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## 4.1Teorema del campionamento↓ ↓

Esprime la possibilità di ricostruire un segnale limitato in banda a partire dai suoi campioni:

> Un segnale con spettro nullo a frequenze maggiori di W è completamente descritto dai suoi valori osservati ad intervalli temporali regolari tn=nTc, con n intero e periodo di campionamento Tc≤(1)/(2W); da questi è quindi possibile risalire ai suoi valori per qualunque altro istante.

La frequenza fcmin=(1)/(TcMax)= 2W, chiamata frequenza di Nyquist [54] [54]In realtà questo teorema è stato derivato indipendentemente, in tempi diversi, anche da altri scienziati, come Whittaker, Kotelnikov e Shannon.↓, corrisponde alla minima frequenza con cui occorre campionare un segnale x(t) limitato in banda, ed è pari al doppio della massima frequenza presente. Se questa condizione è rispettata, il segnale originario può essere ricostruito ricorrendo ad una formula di interpolazione [55] [55]Con interpolazione si intende la stima dei valori del segnale, per gli istanti compresi tra due campioni noti. (detta cardinale↓ [56] [56]In realtà la formula (6.15↓) non è l’unica possibile, come vedremo al § 4.1.2↓) che esprimiamo come:
Figura 4.1 La funzione sinc(fct) centrata in t= 0 e traslata in t= 3Tc
(6.15) x(t)=∞⎲⎳n=  − ∞x(nTc)⋅sinc(fc(t−nTc))
in cui la funzione sinc(fct)=(sinπfct)/(πfct), detta per questo motivo seno cardinale↓ ed introdotta a pag. 1↑, svolge appunto il ruolo di funzione interpolatrice, ed è mostrata in Fig. 4.1↑, assieme ad una sua replica traslata.
Per dimostrare la validità di (6.15↑) ed approfondirne il significato, adottiamo lo schema simbolico mostrato nella parte sinistra di fig. 4.2↓, che (come mostreremo) realizza le operazioni della formula di ricostruzione. Innanzitutto, viene generato un segnale x•(t) costituito da impulsi (vedi § 3.8.1↑) con area pari ai campioni di segnale, ossia x•(t)=∑∞n=  − ∞x(nTc)δ(t−nTc), mediante moltiplicazione di x(t) (limitato in banda tra −W e W) per un treno di impulsi↓ con periodo Tc≤(1)/(2W): questa operazione corrisponde a porci nelle esatte condizioni del teorema del campionamento.
Ricordando ora il risultato ottenuto al § 3.8.3↑ per la trasformata di un treno di impulsi, possiamo ottenere lo spettro di ampiezza di X•(f)= ℱ{x•(t)}, mostrato in basso a desta di fig. 4.2↓, come
(6.16) X•(f) = ℱ{x(t)⋅πTc(t)}=X(f)*(1)/(Tc)Π(1)/(Tc)(f)=X(f)*(1)/(Tc)∞⎲⎳n=  − ∞δ⎛⎝f−(n)/(Tc)⎞⎠= = fc⋅∞⎲⎳n=  − ∞X(f)*δ(f−nfc)=fc⋅∞⎲⎳n=  − ∞X(f−nfc)
dove il penultimo passaggio scambia l’integrale (di convoluzione) di una somma con una somma di integrali, e l’ultimo passaggio tiene conto della proprietà di convoluzione con un impulso: X•(f) è quindi costituito da infinite repliche di X(f), centrate a multipli della frequenza di campionamento fc=(1)/(Tc). Ma il filtro passa-basso ideale H(f) (chiamato anche con il nome di filtro di restituzione↓) limita la banda di X•(f) al solo intervallo di frequenze ( −(fc)/(2),(fc)/(2)), e dunque lascia passare solo una delle repliche spettrali, ovvero produce un segnale y(t) con spettro di ampiezza Y(f)=H(f)X•(f)=TcfcX(f)=X(f), che quindi è perfettamente equivalente ad x(t) originario, ricostruito sulla base dei suoi soli campioni x(nTc).

Figura 4.2 Circuito di campionamento e restituzione; segnali coinvolti e relativi spettri
L’ultimo passo di questa dimostrazione evidenzia come lo schema di fig. 4.2↑ in effetti esegua proprio l’operazione definita dalla formula di ricostruzione (6.15↑). Infatti, y(t) è il risultato della convoluzione tra x•(t) e h(t)= ℱ− 1{H(f)}= ℱ− 1{Tcrectfc(f)}=sinc(fct), e dunque ogni impulso di cui è composto x•(t), quando posto in ingresso al filtro di restituzione, ne trasla la risposta impulsiva h(t)=sinc(fct) all’istante nTc in cui è centrato l’impulso. In formule, appunto:
y(t) = [x(t)⋅ ⎲⎳nδ(t−nTc)]*h(t)= ⎲⎳nx(nTc)δ(t−nTc)*sinc(fct)= = ⎲⎳nx(nTc)sinc(fc(t−nTc))
L’effetto del risultato ottenuto è rappresentato nella figura a fianco, che esemplifica come il teorema del campionamento definisca essenzialmente una formula di interpolazione: i valori del segnale ricostruito hanno l’esatto valore dei campioni di segnale negli istanti di campionamento, mentre negli istanti intermedi il valore si forma come somma di tutte le “code” dei sinc adiacenti.

### 4.1.1Aliasing↓

Questo termine ha origine dalla parola inglese [57] [57]In realtà alias è di origine latina !!! alias (copia, clone) e sta ad indicare il fenomeno che si produce nell’applicare il teorema del campionamento quando i requisiti non sono soddisfatti, e cioè quando la frequenza di campionamento è inferiore alla frequenza di Nyquist, ossia fc=(1)/(Tc)< 2W (ovvero Tc>(1)/(2W)). In questo caso la (6.16↑) indi-
ca come le repliche spettrali che compongono X•(f) siano più ravvicinate, e si sovrappongano, come rappresentato dalla figura a lato: l’aliasing è infatti indicato anche come fold-over, o ripiegamento. Quando questo avviene, il filtro passa-basso di restituzione non è più in grado di estrarre la replica centrata in f= 0, e dunque alla sua uscita è presente un segnale y(t) che si differenzia da x(t) in particolar modo per i contenuti energetici nella regione delle frequenze più elevate [58] [58]In un segnale audio, ad esempio, ci si accorge che c’è aliasing quando è udibile una distorsione (rumore) congiuntamente ai passaggi con maggior contenuto di alte frequenze..
Il fenomeno dell’aliasing↓ può insorgere, oltre che nel caso in cui si commetta il banale errore di adottare fc< 2W, anche a causa di una imperfetta limitazione in banda del segnale da campionare, che infatti viene sempre preventivamente filtrato, in modo di assicurarsi che non contenga componenti a frequenze maggiori della metà di quella di campionamento.

### 4.1.2Generalizzazione del filtro di restituzione↓

Altri problemi possono essere causati dal filtro di restituzione H(f), che difficilmente si riesce a realizzare ideale, e che invece presenta una regione di transizione tra banda passante e banda soppressa, di estensione non nulla.
In questo caso occorre sovracampionare↓ ad una frequenza fc= 2W’  > 2W, in modo che le repliche spettrali siano più distanziate tra loro, e quindi il filtro di ricostruzione possa ancora isolare l’unica replica di X•(f) in banda base, come si osserva in figura. Notiamo ora che ciò avviene anche se ora la risposta impulsiva del filtro di restituzione non presenta più l’andamento di un sinc(fct), e dunque la formula di interpolazione non ha più l’espressione cardinale fornita nella 6.15↑: ciò significa che l’operazione di campionamento e restituzione può essere realizzata in forme anche molto diverse tra loro.

### 4.1.3Ortogonalità delle funzioni sinc↓↓

Si può dimostrare [59] [59]Applicando il teorema di Parseval (§ 3.2↑) e la proprietà di traslazione temporale, la (6.17↓) può essere riscritta come
∞⌠⌡− ∞Tcrectfc(f)e−j2πfkTcTcrectfc(f)e+j2πfhTcdf=(Tc)2fc⁄2⌠⌡−fc⁄2e−j2πf(k−h)/(2W)df
in cui l’esponenziale complesso sotto integrale compie un numero intero di oscillazioni a media nulla per f ϵ [−1⁄2Tc,1⁄2Tc] se k≠h, e dunque in tal caso l’integrale è nullo; al contrario, l’esponenziale vale 1 se k=h, ed il suo integrale vale fc, determinando così il risultato mostrato. che le funzioni sinc costituiscono una base di rappresentazione ortogonale, in quanto
(6.17) ∞⌠⌡− ∞sinc(fc(t−kTc))sinc(fc(t−hTc))dt=⎧⎨⎩ 0 se h≠k Tc se h=k
Pertanto, il valore dell’energia↓ di un segnale limitato in banda è calcolabile a partire dai suoi campioni, e vale:
ℰx = ∞⌠⌡− ∞x(t)x*(t)dt= ⎲⎳k ⎲⎳hxkx*h∞⌠⌡− ∞sinc(fc(t−kTc))sinc(fc(t−hTc))dt = ⎲⎳k ⎲⎳hxkx*hTcδ(h,k)=Tc ⎲⎳k|xk|2

### 4.1.4Uso pratico

Lo schema proposto in Fig. 4.2↑ aveva il solo scopo di visualizzare gli aspetti teorico-matematici del teorema del campionamento↓.
Per coglierne i lati pratici, innanzitutto consideriamo che non viene generato il segnale X•(f), dato che i campioni di x(t) sono in realtà ottenuti mediante un circuito Sample and Hold↓ (s&h, ovvero campiona e mantieni) che produce una uscita costante (per un tempo τ≤Tc), pari al valore assunto dall’ingresso negli istanti di campionamento t=nTc; l’uscita del s&h viene quindi quantizzata (vedi il § 4.2↓), ovvero misurata e convertita in un valore numerico, dal dispositivo Q(⋅) .
Campionamento e restituzione nel mondo reale
I valori così ottenuti possono essere memorizzati, oppure trasmessi. Per ricostruire il segnale originario si adotta un dac↓ (Digital to Analog Converter, ossia Convertitore Digitale-Analogico) che può essere idealizzato nei tre componenti mostrati in figura, ossia un dispositivo che per ogni diverso valore numerico genera un segnale di ampiezza pari ad uno dei livelli di quantizzazione, un s&h ed un filtro passa-basso di restituzione [60] [60]In effetti, il DAC necessita di un segnale di temporizzazione, sincronizzato con fc. Questo segnale può essere trasmesso separatamente, o essere ri-generato localmente a partire dalla stima della velocità alla quale sono ricevuti i valori x(nTc)..
Osserviamo ora come il s&h si limiti ad approssimare il segnale x•(t), realizzando al suo posto il segnale x○(t), mediante un treno↓ di impulsi rettangolari modulati in ampiezza, in accordo allo schema di principio disegnato al suo interno. Pertanto, il filtro di ricostruzione non è alimentato da x•(t), ma dal segnale x○(t)=∑nx(nTc)⋅rectτ(t−nTc). Per determinare quale sia in questo caso l’uscita del filtro↓ di restituzione H(f), ne descriviamo l’ingresso x○(t) nella forma:
x○(t) = ⎲⎳nx(nTc)⋅rectτ(t)*δ(t−nTc)= = rectτ(t)* ⎲⎳nx(nTc)⋅δ(t−nTc)=rectτ(t)*x•(t)
e dunque
(6.18) X○(f)=τ sinc(fτ)⋅X•(f)
Osserviamo quindi che usare rettangoli di base τ<Tc al posto degli impulsi, equivale a moltiplicare X•(f) per un inviluppo di tipo (sinx)/(x) che, seppur con τ≪Tc non causa grossi inconvenienti (gli zeri posti ad (1)/(τ) si allontanano dall’origine e (sinx)/(x) vicino ad x= 0 è quasi costante), per τ prossimo a Tc produce una alterazione dell’ampiezza della replica in banda base.
In tal caso (τ è noto) il filtro di ricostruzione può essere realizzato in modo da avere un andamento inverso a quello del (sinx)/(x), e tale che H(f)⋅τsinc(fτ)= costante. Infatti, questo accorgimento prende il nome di (sinx)/(x) correction.
All’appendice 6.9.5↓ è illustrato un metodo di multiplazione di più segnali campionati in una unica trasmissione.
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