PrecSezione 7.1: Teoria delle probabilità SuCapitolo 7: Probabilità, processi, decisione statistica Sezione 7.3: Processi stazionari ed ergodiciSegue

## 7.2Variabili aleatorie↓

Finora si è parlato di eventi in modo astratto, mentre spesso ci si trova ad associare ad ogni punto dello spazio campione un valore numerico: lo spazio campione Ω diventa allora l’insieme dei numeri e prende il nome di variabile aleatoria. La realizzazione di un evento corrisponde ora all’assegnazione di un valore (tra i possibili) alla variabile aleatoria; tale valore “prescelto” prende dunque il nome di realizzazione della v.a. Distinguiamo inoltre tra variabili aleatorie discrete e continue, a seconda se la grandezza che descrivono abbia valori numerabili o continui [234] [234]Un esempio classico di v.a. discreta è quello del lancio di un dado, un altro sono i numeri del lotto. Una v.a. continua può essere ad esempio un valore di pressione atmosferica in un luogo, oppure l’attenuazione di una trasmissione radio dovuta a fenomeni atmosferici.. La caratterizzazione della variabile aleatoria, in termini probabilistici, si ottiene indicando come la “massa di probabilità” si distribuisce sull’insieme di valori che la variabile aleatoria può assumere, per mezzo delle 2 funzioni di variabile aleatoria seguenti.

### 7.2.1Densità di probabilità↓↓ e funzione di distribuzione↓

Cosí come la massa di un oggetto non omogeneo è distribuita in modo piú o meno denso in regioni differenti del suo volume complessivo, cosí la densità di probabilità (o d.d.p.) indica su quali valori della variabile aleatoria si concentra la probabilità. Cosí, ad esempio, la densità della v.a. discreta associata al lancio di un dado può essere scritta:
pD(x)=6⎲⎳n= 1(1)/(6)δ(x−n)
il cui significato discutiamo subito, con l’aiuto dei due grafici seguenti, in cui D ex indicano rispettivamente la v.a. (il numero che uscirà) ed una sua realizzazione (una delle 6 facce). I 6 impulsi centrati in x=n rappresentano una concentrazione di probabilità nei sei possibili valori; l’area di tali impulsi è proprio pari alla probabilità di ognuno dei sei risultati. E’ facile verificare che
∞⌠⌡− ∞pD(x)dx= 1
e che risulta
b⌠⌡apD(x)dx=Pr{a<D≤b}
ovvero pari alla probabilità che la v.a. D assuma un valore tra a e b. In particolare, non potendosi verificare una probabilità negativa, si ha pD(x)≥ 0 con ∀x.
Una funzione di v.a. strettamente collegata alla densità è la funzione distribuzione di probabilità [235] [235]In realtà, l’ordine storico è quello di definire prima FX(x) come la probabilità che X sia non superiore ad un valore x, ovvero FX(x)=Pr{X≤x}, e quindi pX(x)=(dFX(x))/(dx). Il motivo di tale “priorità” risiede nel fatto che FX(x) presenta minori “difficoltà analitiche” di definizione (ad esempio presenta solo discontinuità di prima specie, anche con v.a. discrete)., definita come
FX(x)=x⌠⌡− ∞pX(ξ)dξ=Pr{X≤x}
che risulta una funzione non decrescente di x, limitata ad un massimo valore di 1, ed il cui andamento mostriamo sotto alla pD(x), nel caso dell’esempio del lancio del dado [236] [236]Si ricorda che la derivata di un gradino è un impulso di area pari al dislivello. Infatti, sapevamo già che l’integrale di un impulso è una costante - ammesso che l’impulso cada dentro gli estremi di integrazione!.
Le definizioni date mantengono validità nel caso di v.a. continua, originando le curve mostrate nei due grafici a lato. Ora è ancora piú evidente la circostanza che pX(x) è una densità, e diviene una probabilità solo quando moltiplicata per un intervallo di x( [237] [237]Infatti la probabilità che X cada tra x0 e x0+ Δx vale ∫x0+ Δxx0pX(x)dx≃pX(x0)Δx.).
Istogramma↓
Evidenziamo ora la stretta relazione che intercorre tra la densità di probabilità e l’istogramma. Quest’ultimo può essere realizzato se si dispone di una serie di realizzazioni della v.a., e si ottiene suddividendo il campo di variabilità della
grandezza X in sotto-intervalli, e disegnando rettangoli verticali, ognuno di altezza pari al numero di volte che (nell’ambito del campione statistico a disposizione) X assume unvalore in quell’intervallo. Dividendo l’altezza di ogni rettangolo per il numero di osservazioni N, si ottiene una approssimazione di pX(x), via via piú precisa con N→ ∞, e con una conseguente riduzione dell’estensione degli intervalli.

### 7.2.2Valore atteso, momento e momento centrato

Indichiamo con g(x) una funzione di variabile aleatoria [238] [238]Un esempio di funzione di v.a. potrebbe essere il valore della vincita associata ai 13 in schedina, che dipende dalla v.a. rappresentata dai risultati delle partite, una volta noto il montepremi e le giocate. Infatti, per ogni possibile vettore di risultati, si determina un diverso numero di giocate vincenti, e quindi un diverso modo di suddividere il montepremi. Essendo i risultati improbabili giocati da un ridotto numero di schedine, a queste compete un valore maggiore in caso di vincita, ben superiore al suo valore atteso, indicativo invece della vincita media. .
Valore atteso↓
Si definisce valore atteso (o media di insieme [239] [239]Per insieme ci si riferisce a quello dei possibili valori assunti dalla v.a. X. ) di g(x) rispetto alla variabile aleatoria X la quantità:
EX{g(x)}=∞⌠⌡− ∞g(x)pX(x)dx
che corrisponde al valor medio di g(x), i cui però i valori assunti ad ogni x sono pesati [240] [240]Notiamo che se al posto delle probabilità pX(x)dx utilizziamo i valori di un istogramma Pr(xi)=(N(xi<x≤xi+ Δx))/(N)=(Ni)/(N), l’integrale si trasforma in una sommatoria, il cui sviluppo evidenzia l’equivalenza con una media pesata: ∑xiPr(xi)=(x1N1+x2N2+ ... +xnNn)/(N). mediante il valore di probabilità pX(x)dx; tale operazione di media integrale è indicata con la notazione EX{.} [241] [241]In effetti, la E simboleggia la parola Expectation, che è il termine inglese usato per indicare il valore atteso. , mediante la quale si indica a pedice la v.a. (X) rispetto a cui eseguire la pesatura.
Momento↓
Nel caso in cui g(x)=xn, il valore atteso prende il nome di momento di ordine n, che corrisponde quindi al valore atteso della n-esima potenza della v.a., e che si indica come
m(n)X=E{xn}=∞⌠⌡− ∞xnpX(x)dx
Nel caso di variabili aleatorie discrete, i momenti sono definiti come m(n)X=∑ixnipi, in cui pi=Pr{x=xi}, pesando quindi le possibili realizzazioni xi con le rispettive probabilità.
Media Verifichiamo subito che m(0)X= 1, mantre Il momento di primo ordine
mX=m(1)X=∞⌠⌡− ∞xpX(x)dx
prende il nome di media [242] [242]Supponiamo che X rappresenti l’altezza degli individui; l’altezza media sarà allora calcolabile proprio come momento del primo ordine. della v.a. X (a volte denominata centroide), mentre con n= 2 si ha la media quadratica m(2)X=∫∞− ∞x2pX(x)dx.
Momento centrato↓
Nel caso in cui g(x)=(x−mX)n, il relativo valore atteso è chiamato momento centrato di ordine n, ed indicato come
μ(n)X=E{(x−mX)n}=∞⌠⌡− ∞(x−mX)npX(x)dx
E’ immediato constatare che μ(0)X= 1 e che μ(1)X= 0.
Varianza↓ E’ il nome dato al momento centrato del 2o ordine, ed è indicata come
σ2X=μ(2)X=E{(x−mX)2}=∞⌠⌡− ∞(x−mX)2pX(x)dx

- La radice quadrata della varianza, σX, prende il nome di deviazione standard. Mentre la media mX indica dove si colloca il “centro statistico” della densità di probabilità, σX indica quanto le singole determinazioni della v.a. siano disperse attorno ad mx.

Una relazione notevole che lega i primi due momenti (centrati e non) è ( [243] [243]Infatti risulta
σ2X = E{(x−mX)2}=E{x2+(mX)2− 2xmX}=E{x2}+(mX)2− 2mXE{x}= = m(2)X+(mX)2− 2(mX)2=m(2)X−(mX)2
Si è preferito usare la notazione E{x}, più compatta rispetto all’indicazione degli integrali coinvolti; i passaggi svolti si giustificano ricordando la proprietà distributiva degli integrali (appunto), ed osservando che il valore atteso di una costante è la costante stessa.):
(17.1) σ2X=m(2)X−(mX)2

### 7.2.3Variabile aleatoria a distribuzione uniforme↓

Applichiamo la definizione di momento ad un caso pratico: la variabile aleatoria uniforme è caratterizzata da uno stesso valore di probabilità per tutta la gamma di realizzazioni possibili, limitate queste ultime ad un unico intervallo non disgiunto; pertanto, la densità di probabilità è esprimibile mediante una funzione rettangolare:
pX(x)=(1)/(Δ)rectΔ(x−mX)
in cui Δ rappresenta l’estensione dell’intervallo di esistenza della variabile aleatoria.
E’ facile verificare che il parametro mX, che indica l’ascissa a cui è centrato il rettangolo, corrisponde esattamente al momento di primo ordine di X. Il calcolo della varianza [244] [244]Anzichè calcolare σ2X per la pX(x) data, calcoliamo m(2)X per una v.a. uniforme con mX= 0: in tal caso infatti m(2)X=σ2X. Si ha: σ2X=∫(Δ)/(2)−(Δ)/(2)x2(1)/(Δ)dx=(x3)/(3Δ)||(Δ)/(2)−(Δ)/(2)=(1)/(3Δ)⎛⎝(Δ3)/(8)+(Δ3)/(8)⎞⎠=(1)/(3Δ)2(Δ3)/(8)=(Δ2)/(12). invece fornisce: σ2X=(Δ2)/(12).

### 7.2.4Variabile aleatoria gaussiana↓ e funzione erfc{.}

Una variabile aleatoria gaussiana x è descritta da una densità di probabilità di espressione
(17.2) pX(x)  =(1)/(√(2π)σx)e−((x−mx)2)/(2σ2x)
il cui andamento è mostrato in figura, dove è posto in evidenza come mx e σx (media e deviazione standard) siano in relazione la prima con la centratura orizzontale, e la seconda con la dispersione della curva attorno alla media. Oltre che da un punto di vista grafico, i primi due momenti della v.a. descrivono completamente la densità anche dal punto di vista analitico; pertanto, la stima di questi (ad esempio a partire da un buon numero di realizzazioni [245] [245]Disponendo di un insieme {xn} di N realizzazioni di una variabile aleatoria X, possiamo effettuare le seguenti stime: ^mx=(1)/(N)∑Nn= 1xn e ^m(2)x=(1)/(N)∑Nn= 1x2n, il cui valore tende asintoticamente a quello delle rispettive medie di insieme, come N (la dimensione del campione statistico) tende a ∞.) è sufficiente per descrivere completamente il fenomeno aleatorio. La v.a. gaussiana descrive bene una moltitudine di fenomeni naturali, ed è dimostrabile analiticamente che la sua densità è caratteristica [246] [246]Il suo scopritore, K.F. Gauss, denominò la v.a. e la sua ddp come Normale, indicando con questo il fatto che il suo uso potesse essere “quotidiano”. di grandezze ottenute dalla somma di un numero molto elevato di cause aleatorie, tutte statisticamente indipendenti e con la medesima d.d.p. [247] [247]Questa condizione è anche detta di v.a. indipendenti e identicamente distribuite, ovvero i.i.d.↓ (teorema centrale del limite↓ [248] [248]`http://it.wikipedia.org/wiki/Teoremi_centrali_del_limite`, ovvero sperimentare presso `http://local.disia.unifi.it/VL/VL_IT/applets/DiceExperiment.html`). La funzione di distribuzione di questa v.a. non è calcolabile in forma chiusa; fortunatamente però, stante la necessità di conoscere la probabilità di eventi gaussiani, sono disponibili tabelle e grafici, che riportano il valore numerico dell’integrale che definisce tali valori di probabilità.
Per renderci conto della situazione, proviamo a calcolare la probabilità che X non superi un certo valore x, pari per definizione alla funzione di distribuzione, e rappresentata dall’area tratteggiata in figura (per semplicità ci riferiamo ad una gaussiana a media nulla):
FX(x)=Pr{X≤x}=x⌠⌡− ∞pX(θ)dθ= 1 −∞⌠⌡x(1)/(√(2π)σx)e−(θ2)/(2σ2x)dθ
Effettuiamo ora un cambio di variabile, ponendo (θ2)/(2σ2x)=η2, per cui in corrispondenza di θ=x si ha η=(x)/(√(2)σx), e risulta dθ=√(2)σxdη. Con queste posizioni, possiamo riscrivere
FX(x) = 1 −∞⌠⌡(x)/(√(2)σx)(1)/(√(2π)σx)e−η2√(2)σxdη = 1 −∞⌠⌡(x)/(√(2)σx)(1)/(√(π))e−η2dη= 1 −(1)/(2)erfc⎧⎩(x)/(√(2)σx)⎫⎭
Cosa è successo? Semplicemente, abbiamo espresso l’integrale (irrisolvibile in forma chiusa) nei termini della “funzione” erfc{.}↓, che rappresenta la probabilità che il valore
assoluto di una v.a. gaussiana a media nulla e varianza (1)/(2) superi il valore dato come argomento, come mostrato in figura, e pari a
erfc{α}= 2(1)/(√(π))∞⌠⌡αe−x2dx
I valori di erfc in funzione del suo argomento sono reperibili sia in forma di tabelle numeriche, sia in forma di diagrammi quotati [249] [249]Il termine erfc sta per funzione di errore complementare, e trae origine dai risultati della misura di grandezze fisiche, in cui l’errore di misura, dipendente da cause molteplici, si assume appunto gaussiano..
Figura 7.8  Valore di erfc{α} per una gaussiana normalizzata
In linea generale quindi, volendo calcolare la probabilità che una v.a. gaussiana X, con media mx e varianza σ2x, superi in ampiezza un determinato valore x, l’unica strada percorribile è quella di utilizzare la funzione erfc, avendo cura di porre come argomento il valore di x debitamente scalato, per ricondursi ad una gaussiana a media nulla e varianza (1)/(2):
(17.3) Pr{X>x}=(1)/(2)erfc⎧⎩(x−mX)/(√(2)σx)⎫⎭

### 7.2.5Altre variabili aleatorie

Altri tipi di variabile aleatoria prendono spesso il nome da quello di uno scienziato, ed in questo testo sono definite congiuntamente ai loro casi di utilizzo, come nel caso di esponenziale § 8.2.1↓, Bernoulli § 8.1↓, Poisson § 8.2↓, Rayleigh e Rice pag. 1↓.
PrecSezione 7.1: Teoria delle probabilità SuCapitolo 7: Probabilità, processi, decisione statistica Sezione 7.3: Processi stazionari ed ergodiciSegue