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## 2.1Prerequisiti trigonometrici

### 2.1.1Numeri complessi

Un numero complesso x è costituito da una coppia di valori numerici a e b che ne rappresentano la parte reale e quella immaginaria:
x=a+jb
E’ spesso utile ricorrere ad una rappresentazione di x nel piano complesso, che mette in luce l’espressione alternativa [17] [17]La rappresentazione in modulo e fase consente di calcolare il prodotto tra numeri complessi (es x=|x|ejφ e y=|y|ejθ) in modo semplice: y=x⋅y=|x||y|ej(φ+θ). di x nei termini di modulo |x| e fase φ:
x=|x|ejφ
Queste due quantità si ottengono dalle parti reale ed immaginaria, mediante le relazioni
|x|=√(a2+b2) e φ= arctan(b)/(a)
mentre le relazioni inverse risultano
a=|x|cosφ e b=|x|sinφ
Per ogni numero complesso x, è definito il suo coniugato x* come quel numero complesso con uguale parte reale, e parte immaginaria di segno opposto, ovvero uguale modulo, e fase cambiata di segno: x*=a−jb=|x|e−jφ.

### 2.1.2Formule di Eulero↓

L’esponenziale ejφ è un particolare numero complesso con modulo pari ad uno [18] [18]L’espressione più generale eγ con γ=α+jφ è ancora un numero complesso, di modulo eα. Infatti eγ=eα+jφ=eαejφ=eα(cosφ+jsinφ)., e che quindi si scompone in parte reale ed immaginaria come
e±jφ= cosφ±jsinφ
Da questa relazione sono derivabili le formule di Eulero, che esprimono le funzioni trigonometriche in termini di esponenziali complessi come
cosφ=(ejφ+e−jφ)/(2) e sinφ=(ejφ−e−jφ)/(2j)
e che possono tornare utili nel semplificare i calcoli, trasformando i prodotti tra funzioni trigonometriche in somme di angoli [19] [19]
L’affermazione nasce dalla relazione eαeβ=eα+β. Ad esempio quindi, il prodotto cosα⋅sinβ diviene
=(1)/(4j)(ejα+e−jα)(ejβ−e−jβ)=(1)/(4j)[ejαejβ−ejαe−jβ+e−jαejβ−e−jαe−jβ]
=(1)/(4j)[ej(α+β)−e−j(α+β)−ej(α−β)+e−j(α−β)]=(1)/(4j)[2jsin(α+β)− 2jsin(α−β)]
=(1)/(2)[sin(α+β)− sin(α−β)]
.

### 2.1.3Fasori↓

Un segnale del tipo x(t)=Acos(2πf0t+φ) è completamente rappresentato dal numero complesso x=Aejφ detto fasore, la cui conoscenza permette di riottenere il segnale originario mediante la relazione x(t)= ℜ{x⋅ej2πf0t}, che una volta sviluppata [20] [20]Un modo alternativo di ottenere lo stesso risultato è quello di esprimere gli esponenziali complessi in termini trigonometrici, ottenendo x(t)= ℜ{|x|(cosφ+jsinφ)[cos(2πf0t)+jsin(2πf0t)]}, e sviluppare il calcolo facendo uso delle relazioni cosαcosβ=(1)/(2)[cos(α+β)+ cos(α−β)] e sinαsinβ=(1)/(2)[cos(α−β)− cos(α+β)], ma avremmo svolto più passaggi. risulta infatti pari a
x(t) = ℜ{A⋅ej(2πf0t+φ)} = A⋅ℜ{cos(2πf0t+φ)+jsin(2πf0t+φ)} = Acos(2πf0t+φ)
Osserviamo che il risultato ottenuto può interpretarsi graficamente come l’aver impresso al fasore una rotazione di velocità angolare ω0= 2πf0 radianti/secondo in senso antiorario, ed aver proiettato il risultato sull’asse reale. In alternativa, possiamo esprimere il segnale di partenza anche come
(6.1) x(t)=(1)/(2){xej2πf0t+x*e−j2πf0t}
Tale operazione coinvolge anche le frequenze negative, e corrisponde a tener conto anche di un secondo vettore rotante, che si muove ora in senso orario, che ha una parte immaginaria di segno sempre opposto al primo, e che è moltiplicato per il coniugato del fasore. Vedremo tra breve che l’ultima espressione fornita è esattamente quella della serie di Fourier per il caso in questione.
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