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## 9.1Correlazione e covarianza

Al § 7.3.5↑ abbiamo osservato come la caratterizzazione statistica del primo ordine pX(x) di un processo {x(t,θ)} stazionario ergodico, consenta il calcolo di valor medio mx e varianza σ2X, nonché della potenza PX=EX{x2}=σ2X+(mx)2, valida per una qualunque realizzazione θ del processo. Definiamo ora una statistica del secondo ordine↓ che permetterà di determinare anche lo spettro di densità di potenza delle realizzazioni del processo.
Figura 9.1 Estrazione di due variabili aleatorie da un membro di processo, e loro possible d.d.p. congiunta
La statistica di secondo ordine si basa sulla considerazione di 2 istanti t1 e t2, in corrispondenza dei quali estraiamo due variabili aleatorie x1=x(t1), x2=x(t2) a partire da una realizzazione θ di un processo x(t,θ), come mostrato a sinistra di fig. 9.1↑. Al variare della realizzazione campionata θ∈ Θ, tutte le coppie di valori estratti sono altrettante determinazioni di una variabile aleatoria bidimensionale, descritta da una densità di probabilità congiunta pX1X2(x1x2;t1t2), che dipende anche dagli istanti t1 e t2, ed è esemplificata nella parte destra di fig. 9.1↑, che mostra come questa sottenda un volume unitario, e descriva con il suo andamento le regioni del piano x1x2 in cui cadono un maggior numero di coppie (ovvero dove la probabilità è più densa).

### 9.1.1Correlazione↓

Questa grandezza dipende dalla definizione di un valore atteso, formalmente analogo a quanto già visto per il caso unidimensionale, che prende il nome di momento misto↓ di ordine (i,j) e che risulta:
m(i,j)X1X2=EX1X2{xi1xj2}=⌠⌡⌠⌡xi1xj2pX1X2(x1x2;t1t2)dx1dx2
e che nel caso in cui i=j= 1 prende il nome di correlazione e si indica come
ℛX(x(t1),x(t2))=m(1,  1)X1X2
Prima di proseguire, soffermiamoci un istante per meglio comprendere il significato di m(1, 1)X1X2. Il valore di correlazione fra due variabili aleatorie è indicativo del legame che esiste tra le due [403] [403]Intese qui nel senso più generale, per esempio come temperatura e pressione in un punto ben preciso di un cilindro di un motore a scoppio, oppure come pressione e velocità in un circuito idraulico, o pneumatico... astraendo cioè dal caso particolare di due v.a. estratte da una stessa forma d’onda., nel senso di quanto l’una ha un valore che dipende da quello dell’altra, ed ha un valore assoluto tanto più elevato quanto più i valori di x1 e x2 sono legati in modo deterministico [404] [404] Può tornare utile pensare m(1,  1)X1X2 come una media pesata dei possibili valori del prodotto x1x2; i termini di eguale ampiezza e segno opposto possono elidersi se equiprobabili. Negli esempi che seguono, riportiamo dei diagrammi di scattering↓ per sei diversi casi di distribuzione delle coppie di valori x1 e x2, assieme ai valori di correlazione ℛx1x2 (corr), covarianza σx1x2 (cov), e coefficiente di correlazione ρ (vedi § 9.10.1↓ per quest’ultimo parametro)
Correlazione elevata Correlazione media Correlazione nulla
Correlazione elevata Correlazione media Correlazione nulla
In A) e F) le coppie di valori sono legate da una legge pressoché deterministica, mentre in B) e D) c’è più variabilità, ma si nota ancora una certa dipendenza tra le due. Infine nei casi C) ed E), osserviamo due v.a. statisticamente indipendenti, dato che pX1X2(x1,x2) è fattorizzabile come pX1(x1)pX2(x2), e per le quali risulta quindi ℛX(x1x2)=mx1mx2.
: in effetti però, seguendo gli esempi riportati nella nota, non sempre questo accade, e pertanto è opportuno basarsi sull’uso di momenti centrati come descritto al punto successivo.

### 9.1.2Indipendenza statistica↓ e incorrelazione

Nel caso in cui le due v.a. siano statisticamente indipendenti, e cioè si possa scrivere pX1X2(x1,x2;t1,t2)=p(x1)p(x2)( [405] [405]Omettiamo per brevità di indicare la variabile aleatoria a pedice della densità di probabilità.), l’integrale che definisce la correlazione si fattorizza, e pertanto
(17.22) ℛX(x1,x2) = ⌠⌡⌠⌡x1x2p(x1)p(x2)dx1dx2=⌠⌡x1p(x1)dx1⋅⌠⌡x2p(x2)dx2= = E{x1}E{x2}=mX1mX2
Covarianza↓
E’ indicata come σ(x1,x2) e rappresenta il momento misto centrato tra le due v.a., di espressione [406] [406]L’uguaglianza si ottiene ricordando che un valore atteso è in realtà un integrale, ed sfruttando la proprietà distributiva di quest’ultimo.
(17.23) σ(x1,x2) = E{(x1−mX1)(x2−mX2)}= = E{x1x2}−E{x1mX2}−E{mX1x2}+E{mX1mX2}= = E{x1x2}−mX1mX2= ℛX(x1,x2)−mX1mX2
Incorrelazione↓
Combinando i risultati (17.22↑) e (17.23↑) possiamo verificare che

> Se due variabili aleatorie x1 ed x2 sono statisticamente indipendenti, queste si dicono incorrelate, in quanto la covarianza σ(x1x2) è nulla [407] [407]Notiamo immediatamente che il termine più corretto sarebbe “incovarianzate”; l’uso (ormai storico e consolidato) dell’espressione incorrelate deriva probabilmente dal considerare usualmente grandezze a media nulla, per le quali le due espressioni coincidono..

La proprietà esposta ha valore in una sola direzione, in quanto se due v.a. esibiscono σ(x1,x2)= 0 non è detto che siano statisticamente indipendenti [408] [408]Vedi ad esempio il caso F) della nota (9.1.1↑), in cui le variabili aleatorie risultano incorrelate, ma non sono per nulla indipendenti, in quanto l’una dipende strettissimamente dall’altra, dato che le coppie di valori si dispongono su di un cerchio.. L’unico caso in cui l’incorrelazione tra variabili aleatorie ne implica l’indipendenza statistica, è quello relativo a v.a. estratte da un processo gaussiano, come mostrato in appendice 9.10.2↓.

### 9.1.3Correlazione di processo ergodico↓

Nel caso in cui il processo da cui si estraggono x1 e x2 sia stazionario, si ottiene che
ℛX(x(t1),x(t2))= ℛX(x(t1),x(t2=t1+τ))= ℛX(τ)
e cioè la correlazione dipende solo dall’intervallo τ=t2−t1. Infatti se un processo è stazionario, le proprietà statistiche non dipendono da traslazioni temporali.
Nel caso in cui il processo sia anche ergodico, allora le medie di insieme hanno lo stesso valore delle corrispondenti medie temporali, e dunque la correlazione (media di insieme) può essere calcolata in base alla sua media temporale equivalente, a partire da una qualunque realizzazione del processo
(17.24) ℛx(τ)= limT→ ∞(1)/(T)T⁄ 2⌠⌡−T⁄ 2x(t)x(t+τ)dt
Ovviamente è vero anche l’inverso, e cioè: il valor medio del prodotto tra due campioni, estratti (a caso) a distanza τ a partire da una specifica realizzazione [409] [409]Si rifletta sulla descrizione ora data a parole dell’operazione di media temporale scritta sopra., ha un valore che è calcolabile come media di insieme a partire dalla conoscenza della densità di probabilità congiunta pX1X2(x1,x2;t1,t1+τ).

### 9.1.4Autocorrelazione↓ e intercorrelazione↓

La media temporale ℛx(τ) appena introdotta prende il nome di integrale di autocorrelazione, che è definito anche per segnali di energia, come
(17.25) ℛx(τ)=∞⌠⌡− ∞x*(t)x(t+τ)dt
in cui l’operatore di coniugato generalizza l’operazione anche al caso di segnali complessi. Simile, ma diversa, è la definizione di integrale di intercorrelazione, che esprime lo stesso calcolo, ma generalizzandone il concetto, in quanto relativo a due segnali x(t) ed y(t) estratti da processi diversi:
(17.26) ℛxy(τ)=∞⌠⌡− ∞x*(t)y(t+τ)dt
che può essere interpretato come prodotto scalare o energia mutua↓ (vedi § 3.2↑) tra x(t) e una copia di y(t) traslata nel tempo. L’integrale di autocorrelazione è anche detto funzione di autocorrelazione, in quanto il suo argomento è un tempo (l’intervallo tra due campioni) e dunque ℛx(τ) può essere visto come un segnale (funzione di τ anzichè di t). Nello studio abbiamo già incontrato un integrale (di convoluzione) il cui risultato è una funzione del tempo; la somiglianza tra i due è più profonda di una semplice analogia, in quanto si può scrivere
(17.27) ℛx(τ)=∞⌠⌡− ∞x*(t)x(t+τ)dt=x*(−t)*x(t)
in cui * è il consueto simbolo di convoluzione [410] [410]Il risultato ottenuto si basa sul cambio di variabile θ=t+τ che permette di scrivere
ℛx(τ)=∞⌠⌡− ∞x*(θ−τ)x(θ)dθ=∞⌠⌡− ∞x*(−(τ−θ))x(θ)dθ=x*(−t)*x(t)
.
In base a quest’ultima osservazione otteniamo la costruzione grafica mostrata in fig. (9.2↓), che fornisce il risultato dell’integrale di autocorrelazione, e che è del tutto simile a quella già illustrata per la convoluzione (vedi § 3.5.3↑), con la differenza che ora non si effettuano ribaltamenti di asse. L’esempio mostrato ne illustra l’applicazione ad un caso noto, per il quale x(t)=x*(−t), e che fornisce quindi lo stesso risultato di x(t)*x(t).

#### 9.1.4.1Proprietà dell’autocorrelazione↓

Figura 9.2 Autocorrelazione di due rettangoli
Elenchiamo ora alcuni aspetti caratteristici della funzione di autocorrelazione:
Traslazioni temporali:
se consideriamo i segnali x(t) e y(t)=x(t+θ), le rispettive autocorrelazioni ℛx(τ) ed ℛy(τ) sono identiche [411] [411]Infatti otteniamo:
ℛy(τ) = ∞⌠⌡− ∞y(t)y(t+τ)dt=∞⌠⌡− ∞x(t+θ)x(t+θ+τ)dt = ∞⌠⌡− ∞x(α)x(α+τ)dα= ℛx(τ)
. Questo risultato mostra come l’autocorrelazione non tenga conto dell’informazione legata alla fase dei segnali: infatti x(t) e y(t) hanno la stessa densità spettrale, a meno di un contributo di fase lineare, ed hanno uguale autocorrelazione.
Durata Limitata:
la funzione di autocorrelazione di un segnale di durata limitata è anch’essa a durata limitata, e di estensione doppia rispetto alla durata del segnale originario.
Segnali Periodici:
l’autocorrelazione di un segnale periodico di periodo T è anch’essa periodica, con lo stesso periodo. Infatti per τ=nT il secondo fattore integrando è traslato di un numero intero di periodi.
In particolare, le due proprietà seguenti sono da ritenersi fondamentali per la possibilità, che come vedremo offrono, di interpretare l’autocorrelazione in senso energetico:
Massimo nell’origine:
la ℛx(τ) calcolata in τ= 0 fornisce il valore di ℛx(τ) più grande di quello ottenibile per qualunque altro valore di τ. In particolare, ℛx(τ= 0) è uguale alla potenza del segnale x(t), od all’energia se x(t) è di energia, ossia
0 ≤ ℛx(0)=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ ⌠⌡|x(t)|2dt = ℰx>|ℛx(τ≠ 0)| se x(t) è di energia limT→ ∞(1)/(T)(T)/(2)⌠⌡−(T)/(2)|x(t)|2dt = Px≥|ℛx(τ≠ 0)| se x(t) è di potenza
e in particolare, se x(t) è periodico, l’ultimo segno ≥ è una eguaglianza per τ multiplo di un periodo.
Simmetria coniugata↓:
è possibile verificare [412] [412]ℛx(−τ)=∫∞− ∞x*(t)x(t−τ)dt=∫∞− ∞x*(α+τ)x(α)dα=R*x(τ), avendo operato il cambio di variabile t−τ=α, da cui t=α+τ e dt=dα. che risulta ℛx(−τ)= ℛ*x(τ), e ciò consente (vedi § 37↑) di affermare che ℱ{ℛx(τ)} è reale. Nel caso in cui x(t) è reale, si ottiene ℛx(−τ)= ℛx(τ), ovvero l’autocorrelazione di un segnale reale è reale pari, alla stregua (come mostreremo ora) della sua trasformata di Fourier.
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