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## 5.3Errori nelle trasmissioni numeriche di banda base↓

Fin qui abbiamo trascurato di prendere in considerazione gli effetti del rumore additivo presente in ricezione, a cui si è pur accennato al § 5.1.1↑, e che causa la ricezione di un segnale x(t)=r(t)+n(t), e cioé oltre al segnale effettivamente ricevuto r(t), nel ricevitore entra anche un diverso segnale n(t) sommato ad r(t), indicato come disturbo, o rumore (noise [103] [103]Vedi il cap. 16↓ per analizzare la sua origine.), la cui forma d’onda è una realizzazione di un processo aleatorio stazionario ed ergodico (vedi § 7.3↓), la cui densità di probabilità del primo ordine è la “famosa” gaussiana (vedi § 7.2.4↓), ed il cui spettro di densità di potenza è bianco, ossia costante in frequenza. Nel caso in cui siano presenti più cause di disturbo, anche localizzate in punti diversi del collegamento, si fa in modo (vedi pag. 1↓) di ricondurle tutte ad un’unica fonte di rumore (equivalente) in ingresso al decisore. Come appare dalla figura a pag. 1↑, l’effetto del rumore è quello di causare degli errori nelle decisioni sui livelli, e quindi sui simboli e sui bit ricevuti. Intraprendiamo quindi l’analisi per valutare la frequenza di questi errori, ovvero la loro probabilità (vedi cap. 7↓).

### 5.3.1Rumore bianco limitato in banda ↓

Come anticipato, il disturbo n(t) è la realizzazione di un processo gaussiano ergodico, a valor medio nullo, e con spettro di densità di potenza bianco o costante
PN(f)=(N0)/(2)
e viene caratterizzato dalla sua varianza σ2N, pari alla potenza [104] [104]Al cap. 16↓ si illustra come in realtà PN(f) non è costante per qualsiasi valore di f fino ad infinito, ma occupa una banda indeterminata ma limitata: altrimenti, avrebbe una potenza infinita. PN di una sua realizzazione qualsiasi (per l’ergodicità): tale processo è anche indicato come Additive White Gaussian Noise↓ o AWGN.
Allo scopo di limitare PN alla minima possibile, in ingresso al ricevitore è posto un filtro passa-basso ideale [105] [105]Si veda il § 5.7↓ per la scelta di un diverso filtro di ricezione, individuato applicando le condizioni per la minimizzazione della probabilità di errore. con risposta in frequenza HR(f) limitata in una banda ±BN (detta banda di rumore, vedi § 12.1.1↓), tale da lasciar passare le componenti frequenziali del segnale r(t) per intero, e limitare al tempo stesso la banda (e dunque la potenza) di PN(f) al minimo.
Pertanto, la potenza del rumore↓ in uscita da HR(f) risulta [106] [106]Per i dettagli relativi al filtraggio di processi, ci si può riferire al § 161↓. pari a
PN’ = σ2N’=∞⌠⌡− ∞PN(f)|HR(f)|2df= = BN⌠⌡−BN(N0)/(2)df=N0BN
e questo valore si riflette (in virtù della ergodicità di n(t)) nella dinamica della v.a. di rumore n, come esemplificato in figura.

### 5.3.2Soglie di decisione↓

Proseguiamo ora l’analisi indicando il segnale ricevuto nella forma
(6.42) r(t)= ⎲⎳ka[k]⋅g(t−kTs)
in cui g(t) è un impulso di Nyquist (6.37↑), in modo da poter assumere assenza di ISI, ed i simboli a[k] sono elementi di una sequenza aleatoria, ognuno scelto tra L possibili valori ai, i= 1, 2, ..,L− 1, distribuiti entro un intervallo con dinamica pari a aL−a1= Δ.
Agli istanti multipli del periodo di simbolo t=kTs=k⁄fs, il decisore esamina il valore del segnale x(t)=r(t)+n(t), ed anzichè ritrovare i valori a[k] trasmessi, osserva la realizzazione di una variabile aleatoria gaussiana↓, con media pari al valore trasmesso a[k] =ai, e varianza σ2N=N0BN. Quindi, per stabilire quale valore sia stato (probabilmente) trasmesso per il simbolo k−esimo, effettua una decisione di massima verosimiglianza↓ o mv (vedi § 7.5.3↓) confrontando tra loro le densità
di probabilità condizionate↓ alle diverse ipotesi che sia stato trasmesso il simbolo ai:
(6.43) PX⁄ai(x)=(1)/(√(2π)σN)exp⎧⎩−((x−ai)2)/(2σ2N)⎫⎭
e scegliendo per l’^ai tale che PX⁄^ai(x) è la più grande.
Nel caso in cui i valori ai siano equispaziati, il criterio di massima verosimiglianza equivale (vedi figura) a definire L− 1 soglie di decisione θi, i= 1, 2, ..,L− 1, poste a metà tra i valori ai ed ai+ 1 [107] [107]Questa proprietà di equidistanza tra le soglie, deriva dalla simmetria pari della d.d.p. gaussiana rispetto al suo valor medio: in generale, le soglie sono poste in modo da rendere eguali le probabilità di errore di falso allarme e di perdita, vedi § 7.6.2↓., e decidere per il valore ai se il segnale ricevuto x cade all’interno dell’intervallo compreso tra θi− 1 e θi ( [108] [108]Chiaramente, tutti i valori minori di θ1 provocano la decisione a favore di a1, e quelli maggiori di θL−  1 indicano la probabile trasmissione di aL.), dato che ciò (nel caso in figura) corrisponde ad imporre
α=PX⁄ai(x)>β=PX⁄ai+ 1(x)>γ=PX⁄ai− 1(x)

### 5.3.3Probabilità di errore per simbolo↓

Dopo aver applicato il criterio di massima verosimiglianza su esposto, il decisore può aver commesso un errore nel caso in cui, a causa di un valore particolarmente elevato di rumore, x oltrepassi la soglia di decisione, ovvero se il campione di rumore osservato all’istante k è (in modulo) più grande di α=|θi−ai|=(Δ)/(2(L− 1)). La probabilità di errore si dice in questo caso condizionata alla trasmissione di ai, e vale
Pe⁄ai= 2∞⌠⌡θi(1)/(√(2π)σN)exp⎧⎩−((x−ai)2)/(2σ2N)⎫⎭dx=Pα
che chiameremo Pα, e che rappresenta (vedi figura) la somma delle aree tratteggiate. Lo stesso valore Pα è valido per tutti gli indici i compresi tra 2 ed L− 1, mentre per a1 ed aL la probabilità di errore è dimezzata perché l’errore si verifica solo su di una soglia di decisione: Pe⁄a1=Pe⁄aL=(1)/(2)Pα.
Applicando il cambiamento di variabile descritto al § 7.2.4↓, troviamo che Pα=erfc⎧⎩(θi−ai)/(√(2)σN)⎫⎭; sostituendo a θi−ai la sua ampiezza espressa in funzione della dinamica di segnale Δ, troviamo↓
(6.44) Pα=erfc⎧⎩(Δ)/(2√(2)σN(L− 1))⎫⎭
Per arrivare all’espressione della probabilità di errore incondizionata [109] [109]Che non dipende cioè da quale simbolo sia stato trasmesso. occorre eseguire una operazione di valore atteso (§ 7.2.2↓) rispetto a tutti gli indici i, con i= 1, 2, ...,L, ovvero pesare le diverse probabilità di errore condizionate per le rispettive probabilità degli eventi condizionanti. Nel caso in cui i valori ai siano equiprobabili, con probabilità Pr(ai)=(1)/(L), si ottiene:
Pe=Eai{Pe⁄ai}=L⎲⎳i= 1Pr(ai)Pe⁄ai=(1)/(L)⎡⎣(L− 2)Pα+ 2(1)/(2)Pα⎤⎦=⎛⎝1  −(1)/(L)⎞⎠Pα
in cui si è tenuto conto della diversa probabilità condizionata per i livelli intermedi e per i due agli estremi. Il risultato ottenuto, benchè già idoneo a valutare la Pe, può essere ulteriormente elaborato per ottenere espressioni più adatte ai progetti di dimensionamento.
Pe come funzione di Eb/No
I passaggi che seguono sono volti ad esprimere l’eq. (6.44↑) in modo che l’argomento di erfc{} dipenda dalla grandezza Eb⁄N0, che come stiamo per verificare, riassume in sé i valori dei parametri intriseci del collegamento, ossia potenza ricevuta PR, densità di rumore N0, e frequenza binaria fb. Al contrario, la grandezza SNR=(PR)/(PN)↓ generalmente indicativa della qualità del segnale ricevuto dipenderebbe, oltre che dai parametri suddetti, anche da altre grandezze che invece rappresentano specifiche scelte per i parameri di trasmissione, come γ e L, il cui contributo vorremmo invece mantenere separato [110] [110]Infatti, la potenza di rumore PN=N0BN, da cui SNR dipende, a sua volta è funzione dalla banda del filtro di ricezione, che come abbiamo visto è posta pari alla massima frequenza presente in r(t), e quindi (prendendo in considerazione un codice di linea g(t) a coseno rialzato, vedi § 5.2.2.3↑) pari a
BN=(fs)/(2)(1  +γ)=(fb)/(2log2L)(1  +γ)
dipendendo quindi anch’essa da L e γ, oltre che dalla fb. Pertanto, al variare di L e γ, varia anche SNR..
Definizione di Eb/No↓ e suo contributo all’SNR
La grandezza Eb rappresenta l’energia per bit [111] [111]si rifletta sulla circostanza che la potenza è una energia per unità di tempo. e la sua definizione
Eb=PRTb=(PR)/(fb)
mostra come essa riassume in sè i parametri di sistema potenza di segnale e velocità binaria, mentre invece non dipende dai parametri di trasmissione L e γ. Anche N0 costituisce un parametro di sistema, rappresentando una grandezza su cui non è possibile intervenire.
Allo scopo quindi di mantenere separati tra loro i diversi elementi che determinano la probabilità di errore, e di porre nella giusta evidenza le quantità Eb ed N0, esprimiamo dunque le potenze PN e PR in funzione di Tb= 1 ⁄fb:
(6.45) PN=N0BN=(N0(1 +γ))/(Tb2log2L) e PR=(Eb)/(Tb)
in modo da ottenere
(6.46) SNR=(PR)/(PN)=(Eb)/(Tb)(Tb2log2L)/(N0(1 +γ))=(Eb)/(N0)(2log2L)/((1  +γ))
Legame tra Pr e la dinamica del segnale
Prima di arrivare all’espressione di Pα (eq. 6.44↑) in funzione di Eb⁄N0, occorre esprimere PR↓ in funzione dei parametri di trasmissione L e γ, nonché della dinamica Δ. Sotto le ipotesi in cui:

- si adotti un impulso di Nyquist a coseno rialzato con roll-off γ;
- i simboli a[k] siano statisticamente indipendenti ed a valori ai equiprobabili;
- tali valori siano distribuiti uniformemente su L livelli, con dinamica aL−a1= Δ;

al § 9.10.4↓ si ottiene [112] [112]Anche se il risultato sarà dimostrato al § 9.10.4↓, merita comunque un commento: osserviamo che PR diminuisce all’aumentare di γ (si stringe infatti l’impulso nel tempo); inoltre PR diminuisce al crescere di L, in quanto nel caso di più di 2 livelli, la forma d’onda assume valori molto vari all’interno della dinamica di segnale, mentre con L= 2 ha valori molto più estremi.
(6.47) PR=(Δ2)/(12)(L+ 1)/(L− 1)⎛⎝1  −(γ)/(4)⎞⎠
Se in particolare risulta L= 2 e γ= 0 (come nel caso di trasmissione binaria a banda minima) allora si ha PR=(Δ2)/(4). Ma per essere utilizzata ai nostri fini, la (6.47↑) deve prima essere invertita, in modo da esprimere △ in funzione di PR:
(6.48) △ =√(12(L− 1)/(L+ 1)(PR)/((1  −γ⁄4)))

#### 5.3.3.1Espressione della Pe per simbolo↓

Non resta ora che inserire la (6.48↑) nella espressione di Pα (eq. 6.44↑), ricordare che σ2N=PN, e tenere conto della (6.46↑), in modo da ottenere [113] [113]
Per chiarezza sviluppiamo i passaggi, piuttosto banali anche se non ovvi:
Pe = ⎛⎝1  −(1)/(L)⎞⎠Pα=⎛⎝1  −(1)/(L)⎞⎠erfc⎧⎩(Δ)/(2√(2)σN(L− 1))⎫⎭ = ⎛⎝1  −(1)/(L)⎞⎠erfc⎧⎩√(12(L− 1)/(L+ 1)(PR)/((1 −γ⁄4)))(1)/(2√(2PN)(L− 1))⎫⎭ = ⎛⎝1  −(1)/(L)⎞⎠erfc⎧⎩2√(3(L− 1)/(L+ 1)(1)/((1  −γ⁄4)))(1)/(2√(2))√((PR)/(PN))(1)/((L− 1))⎫⎭ = ⎛⎝1  −(1)/(L)⎞⎠erfc{√((3)/(2)(L− 1)/(L+ 1)(1)/((L− 1)2)(1)/((1 −γ⁄4))SNR)} = ⎛⎝1  −(1)/(L)⎞⎠erfc{√((3)/(2)(1)/(L2− 1)(1)/((1 −γ⁄4))(Eb)/(N0)(2log2L)/(1  +γ))} = ⎛⎝1  −(1)/(L)⎞⎠erfc{√((Eb)/(N0)(3log2L)/((L2− 1)(1  +γ)⎛⎝1  −(γ)/(4)⎞⎠))}
↓
(6.49) Pe=⎛⎝1  −(1)/(L)⎞⎠erfc{√((Eb)/(N0)(3log2L)/((L2− 1)(1  +γ)⎛⎝1  −(γ)/(4)⎞⎠))}
che è graficata alla Fig 5.22↓, in funzione di (Eb)/(N0)||dB, per tre condizioni operative. In particolare, notiamo che per L= 2 e γ= 0 si ottiene:
(6.50) Pe=(1)/(2)erfc{√((Eb)/(N0))}
Figura 5.22  Andamento di Pe vs. Eb⁄N0
Le scelte progettuali (γ e L) diverse da L= 2 e γ= 0 determinano immancabilmente un peggioramento della Pe, ma vengono intraprese per soddisfare esigenze di risparmio di banda (aumentando L) [114] [114]Aumentando L, l’argomento di (6.49↑) diminuisce, in quanto (L2− 1) cresce più velocemente di log2L., e per ridurre i termini di interferenza intersimbolica (aumentando γ). Due domande riassuntive:
-perché Pe peggiora se aumento i livelli ? Risposta ( [115] [115]Perché a parità di PR gli intervalli di decisione sono più ravvicinati, e le “code” della gaussiana sottendono un’area maggiore.).
-perché Pe peggiora se aumento γ ? Risposta ( [116] [116]Perché occorre aumentare la banda del filtro di ricezione e dunque far entrare più rumore. D’altra parte questo peggioramento è compensato dalla riduzione dell’ISI.).
Compromesso banda - potenza↓
Osservando la fig. 5.22↑ notiamo che al crescere di L, e dunque occupando una banda minore, si può ottenere la stessa Pe solo a patto di aumentare Eb⁄N0, ovvero (a parità di fb) aumentando la potenza trasmessa: questo è un aspetto di un risultato più generale della teoria dell’informazione. Claude Shannon ha infatti dimostrato (vedi pag. 1↓) che è possibile trasmettere senza errori (ricorrendo a tecniche di codifica di canale oltremodo sofisticate) purchè la velocità di trasmissione fb non ecceda la capacità di canale, definita come
C=Blog2⎛⎝1  +(PR)/(N0B)⎞⎠
in cui B è la banda del canale, PR la potenza ricevuta, e N0B la potenza del rumore. Un secondo canale, con B minore, dispone di una minore capacità, in quanto log2(.) cresce più lentamente di quanto non decresca B; pertanto, per mantenere la stessa capacità, è necessario trasmettere con una maggiore potenza di segnale PR. E’ questo il motivo per cui, nel caso in cui vi siano limitazioni di potenza ma non di banda, come ad esempio nelle comunicazioni satellitari, conviene occupare la maggior banda possibile, mantenendo L= 2, in modo da risparmiare potenza [117] [117]Per contro, volendo mantenere immutata la qualità, e dunque la Pe, l’aumento dell’occupazione di banda prodotta dal controllo di errore (vedi § 5.4↓), consente di ridurre la potenza di segnale!.
Compromesso velocità - distorsione↓
Abbiamo appena fatto notare come, riducendo la banda occupata dal segnale dati, occorra aumentare la potenza ricevuta per mantenere la stessa Pe. Viceversa, osserviamo anche che l’aumento della velocità binaria (e quindi dell’occupazione di banda) dovuta all’adozione di strategie per il controllo di errore (vedi § 5.4↓ e § 17.2↓), consente di ridurre la probabilità di errore stessa, e dunque migliorare la fedeltà del flusso binario, anche a parità di potenza ricevuta.

Figura 5.23  Diagramma ad occhio con Eb⁄N0 pari a 20 e 10 dB, γ= .7, L= 4

### 5.3.4Diagramma ad occhio in presenza di rumore↓

Si tratta dello stesso tipo di grafico già descritto a pag. 1↑, e che ora ci aiuta a valutare in modo visivo la qualità di una trasmissione numerica. In fig. 5.23↑ sono riportati i grafici per un segnale dati a 4 livelli, in presenza di due diversi livelli di potenza di rumore: notiamo che al peggiorare del rapporto (Eb)/(N0), la zona priva di traiettorie (l’occhio) riduce la sua estensione verticale (tende a chiudersi). Pertanto, disponendo di un segnale numerico di qualità sconosciuta, questa può essere valutata in modo approssimato, qualora si disponga di un oscilloscopio, esaminando il grado di apertura dell’occhio.

### 5.3.5Uso del codice di Gray↓ e Pe per bit

La probabilità di errore (6.49↑) si riferisce all’evento di decidere per la ricezione del simbolo ai quando invece è stato trasmesso ai− 1 o ai+ 1( [118] [118]La probabilità di un errore legato al salto di due o più livelli θ è così piccola da potersi trascurare.), mentre ora determiniamo la probabilità che sia errato uno qualunque dei bit ottenibili dopo la serializzazione (vedi nota 5.1.2.4↑ a pag. 1↑) della codifica associata al simbolo ricevuto. Abbiamo già illustrato al § 5.2.2.4↑ come esista un modo particolare (il codice di Gray) di assegnare codifiche binarie ai simboli ai, al fine di associare ai simboli relativi a valori (livelli) contigui, parole differenti per un solo bit.
In presenza della codifica di Gray, pertanto, ogni simbolo errato contiene un solo bit errato, e quindi l’evento di errore sul bit si verifica quando il simbolo a cui appartiene è errato, e il bit è quello errato, ovvero: Pr{bit errato} = Pr{simbolo errato}⋅Pr{bit errato/simbolo errato} = Pe⋅(1)/(log2L). Ad esempio, con L= 256 livelli, la Pe sul bit si riduce di log2L= 8 volte. L’espressione della Pe per bit↓ nel caso si adotti una codifica di Gray, diviene quindi:
(6.51) Pbite=(1)/(log2L)⎛⎝1 −(1)/(L)⎞⎠erfc{√((Eb)/(N0)(3log2L)/((L2− 1)(1  +γ)⎛⎝1  −(γ)/(4)⎞⎠))}
Le curve in fig. 5.24↓

Figura 5.24  Probabilità di errore sul bit per trasmissione multilivello di banda base con codifica di Gray
mostrano il valore di Pbite cosí determinato, per γ= 0, in funzione di (Eb)/(N0) espresso in dB, per diversi valori di L. Valori di γ≠ 0 determinano un peggioramento [119] [119]Di non grande entità: per γ= 1 il peggioramento risulta di 1.761 dB. di 10log10(1 +γ)⎛⎝1  −(γ)/(4)⎞⎠, che deve essere compensato da un eguale incremento in dB di (Eb)/(N0), per ottenere la stessa Pe.
Dimensionamento di una trasmissione numerica↓
Una metodologia operativa di progetto può basarsi sull’imporre un determinato valore di Pe, a partire dal quale

- in base alle curve di fig. 5.24↑, si individuano i valori di Eb⁄N0 (in dB) necessari, per diverse scelte di L;
- nota la banda disponibile e la velocità fb, si ottiene il valore di L, individuando così la curva appropriata, nell’ipotesi di adottare γ= 0;
- noto il livello di rumore N0, si determina Eb;
- note le esigenze di precisione nella temporizzazione, si impone un valore del roll-off γ, e conseguentemente si aumenta il valore di Eb;
- si determina la minima potenza che è necessario ricevere, come WRmin=Eb⋅fb.

A pag. 1↓ viene proposto un esercizio riassuntivo, che comprende anche alcuni concetti presentati nella sezione seguente.
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