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## 9.2Densità spettrale↓

Come anticipato ad inizio capitolo, mostriamo il metodo con cui determinare lo spettro di densità di potenza nel caso di processi. La cosa decisamente gradevole è che questo stesso strumento è valido anche per gli altri tipi di segnale.

### 9.2.1Teorema di Wiener ↓ [413] [413]In realtà le attribuzioni di questo risultato sono molteplici, comprendendo anche Khinchin, Einstein e Kolmogorov - fonte `http://en.wikipedia.org/wiki/Wiener%E2%80%93Khinchin_theorem`

> Lo spettro di densità di potenza Px(f) (o di energia ℰx(f)) di x(t) è uguale alla trasformata di Fourier della sua funzione di autocorrelazione ℱ{ℛx(τ)}.

La dimostrazione del teorema è straordinariamente semplice, e per segnali di energia si scrive
ℛx(τ) = ∞⌠⌡− ∞x*(t)x(t+τ)dt=∞⌠⌡− ∞X*(f)X(f)ej2πfτdf= = ℱ− 1{X*(f)X(f)}= ℱ− 1{ℰx(f)}
in cui abbiamo prima applicato il teorema di Parseval, poi la proprietà di traslazione nel tempo, e quindi (vedi § 3.2↑) espresso X*(f)X(f) come ℰx(f).
Come anticipato, questa proprietà è valida anche per segnali di potenza [414] [414] Per segnali di potenza la dimostrazione può essere fornita, senza troppe attenzioni di rigore analitico, partendo dalla stima della densità di potenza ottenuta mediante periodogramma (§ 9.3.1↓): PxT(f)=(|XT(f)|2)/(T). Osserviamo che |XT(f)|2 rappresenta lo spettro di densità di energia ℰxT(f) di un segmento di segnale xT(t) di durata T estratto da x(t), corrispondente alla funzione di autocorrelazione ℛxT(τ)= ℱ− 1{ℰxT(f)} calcolabile per xT(t) mediante la (17.25↑). Ma operando il passaggio al limite e la divisione limT→ ∞(1)/(T) di ℛxT(τ), si ottiene l’autocorrelazione (17.24↑) dell’intero segnale, mentre nel dominio della frequenza il limite di ℰxT(f) tende allo spettro di densità di potenza PxT(f) del segnale x(t) nella sua interezza., comprese quindi le realizzazioni di processi. In particolare, se il processo è ergodico, la media di insieme m(1,  1)X1X2 risulta pari alla media temporale espressa dalla (17.24↑) e calcolata
per una qualsiasi realizzazione del processo; pertanto lo spettro di densità di potenza di un processo si ottiene trasformando la funzione di autocorrelazione calcolata come media di insieme, oppure trasformando quella calcolata come media temporale per una delle sue realizzazioni. In virtù del teorema di Wiener, è dunque possibile ottenere Px(f) anche per processi e segnali di potenza, oppure fare “la prova del nove” per segnali di energia o periodici.
Applichiamo ora questo metodo di valutazione della densità spettrale di un processo, ad alcuni casi particolari.

### 9.2.2Processo armonico↓

E’ definito in base ad una sua generica realizzazione
x(t,θ)=Acos(2πf0t+θ)
che, se il parametro θ è una variabile aleatoria uniformemente distribuita tra −π e π (ossia pΘ(θ)=(1)/(2π)rect2π(θ)), descrive un processo ergodico, ed in tal caso la d.d.p. pX(x)=(1)/(π√(A2−x2)) è graficata a pagina 1↑.
Sappiamo che una sua realizzazione (ad esempio quella con θ= 0) ha una densità di potenza Px(f)=(A2)/(4)[δ(f−f0)+δ(f+f0)]. Possiamo quindi ottenere l’autocorrelazione senza dover svolgere l’integrale:
ℛx(t)= ℱ− 1{Px(f)}=(A2)/(4)[ej2πf0t+e−j2πf0t]=(A2)/(2)cos(2πf0t)
Il risultato ottenuto ci conferma che l’autocorrelazione di un segnale periodico è periodica; riflettiamo dunque sulla circostanza che anche un seno, od un coseno con qualunque altra fase, avrebbe avuto la stessa ℛx(t). Ciò è d’altra parte evidente, avendo tutti questi segnali uguali densità Px(f).

### 9.2.3Processo gaussiano bianco limitato in banda↓

Un processo n(t) è chiamato bianco qualora sia costante in frequenza (vedi cap. 16↓), e quindi descritto da una densità di potenza pari a
Pn(f)=(N0)/(2)rect2W(f)
in cui W è l’occupazione di banda a frequenze positive. In tali ipotesi otteniamo
ℛn(t)= ℱ− 1{Pn(f)}=N0Wsinc(2Wt)
da cui possiamo constatare che, con queste posizioni, si ottiene
ℛn(0)=Pn=∞⌠⌡− ∞Pn(f)df=N0W=σ2n
in cui l’ultima eguaglianza sussiste in quanto l’assenza di impulsi nell’origine per Pn(f) corrisponde ad un n(t) a media nulla (vedi eq. (17.1↑) a pag. 1↑). Inoltre, dato che ℛn(1 ⁄ 2W)=  0, osserviamo che campionando n(t) con periodo Tc= 1 ⁄ 2W si ottengono valori incorrelati, e se il processo è gaussiano, anche statisticamente indipendenti (vedi § 9.10.2↓). Questo risultato giustifica, almeno da un punto di vista teorico, una ipotesi che viene spesso fatta: quella di trovare sovrapposti ai campioni di segnale, dei campioni di rumore statisticamente indipendenti.
All’aumentare di W, ℛn(t) tende a zero più rapidamente, cosicchè il rumore si mantiene correlato per un tempo sempre minore, ovvero due campioni estratti ad una stessa distanza t hanno una correlazione sempre minore. Un risultato simile vale anche più in generale, in quanto l’autocorrelazione ℛx(t) di un qualsiasi processo a media nulla (tranne nel caso periodico, riconducibile ad una combinazione di processi armonici) tende a 0 con t→ ∞, ovvero da un certo t in poi la correlazione è trascurabile.
Infine, se immaginiamo il rumore bianco limitato in banda come il risultato del filtraggio di un processo gaussiano a banda infinita (quindi, con ℛn(t)=δ(t)) attraverso il filtro passa basso ideale con H(f)=rect2W(f) (vedi § 5.3.1↑), ci accorgiamo che la correlazione risultante per i campioni di rumore separati da un intervallo τ= 1 ⁄ 2W è una diretta conseguenza della memoria introdotta dalla risposta impulsiva h(t)= 2Wsinc(2Wt) sul segnale in transito, dato appunto che l’operazione di convoluzione rende i valori in uscita, una combinazione lineare di quelli passati in ingresso (vedi § 3.5.3↑).

### 9.2.4Processo di segnale dati ↓

Abbiamo già descritto al § 5.1.2↑ un generico segnale numerico come una somma di repliche di una funzione g(t), con ampiezze an rappresentative dei valori da trasmettere:
x(t)=∞⎲⎳n=  − ∞ang(t−nT+θ)
La presenza della variabile aleatoria θ a distribuzione uniforme tra ±(T)/(2) (per cui pΘ(θ)=(1)/(T)rectT(θ)), rende x(t) un processo ergodico (vedi pag. 105↑).
Si mostrerà in appendice (al § 9.10.3↓) che, nelle ipotesi in cui le ampiezze an siano determinazioni di variabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite, a media nulla e varianza σ2A( [415] [415]Media mA e varianza σ2A sono qui riferite ai valori multilivello ak (con k= 1, 2, ⋯,L) che un generico simbolo an può assumere, pesati con le rispettive probabilità pk, ossia mA=∑Lk= 1pkak e σ2A=∑Lk= 1pk(ak−mA)2), l’autocorrelazione di x(t) vale ℛx(τ)=σ2A(ℛg(τ))/(T) in cui ℛg(τ) è l’autocorrelazione di g(t), e dunque
Px(f)=σ2A(ℰg(f))/(T)
Osserviamo innanzitutto che è per questa via che al § 5.2.1↑ si sono caratterizzate le densità di potenza proprie dei codici di linea. Limitandoci a voler interpretare il risultato, notiamo che ℰg(f) è la densità di energia di una singola replica di g(t). La sua ripetizione, con periodo T, fornisce una densità di potenza media (ℰg(f))/(T). Se ogni replica di g(t) è moltiplicata per una v.a. indipendente a media nulla e varianza (potenza) σ2A, la densità di potenza Px(f) aumenta di egual misura (vedi § 9.7.1↓). Un’ultima avvertenza riguarda il fatto che, se gli an non sono indipendenti, il risultato è più complesso (vedi appendice 9.10.3↓).
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