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## 16.4Rumore nei ripetitori↓

Analizziamo il problema con riferimento ad un collegamento radio, anche se la trattazione può essere estesa ad altre tecniche trasmissive. Esaminiamo il caso in cui il collegamento da effettuare sia molto lungo, tanto da impedirne la realizzazione mediante un’unica tratta, od a causa dell’eccessiva attenuazione disponibile, oppure per la mancanza di condizioni di visibilità. In tal caso, occorre suddividere il collegamento in più tratte (in numero di M) dimensionate in modo tale che ognuna ripristini il livello di segnale ad un valore pari a quello in ingresso alla tratta stessa (tranne ovviamente l’ultima).
Tra ogni coppia di tratte si trova un ripetitore, che amplifica il segnale in misura pari al proprio guadagno disponibile Gdi=(1)/(Adi), posto cioè pari all’inverso dell’attenuazione disponibile della tratta precedente. Il rumore termico accumulato alla fine del collegamento può calcolarsi con i metodi tradizionali, ma considerando che il livello di segnale è lo stesso per tutti i ripetitori, si ritrova il risultato ottenuto al § 14.8.1↑, come ora illustreremo. Faremo quindi notare l’influenza della distorsioni di non linearità nel progetto.

### 16.4.1Rumore termico accumulato

Osservando solamente il segnale in uscita dall’ultimo ripetitore, si può definire un SNR complessivo come SNRT=(Pm)/(Pn). D’altra parte, il rumore complessivo è dovuto ai contributi di rumore introdotti dai singoli ripetitori: essendo questi ultimi indipendenti tra loro, la potenza di rumore accumulata è la somma delle singole potenze di rumore:
Pn=σ2n=E{n2(t)}=E{( ⎲⎳ini(t))2}=E{ ⎲⎳in2i(t)}= ⎲⎳iσ2ni=M⎲⎳i= 1Pni
Osserviamo ora che per ogni singolo ripetitore può essere definito un proprio SNRi=(Pmi)/(Pni), e quindi Pni=(Pmi)/(SNRi); pertanto, l’SNR complessivo risulta: SNRT=(Pm)/(∑i(Pmi)/(SNRi)). Notiamo inoltre che se esprimiamo i singoli contributi Pni nei termini di uno stesso livello di segnale, nell’ultima espressione è possibile considerare Pmi=Pm per ∀i, e dunque per l’SNR complessivo si ottiene
SNRT=(Pm)/(Pm ⎲⎳i(1)/(SNRi))=(1)/( ⎲⎳i(1)/(SNRi))
Questo risultato può essere espresso con la frase

> l’SNR prodotto da più cause indipendenti è il parallelo degli SNR dovuti alle diverse cause di rumore

per via della analogia formale con l’espressione della resistenza equivalente di un parallelo di resistenze; l’analogia evidenzia, tra l’altro, che se una tratta è considerevolmente peggiore delle altre, SNRT dipenderà essenzialmente da questa.
Il risultato a cui siamo giunti ha validità più generale del caso illustrato, e può essere invocato ogni volta che un sistema di comunicazione è affetto da più cause di disturbo additivo indipendenti tra loro, per ognuna delle quali si sia separatamente in grado di giungere ad una espressione di SNR.
Proseguiamo l’analisi ipotizzando ora che tutte le tratte siano uguali tra loro, ovvero con eguali Ad e Gd, uguali temperature di rumore, ed uguali SNRi. In tal caso si ottiene
SNRT=(1)/((M)/(SNRi))=(SNRi)/(M)
con SNRi=αSNR0=α(PR)/(Pn), dove Pn=kTeiW è la potenza di rumore nella banda di messaggio W, PR è la potenza ricevuta da un ripetitore (uguale per tutti se le tratte sono uguali), e α è un fattore che dipende dal tipo di modulazione. Sembrerebbe dunque che per migliorare l’SNR complessivo sia sufficiente elevare il livello di trasmissione di tutti gli stadi, in modo da elevare la potenza ricevuta. In realtà la potenza trasmessa non può aumentare a piacere, in quanto intervengono fenomeni di non-linearità.

### 16.4.2Compromesso tra rumore termico e di intermodulazione

Al § 14.7↑ si è osservato come per un segnale modulato la presenza di un elemento a comportamento non lineare (tipicamente l’amplificatore di potenza del trasmettitore) produce interferenza in banda, la cui potenza dipende con legge cubica dalla potenza del segnale trasmesso. Indicando quindi con SNRI=(Pm)/(PI) il rapporto SNR complessivo del collegamento dovuto a cause di non linearità, indipendenti dal rumore termico, osserviamo che questo diminuisce all’aumentare della potenza trasmessa da ogni ripetitore. Pertanto, l’SNR complessivo deve tener conto sia del rumore termico che di quello di intermodulazione, e può essere espresso come “il parallelo” di entrambi, ossia
SNR=(1)/((1)/(SNRT)+(1)/(SNRI))
Dato che all’aumentare della potenza di trasmissione SNRT diminuisce mentre SNRI aumenta, l’SNR complessivo presenta un massimo per un certo valore di potenza trasmessa, ovvero esiste un dimensionamento ottimo in grado di fornire il miglior SNR complessivo.
Esempio
La figura a lato mostra l’andamento di
SNR=(1)/((1)/(SNRT)+(1)/(SNRI))
dovuto ai due termini
SNRT=Pm e SNRI=(Pm)/(.1⋅P2m+ .01⋅P3m)
Come si vede, SNR presenta un massimo per Pm≃2.5.
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