PrecSezione 1.6: Sistemi di telecomunicazione SuCapitolo 1: Introduzione Chapter 2: Serie di FourierSegue

## 1.7 Segnali e sistemi

Vengono qui brevissimamente riassunte le definizioni ricorrenti nel descrivere gli elementi fondamentali nei cui termini sono descritti i sistemi di telecomunicazione.
In termini generali, un sistema è un gruppo di oggetti che interagiscono armoniosamente, e che sono combinati in modo da conseguire un obbiettivo desiderato. Un sistema può essere parte (sottosistema) di un sistema più grande, e si può definire una intera gerarchia di sistemi, ognuno con il proprio dominio.
Un segnale è un evento che veicola un contenuto informativo. Nel nostro caso, possiamo interessarci alla risposta di un sistema ad un dato segnale. A volte, un sistema è descritto unicamente in termini della sua risposta a determinati segnali.

### 1.7.1Caratteristiche dei sistemi

Idealizziamo ora un sistema come una trasfomazione T[.], tale che ad ogni segnale di ingresso x(t) corrisponda una uscita y(t): T[x(t)]=y(t). In base a tale formalismo, riportiamo alcune caratteristiche dei sistemi, che ne descrivono il comportamento in termini più generali.
Linearità Un sistema è lineare quando l’uscita associata ad una combinazione lineare di ingressi, è la combinazione lineare delle uscite previste per ogni singolo ingresso:
T[ ⎲⎳iaixi(t)]= ⎲⎳iaiT[xi(t)]
Al contrario, un legame ingresso-uscita senza memoria [14] [14]Un operatore si dice senza memoria quando ogni valore dell’uscita dipende da un unico valore di ingresso. del tipo y(t)=g(x(t)), in cui g(.) è una generica funzione non lineare [15] [15]Una funzione y(x) è lineare quando il suo sviluppo in serie di potenze si arresta al primo ordine, ed è quindi esprimibile in forma y=ax+b (equazione di una retta).... non è lineare!
PermanenzaUn sistema è permanente (o stazionario) se l’uscita associata ad un ingresso traslato nel tempo, è la traslazione temporale dell’uscita che si avrebbe per lo stesso ingresso non traslato, ovvero: se T[x(t)]=y(t), allora T[x(t−τ)]=y(t−τ). Nel caso contrario, il sistema è detto tempo-variante.
Realizzabilità fisicaE’ detta anche causalità, perché determina l’impossibilità di osservare una uscita, prima di aver applicato un qualunque ingresso. Una definizione alternativa asserisce che i valori di uscita y(t) ad un istante t=t0, non possono dipendere da valori di ingresso x(t) per t>t0.
Stabilitàè definita come la proprietà di fornire uscite limitate (in ampiezza) per ingressi limitati.

### 1.7.2Caratteristiche dei segnali

Da un punto di vista analitico, un segnale è una funzione del tempo, del tipo descritto al § 1.3↑, e per esso si possono operare le classificazioni:
Figura 1.3 Visione insiemistica per le diverse classi di segnali
Segnale di potenza↓
Un segnale analogico può avere una estensione temporale limitata, oppure si può immaginare che si estenda da meno infinito a infinito. Nel secondo caso il segnale si dice di potenza se ne esiste (ed è diversa da zero) la media quadratica
0 <Ps= limT→ ∞(1)/(T)(T)/(2)⌠⌡−(T)/(2)|s(t)|2dt< ∞
Un segnale di potenza è inoltre detto
Segnale periodico↓
di periodo T, nel caso in cui si verifichi che
s(t)=s(t+T)
per qualsiasi valore di t, mentre si dice
Segnale di energia↓
un segnale di durata limitata o illimitata, se esiste il valore
0 < ℰs=∞⌠⌡− ∞|s(t)|2dt< ∞
Perché ciò avvenga, occorre che s(t) tenda a zero (per t che tende ad ∞) più velocemente (od in modo uguale) ad (1)/(√(t)) (e quindi |s(t)|2 tenda a zero come (1)/(t)).
In particolare, se un segnale ha durata limitata, ovvero è nullo per t al di fuori di un intervallo [t1,t2] (vedi Fig. a pagina seguente), allora è anche di energia. Infine, viene detto
Segnale impulsivo↓
un segnale di energia, che tende a zero come (o più velocemente di) (1)/(t):
0 <∞⌠⌡− ∞|s(t)|dt< ∞
E’ il caso delle funzioni sommabili, per le quali |s(t)|2 tende a zero come (o più di) (1)/(t2), e dunque di energia.
Riassumendo

- Un segnale impulsivo è di energia;
- Un segnale a durata limitata è impulsivo, e di energia;
- Un segnale periodico non è di energia, ma di potenza;

Esempi di segnali di energia

Impulso Esponenziale Bilatero | Impulso Gaussiano

Esempi di segnale a durata limitata

Impulso rettangolare tra 4 ed 8 | Sinusoide troncata

Qualora il segnale sia associato a delle grandezze elettriche, allora i concetti di Potenza ed Energia hanno il correlato fisico illustrato di seguito.

### 1.7.3Aspetti fisici delle grandezze energetiche

Potenza istantanea
Se consideriamo una resistenza R, ed applichiamo ai suoi capi una tensione v(t), in essa scorre una corrente i(t)=(v(t))/(R), e la potenza ceduta alla resistenza ad ogni istante t è pari a
p(t)=v(t)i(t)
che si misura in Watt (equivalente a Joule/secondo), e che rappresenta la potenza istantanea assorbita. Ricordando che i(t)=(v(t))/(R), si ottiene anche p(t)=(v2(t))/(R)=i2(t)R.
Energia
Se integriamo p(t) su di un intervallo temporale T, si ottiene l’energia complessiva assorbita da R nell’intervallo T:
eT(t)=t⌠⌡t−Tp(τ)dτ [joule]
Nello stesso intervallo T, la resistenza assorbe una potenza pT(t)=eT(t)=(1)/(T)eT(t) [Watt], che costituisce una media a breve termine dell’energia assorbita nell’intervallo [16] [16]Anticipando una notazione che verrà usata nel corso del testo, il pedice T indica l’estesione temporale a cui è riferita la grandezza che presenta il pedice, mentre la sopralineatura di una grandezza che dipende dal tempo, indica una media temporale della grandezza stessa..
Se un segnale x(t) è periodico con periodo T ( o (T)/(n) con n intero), i valori di eT(t)=pT(t) coincidono con quelli calcolabili con T comunque grande. Se R= 1 Ω, tali valori coincidono inoltre con le definizioni di potenza ed energia del segnale:

Energia: | ℰx=∫(T)/(2)−(T)/(2)|x|2(t)dt=eT⎛⎝(T)/(2)⎞⎠ | [Volt2⋅sec] o [Ampere2⋅sec]
Potenza: | Px=(1)/(T)∫(T)/(2)−(T)/(2)|x|2(t)dt=(1)/(T)eT⎛⎝(T)/(2)⎞⎠=pT⎛⎝(T)/(2)⎞⎠ | [Volt2] o [Ampere2]

Potenza dissipata
Se la resistenza è diversa da 1 Ω, le due quantità non coincidono più. Nelle misure fisiche in genere si ottiene la potenza dissipata sullo strumento di misura (o irradiata dall’antenna, o dagli altoparlanti) espressa in Watt. Per risalire alla potenza/energia di segnale delle grandezze elettriche presenti ai suoi capi (tensione o corrente) occorre dividere (o moltiplicare) la potenza in Watt per R. Ad esempio, una potenza assorbita P di 10 Watt su 8 Ohm equivale ad una potenza di segnale P⋅R= 80 (Volt)2, ovvero di (P)/(R)= 1.25 (Ampere)2.
Valore efficace
Si indica allora come valore efficace quel livello di segnale continuo che produrrebbe lo stesso effetto energetico. Nell’esempio precedente, otteniamo: Veff=√(80)= 8.94 Volt; Ieff= 1.118 Ampere. Infatti:
PT(segnale)=(1)/(T)∫(T)/(2)−(T)/(2)V2effdt=(T)/(T)(8.94)2= 80 Volt2 che su 8 Ω dissipa (V2)/(R)= 10 Watt.
PrecSezione 1.6: Sistemi di telecomunicazione SuCapitolo 1: Introduzione Chapter 2: Serie di FourierSegue