PrecSezione 16.2: Rapporto segnale rumore dei generatori SuCapitolo 16: Rumore termico Sezione 16.4: Rumore nei ripetitoriSegue

## 16.3Rumore nelle reti due porte↓

Se colleghiamo un generatore rumoroso a temperatura Tg all’ingresso di una rete due porte a temperatura TQ, è lecito aspettarsi all’uscita della rete un processo di rumore dipendente sia dal generatore che dalla rete, e la cui potenza disponibile Wdnu(f) può essere espressa in funzione di una temperatura equivalente di uscita Teu(f), tale che
Wdnu(f)=(1)/(2)kTeu(f)
D’altra parte a Teu(f) concorrono sia la temperatura del generatore Tg(f), che la rete con una propria TQu(f) “equivalente di uscita”; scriviamo dunque
Wdnu(f)=(1)/(2)k⋅[Tg(f)Gd(f)+TQu(f)]
in cui la potenza disponibile in ingresso alla rete (che ha guadagno disponibile Gd(f)) è riportata in uscita, moltiplicata per Gd(f). Se effettuiamo l’operazione inversa per il contributo di rumore dovuto a TQu, otteniamo Wdnu(f)=(1)/(2)kGd(f)⋅[Tg(f)+TQi(f)] (in cui TQi(f)=(TQu(f))/(Gd)), ovvero
Wdnu(f)=(1)/(2)kGd(f)Tei(f)
dove
(18.85) Tei(f)=Tg(f)+TQi(f)=Tg(f)+(TQu(f))/(Gd(f))
è detta anche temperatura di sistema↓ Ts=Tei, poiché riporta in ingresso alla rete tutti i contributi al rumore di uscita, dovuti sia al generatore che alla rete. Siamo però rimasti con un problema irrisolto: che dire a riguardo di TQi e TQu?

### 16.3.1Reti passive

Supponiamo ora tutti i componenti della rete due porte alla stessa temperatura TQ. In questo caso si può mostrare che risulta
⎧⎨⎩ TQu(f) = [1 −Gd(f)]TQ TQi(f) = (TQu(f))/(Gd(f))=[Ad(f)−  1]TQ
in modo da poter scrivere:
⎧⎨⎩ Teu(f) = Gd(f)Tg(f)+TQu(f)=Gd(f)Tg(f)+[1 −Gd(f)]TQ Tei(f) = (Teu(f))/(Gd(f))=Tg(f)+[Ad(f)− 1]TQ
Questo risultato evidenzia come per una rete passiva (con 0  ≤Gd≤ 1), la temperatura di rumore equivalente in uscita sia una media pesata delle temperature del generatore e della rete. Nei casi limite in cui Gd= 0 oppure 1, la Teu(f) è pari rispettivamente a TQ e Tg(f); infatti i due casi corrispondono ad una “assenza” della rete oppure ad una rete che non attenua.

#### 16.3.1.1Rapporto SNR in uscita

Se si valuta il rapporto segnale rumore in uscita alla rete, otteniamo
SNRu(f)=(Wdg(f)Gd(f))/((1)/(2)kTei(f)Gd(f))=(Wdg(f))/((1)/(2)k⋅[Tg(f)+[Ad(f)− 1]TQ])
Ricordando che il generatore in ingresso presenta un SNRi(f)=(Wdg(f))/((1)/(2)kTg(f)), possiamo valutare il peggioramento prodotto dalla presenza della rete:
(18.86) (SNRi(f))/(SNRu(f)) = (Wdg(f))/((1)/(2)kTg(f))⋅((1)/(2)k⋅[Tg(f)+[Ad(f)− 1]TQ])/(Wdg(f))= = 1 +(TQ)/(Tg(f))⋅[Ad(f)−  1]

#### 16.3.1.2Fattore di rumore per reti passive

Il coefficiente (18.86↑) F(f)= 1 +(TQ)/(Tg(f))⋅[Ad(f)− 1]≥ 1 è chiamato fattore di rumore [724] [724]A volte si incontra anche il termine figura di rumore, derivato dall’inglese noise figure (che in realtà si traduce cifra di rumore), e che si riferisce alla misura di F in decibel. della rete passiva, e rappresenta il peggioramento dell’SNR dovuto alla sua presenza, potendo infatti scrivere
SNRu(f)=(SNRi(f))/(F(f))≤SNRi(f)
Notiamo subito che se Tg(f)=TQ, allora F=Ad: pertanto una rete passiva che si trova alla stessa temperatura del generatore, esibisce un fattore di rumore pari all’attenuazione. Infatti, mentre la potenza disponibile di rumore è la stessa (essendo generatore e rete alla stessa temperatura), il segnale si attenua di un fattore Ad.

### 16.3.2Reti attive

In questo caso il rumore introdotto dalla rete ha origine non solo dai resistori, e dunque non è più vero che TQu(f)=[1 −Gd(f)]TQ. Inoltre, il guadagno disponibile può assumere valori Gd> 1. In questo caso, si può esprimere l’SNR in uscita dalla rete come
SNRu(f)=(Wdg(f)Gd(f))/((1)/(2)k[Gd(f)Tg(f)+TQu(f)])=(Wdg(f))/((1)/(2)k⋅[Tg(f)+TQi(f)])
ed il peggioramento individuato in (18.86↑) come
(18.87) (SNRi(f))/(SNRu(f)) = (Wdg(f))/((1)/(2)kTg(f))⋅((1)/(2)k⋅[Tg(f)+TQi(f)])/(Wdg(f)) = 1 +(TQi(f))/(Tg(f))=F(f,Tg)
Quest’ultima espressione dipende ancora da Tg. Allo scopo di ottenere una grandezza che dipenda solamente dalla rete due porte, si definisce quindi il

#### 16.3.2.1Fattore di rumore↓ per reti attive

Viene posto pari a
F(f)= 1 +(TQi(f))/(T0)
e rappresenta il peggioramento di SNR causato dalla rete quando il generatore è a temperatura ambiente T0 = 290 oK = 17 oC. In realtà non ci è dato di conoscere TQi(f), mentre invece F(f) può essere misurato a partire dal rapporto dei rapporti SNR, ed è proprio ciò che fa il costruttore della rete due porte. Questo ci permette dunque il calcolo di TQi(f)=T0[F(f)− 1] che, sostituito nella (18.85↑), permette finalmente di valutare la temperatura di sistema come
Tei(f)=Tg(f)+T0[F(f)− 1]
ed il peggioramento dell’SNR come
(SNRi(f))/(SNRu(f))= 1 +(T0)/(Tg(f))[F(f)− 1]
Riassunto

- il fattore di rumore è definito come il peggioramento di SNR dovuto alla presenza della rete tra generatore e carico, quando il generatore è a temperatura T0= 290 oK = 17 oC;
- dal fattore di rumore si deriva la temperatura di sistema Tei(f)=Tg(f)+T0[F(f)− 1];
- Se Tg=T0 allora Tei(f)=F(f)T0, e dunque la temperatura di sistema Tei è F(f) volte quella del generatore;
- Se la rete non è rumorosa si ottiene F=  1 (pari a 0 dB);
- Se la rete è passiva allora F(f)=[Ad(f)− 1](TQ)/(T0)+ 1, e se TQ=T0 allora F=Ad.

Esempio Sia data una rete due porte con assegnati guadagno disponibile Gd, banda di rumore BN e fattore di rumore F. Valutare il rapporto segnale rumore disponibile in uscita nei due casi in cui il generatore si trovi ad una generica temperatura Tg oppure a T0.
Soluzione Sappiamo che la densità di potenza disponibile di rumore in uscita vale
Wdnu(f)=(1)/(2)kTeiGd=(1)/(2)k⋅[Tg+TQi]⋅Gd
in generale F= 1 +(TQi)/(T0) e quindi TQi=T0(F− 1), dunque
Wdnu(f)=(1)/(2)k⋅[Tg+T0(F− 1)]⋅Gd
Pertanto, la potenza disponibile di rumore si ottiene integrando la densità sulla banda di rumore
Wdnu=k⋅[Tg+T0(F− 1)]⋅GdBN
che, nel caso in cui Tg=T0, si riduce a Wdnu=kT0FGdBN. Per la potenza di segnale, si ha invece Wdsu=WdgGd, e pertanto se Tg=T0, risulta
SNRu=(SNRi)/(F)=(Wdg)/(kT0FBN)=(Wdg)/(kTeiBN)
ottenendo quindi lo stesso SNR in ingresso, ma con un rumore F volte più potente. Nel caso in cui Tg sia generico, considerando un fattore di rumore costante nella banda di rumore BN, otteniamo:
SNRu = (SNRi)/(F(Tg))=(Wdg)/(kTgBN)⋅(1)/(1 +(TQi)/(Tg))=(Wdg)/(kTgBN)⋅(1)/(1 +(T0(F− 1))/(Tg))= = (Wdg)/(k[Tg+T0(F− 1)]BN)=(Wdg)/(kTeiBN)

### 16.3.3Fattore di rumore per reti in cascata↓

Sappiamo che il guadagno disponibile dell’unica rete due porte equivalente alle N reti poste in cascata, è pari al prodotto dei singoli guadagni, ovvero Gd= ΠNn= 1Gdn. Come determinare invece il fattore di rumore equivalente complessivo ?
Con riferimento alla figura mostrata a lato, il singolo contributo di rumore dovuto a ciascuna rete può essere riportato all’ingresso della rete stessa, individuando così una temperatura
T(n)Qi=T0(F(n)− 1)
I singoli contributi possono quindi essere riportati a monte delle reti che li precedono, dividendo la potenza (ovvero la temperatura) per il guadagno disponibile delle reti scavalcate. Dato che i contributi di rumore sono indipendenti, le loro potenze si sommano, e dunque è lecito sommare le singole temperature T(n)Qi riportate all’ingresso, in modo da ottenere un unico contributo complessivo di valore
T(T)Qi=T(1)Qi+T(2)Qi(1)/(Gd1)+T(3)Qi(1)/(Gd1Gd2)+ ⋯ +T(N)Qi(1)/(ΠN− 1n= 1Gdn)
in cui, sostituendo le espressioni per i T(n)Qi si ottiene
T(T)Qi=T0⋅⎡⎣F1− 1 +(F2− 1)/(Gd1)+(F3− 1)/(Gd1Gd2)+ ⋯ +(FN− 1)/(ΠN− 1n= 1Gdn)⎤⎦
Applicando la definizione F(T)= 1 +(T(T)Qi)/(T0), si ottiene
F(T)=F1+(F2− 1)/(Gd1)+(F3− 1)/(Gd1Gd2)+ ⋯ +(FN− 1)/(ΠN− 1n= 1Gdn)
che costituisce proprio l’espressione cercata:
F(T)=F1+N⎲⎳i= 2(Fi− 1)/(Πi− 1j= 1Gdj)
Il risultato si presta alle seguenti considerazioni:

- la prima rete due porte deve avere F più piccolo possibile, in quanto quest’ultimo non può essere ridotto in alcun modo e contribuisce per intero ad F(T);
- la prima rete due porte deve avere Gd più elevato possibile, in quanto quest’ultimo divide tutti i contributi di rumore delle reti seguenti.

Pertanto l’elemento che determina in modo preponderante il rumore prodotto da una cascata di reti due porte è la prima rete della serie, ed il suo progetto deve essere eseguito con cura particolare, anche tenendo conto del fatto che le due esigenze sopra riportate sono spesso in contrasto tra loro. E’ inoltre appena il caso di ricordare che l’espressione ottenuta non è in dB, mentre spesso F è fornito appunto in dB; pertanto per il calcolo di F(T) occorre prima esprimere tutti gli Fi in unità lineari.
Esercizio Un trasmettitore con potenza di 50 mW e portante 30 MHz, modula am bld ps un segnale con banda ±W= ± 10 KHz. Qualora si desideri mantenere un SNR in ricezione di almeno 25 dB, determinare la distanza che è possibile coprire adottando antenne isotrope, ed un ricevitore caratterizzato da un fattore di rumore F = 10 dB.
Svolgimento Assumendo che si verifichino le condizioni di massimo trasferimento di potenza, il valore desiderato SNR=(WR)/(WN) può essere ottenuto se WR=WN⋅SNR= 2W⋅WdNi⋅SNR=W⋅kT0F⋅SNR, e quindi
WRmin(dBm) = 10log10104(Hz) - 174(dBm/Hz) + FdB + SNRdB =
= 40 - 174 + 10 + 25 = - 99 dBm.
Il guadagno di sistema risulta allora pari a
Gs(dB) = WT(dBm) - WRmin(dBm) = 10log1050 + 99 = 17 + 99 = 116 dB
Non prevedendo nessun margine, l’attenuazione dovuta alla distanza può essere pari al guadagno di sistema, e pertanto scriviamo
Ad = 116 = 32.4 + 20log10f(MHz) + 20log10d(Km) =
= 32.4 + 29.5 + 20log10d(Km)
e quindi 2.7 = log10d(Km), da cui d= 102.7 = 501 Km. Svolgendo nuovamente i calcoli nel caso in cui il fattore di rumore del ricevitore sia pari a 20 dB e 100 dB, si ottiene che la nuova massima distanza risulta rispettivamente di 158 Km e di 15 metri.
Esercizio
Una trasmissione video modulata am-blu con portante fp = 2 GHz viene ricevuta secondo uno dei due schemi in figura, indicati come caso A e B. E’ presente una discesa in cavo coassiale con φ = 1.2/4.4 mm lunga 50 metri, un filtro-amplificatore con guadagno disponibile Gd1 = 20 dB, fattore di rumore F1 = .4 dB e banda di rumore BN = 7 MHz, ed un mixer che converte il segnale a frequenza intermedia fI, e che esibisce Gd2 = 0 dB e F2 = 10 dB. Tutti i componenti a valle dell’antenna si trovano alla stessa temperatura T0 = 290 oK. Calcolare:
1) La minima potenza disponibile WdR che occorre ricevere per ottenere SNR0 = 50 dB nei due casi. Ripetere il calcolo supponendo l’antenna ricevente a temperatura Ta = 10 oK anziché T0.
2) La minima potenza che è necessario trasmettere per superare un collegamento terrestre lungo 50 Km, con antenne di guadagno GT=GR= 30 dB. Ripetere il calcolo per un down link satellitare in orbita geostazionaria, con GT=GR= 40 dB.
3) Il valore efficace della tensione ai capi del generatore equivalente di uscita dell’amplificatore di potenza del trasmettitore, per il caso migliore (tra A e B) del collegamento terrestre, nel caso di massimo trasferimento di potenza con Zu=Za= 50 Ω, oppure con Zu = 50 Ω e Za = 50 - j 50 Ω.
Svolgimento
Determiniamo innanzitutto l’attenuazione del cavo coassiale, che risulta Ad(f)=A0√(f(MHz)) dB/Km. Per il diametro indicato risulta A0 = 5.3 dB/Km, ed alla frequenza di 2 GHz si ottiene Ad(f)dB= 5.3√(2⋅103)= 237 dB/Km; e quindi in 50 metri si hanno 11.85 ≃ 12 dB. Dato che il cavo è a temperatura T0, risulta anche Fcavo=Ad= 12 dB. Riassumendo:

| Ad=Fcavo | F1 | Gd1 | F2 | Gd2
dB | 11.85 | .4 | 20 | 10 | 0
lineare | 15.3 | 1.1 | 100 | 10 | 1

1)
A) Il fattore di rumore complessivo risulta
FA=Fcavo+Ad(F1− 1)+(Ad)/(Gd1)(F2− 1)= 15.3 + 15.3⋅(.1)+(15.3)/(100)(9)= 18.2
ovvero pari a 12.6 dB. Dato che per la trasmissione televisiva am-blu si ha SNR=SNR0, scriviamo
WdR=SNR⋅WdN=SNR0⋅FA⋅BN⋅kT0 e quindi
WdR(dBm) = SNR0(dB) + FA(dB) + BN(dBMHz) + KT0(dBm/MHz) =
= 50 + 12.6 + 8.45 - 114 = -43 dBm
B) Il fattore di rumore complessivo risulta ora
FB = F1+((Fcavo−  1))/(Gd1)+(Ad)/(Gd1)(F2− 1)= 1.1 +(14.3)/(100)+(15.3)/(100)(9)= 2.26
ovvero pari a 3.5 dB. La differenza con il caso A è di 9.1 dB, e la potenza disponibile che occorre ricevere diminuisce pertanto della stessa quantità, e quindi ora risulta WdR = -52.1 dBm.
Nel caso in cui Ta = 10 oK ≠T0, non si ottiene più Tei=FT0, ma occorre introdurre la TQi della rete riportata al suo ingresso, e considerare la rete non rumorosa in modo da scrivere Tei=Tg+TQi=TA+T0(F− 1). Ripetiamo i calcoli per i due casi A e B:
A) WdRW=SNR⋅WdN=SNR⋅BN⋅k⋅(Ta+TQi)=

- =SNR⋅BN⋅k⋅(Ta+T0(FA− 1)), che espresso in dB fornisce
  WdRdBW=SNRdB+ 10log107⋅106 + 10log10(1.38⋅10− 23(10 + 290⋅17.2))
  = 50 + 68.5 − 191.61 =  − 73.11 dBW = − 43.11 dBm

B) WdR(dBW) = 50 + 68.5 + 10log10(1.38⋅10− 23(10 + 290⋅1.26)) = - 84.3 dBW = -54.3 dBm
Notiamo che se la Ta è ridotta, le prestazioni per la configurazione A migliorano di soli 0.11 dB, mentre nel caso B il miglioramento è di circa 2.2 dB. Questo risultato trova spiegazione con il fatto che in A predomina comunque il TQi prodotto dal cavo.
2) In un collegamento radio terrestre si assume Ta = 290 oK. Inoltre, per il caso in esame si trova una attenuazione disponibile pari a

- Ad = 32.4 + 20log10f(MHz) + 20log10d(Km) - GT - GR =
  = 32.4 + 66 + 34 - 60 = 72.4 dB
  A) WdT = WdR + Ad = - 43.11 + 72.4 = 29,29 dBm = 850 mW
  B) WdT = WdR + Ad = - 54.3 + 72.4 = 18.1 dBm = 66 mWatt
  Per il downlink si ha d = 36.000 Km, mentre Ta = 10 oK. Pertanto:
  Ad = 32.4 + 20log10f(MHz) + 20log10d(Km) - GT - GR =
  = 32.4 + 66 + 91.12 - 80 = 109.5 dB
  e quindi, utilizzando il valore WdR ottenuto per il caso B, otteniamo
  WdT=WdR+Ad = - 54.3 + 109.5 = 55.2 dBm = 25.2 dBW → 331 Watt

3) Nel caso di adattamento, la potenza ceduta all’antenna Tx è proprio quella disponibile del generatore, e quindi si ha WdT=(σ2g)/(4R), da cui
σg=√(WdT4R)=√(66⋅10− 3⋅4⋅50) = 3.63 Volt.
In caso di disadattamento, desiderando che la potenza ceduta all’antenna trasmittente rimanga la stessa, e supponendo le impedenze indipendenti dalla frequenza, scriviamo (in accordo alla relazione (18.35↑))
WT=Pvo(Ra)/(|Za|2)=Pvo(50)/(502+ 502)= Pvo⋅10− 2
e quindi Pvo≃ 6.6 (Volt2). Applicando ora la regola del partitore, si ottiene
Pvo=Pvg||(Za)/(Za+Zu)||2=Pvg||(50  −j50)/(50  + 50 −j50)||2=Pvg(502+ 502)/(1002+ 502)=Pvg⋅0.4.
Dunque, Pvg=(Pvo)/(0.4)=(6.6)/(0.4)= 16.5 Volt2, ovvero Vgeff=√(16.5)≃4 Volt.
Evidentemente, il disadattamento produce un innalzamento del valore efficace, se si vuol mantenere la stessa potenza di uscita.
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