PrecCapitolo 7: Probabilità, processi, decisione statistica SuCapitolo 7: Probabilità, processi, decisione statistica Sezione 7.2: Variabili aleatorieSegue

## 7.1Teoria delle probabilità↓

Tratta delle caratteristiche regolari di fenomeni irregolari o casuali. Una prima definizione di probabilità è quella fornita dalla teoria frequentistica, la quale asserisce che se, ripetendo N volte un esperimento, si verifica la circostanza A per nA volte, per essa si osserva una frequenza relativa nA⁄N, da cui si deriva la probabilità di A come
PrA= limN→ ∞(nA)/(N)
In termini piú astratti, l’insieme di tutte le circostanze possibili può essere pensato come un insieme algebrico, i cui elementi (o punti) sono appunto le diverse circostanze. I punti possono essere raggruppati in sottoinsiemi (eventualmente vuoti o di un solo punto) per i quali valgono le proprietà di unione, intersezione, complemento, inclusione...
I fenomeni fisici sono posti in relazione con i punti degli insiemi suddetti mediante il concetto di spazio campione↓ Ω, che è l’unione di tutti i possibili risultati di un fenomeno aleatorio↓. Sottoinsiemi dello spazio campione sono detti eventi↓. L’intero spazio è l’evento certo, mentre l’insieme vuoto corrisponde all’evento impossibile φ (od evento nullo). Una unione ∪ di eventi, corrisponde all’evento che si verifica ogni qualvolta se ne verifichi un suo componente, mentre l’intersezione ∩ è verificata se tutti i componenti lo sono. Esempio: il lancio di un dado genera uno spazio con 6 punti (eventi) disgiunti. Uno spazio campione può avere un numero di punti finito, infinito numerabile, o infinito.

### 7.1.1Assiomi delle probabilità↓

Costituiscono le basi su cui sono costruiti i teoremi seguenti, ed affermano che:

- 0 ≤Pr(A)≤ 1: la probabilità di un evento è compresa tra 0 ed 1;
- Pr(Ω)= 1: la probabilità dell’evento certo è 1;
- Se Pr(Ai∩Aj)=φ allora Pr(∪Ai)=∑Pr(Ai): la probabilità dell’unione di eventi disgiunti è la somma delle singole probabilità.

### 7.1.2Teoremi di base↓

- Pr(φ)= 0: la probabilità dell’evento impossibile è nulla;
- Pr(A∩B)+Pr(A∩B)=Pr(A), e Pr(B)+Pr(B)= 1: un evento ed il suo complemento riempiono lo spazio (detto anche teorema delle probabilità totali [226] [226]Utile per scrivere la probabilità di un evento come “1 meno” quella dell’evento complementare.);
- Pr(A∪B)=Pr(A)+Pr(B)−Pr(A∩B): la probabilità dell’evento intersezione si conta una volta sola. Esempio alla nota [227] [227]Lanciando un dado, la probabilità Pr(pari ∪ > 2) di ottenere un numero pari, oppure piú grande di due, è la somma delle probabilità dei singoli eventi Pr(pari)=(3)/(6) e Pr(> 2)=(4)/(6), meno quella che si verifichino assieme Pr(pari ∩ > 2)=(2)/(6). Pertanto: Pr(pari ∪ > 2)=(3)/(6)+(4)/(6)−(2)/(6)=(5)/(6).;
- Se B⊆A allora Pr(B)≤Pr(A): quando l’evento B è contenuto in A il verificarsi del primo implica il secondo.

### 7.1.3Probabilità condizionali↓

Può avvenire che il verificarsi di un evento influenzi il verificarsi o meno di un altro: Si dice allora che lo condiziona, ovvero che l’evento influenzato è condizionato. La probabilità che avvenga A, noto che B si sia verificato, si scrive Pr(A⁄B), e si legge probabilità (condizionata) di A dato B, che è definita [228] [228]La relazione può essere verificata ricorrendo al diagramma in figura, ed interpretando Pr(A⁄B) come il rapporto tra la misura di probabilità dell’evento congiunto, rispetto a quella dell’evento condizionante. come
Pr(A⁄B)=(Pr(A,B))/(Pr(B))
in cui Pr(A,B)=Pr(A∩B) è la probabilità congiunta che A e B si verifichino entrambi, ed a patto che Pr(B)≠ 0 (altrimenti anche Pr(A⁄B) è zero!).
Esercizio: Valutare la probabilità condizionata Pr(A⁄B) che lanciando un dado si ottenga un numero pari (evento A=(pari)), condizionatamente all’evento B che il numero sia >2. Soluzione alla nota [229] [229]
Il risultato è pari alla probabilità Pr(A,B)=Pr(pari,    > 2) che i due eventi si verifichino contemporaneamente, divisa per la probabilità PR(B)=PR(> 2) che il numero sia >2
Si rifletta sulla circostanza che la probabilità del pari PR(A)=(1)/(2), quella PR(B)=(4)/(6), o quella congiunta di entrambi PR(A,B)=(2)/(6), sono tutte riferite ad un qualunque lancio di dado, mentre Pr(pari ⁄  > 2) è relativa ad un numero ridotto di lanci, ossia solo quelli che determinano un risultato > 2. Pertanto, essendo Pr(B)≤ 1, si ottiene Pr(A⁄B)≥Pr(A,B); infatti per l’esempio del dado si ottiene Pr(pari ⁄  > 2)=Pr(pari,   > 2)⁄Pr(> 2)=(2)/(6)⁄(4)/(6)=(1)/(2), che è maggiore di Pr(pari,   > 2)=(1)/(3) (i valori di probabilità sono ottenuti come rapporto tra il numero di casi favorevoli e quello dei casi possibili).
Si ottiene invece Pr(A⁄B)=Pr(A,B) solo se Pr(B)= 1, ossia se B corrisponde all’unione di tutti gli eventi possibili.
A partire dalla precedente definizione, si ottiene quella della probabilità congiunta↓: Pr(A,B)=Pr(A⁄B)Pr(B); inoltre, gli eventi condizionante e condizionato possono invertire i rispettivi ruoli, permettendo di scrivere anche: Pr(A,B)=Pr(B⁄A)Pr(A). Eguagliando le due espressioni, si ottiene:
Pr(A⁄B)=(Pr(B⁄A)Pr(A))/(Pr(B)) ed anche Pr(B⁄A)=(Pr(A⁄B)Pr(B))/(Pr(A))
Come ultima definizione, rammentiamo che le probabilità Pr(A) e Pr(B) sono indicate come marginali.

### 7.1.4Teorema di Bayes↓

A volte, non tutti i possibili eventi sono direttamente osservabili: in tal caso la probabilità marginale Pr(A) è indicata come probabilità a priori. Qualora l’evento A sia in qualche modo legato ad un secondo evento B, che invece possiamo osservare, la probabilità condizionata Pr(A⁄B) prende il nome di probabilità a posteriori↓ perché, a differenza di quella a priori, rappresenta un valore di probabilità valutata dopo la conoscenza di B.
In generale, però, si conosce solamente Pr(A) e Pr(B⁄A) (queste ultime sono dette probabilità condizionate in avanti), e per calcolare Pr(A⁄B) occorre conosce anche Pr(B). Quest’ultima quantità si determina saturando la probabilità congiunta Pr(A,B) rispetto a tutti gli eventi marginali Ai possibili:
Pr(B)= ⎲⎳iPr(B,Ai)= ⎲⎳iPr(B⁄Ai)Pr(Ai)
a patto che risulti Pr(Ai,Aj)= 0 e ∪Ai= Ω, e cioè che l’insieme degli {Ai} costituisca una partizione dello spazio degli eventi Ω. Tale circostanza è mostrata in figura.
L’ultima relazione ci permette di enunciare il teorema di Bayes, che mostra come ottenere le probabilità a posteriori a partire da quelle a priori e da quelle condizionate in avanti:
Pr(Ai⁄Bj)=(Pr(Bj⁄Ai)Pr(Ai))/( ⎲⎳kPr(Bj⁄Ak)Pr(Ak))
Al § 17.2.1↓ è mostrata l’applicazione del risultato ad un problema di decisione statistica tipico delle telecomunicazioni, relativo alla ricezione binaria. Di seguito, invece, è illustrato un esempio più diretto.

### 7.1.5 Indipendenza statistica↓

Si verifica quando
Pr(A⁄B)=Pr(A)
in quanto il verificarsi di B non influenza A. Come conseguenza, per due eventi statisticamente indipendenti↓ avviene che
Pr(A,B)=Pr(A)Pr(B)
Esempi

- Un sistema di comunicazione radio è affetto da attenuazioni supplementari causate da pioggia. Indicando con FS l’evento che il sistema vada fuori servizio, e conoscendo le probabilità condizionate Pr(FS⁄piove)= .5, Pr(FS⁄non piove)= .05 e la probabilità marginale Pr(pioggia)= .03, determinare:
  1. La probabilità di fuori servizio Pr(FS), indipendentemente dal verificarsi o meno dell’evento piovoso;
  2. La probabilità che stia piovendo, sapendo che il sistema è fuori servizio.
  Risultato ( [230] [230]La probabilità marginale di fuori servizio si calcola applicando il teorema delle probabilità totali:
  Pr(FS) = Pr(FS⁄piove)⋅Pr(piove)+Pr(FS⁄non piove)⋅Pr(non piove)= = .5⋅.03 + .05⋅.97 = .0635 = 6.35%
  in quanto Pr(non piove)= 1 −Pr(piove)= .97. Applicando il teorema di Bayes si trova quindi:
  Pr(piove⁄FS)=(Pr(FS⁄piove)⋅Pr(piove))/(Pr(FS))=(.5⋅.03)/(.0635)= .236 = 23.6%
  Si noti come la probabilità a priori che piova (3 %) venga rimpiazzata dal suo valore a posteriori (23,6 %) grazie alla nuova informazione di cui disponiamo (collegamento fuori servizio). Per una definizione precisa delle probabilità a priori ed a posteriori si veda l’appendice 17.2.1↓.).
- Quale è la probabilità che, lanciando 3 volte un dado, esca 3 volte 1 ? Risultato ( [231] [231]E’ pari al prodotto delle probabilità marginali, essendo i lanci statisticamente indipendenti, visto che il dado è “senza memoria”. Pertanto il risultato è ⎛⎝(1)/(6)⎞⎠3=(1)/(216)≃4.6296⋅10− 3.).
- Un’urna contiene 2 biglie bianche e 3 nere. Qual è la probabilità che su 2 estrazioni consecutive, escano le 2 biglie bianche ? Risultato ( [232] [232]Anche qui l’urna è senza memoria; però dopo la prima estrazione le biglie restano in 4! Pertanto ora il prodotto delle probabilità marginali risulta (2)/(5)⋅(1)/(4)=(1)/(10).).
- Qual è la probabilità che 2 carte, estratte a caso da un mazzo da bridge da 52, siano K e Q ? Risultato ( [233] [233]Pr(K,Q)=Pr(K prima,Q seconda)+Pr(Q prima,K seconda)= Pr(K prima)⋅Pr(Q seconda⁄K prima)+ Pr(Q prima)⋅ Pr(K seconda⁄Q prima)= 2⎛⎝(4)/(52)(4)/(51)⎞⎠=(8)/(663) ≅1.2⋅10− 2 .).

PrecCapitolo 7: Probabilità, processi, decisione statistica SuCapitolo 7: Probabilità, processi, decisione statistica Sezione 7.2: Variabili aleatorieSegue