PrecCapitolo 11: Modulazione per segnali analogici SuCapitolo 11: Modulazione per segnali analogici Sezione 11.2: Demodulazione di ampiezzaSegue

## 11.1Modulazione di ampiezza↓ - AM

Al § 10.2↑ si è mostrato che un segnale modulato x(t) può essere rappresentato nei termini delle sue componenti analogiche di bassa frequenza xc(t) e xs(t): nel caso in cui queste rappresentino due segnali indipendenti, la loro trasmissione congiunta sulla medesima portante realizza un segnale qam (quadrature amplitude modulation). Al contrario, nei casi piú tipici xc ed xs non sono qualsiasi, ma sussite tra loro una relazione, in base alla quale si distinguono le seguenti classi di segnali modulati in ampiezza:

- banda laterale doppia: la componente xs(t) è nulla, cosicchè Px(f) è simmetrico rispetto ad f0. Si tratta del caso a noi già noto, ed è indicato dagli acronimi bld o dsb (double side band).
- banda laterale unica: sono presenti sia xc(t) che xs(t), e risulta xs(t)  =^xc(t). Questo fa sí che (come vedremo) la densità Px(f) del segnale modulato giaccia tutta all’esterno (od all’interno) di ±f0 (blu o ssb - single side band)
- banda laterale ridotta: è una via di mezzo tra i due casi precedenti, e cioè Px(f) non è simmetrica rispetto ad f0, ma comunque giace da ambo i lati (blr o vsb - vestigial side band [488] [488]Come sarà più chiaro nel seguito, l’acronimo vsb simboleggia che, anziché sopprimere completamente una delle due bande laterali, se ne mantengono delle vestigia. ).

Per completare la classificazione, per ognuna delle possibilità precedenti può verificarsi uno tra tre sottocasi, che si riferiscono alla presenza o meno, in Px(f), di una concentrazione di potenza (ossia un impulso) a frequenza f0, corrispondente alla trasmissione di potenza non associata al messaggio m(t), ma solamente alla portante, e quindi priva di contenuto informativo ai fini della trasmissione. I tre sottocasi citati sono indicati come:

- portante soppressa (ps o sc - suppressed carrier);
- portante intera (pi o lc - large carrier);
- portante parzialmente soppressa (pps).

### 11.1.1Banda laterale doppia↓ - BLD

In questo caso l’inviluppo complesso x(t) del segnale modulato presenta una sola componente analogica di bassa frequenza, che per convenzione è posta pari a xc(t) [489] [489]Considerando che la portante di modulazione può avere una fase iniziale arbitraria, e che con una traslazione temporale ci si può sempre ricondurre ad usare una funzione cosω0t, la convenzione posta tratta il caso di un segnale modulato x(t)  =a(t)cos(ωot+φ) generico, con φ costante.. La dipendenza di xc(t) da m(t) è posta nella forma generale xc(t) =ap+kam(t), e quindi
xBLD(t)=(ap+kam(t))cosω0t
L’inviluppo complesso perciò risulta x(t)=ap+kam(t), mentre la sua densità di potenza vale
Px(f)=a2pδ(f)+k2aPm(f)
e quindi, dato che Px(f)=Px+(f)+Px−(f) e che, in base alla (17.49↑) risulta Px+(f)=(1)/(4)Px(f−f0) e Px−(f)=(1)/(4)Px(f+f0), si ottiene una densità di potenza per il segnale modulato pari a↓
(17.54) Px(f)=(a2p)/(4)[δ(f−f0)+δ(f+f0)]+(k2a)/(4)[Pm(f−f0)+Pm(f+f0)]
La potenza totale di x(t) vale perciò Px=(a2p)/(2)+(k2a)/(2)Pm, mentre la sua densità spettrale è riportata in figura, dove si è posto ka= 1.

#### 11.1.1.1Portante soppressa↓ - PS

Esaminando l’espressione trovata per Px per am-bld, notiamo che il termine (a2p)/(2) rappresenta la potenza della portante non modulata (concentrata per metà ad f0 e per metà a −f0), che quindi svanisce per ap=  0, dando luogo in quest’ultima circostanza al sottocaso di portante soppressa.
La demodulazione di am-bld-ps si effettua in modo coerente (§ 11.2.1↓), dopo aver ricostruito la portante per quadratura (§ 11.4.2↓), oppure mediante demodulatore ad inviluppo (§ 11.2.3↓), dopo aver elaborato la portante ricostruita come spiegato al § 11.1.1.3↓.

#### 11.1.1.2Portante intera↓ - PI

Nel caso in cui si ponga ap≠ 0 si può scegliere ap≥ka⋅max{|m(t)|}, in modo che risulti sempre xc(t)  =ap+kam(t)  ≥ 0; la diseguaglianza può essere scritta in modo equivalente come
(17.55) a2p≥k2am2(t) per ∀t
che rappresenta la condizione che caratterizza il caso di portante intera, in cui xc(t) appunto non inverte mai il segno; il rapporto ⎛⎝(ap)/(ka)⎞⎠2 identifica quindi la massima potenza istantanea↓ [490] [490]Si definisce come potenza istantanea di m(t), il segnale PI(t)  =m2(t), e la potenza di picco PMaxI ne rappresenta il massimo valore per qualunque t. (o di picco) PMaxI per m(t) affinché la (17.55↑) si verifichi. Viceversa, la conoscenza di PMaxI consente di dimensionare i parametri ap e ka in modo da realizzare le condizioni di portante intera [491] [491]Ad esempio, nel caso in cui m(t) sia un processo con densità di probabilità uniforme tra ±(Δ)/(2), la potenza di picco risulta essere (Δ2)/(4)= 3σ2M, dato che (come mostrato al § 7.2.3↑) in quel caso risulta σ2M=(Δ2)/(12); se invece m(t)  =asin2πfMt, allora si ha una potenza di picco a2= 2σ2M (dato che PM=σ2M=(a2)/(2)). Oppure ancora, se m(t) è gaussiano la potenza di picco (e dunque a2P⁄k2a per ottenere la portante intera) risulta infinita. E cosa accade allora? Si avrà necessariamente una portante ridotta..., nel cui caso il rapporto Ia=(ka⋅max{|m(t)|})/(ap)⋅100 rappresenta l’indice di modulazione↓ [492] [492]Un indice Ia pari al 100% indica che si sta sfruttando tutta la dinamica della portante, mentre se Ia> 100 ci troviamo in condizioni di sovramodulazione, e non più di portante intera..
D’altra parte, nel caso di portante soppressa xc(t) ha invece media nulla (se m(t) ha media nulla) e la portante cambia frequentemente segno, cosicchè per f=f0 non compaiono impulsi in Px(f).
La ragione principale dell’utilizzo della portante intera è che in tal caso il processo di decodifica non richiede la conoscenza di f0, e può svolgersi facendo uso di un semplice demodulatore di inviluppo, descritto in 11.2.3↓.

#### 11.1.1.3 Portante parzialmente soppressa↓ - PPS

Se ap è inferiore al valore necessario per avere la portante intera, ma non è nullo, si ottiene il caso della portante parzialmente soppressa, che ci permette di risparmiare potenza (vedi § 11.1.1.4↓). Il residuo di portante presente può essere usato per la sua ri-generazione al lato ricevente, utilizzando un pll (§ 11.2.1.2↓), in modo da sommarla al segnale ricevuto, ri-producendo cosí il termine apcosω0t. In tal modo ci si riconduce al caso PI, e si può effettuare la demodulazione di inviluppo (§ 11.2.3↓).

#### 11.1.1.4Efficienza di PI-PPS↓

Nell’espressione della potenza totale Px=(1)/(2)(a2p+k2aPm) per un generico segnale am, notiamo che solo Pu=(k2a)/(2)Pm è relativa al segnale utile, mentre (a2p)/(2) viene spesa sulla portante, che non trasporta informazione. Pertanto, si definisce una efficienza energetica
η=(Pu)/(Px)=((1)/(2)k2aPm)/((1)/(2)(a2p+k2aPm))=(1)/(1  +(a2p)/(k2aPm))
che rappresenta la frazione di potenza trasmessa utile ai fini della ricostruzione del messaggio [493] [493]Ad esempio, se m(t) = sin2πfMt si ha PM= 1 ⁄ 2 e, nel caso di portante intera, deve risultare ap=ka e dunque η=(1)/(1 + 2)= 0.33. Ovvero solo 1/3 della potenza trasmessa è utile al ricevitore!.

### 11.1.2Banda laterale unica↓ - BLU

Mentre con la modulazione bld si determina una occupazione di banda per il segnale modulato x(t) doppia di quella del segnale modulante, la tecnica blu impegna invece una banda uguale a quella di m(t). Un tale risultato è ottenuto rendendo le componenti analogiche xc(t) ed xs(t) del segnale modulato x(t) dipendenti tra loro, ed in particolare imponendo che xc(t)  =m(t) e xs(t)  =^m(t): infatti, in tal modo si ottiene
xBLU(t) = m(t)cosω0t−^m(t)sinω0t= = m(t)(ejω0t+e−jω0t)/(2)−^m(t)(ejω0t−e−jω0t)/(2j)= = ejω0t(1)/(2)[m(t)+j^m(t)]+e−jω0t(1)/(2)[m(t)−j^m(t)]
Ricordando ora che (1)/(2)[m(t)±j^m(t)]=m±(t) (vedi eq. (17.47↑)) è proprio il contenuto a frequenze positive (negative), allora se x(t) è di energia, effettuando la trasformata di Fourier di ambo i membri si ottiene
XBLU(f) = δ(f−f0)*M+(f)+δ(f+f0)*M−(f)= = M+(f−f0)+M−(f+f0)
e quindi il segnale modulato am-blu è costituito dal contenuto a frequenze positive e negative di m(t), traslato ai lati della portante f0.
Qualora invece si consideri il segnale modulante m(t) come una realizzazione di un processo ergodico, si può dimostrare (passando dalla trasformata di ℛx(τ)) un risultato del tutto analogo, ovvero
Px(f)=Pm+(f−f0)+Pm−(f+f0)
Nel caso descritto abbiamo considerato soppressa la portante, ed il segnale modulato (considerato nel dominio della frequenza) risulta esterno ad f0: questa circostanza è indicata con il termine di banda laterale superiore. Il caso opposto (banda laterale inferiore) si ottiene cambiando segno a xs(t). Scriviamo dunque
xBLU(t)=(ka)/(√(2))m(t)cosω0t∓(ka)/(√(2))^m(t)sinω0t
con − e + rispettivamente per ottenere un segnale blu con banda superiore o inferiore. In entrambi i casi il segnale modulato blu ha una potenza Px= 2⋅((k2a)/(2)⋅Pm⋅(1)/(2)) =(k2a)/(2)Pm (vedi § 11.4.1↓), eguale a quella di un segnale am-bld in cui xc(t)  =kam(t) e xs(t)  = 0.
I vantaggi di un tale metodo di modulazione sono subito evidenti: consente infatti di risparmiare banda, permettendo la trasmissione di piú messaggi in divisione di frequenza fdm, vedi pag. 1↑.

#### 11.1.2.1Generazione di segnali BLU

Un segnale blu può essere generato in due diversi modi, rappresentati alla figura seguente. Il primo consiste nell’uso di un filtro di Hilbert per calcolare ^m(t), da usareassieme ad m(t) in un modulatore in fase ed in quadratura. E’ subito evidente come si possano presentare problemi se m(t) ha contenuti energetici prossimi a frequenza zero, che rendono assai stringenti le specifiche per approssimare il filtro di Hilbert.
Un problema simile si presenta anche con il secondo metodo di generazione del segnale blu, in cui viene prima prodotto un segnale bld, e quindi lo si filtra in modo da eliminare una delle bande laterali: la necessità di trasmettere frequenze di m(t) prossime allo zero, complica infatti la realizzazione del filtro.
La trasmissione fdm di segnali blu è stata lungamente usata per i ponti radio telefonici (vedi § 10.1.1.3↑). Pertanto, la limitazione sulla minima frequenza di una canale telefonico a 300 Hz è motivata anche dalla necessità di effettuare modulazioni blu.

### 11.1.3Banda laterale ridotta↓ - BLR

Si può verificare il caso in cui non si possa assolutamente fare a meno di componenti di segnale a frequenza molto bassa, come avviene, ad esempio, nel segnale televisivo [494] [494]Nel caso ad esempio di ampie zone di immagine uniformi ed a luminosità costante, il segnale è praticamente costante. (vedi appendice 11.4.4↓). Si ricorre allora alla modulazione a banda laterale ridotta (blr),ottenuta facendo transitare il segnale modulato bld attraverso uno specifico filtro, che presenta una regione di transizione tra la banda passante e quella attenuata piú dolce di quella di un passa-banda ideale, e che si estende oltre f0.

### 11.1.4Potenza di un segnale AM↓

Qui sotto è mostrato uno schema riassuntivo dell’espressione del segnale modulato per i diversi tipi di modulazione am, assieme ai valori ka ed ap tali da determinare una potenza totale Px.

| Segnale modulato x(t) | Potenza Px | ka per Px dato
BLD-PS | kam(t)cos(ω0t) | (k2a)/(2)Pm | √((2Px)/(Pm))
BLU-PS | (ka)/(√(2))m(t)cos(ω0t)  −(ka)/(√(2))^m(t)sin(ω0t) | (k2a)/(2)Pm | √((2Px)/(Pm))
BLD-PI | [ap+kam(t)]cos(ω0t) | (a2p)/(2)+(k2a)/(2)Pm | √((2Px−a2p)/(Pm))
| con ap≥ka⋅max{|m(t)|} |  |

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