, si ottiene il risultato che trasmissioni operanti a frequenze più elevate permettono di risparmiare potenza. Purtroppo però, guadagni superiori a 30-40 dB (corrispondenti a piccoli valori di θb) sono controproducenti, per i motivi esposti al § 15.3.3.1↓.).
Attenuazione disponibile↓
Il rapporto
(18.71) Ad=(WdT)/(WdR)=⎛⎝(4πdf)/(c)⎞⎠2(1)/(GTGR)
è chiamato attenuazione disponibile, ed indica di quanto si riduce la potenza trasmessa. Il suo valore espresso in decibel, tenendo conto delle costanti che vi compaiono, ed usando le unità di misura più idonee, risulta essere
(18.72) Ad(dB)= 32.4 + 20log10f(MHz)+ 20log10d(Km)−GT(dB)−GR(dB)
nota come equazione di Friis. Osserviamo che, a differenza della trasmissione in cavo, l’attenuazione cresce con il quadrato della distanza, e quindi con il suo logaritmo quando espressa in decibel. Infatti ora l’attenuazione è dovuta esclusivamente all’aumentare della superficie su cui si distribuisce la potenza irradiata, e non a fenomeni dissipativi, come accade invece per cavo (eq. (18.66↑)) e fibra ottica. Per un esempio di applicazione della (18.72↑), si veda l’esercizio a pag. 1↓.
Il sistema di telecomunicazione che meglio rappresenta le condizioni di spazio libero è quello tra terra ed satellite, per il semplice fatto che non vi sono frapposti ostacoli, e che approfondiamo brevemente alla appendice 15.5.1↓. D’altra parte, i collegamenti radio terrestri, casalinghi, e mobili, sono affetti da una serie di ulteriori fenomeni, mentre la (18.72↑) si limita a considerare un solo aspetto del problema; di seguito ne citiamo un altro paio, ed ai prossimi § approfondiamo il tema:

- perdite di accoppiamento: sono dovute al mancato verificarsi delle condizioni di massimo trasferimento di potenza, ed ammontano a qualche dB;
- assorbimento terrestre↓: quando l’antenna è distante dal suolo meno di qualche lunghezza d’onda, l’energia si propaga anche per onda superficiale [659] [659]`http://it.wikipedia.org/wiki/Onda_superficiale`, ovvero la crosta terrestre fa da conduttore. Ciò permette la ricezione anche in assenza di visibilità tra antenne, subendo però una attenuazione che aumenta con la frequenza, tanto che già a 3 MHz raggiunge i 25 dB [660] [660]equivalente ad una riduzione di potenza di 102.5= 316 volte ogni 10 Km. Le onde medie (0,3-3 MHz) sono meno attenuate, ed ancora meno le onde lunghe (10-300 KHz) che viaggiano appunto via terra.

### 15.3.3Condizioni di propagazione↓ e attenuazioni supplementari

Sono ora descritti i fenomeni legati alla geometria del territorio ed alle condizioni atmosferiche, che determinano l’insorgenza di attenuazioni supplementari As ovvero in più, da sommare al valore Ad(dB) fornito dalla (18.72↑) per ricavare la potenza realmente ricevuta.

#### 15.3.3.1Condizioni di visibilità

Come ricavabile anche dall’espressione dell’area efficace, all’aumentare della frequenza si possono ottenere antenne di dimensioni ridotte e contemporaneamente di elevato guadagno. Allo stesso tempo, per evitare l’assorbimento terrestre, occorre posizionare l’antenna in alto (in cima ad una torre), e trasmettere per onda diretta↓, condizione nota anche come los o line of sight.
A causa della curvatura terrestre, esiste una altezza minima da rispettare: ad esempio con torri da 60 metri si raggiungono distanze (in visibilità) di 50 Km. Ovviamente, il problema si presenta in pianura. Tratte più lunghe richiedono torri più alte, ma anche guadagni di antenna maggiori (e quindi antenne più grandi e più direttive). Questa non è però una soluzione molto praticabile, in quanto in presenza di vento forte le antenne “grandi” possono spostarsi e perdere il puntamento; inoltre, il costo delle torri aumenta esponenzialmente con l’altezza.
Orizzonte radio
Nel calcolare l’altezza delle torri (ed il puntamento delle antenne) si deve considerare anche il fenomeno legato al fatto che l’onda elettromagnetica, propagandosi, si piega
verso gli strati dell’atmosfera con indici di rifrazione maggiori (ossia verso terra). Pertanto, i calcoli vengono effettuati supponendo che il raggio terrestre sia4 ⁄ 3 volte quello reale. Inoltre, l’indice di rifrazione (che aumenta verso il basso) può variare con l’ora e con le condizioni climatiche: pertanto, anche in questo caso, le antenne con guadagni elevati (e molto direttive) possono andare fuori puntamento.
Ellissoidi di Fresnel↓
Anche se le antenne si trovano in condizioni di visibilità, occorre tenere conto dei fenomeni di diffrazione↓ [661] [661]`http://it.wikipedia.org/wiki/Diffrazione`, che deviano le onde radio che transitano in prossimità di ostacoli nella zona in ombra [662] [662]Lo stesso fenomeno di diffrazione è egualmente valido per l’energia luminosa, e può essere sperimentato illuminando una fessura, ed osservando le variazioni di luminosità dall’altro lato.. Pertanto, la determinazione dell’orizzonte radio deve prevedere un margine di distanza h tra la congiungente delle antenne ed il suolo, od un eventuale ostacolo.
La distanza h deve essere almeno pari al raggio del primo ellissoide di Fresnel, che è un solido di rotazione definito come il luogo dei punti P per i quali la somma delle distanze d(A,P)+d(P,B) è pari a d(A,B)+(λ)/(2), in cui λ=(c)/(f) è la lunghezza d’onda della trasmissione a frequenza f.
Suddividendo la distanza d(A,B) tra i due fuochi A e B in due segmenti d1 e d2, individuati dalla posizione dell’ostacolo, si trova che il raggio dell’ellissoide è pari a
R=√((λ)/((1)/(d1)+(1)/(d2)))
che, nel caso d1=d2=(d(A,B))/(2), assume il valore massimo RM=(1)/(2)√(λd). Qualora si determini la condizione h<R, il collegamento subisce una attenuazione supplementare che aumenta al diminuire di (h)/(R), ed è maggiore per gli spigoli vivi, fino ad arrivare ad una decina di dB.

#### 15.3.3.2Diffusione e riflessione atmosferica

Tra 0,1 e 10 GHz si può verificare il fenomeno della diffusione troposferica↓ [663] [663]`http://en.wikipedia.org/wiki/Tropospheric_scatter` (lo strato dell’atmosfera fino a 20 Km di altezza), causata da turbolenze e particelle sospese, e che comportano un numero infinito di cammini multipli↓.
Tra qualche MHz e 30 MHz, intervengono fenomeni di radiodiffusione ionosferica↓ [664] [664]`http://en.wikipedia.org/wiki/Skywave`
(la fascia oltre gli 80 Km), dove strati ionizzati causano riflessioni del segnale, e consentono la trasmissione anche tra luoghi non in visibilità [665] [665]Anche, ma non solo, in concorso con la riflessione operata da masse d’acqua, come mostrato in figura., ma con il rischio di cammini multipli. E’ questo il caso tipico delle onde corte.
Per frequenze sotto il MHz la propagazione è per onda di terra, e l’assorbimento terrestre impedisce di coprire grandi distanze (tranne che per le onde lunghe, meno attenuate). Anche in questo caso può verificarsi la diffusione troposferica, specie di notte.

#### 15.3.3.3Assorbimento atmosferico↓

Per lunghezze d’onda di dimensione comparabile a quella delle molecole di ossigeno, si produce un fenomeno dissipativo di assorbimento; le frequenze interessate sono quelle superiori a 30 GHz, con un massimo di 20 dB/Km a 60 GHz( [666] [666]L’elevata attenuazione chilometrica presente a 60 GHz può essere sfruttata nei sistemi di comunicazione cellulare, allo scopo di riusare una stessa banda di frequenze anche a breve distanza.). Inoltre, il vapor d’acqua (con molecole di dimensioni maggiori) produce una attenuazione supplementare di 1-2 dB/Km (al massimo) a 22 GHz [667] [667]L’assorbimento di potenza da parte delle molecole d’acqua per onde elettromagnetiche a 22 GHz è il principio su cui si basa il forno a microonde.. Sotto i 10 GHz non si verifica né assorbimento da ossigeno, né da vapore.

#### 15.3.3.4Dimensionamento di un collegamento soggetto a pioggia

In caso di pioggia, si manifesta una ulteriore causa di assorbimento atmosferico, detto appunto da pioggia, che costituisce la principale fonte di attenuazione supplementare per frequenze superiori a 10 GHz. L’attenuazione supplementare da pioggia aumenta con la frequenza portante, con l’intensità di precipitazione e con l’estensione della zona piovosa lungo il tragitto radio; questi ultimi due fattori sono evidentemente elementi aleatori, e per questo il dimensionamento mira a stabilire quale sia il margine necessario a garantire un grado di servizio prefissato. Il margine necessario, è pertanto pari al valore di attenuazione supplementare che viene superata con una probabilità minore o uguale al grado di servizio.
Una formula sperimentale che consente di determinare il valore in dB dell’attenuazione supplementare che viene superata con probabilità p è:
As(r0, d, p)=K⋅rα0⋅d⋅β(d)⋅γ(p) [dB]
in cui r0 è l’intensità di precipitazione (in mm/h) che viene superata per lo 0.01 % del tempo, d è la lunghezza del collegamento, e K ed α sono costanti che caratterizzano l’entità dell’interazione dell’onda radio con la pioggia, in funzione della frequenza portante e di altre condizioni climatiche ed ambientali, i cui valori medi sono riportati nella tabella che segue.

f0(GHz) | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35
α | 1.27 | 1.14 | 1.08 | 1.05 | 1.01 | .97
K | .01 | .036 | .072 | .12 | .177 | .248

Il valore di r0 per l’Italia è compreso tra 20 e 60 mm/h, mentre il termine γ(p)=  6.534⋅10− 3⋅p−(.718  + .043⋅log10p), che vale 1 per p= 10− 4, permette di tener conto del grado di servizio che si vuole ottenere. Infine, β(d)= 1 ⁄(1 +  .0286⋅d) è un fattore correttivo che tiene conto del fatto che non piove lungo tutto il collegamento. I grafici in fig. 15.15↓

Figure 15.15Curve di attenuazione supplementare per pioggia
mostrano l’andamento del termine K⋅rα0⋅d⋅β(d) per diversi valori di f0 ed r0, in funzione dell’estensione del collegamento; infine, è riportato il grafico della funzione γ(p) per diversi valori di p.
Dimensionare un collegamento imponendo un margine elevato può dar luogo a problemi dal lato del ricevitore, che potrebbe trovarsi ad operare in regione non lineare a causa dell’eccesso di potenza ricevuta, qualora non siano presenti le attenuazioni supplementari: può essere allora utilizzato un canale di ritorno nell’altra direzione, in modo da regolare la potenza del trasmettitore.

#### 15.3.3.5Cammini multipli↓

Oltre i 30 MHz, nonostante la direttività delle antenne, alcuni raggi obliqui possono incontrare superfici riflettenti come laghi o masse d’acqua, essere riflessi dagli strati atmosferici, o percorrere notevoli distanze nei condotti atmosferici [668] [668]Nel caso in cui una massa d’aria calda ne sovrasti una più fredda, si verifica una inversione dell’indice di rifrazione, e l’onda elettromagnetica di propaga come in una guida d’onda, vedi anche `http://en.wikipedia.org/wiki/Tropospheric_propagation`. per poi tornare al suolo, e causare la ricezione di una (o più) eco ripetuta dello stesso segnale. In questi casi il collegamento si dice affetto da multipath↓, e può essere caratterizzato mediante una risposta impulsiva del tipo
(18.73) h(t)=N⎲⎳n= 1anδ(t−τn)
in cui i valori τn sono i ritardi con cui si presentano le diverse eco, ognuna caratterizzata da una ampiezza an, in accordo allo schema di filtro trasversale presentato al § 9.8↑.
La corrispondente risposta in frequenza
H(f)=N⎲⎳n= 1ane−j2πfτn
può produrre distorsione lineare; ricordiamo infatti (vedi § 9.8.2↑) che il modello di cammino multiplo per una sola eco con ritardo T, presenta una
|H(f)|2= 1  +a2+ 2acos2πfT
periodica in frequenza con periodo f=(1)/(T), ed osserviamo che all’aumentare di T, le oscillazioni di |H(f)|2 si infittiscono [669] [669]Ad esempio, desiderando (1)/(T)> 1 MHz, si ottiene TMax= 1 μsec; se l’onda radio si propaga alla velocità c=  3⋅108 m/sec, la massima differenza di percorso vale Δmax=c⋅TMax= 3⋅108⋅10− 6= 300 metri. , e dunque aumenta la possibilità che |H(f)|2 vari di molto nella banda del segnale, causando una distorsione lineare che deve poi essere equalizzata.
Esempio Consideriamo la geometria descritta in
figura, in cui un collegamento di portata d subisce un fenomeno di riflessione a metà della sua lunghezza, da parte di una superficie riflettente che dista h dalla congiungente, e ricaviamo l’espressione del ritardo T. Ricordando che tempo=(spazio)/(velocita’) e
indicando con dr la distanza percorsa dall’onda riflessa, otteniamo che la differenza tra i tempi di arrivo dell’onda diretta e riflessa vale T=(1)/(c)(dr−d); inoltre, dalla trigonometria risulta che (d)/(2)=(dr)/(2)cosθ. Combinando le due relazioni, otteniamo che T=(d)/(c)⎛⎝(1)/(cosθ)− 1⎞⎠, in cui θ= arctan(h)/(d⁄2)= arctan2(h)/(d). Attualizzando il risultato ad uno scenario in cui d= 1 Km ed h= 100 metri, si ottiene θ= 11o31’, cosθ= 0.98, e T= 0, 066μsecondi. Pertanto |H(f)|2 presenta un periodo (in frequenza) di (1)/(T)= 15, 15⋅106= 15, 15 MHz.
Qualora la banda del segnale sia invece sufficientemente piccola rispetto a (1)/(T), e si possa considerare |H(f)|2 costante (pag. 1↑), la presenza di cammini multipli può comunque dar luogo ad attenuazione, che prende il nome di flat fading [670] [670]Il termine fading si traduce come affievolimento o evanescenza, ma è spesso usato in inglese, cosicchè l’assenza di distorsione lineare per segnali a banda stretta è anche detta condizione di fading piatto, sottintendendo in frequenza. (§ 15.3.4.5↓).

#### 15.3.3.6Collegamento in diversità↓

Il fading prodotto da cammini multipli viene detto selettivo in frequenza quando |H(f)|2 varia in modo rilevante, e ciò accade specialmente quando due repliche del segnale giungono al ricevitore con ampiezze molto simili. Il problema può essere risolto prevedendo una ridondanza↓ degli apparati.
Diversità di frequenza
La stessa trasmissione è effettuata mediante due diverse portanti: nel caso in cui una delle due subisca attenuazione, la trasmissione che utilizza l’altra portante ne è probabilmente esente (o viceversa). Se la banda è particolarmente affollata, la stessa configurazione può essere adottata per fornire una ridondanza N:1. Ad esempio, in una trasmissione multiplata fdm, la portante di riserva viene assegnata al canale del banco fdm che presenta la maggiore attenuazione.
Diversità di spazio
Adottando due diverse antenne riceventi in posizioni differenti, la differenza di percorso T tra cammini multipli è differente per le due antenne, e dunque la risposta in frequenza |H(f)|2= 1 +a2+ 2acos2πfT ha una diversa periodicità nei due casi. Pertanto, anche se un ricevitore subisce una attenuazione selettiva, l’altro ricevitore ne è esente.

### 15.3.4Collegamenti radiomobili ↓

Le condizioni di propagazione per comunicazioni radiomobili, come nel caso della telefonia cellulare, presentano diversi aspetti particolari. Innanzitutto, l’antenna del terminale mobile è molto vicina al suolo, e ciò comporta la presenza di una eco fissa da terra, quasi sempre il mancato rispetto delle condizioni di Fresnel [671] [671]Alla frequenza di 1 GHz si ha λ= 30 cm e per una distanza di 100 metri dal trasmettitore si ottiene un raggio massimo dell’ellissoide pari a (1)/(2)√(.3⋅100)=(1)/(2)√(30)≃2.7 metri., ed una attenuazione supplementare da assorbimento terrestre. Inoltre, specialmente in ambito urbano, si
verifica un elevato numero di cammini multipli e diffrazioni, che perdipiù variano nel tempo in conseguenza dello spostamento del terminale. Infine, l’uso condiviso di una stessa banda di frequenze radio da parte di una moltitudine di terminali, determina la necessità di riusare le stesse frequenze in regioni differenti [672] [672]Vedi ad es. il § 10.1.1.2↑., e l’attuazione di meccanismi di codifica di canale per ridurre gli effetti delle interferenze e del fading variabile [673] [673]Mentre il fading produce una attenuazione variabile al segnale, la stessa variabilità delle condizioni di propagazione può portare a livelli interferenza variabili, causati da altre trasmissioni nella stessa banda. La variabilità temporale della qualità del segnale ricevuto, in particolare quella veloce (vedi § 15.3.4.6↓), produce errori a burst, che possono essere corretti mediante codifica di canale ed interleaving (vedi § 5.4.3.3↑).. Analizziamo nel seguito i primi due fenomeni, fornendo modelli che descrivono le attenuazioni supplementari ed i fenomeni di multipath variabile, rimandando la discussione sulle tecniche di accesso multiplo ad una prossima edizione.

#### 15.3.4.1Le componenti della attenuazione supplementare↓

Occorre considerare una componente di attenuazione nominale indicata come path loss (o attenuazione di percorso), e due componenti aleatorie di attenuazione supplementare legate a posizione e movimento, indicate rispettivamente come attenuazione (o fading [674] [674]Il termine fading si traduce come affievolimento o evanescenza.) su larga scala o shadowing (ombreggiatura) e su piccola scala.
Figure 15.20Determinazione del margine radiomobile
Il valore del path loss Apl risulta maggiore di quello di Asl (eq. 18.70↑) a causa delle condizioni di propagazione non ideali, causando una Ad più elevata, come analizzato al § 15.3.4.2↓.
L’attenuazione supplementare su larga scala alss tiene conto dei fenomeni lentamente variabili nel tempo, come la frapposizione di rilievi, edifici, ed alberi: essa non varia di molto con il movimento del ricevitore, ed al § 15.3.4.3↓ si mostra come il suo valore sia una v.a. gaussiana in dB a media nulla e varianza σ2ls, consentendo di determinare il margine su larga scala MlsdB come quel valore di alssdB che viene superato con probabilità sufficentemente bassa.
La variabilità su piccola scala o fading tiene invece conto degli innumerevoli cammini multipli presenti in ambito urbano ed indoor, che possono produrre una attenuazione supplementare apssdB maggiore del caso precedente, una H(f) selettiva in frequenza, e se è presente movimento del ricevitore e/o delle superfici riflettenti, la variabilità temporale di apssdB; a seconda se la rapidità di variazione sia maggiore o minore del periodo di simbolo, si distingue ulteriormente in fast e slow fading. Questi effetti sono analizzati al § 15.3.4.4↓, dove si determina il margine MpsdB tale da rendere trascurabile la probabilità che apssdB>MpsdB; mentre ai § 15.3.4.5↓ e 15.3.4.6↓ si illustrano rispettivamente i fenomeni di variabilità in frequenza e nel tempo.
La fig. 15.20↑ mostra come queste tre componenti di attenuazione si sommano al fine di determinare la potenza che occorre trasmettere
WT=WRmin+Ad+MlsdB+MpsdB
mentre quella a fianco tenta di rappresentare come varia la somma dei tre contributi di attenuazione con la posizione del ricevitore.

#### 15.3.4.2Path loss↓

La dipendenza della attenuazione dal quadrato della distanza espressa dalla (18.70↑) si riferisce al caso ideale di spazio libero; misurazioni reali mostrano che invece l’esponente di d aumenta fino alla quarta potenza, a seconda del tipo di ambiente (urbano, rurale) e dell’altezza dell’antenna ricevente [675] [675]Per una rassegna dei diversi modelli di propagazione, si veda ad es. `http://www.slideshare.net/deepakecrbs/propagation-model`.. Pertanto, il termine 20log10d(Km) che compare in (18.72↑) deve essere sostituito con Apl=n⋅10log10d(Km)+α, e quindi l’espressione per l’attenuazione da usare in questo caso è
Ad(dB)= 32.4 + 20log10f(MHz)+n⋅10log10d(Km)+α−GT(dB)−GR(dB)
in cui n ed α sono determinati in base a campagne di misura, e tengono conto delle condizioni operative. Il valore di n varia da 4 a 3 con d< 100 metri, all’aumentare dell’altezza dell’antenna fissa, mentre il termine α può variare da 7 a 15 dB con antenna fissa alta 30 e 10 metri rispettivamente, e subire un incremento di quasi 30 dB passando da un ambiente aperto ad un ambito urbano.

#### 15.3.4.3Fading su larga scala↓ e shadowing↓

La stima delle grandezze n ed α ora introdotte è svolta mediando i risultati di diverse misure condotte nel territorio che si intende caratterizzare: infatti per territori diversi, si riscontrano valori di attenuazione complessiva diversi, anche per uguali valori di d. Anche questo fenomeno è a volte indicato come slow fading oltre che su larga scala, poiché non si presenta muovendosi di poco in una stessa zona, dipendendo dalla orografia del territorio e dalla natura degli oggetti limitrofi. Non conoscendo a priori in che zona ci si trovi, l’effetto del fading su larga scala (ls) si manifesta come una attenuazione supplementare as aleatoria, che risulta avere un andamento gaussiano in dB [676] [676] La d.d.p. gaussiana discende dall’ipotesi che uno dei cammini multipli pervenga al ricevitore con una potenza nettamente predominante rispetto agli altri. In questo caso l’inviluppo complesso x del segnale ricevuto è adeguatamente rappresentato da una v.a. di Rice (vedi pag. 1↑) x=a+r, in cui r ha d.d.p. di Rayleigh e rappresenta l’effetto di molte cause indipendenti, relative ai cammini multipli, ed a è l’ampiezza della eco di segnale ricevuta con la maggiore ampiezza. Se a≫|r| possiamo scrivere
as(dB) = 10log10(1)/(|a+r|2)=  − 10log10((a+rc)2+r2s)= = − 10log10(a2)/(a2)(a2+ 2arc+r2c+r2s)= = 10⎛⎝log10a2+ log10⎛⎝1 +(2rc)/(a)+(|r|2)/(a2)⎞⎠⎞⎠= ≃ 10⎛⎝log10a2+(2rc)/(a)⎞⎠= 10log10a2+ 20(rc)/(a)
in quanto log(1 +α)≃α con α≪1, e quindi as(dB) ha media 10log10a2 (compresa nel path loss) ed esibisce una d.d.p. gaussiana, la stessa di rc. (per questo detto lognormale) e cioè del tipo
pAs(as(dB))=(1)/(√(2π)σ)e−((as(dB))2)/(2σ2ls)
dove σ2ls varia tra 6 ed 8 dB per una altezza dell’antenna tra 5 e 15 metri [677] [677]All’aumentare dell’altezza dell’antenna, si estende l’area di copertura della stessa, ma in ambito urbano questo corrisponde ad una maggiore variabilità delle effettive condizioni operative.. Per velocità del mobile non superiori ai 15 Km/h, si può assumere as costante in frequenza per qualche MHz, e nel tempo per poche centinaia di millisecondi.
Esempio Un collegamento radio tra antenne omnidirezionali poste a d= 20 KM e con portante f0= 27 MHz è usato da una trasmissione per cui occorre ricevere una potenza di almeno WR=  − 50 dBm. Determinare la potenza WslibT che occorre trasmettere in condizioni di spazio libero, e la nuova potenza WsfadT necessaria a garantire una probabilità di fuori servizio pari al 5%, in presenza di un fading su larga scala caratterizzato da σ2ls= 8 dB. Utilizziamo la (18.72↑) per calcolare
Ad(dB) = 32.4 + 20log10f(MHz)+  20log10d(Km)−GT(dB)−GR(dB)= = 32.4 + 20log1027 + 20log1020 = 32.4 +  28.6 + 26 = 87dB
da cui si ottiene
WslibT(dBm) =WR(dBm)  +Ad(dB) =  − 50 + 87 = 37dBm
pari a 7 dBW ovvero 100.7= 5 Watt. Il fading su larga scala produce una attenuazione supplementare aleatoria con d.d.p. gaussiana in dB, e la probabilità di fuori servizio del 5% corrisponde al punto della curva di pag. 1↑ per cui 0.05 =(1)/(2)erfc⎛⎝(as(dB))/(√(2)σSF)⎞⎠, e quindi graficamente si ottiene (as(dB))/(√(2)σSF)= 1.5, da cui as(dB)  = 1.5⋅√(2)⋅√(8)=  1.5⋅1.41⋅2.82 = 6 dB, che rappresenta il margine cercato, e che ci consente di calcolare la nuova WsfadT come WsfadT(dBW) =WslibT(dBW)  + 6dB= 13dBW, ovvero 101.3= 20 Watt.

#### 15.3.4.4Fading su piccola scala↓

Consiste nelle fluttuazioni di livello del segnale radio osservate durante il movimento, e causate dalle variazioni dei ritardi di fase con cui i cammini multipli↓ giungono al ricevitore: spostandosi infatti di (λ)/(2)( [678] [678]A frequenza di 1 Ghz, si ha λ≃30 cm. Questo fenomeno può essere facilmente sperimentato quando, durante una sosta al semaforo, si perde la sintonia di una radio fm, riacquistandola per piccoli spostamenti dell’auto; un altro esempio può essere la ricerca del campo per poter telefonare.) si può passare da una situazione di somma coerente ad una completa opposizione di fase. Analizziamo ora la situazione in dettaglio, distinguendo ulteriormente diversi casi-tipo.
Fading piatto↓
L’inviluppo complesso del segnale ricevuto y(t) in presenza di cammini multipli può essere espresso in funzione di quello trasmesso x(t) sviluppando la (18.73↑) in modo da ottenere [679] [679] La (18.74↓) si ottiene considerando un generico segnale modulato in ampiezza x(t)=a(t)cos2πf0t ed il suo inviluppo complesso x(t)=a(t): per ognuna delle repliche
xn(t)=x(t−τn)=a(t−τn)cos2πf0(t−τn)=a(t−τn)cos(2πf0t− 2πf0τn)
l’inviluppo complesso rispetto ad f0 può essere scritto come
xn(t)=a(t−τn)e−j2πf0τn=x(t−τn)e−j2πf0τn
(18.74) y(t)=N⎲⎳n= 1anx(t−τn)e−j2πf0τn
in cui τn è il ritardo dell’n-esimo cammino, ed an il rispettivo guadagno. Mostriamo ora che se durante il tempo che intercorre tra l’arrivo della prima replica (ritardata di τmin) e l’arrivo dell’ultima (ritardata di τmax) il segnale x(t) non varia di molto (e cioé x(t−τmin)≃x(t−τn)≃x(t−τmax)) [680] [680]Si consideri che il risultato dell’esempio di pag. 1↑ valuta i ritardi in gioco dell’ordine di grandezza delle decine di nanosecondi., l’effetto complessivo equivale ad una moltiplicazione di x(t) per un numero complesso, senza quindi produrre distorsione lineare (vedi pag. 1↑). Infatti, in tal caso la (18.74↑) può essere riscritta come
(18.75) y(t) ≃ x(t)N⎲⎳n= 1ane−j2πf0τn=x(t)N⎲⎳n= 1an(cosφn−jsinφn) = x(t)⋅(X+jY)
in cui il valore complesso X+jY=∑Nn= 1ancosφn−j∑Nn= 1ansinφn
riassume l’effetto delle diverse repliche, e rappresenta un v.a. gaussiana complessa, in quanto a partire da valori della portante f0 dell’ordine dell’inverso di (1)/(τn), e tanto più per f0 più elevate [681] [681]Se ad esempio i ritardi τn sono dell’ordine di 10− 8, l’ipotesi è valida per f0> 100 MHz., bastano piccole variazioni di ritardo τn per produrre una fase φn= 2πf0τn (nota 285↑) uniformemente distribuita tra 0 e 2π e del tutto indipendente per le diverse repliche. D’altra parte, se anche i valori an sono realizzazioni di v.a. indipendenti ed equidistribuite, e se i cammini multipli sono in numero elevato, si applica il teorema centrale del limite (§ 7.2.4↑), e quindi i valori di X ed Y nella (18.75↑) possono considerarsi realizzazioni di v.a. indipendenti, gaussiane, a media nulla ed uguale varianza σ2.
Fading di Rayleigh ↓↓
Per ciò che riguarda l’ampiezza del segnale ricevuto, risulta |y(t)|=ρ⋅|x(t)|, e nelle condizioni descritte ρ=√(X2+Y2) è una v.a. di Rayleigh (pag. 1↑), la cui d.d.p. ha espressione
pP(ρ)=(ρ)/(σ2)exp⎛⎝−(ρ2)/(2σ2)⎞⎠
con ρ≥ 0; pertanto il valore della potenza ricevuta, legata a |y(t)|2=ρ2|y(t)|2, risulta variata di una quantità pari a ρ2, che è una v.a. esponenziale negativa [682] [682]Impostando il cambiamento di variabile s=ρ2, si possono applicare le regole viste al § 7.4↑, individuando la funzione inversa come ρ=√(s), la cui (d)/(ds)ρ(s) fornisce (1)/(2√(s)). Pertanto, la d.d.p. della nuova v.a. s vale:
pS(s)=pP(√(s))⋅(d)/(ds)ρ(s)=(√(s))/(σ2)exp⎛⎝−((√(s))2)/(2σ2)⎞⎠⋅(1)/(2√(s))=(1)/(2σ2)exp⎛⎝−(s)/(2σ2)⎞⎠
, descritta dalla d.d.p. (vedi § 8.2.1↑)
(18.76) pE(ρ2)=(1)/(2σ2)exp⎛⎝−(ρ2)/(2σ2)⎞⎠
Figure 15.23Intensità del segnale in presenza di fading di Rayleigh
Questo risultato ci consente di determinare il margine MfdB necessario a contrastare un fadingdi Rayleigh, qualora si desideri una probabilità di fuori servizio pari ad α [683] [683]Infatti, osserviamo che il collegamento va fuori servizio quando la potenza ricevuta è inferiore alla sensibilità del ricevitore WRmin, e dunque (vedi eq. (17.15↑) a pag. 1↑) la probabilità di questo evento si esprime come α=Pr(ρ2<WRmin)= 1 − exp⎛⎝−(WRmin)/(mρ2)⎞⎠, dato che il valor medio della v.a. esponenziale ρ2 è mρ2= 2σ2. Esprimendo ora il margine M come il rapporto tra la potenza media ricevuta e la sensibilità del ricevitore M=(mρ2)/(WRmin), si ottiene α= 1 −e−(1)/(M), e dunque −(1)/(M)= ln(1 −α) e, passando ai decibel, − 10log10M= 10log10(− ln(1  −α)), da cui la 18.77↓.:
(18.77) MfdB=  − 10log10(− ln(1  −α))
La figura 15.23↑ mostra come varia in questo caso la potenza in dB del segnale ricevuto, relativamente alle condizioni di ricezione medie (ovvero su larga scala), per posizioni del ricevitore via via più distanti: si nota chiaramente come in alcuni luoghi questa possa diminuire anche di molto (caso dei deep fade).
Fading di Rice↓
Si verifica se i guadagni an dei diversi percorsi che compaiono nella (18.74↑) non sono identicamente distribuiti, ma ne esiste uno (a0 in figura) che prevale su tutti gli altri, come quando l’antenna trasmittente si trova in visibilità (anche parziale) del ricevitore.
In questo caso il canale produce un guadagno aleatorio ρ caratterizzato da una d.d.p. di Rice, espressa dalla eq. (17.11↑) a pag. 1↑, essendo la risultante X+Y tipicamente ora vicina al cammino prevalente a0e−j2πf0τ0. In particolare, il rapporto K=(a20)/(2σ2) tra la potenza (a20)/(2) dell’onda diretta e quella σ2 della componente dovuta al multipath prende il nome di fattore di Rice, ed alla figura a lato si mostra come, in presenza di una forte componente diretta, la profondità del fading si riduca sensibilmente.
Viceversa, qualora la ricezione avvenga principalmente in assenza di visibilità, i valori del modulo dell’inviluppo complesso del segnale ρ(t)=|x(t)| sono soggetti al fading di Rayleigh precedentemente esposto.

#### 15.3.4.5Fading selettivo in frequenza↓

Rimuoviamo ora l’ipotesi fatta a pag. 1↑ che la velocità di variazione del segnale sia minore dell’intervallo temporale Δτ=τmax−τmin tra l’arrivo della prima e dell’ultima replica, detto anche dispersione temporale. Per analizzare cosa succede [684] [684]Questa e la prossima analisi sono tratte da `http://www.dii.unisi.it/~abrardo/comunicazioni_radiomobili.pdf`, partiamo dalla (18.74↑) per scrivere l’espressione dell’inviluppo complesso della risposta impulsiva del canale come
(18.78) h(t)=N⎲⎳n= 1anδ(t−τn)e−j2πfτn
e facciamo l’ipotesi semplificatrice che i diversi ritardi τn siano multipli di un comune intervallo T, cioé τn=nT, considerando eventualmente nullo qualche valore an. Introduciamo quindi la notazione Zn=ane−j2πf0τn, in modo che la (18.78↑) possa essere assimilata all’espressione di un segnale campionato h(t)=∑Nn= 1Znδ(t−τn), interpretando dunque i coefficienti complessi Zn come campioni di un processo Z(t) [685] [685]Si sottintende pertanto che T sia minore di metà della banda di Z(t)., ovvero Zn=Z(nT)=ane−j2πf0nT. Ciò consente di porre la risposta in frequenza dell’inviluppo complesso del canale nella forma
H(f)=N⎲⎳n= 1Zne−j2πf0nT
Notiamo ora che i valori di H(f) in funzione di f sono variabili aleatorie, in quanto dipendono dalle caratteristiche statistiche dei temini Zn, che per i motivi illustrati a pag. 1↑ nel caso di fading di Rayleigh sono da considerare v.a. gaussiane complesse, indipendenti ed a valor medio nullo, e quindi
(18.79) E{Z*nZn+m}=⎧⎨⎩ 0 se m≠ 0 σ2an altrimenti
in cui σ2an=E{a2n} è detto profilo di intensità del multipath e rappresenta la distribuzione temporale di energia delle repliche del segnale. Quel che ora ci interessa capire, è per quale intervallo Δf si ottengono valori di risposta in frequenza (H(f), H(f+ Δf)) che iniziano a divenire incorrelati, dato che un segnale che occupa una banda comparabile a Δf in tal caso è soggetto a distorsione lineare. A tal fine, calcoliamo la funzione di autocorrelazione in frequenza:
ℛH(Δf) = E{H*(f)H(f+ Δf)}=N⎲⎳n= 1N⎲⎳m= 1E{Z*nZm}ej2πfnTe−j2π(f+ Δf)mT = N⎲⎳n= 1σ2ane−j2πΔfnT
in cui all’ultimo passaggio si è applicata la (18.79↑): ℛH(Δf) è dunque pari alla trasformata di Fourier del profilo di intensità σ2an, che è misurabile.
Banda di coerenza↓
E’ definita come l’intervallo di frequenza Bc entro il quale H(f) si mantiene correlata, che può essere fatto corrispondere con la larghezza di banda di ℛH(Δf). Pertanto, quanto più la dispersione temporale Δτ risulta elevata, tanto minore sarà il valore di Bc; come misura approssimata [686] [686]Una approssimazione migliore valuta Δτ come la deviazione standard dei ritardi, vedi `http://en.wikipedia.org/wiki/Delay_spread`., si può convenzionalmenteporre
(18.80) Bc=(1)/(Δτ)
Esempio
Consideriamo un canale caratterizzato da un profilo di intensità dei ritardi σ2an i cui valori sono mostrati in figura, ed a cui corrisponde un delay spread Δτ pari a 32 μsec. A destra di σ2an è mostrato il modulo della autocorrelazione della risposta in frequenza |ℛH(Δf)|, calcolato mediante una fft; considerando per esso una larghezza di banda pari alla frequenza per cui il suo valore si dimezza, osserviamo che ciò avviene per Δf≃ 30 KHz, che è quindi il valore della banda di coerenza Bc, in buon accordo con la (18.80↑), che fornisce Bc=1⁄32⋅10− 6= 31,25 KHz. Nella seconda riga della figura è quindi mostrata una sequenza tipica dei ritardi, ognuno posto pari alla deviazione standard σan, da cui sempre tramite fft si ottiene la risposta in frequenza tipica |H(f)|, mostrata in basso a destra.
Dimensione di cella e velocità trasmissiva
Ricapitolando, se la banda W del segnale risulta abbastanza minore di Bc siamo nelle condizioni di fading piatto, mentre se W≳Bc le componenti spettrali di x(t) subiscono alterazioni statisticamente indipendenti, i cammini multipli↓ causano un effetto filtrante, si manifesta isi, ed il canale corrispondente viene detto selettivo in frequenza. Approssimando l’occupazione di banda di un segnale numerico modulato come il reciproco del periodo di simbolo W≃(1)/(Ts), osserviamo che la condizione di fading piatto W<Bc implica anche che Ts≃(1)/(W)>(1)/(Bc)= Δτ, ossia che la dispersione temporale è inferiore al periodo di simbolo, limitando gli effetti dell’isi. Dato che la correzione degli effetti di distorsione lineare e isi richiede al ricevitore complesse operazioni di equalizzazione (§ 14.6↑), si tenta di operare per quanto possibile in condizioni di fading piatto, occupare una banda W<Bc, e limitare di conseguenza la velocità di segnalazione fs.
Per celle molto grandi, la differenza di percorso tra cammini multipli può essere notevole, determinando una banda di coerenza ridotta, e quindi una bassa velocità di trasmissione. Riducendo la dimensione di cella, è possibile invece aumentare la velocità, dato che le differenze di ritardo si riducono. Per questo motivo, se celle con raggio di chilometri e dispersione di ritardo di oltre 10 μsec necessitano di equalizzazione anche per trasmissioni a 64 kbps, al contrario comunicazioni indoor con dispersione di ritardo inferiore ad 1 μsec possono presentare flat fading per velocità superiori al Mbps. Celle di dimensione minima, dette anche picocelle, presentano una dispersione temporale di solo qualche decina di picosecondi, permettendo di operare a molti Mbps anche senza equalizzazione.

#### 15.3.4.6Dispersione spettrale e variabilità temporale↓

Finché il ricevitore e gli oggetti riflettenti sono fermi, la distribuzione dei ritardi τn non varia nel tempo, e la componente di attenuazione supplementare su piccola scala mantiene uno stesso (casuale) valore; in tal caso pertanto il fading non è ne lento ne veloce, ma costante. Viceversa, nel caso in cui ci sia movimento [687] [687]Del ricevitore, del trasmettitore, o degli oggetti riflettenti. l’inviluppo complesso ricevuto (18.74↑) si riscrive come
y(t)=N⎲⎳n= 1an(t)x(t−τn(t))e−j2πf0τn(t)
evidenziando come ora sia le ampiezze an che i ritardi τn dipendono dal tempo.
L’analisi delle conseguenze di questa non stazionarietà inizia considerando una portante non modulata x(t)= cos2πf0t, con inviluppo complesso x(t)= 1 [688] [688]Dall’espressione x(t)= cos2πf0t=(ej2πf0t+e−j2πf0t)/(2) si riconosce che x+(t)=(1)/(2)ej2πf0t dato che X(f) =(1)/(2)[δ(f−f0)+δ(f+f0)]; ma dato che x(t)= 2x+(t)e−j2πf0t, si ottiene appunto x(t)= 2(1)/(2)ej2πf0te−j2πf0t= 1., e che produce la ricezione di
(18.81) y(t)=N⎲⎳n= 1an(t)e−j2πf0τn(t)=N⎲⎳n= 1an(t)e−jφn(t)
Si ottengono quindi N diversi segnali modulati sia in ampiezza che angolarmente, anche se è stata trasmessa una sola frequenza. In generale le ampiezze an(t) non variano di molto con il movimento, mentre come già osservato, sono sufficienti piccole variazioni di τn(t) per causarne grandi di φn(t)= 2πf0τn(t): ad esempio, con una f0= 1 GHz, basta una variazione di τ pari ad 1 nsec per produrre una rotazione di 2π.
Esempio
Riprendiamo i dati ed il modello usati a pag. 1↑ per ottenere il risultato in figura, relativo ad un mobile che viaggia a 50 Km/h, e che in 100 sec percorre 1.4 Km a partire da una distanza di 1 Km dal trasmettitore, in presenza di una superficie riflettente posta a 100 metri da metà percorso. Il ritardo del cammino riflesso varia da 66 a 27 nsec, con la legge mostrata in figura, dovuta al variare nel tempo dell’angolo di riflessione.
L’effetto del movimento sui diversi percorsi può essere descritto considerando che per ognuno di essi si verifica l’effetto Doppler [689] [689]Lo stesso che produce la variazione del suono di una sirena, vedi `http://it.wikipedia.org/wiki/Effetto_Doppler`, che consiste nella ricezione di una frequenza fn=f0±fnd, ossia aumentata (o diminuita) rispetto alla portante f0 di una quantità detta frequenza Doppler↓
fnd=f0(v)/(c)cosϑn
in cui c è la velocità di propagazione elettromagnetica (pari a quella della luce 3⋅108 m/s), v è la velocità del mobile [690] [690]La stessa analisi è valida anche nel caso di un ricevitore fermo ma con i riflettori in movimento, come per la la riflessione ionosferica: in tal caso l’espressione si scrive come fnd=f0(vn)/(c)cosϑn, considerando cioè la possibilità che i riflettori abbiano velocità diverse tra loro. e ϑn è l’angolo tra la direzione del moto e la posizione del riflettore: con i dati dell’esempio precedente, ponendo f0= 1 GHz si ottiene una fnd massima di 46.3 Hz, relativa al caso di ϑn= 0 [691] [691]Notiamo che se ϑn= 0 non stiamo trattando di un raggio riflesso, ma di quello diretto.; indichiamo con fD=\undersetnmax{fnd} tale valore.
Dispersione Doppler↓
Dato che ogni diverso percorso è caratterizzato da una fnd compresa tra zero e fD, il segnale ricevuto contiene frequenze che si discostano da f0 in più o in meno, entro una deviazione massima pari ad fD, per questo indicata come dispersione (o spread) Doppler, ed il canale è detto dispersivo in frequenza. Considerando
il mobile raggiunto da infiniti percorsi con direzione di arrivo distribuita uniformemente (condizione di scattering isotropo), si può arrivare a mostrare che la densità spettrale ricevuta assume una espressione del tipo
(18.82) Py(f)=⎧⎨⎩ (Py)/(πfD√(1 −(f⁄fD)2)) con|f|≤fD 0 altrove
del tutto simile a quella mostrata a pag. 1↑. La dispersione Doppler fD costituisce nella pratica una misura della velocità di variazione del canale [692] [692]In questo modo si ottiene una trattazione unificata sia per il caso di un singolo mobile in un contesto statico, sia per quello di un ricevitore fermo con riflettori in movimento. In entrambi i casi il Doppler sperad fD può essere effettivamente misurato al ricevitore, in presenza di una portante non modulata.. Consideriamo infatti che y(t) descritto dalla (18.81↑) è il risultato della somma vettoriale nel piano complesso dei termini an(t)e−j2πf0τn(t), che in virtù dei diversi scostamenti Doppler sono ognuno in rotazione [693] [693]Si veda l’interessante animazione java presso `http://www.wirelesscommunication.nl/reference/chaptr03/rayjava/rayjava.htm`. ad una diversa velocità angolare 2πfnd, tanto maggiore quanto più è grande fD, che quindi determina la rapidità con cui il risultato y(t) varia nel tempo.
Tempo di coerenza↓
L’antitrasformata di Py(f) è per definizione l’autocorrelazione di y(t), e per la 18.82↑ si ottiene ℛyy(τ)=Jo(2πfDτ) in cui J0 è la funzione di Bessel del primo tipo di ordine zero graficata a pag. 1↑, ed il cui primo passaggio per zero avviene con τ≃(0.4)/(fD), che corrisponde al minimo intervallo di tempo necessario ad osservare valori di y(t) incorrelati; viceversa, un intervallo sufficientemente più piccolo trova il canale in condizioni pressoché immutate, come ad esempio
Tc=(0.1)/(fD)
che viene indicato come tempo di coerenza. Una trasmissione con periodo di simbolo Ts≳Tc subisce molto probabilmente condizioni del canale differenti nell’arco di tempo di un simbolo, ostacolandone la sincronizzazione di fase [694] [694]Ciò avviene perché in pratica è come se due simboli consecutivi pervenissero attraverso due differenti canali, e dunque non è possibile eseguire operazioni di media.. Se invece Ts≪Tc il canale si mantiene in condizioni pressoché stazionarie per tutto il periodo di simbolo, il fading è lento (slow), ed il movimento non produce conseguenze sensibili. Utilizzando di nuovo i dati dell’ultimo esempio, ad un doppler spread fD= 46.3 Hz corrisponde un tempo di coerenza Tc= 21.6 msec.
Considerazioni conclusive
⎧⎨⎩ W≪Bc=(1)/(Δτ) no dist lin Ts≪Tc=(1)/(Bd) stazionario
Condizioni di canale perfetto
Tipo di fading in relazione
al canale ed al segnale
Notiamo che il verificarsi contemporaneo della assenza di distorsione lineare in quanto W≪Bc, e della stazionarietà del canale in quanto Ts≪Tc, ovvero di fading lento e piatto (slow and flat), equivale in pratica al verificarsi delle condizioni di canale perfetto. Perché ciò possa accadere è necessario che si verifichi [695] [695]Infatti le due condizioni possono essere riscritte come BdTs≪1 e WΔτ≪1; moltiplicandole tra loro si ha BbTsWΔτ≪1; ma se poniamo W≃(1)/(Ts) si ottiene la condizione indicata.
Bd⋅Δτ≪1
detta condizione di sottodispersione (underspread). Nella pratica, i valori di Bd e Δτ per i canali in uso nelle telecomunicazioni soddisfano tale condizione; la figura a lato suddivide il piano [696] [696]Il ramo di iperbole che individua il luogo dei punti W⋅Ts è tracciato in base all’osservazione della nota precedente, ossia W≃(1)/(Ts), da cui W⋅Ts≃1. Ts,W nelle regioni per le quali si verificano i diversi tipi di fading, in funzione dai valori Bc e Tc.
Infine, la figura a lato rappresenta in forma gerarchica i fenomeni di attenuazione supplementare fin qui discussi.
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