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## 14.7Distorsione di non linearità↓

Descrive il deterioramento subito dal segnale nel transito attraverso un dispositivo dal comportamento non-lineare, per il quale cioè la relazione ingresso-uscita è del generico tipo y(t)=g[x(t)]; espandendo tale relazione in serie di potenze, ed arrestando lo sviluppo al terzo ordine, otteniamo:
(18.58) y(t)=G[x(t)+αx2(t)+βx3(t)]
Un caso tipico di questo fenomeno si osserva allo stadio finale di un amplificatore di potenza [638] [638]come ad esempio è il caso dei twta introdotti a pag. 1↓ che, per ampiezze del segnale di ingresso maggiori di ±xM, presenta fenomeni di saturazione dei valori di uscita (vedi figura a lato). Notiamo subito come il coefficiente β, possa rappresentare questo comportamento.
Nel caso in cui il dispositivo che introduce saturazione sia attraversato da segnali con modulazione AM, il fenomeno è particolarmente grave, dato che questi presentano valori di ampiezza direttamente dipendenti da quelli del segnale modulante. Per evitare di operare in regione non lineare, la potenza del segnale in ingresso all’elemento non lineare deve quindi essere ridotta (questa operazione è chiamata back-off↓), e conseguentemente la trasmissione avviene ad un livello di potenza PAMx inferiore a quello consentito ((x2M)/(2)) dall’amplificatore.
Nel caso invece di trasmissione FM, abbiamo visto che il segnale modulato mantiene sempre la stessa ampiezza, e dunque si può effettuare la trasmissione a piena potenza; in altre parole, una volta fissato il livello di trasmissione, non occorre ricorrere ad un amplificatore sovradimensionato. Esaminiamo ora come quantificare l’effetto delle distorsioni non lineari.

### 14.7.1Ingresso sinusoidale

Ponendo x(t)=Acosω0t la (18.58↑) si riscrive come [639] [639]Si fa uso delle relazioni cos2α=(1)/(2)+(1)/(2)cos2α e cos3α=(3)/(4)cosα+(1)/(4)cos3α.
y(t) = G[Acosω0t+αA2cos2ω0t+βA3cos3ω0t]= = GA⎡⎣(αA)/(2)+⎛⎝1  +(3)/(4)βA2⎞⎠cosω0t+(αA)/(2)cos2ω0t+(βA2)/(4)cos3ω0t⎤⎦
che corrisponde allo spettro di densità di potenza disegnato a lato (che è uno spettro unilatero, e calcolato per A=G= 1), dove si osserva la comparsa di termini a frequenza multipla di quella di ingresso, oltre che di una componente continua.
Nella pratica, i valori di α e β non sono noti, e le relazioni ottenute sono usate per derivarli, ponendo in ingresso una sinusoide di potenza nota, ed osservando la potenza delle sue armoniche presenti in uscita.
Fattori di intermodulazione↓
Le caratteristiche tecniche che accompagnano gli amplificatori riportano, invece di α e β, i valori dei fattori di intermodulazione μ2 e μ3 (detti di seconda e di terza armonica), ottenuti utilizzando appunto un ingresso sinusoidale e misurando le potenze PI, PII e PIII alla frequenza in ingresso ed alla sua seconda e terza armonica, e derivando [640] [640]Le relazioni mostrate si ottengono scrivendo
PI = (G2A2)/(2)⎛⎝1  +(3)/(4)βA2⎞⎠2≃(G2A2)/(2) ⎛⎝se β≪(4)/(3A2)⎞⎠ PII = (G2A4α2)/(8)=(G4A4)/(4)(1)/(G2)(α2)/(2)=P2Iμ22 PIII = (G2A6β2)/(32)=(G6A6)/(8)(1)/(G4)(β2)/(4)=P3Iμ23
da queste le quantità
μ22≐(PII)/(P2I) e μ23≐(PIII)/(P3I)
da cui si ottengono i coefficienti α e β mediante le relazioni α≃0.7⋅μ2⋅G, β= 2⋅μ3⋅G2 come mostrato alla nota [641] [641]Scrivendo μ22≐(PII)/(P2I)=(G2A4α2)/(8)⋅(4)/(2G2) si ottiene μ2=(α)/(√(2)G) e quindi α≃0.7⋅μ2⋅G; allo stesso modo da μ23=(PIII)/(P3I)=(G2A6β2)/(32)⋅(8)/(G6A6)=(β2)/(4G4) si ha μ3=(β)/(2G2) e dunque β= 2⋅μ3⋅G2..
Scrivendo PII=μ22P2I e PIII=μ23P3I, osserviamo che per piccoli valori di PI, la distorsione prodotta sia da PII che da PIII è trascurabile; all’aumentare di PI, PII cresce con il quadrato, mentre PIII con il cubo, e pertanto è quest’ultima componente che poi predomina.

### 14.7.2Ingresso aleatorio

Nel caso in cui l’ingresso dell’elemento non lineare sia un processo gaussiano, la densità spettrale in uscita può ottenersi come ℱ-trasformata della funzione di autocorrelazione dell’uscita: in virtù di alcune proprietà [642] [642]Dato che l’uscita ha espressione y(t)=G[x(t)+αx2(t)+βx3(t)], il calcolo di ℛy(τ)=E{y(t)y(t+τ)} si sviluppa calcolando i momenti misti m(i,j)x(τ)=E{xi(t)xj(t+τ)}. Se x(t) è un processo gaussiano a media nulla, accade che m(i,j)x(τ)= 0 se i+j è dispari, mentre in caso contrario si applica il risultato per il valore atteso del prodotto di più v.a. estratte in tempi diversi:
E{x1⋅x2⋅...⋅xn}=⎲⎳(E{xp1⋅xp2}⋅E{xp3⋅xp4}⋅...⋅E{xpn− 1⋅xpn})
in cui la somma è estesa a tutte le possibili permutazioni non equivalenti di (1,  2...,n) (sono equivalenti se accoppiano con ordine diverso o in posizione diversa le stesse v.a.). Ad esempio, per quattro v.a. si ha:
E{x1⋅x2⋅...⋅xn}=E{x1⋅x2}⋅E{x3⋅x4}+E{x1⋅x3}⋅E{x2⋅x4}+E{x1⋅x4}⋅E{x2⋅x3}
dei momenti di variabili aleatorie gaussiane, si ottiene in questo caso:
PII(f)=G22α2Px(f)*Px(f); PIII(f)=G26β2Px(f)*Px(f)*Px(f)
ovvero compaiono termini di distorsione di “2a e 3a armonica” che hanno origine dalla convoluzione della densità di potenza del segnale utile con se stesso.
Nel caso in cui il processo x(t) sia limitato in banda contigua all’origine, i termini PII(f) e PIII(f) hanno una banda rispettivamente doppia e tripla di quella di Px(f) (vedi fig. 14.23↓). Nel caso di segnali modulati, oltre ad un allargamento di banda, avviene un fatto diverso e degno di commento: PII(f) giace in bande diverse da quelle di Px(f), pertanto può essere non considerato fonte di disturbo. PIII(f) invece ha una componente anch’essa centrata su f0, e dunque è solo questa la fonte disturbo.
Figura 14.23  Densità spettrale affette da distorsioni non lineari; a sinistra per banda base, a destra per segnale modulato
La potenza totale delle due componenti di disturbo nella banda di Px(f) risulta inoltre pari a
PII= 4μ22P2I e PIII= 32μ23P3I
In definitiva, vi sono almeno tre buone ragioni per tenere d’occhio il valore di β, che è causa delle distorsioni di terza armonica:

- è il coefficiente che tiene conto dei fenomeni di saturazione;
- produce interferenza “in banda” per i segnali modulati;
- produce interferenza “fuori banda” che danneggia le trasmissioni a frequenza tripla.

### 14.7.3Effetto sulla modulazione FM

Se consideriamo un segnale x(t)= cos[ω0t+φ(t)], l’effetto della non linearità produce il segnale
y(t) = G⎡⎣(α)/(2)+⎛⎝1  +(3)/(4)β⎞⎠cos[ω0t+φ(t)]+(α)/(2)cos[2ω0t+ 2φ(t)]+ +(β)/(4)cos[3ω0t+ 3φ(t)]⎤⎦
Osserviamo che i termini a frequenza 2ω0 e 3ω0, nonché il livello in continua, possono essere eliminati mediante un filtro passa-banda centrato in f=f0=(ω)/(2π); dopo tale operazione, la modulazione di fase φ(t) è proprio quella impressa dal modulatore, e pertanto i fenomeni non lineari non hanno conseguenze sulla FM (tranne che per le interferenze causate ai canali vicini !)
Il risultato appena illustrato è stato sfruttato nei ponti radio progettati per trasmettere un segnale FDM in FM. Si usa un basso indice di modulazione (risparmiando banda) e si trasmette a piena potenza (senza backoff). La potenza del segnale modulato non dipende dal numero di canali contemporaneamente attivi.
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