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## 3.5Risposta impulsiva e convoluzione

Il titolo di questa sezione individua due concetti cardine nella descrizione dei sistemi fisici e delle relazione tra lo stimolo ad essi applicato, e l’effetto corrispondente.

### 3.5.1Risposta impulsiva↓

Consideriamo un sistema fisico (elettrico, meccanico, pneumatico...) che venga sollecitato (in un punto considerato come ingresso) da un segnale impulsivo δ(t), e consideriamo l’andamento temporale di una grandezza (meccanica, pneumatica, elettrica...) che possiamo considerare una uscita. Tale risultato prende il nome di risposta impulsiva (ossia all’impulso) e viene indicata con h(t). L’andamento di h(t) rappresenta la grandezza di uscita, osservata dopo che è passato un tempo pari a t da quando si è applicato in ingresso l’impulso δ(t).
Se il sistema è lineare e permanente [40] [40]Il significato di questa classificazione si trova al Capitolo 1, a pag. 1↑., applicando un ingresso costituito da più impulsi, ognuno con area differente ai e centrato ad un diverso istante τi, ovvero
(6.9) x(t)=N⎲⎳i= 1aiδ(t−τi)
si ottiene una uscita pari a
(6.10) y(t)=N⎲⎳i= 1aih(t−τi)
Si rifletta sul significato della sommatoria, con l’aiuto della figura a lato: ad un dato istante t, il valore dell’uscita y(t) risulta dalla somma di N termini, ognuno pari al valore della risposta impulsiva calcolata con argomento pari al tempo trascorso tra l’istante di applicazione dell’i-esimo impulso e l’istante di osservazione.

### 3.5.2Integrale di convoluzione↓

Consideriamo ancora lo stesso sistema fisico, al cui ingresso sia posto un generico segnale x(t) che, grazie alla proprietà di setacciamento, rappresentiamo come scomposto in infiniti termini, ossia come somma integrale di impulsi centrati in τ (variabile) ed area x(τ)dτ (infinitesima):
x(t)=∞⌠⌡− ∞x(τ)dτ δ(t−τ)
Questa espressione, formalmente simile alla (6.9↑), è equivalente alla proprietà di setacciamento, dato che δ(t) è una funzione pari.
L’andamento della grandezza di uscita sarà il risultato della sovrapposizione di infinite risposte impulsive, ognuna relativa ad un diverso valore dell’ingresso:
y(t)=∞⌠⌡− ∞x(τ) h(t−τ) dτ
in cui x(τ)dτ è l’area degli impulsi che costituiscono l’ingresso, e h(t−τ) è l’uscita all’istante t causata dall’impulso in ingresso centrato all’istante τ. Il risultato ottenuto, formalmente simile a (6.10↑), prende il nome di integrale di convoluzione, e viene indicato in forma simbolica da un asterisco (*), in modo che ci si possa riferire ad esso anche come prodotto di convoluzione, ossia g(t)=x(t)*h(t).
Notiamo come h(t) caratterizzi completamente il sistema fisico, in quanto permette di calcolarne l’uscita per un qualsiasi ingresso.
Proprietà commutativa
Se un segnale con andamento h(t) è posto in ingresso ad un sistema con risposta impulsiva x(t), si ottiene ancora la stessa uscita, ossia l’integrale di convoluzione è commutativo [41] [41]Infatti, adottando il cambio di variabile t−τ=θ, si ottiene ∫∞− ∞x(τ) h(t−τ) dτ=∫∞− ∞x(t−θ) h(θ) dθ.:
y(t)=x(t)*h(t)=∞⌠⌡− ∞x(τ) h(t−τ) dτ=∞⌠⌡− ∞h(τ) x(t−τ) dτ=h(t)*x(t)
Questa proprietà, assieme a quella di linearità, co
nsente di stabilire le equivalenze mostrate in figura, dove si mostra come l’attraversamento in serie ed in parallelo di più sistemi lineari può essere ricondotto all’attraversamento di un sistema equivalente, con risposta impulsiva pari rispettivamente alla convoluzione ed alla somma delle singole risposte impulsive.

### 3.5.3La risposta impulsiva come funzione memoria ↓

Diamo ora un’interpretazione grafica della convoluzione: poniamo che h(t) sia un esponenziale decrescente ed x(t) triangolare, come mostrato in figura, dove si mostra la funzione integranda che compare nel calcolo dell’uscita ad un generico istante t=t.
L’andamento di h(t−τ) con τ variabile indipendente, si ottiene ribaltando h(t) rispetto all’origine dei tempi e traslandola (nel passato, quindi a destra) di t. Il risultato dell’integrale di convoluzione, quando t=t, è pari a
y(t)=∞⌠⌡− ∞x(τ) h(t−τ) dτ
ossia pari all’area del prodotto x(τ)h(t−τ), tratteggiata in figura; per altri valori di t, il termine h(t−τ) sarà traslato di una diversa quantità.
Il calcolo dell’area di x(τ)h(t−τ) ha il significato di sommare le risposte causate da tutti i valori di ingresso, ogni risposta presa con il rispettivo ritardo t−τ tra gli istanti (passati) τ≤t di applicazione dei valori di ingresso, e l’istante t di osservazione. Pertanto, i valori di h(t) rappresentano la memoria, da parte del sistema fisico, degli ingressi precedenti.
Estensione temporale della convoluzione
In base alla costruzione grafica discussa, è facile verificare che se x(t) ed h(t) presentano una estensione temporale limitata, ovvero x(t)≠ 0 con 0 ≤t≤Tx e h(t)≠ 0 con 0 ≤t≤Th, allora il risultato y(t)=x(t)*h(t) ha estensione compresa tra t= 0 e t=Tx+Th, ossia presenta una durata pari alla somma delle durate.

### 3.5.4Convoluzione con l’impulso traslato↓

Consideriamo un sistema fisico che operi un semplice ritardo θ sui segnali in ingresso: in tal caso risulterà h(t)=δ(t−θ), ovvero: la risposta all’impulso è un impulso ritardato.
Per calcolare l’uscita, che sappiamo essere pari a y(t)=x(t−θ), possiamo ricorrere all’integrale di convoluzione, ottenendo
y(t) = x(t)*h(t)=x(t)*δ(t−θ)= = ∞⌠⌡− ∞x(τ) δ(t−θ−τ) dτ=x(t−θ)
Questo risultato ci permette di enunciare un principio generale, che verrà utilizzato di frequente, e che recita:

> La convoluzione tra un segnale x(t) ed un impulso matematico δ(t−θ) centrato ad un istante θ provoca la traslazione di x(t) all’istante in cui è centrato l’impulso.

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