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## 2.4Appendici

### 2.4.1Algebra vettoriale

Spazio normato↓
Un insieme di elementi viene detto spazio lineare (o spazio vettoriale), quando sono definite le operazioni di somma tra elementi e di moltiplicazione degli stessi per dei coefficienti, e queste operazioni danno come risultato ancora un elemento dell’insieme.
Lo spazio prodotto interno (o spazio normato) è quello spazio lineare, in cui è definito il prodotto scalare (x, y) tra generici vettori x ed y [28] [28]Il prodotto scalare è un operatore che associa ad una coppia di vettori uno scalare. Indicando con (x, y) il prodotto scalare tra x ed y, tale operatore deve soddisfare alle seguenti tre proprietà:

- (x, y)=(y, x) - proprietà commutativa;
- (ax+by, z)=a(x, z)+b(y, z) - proprietà distributiva;
- (x, x)≥ 0 (con il segno uguale solo se x= 0).

Qualora lo spazio normato sia anche completo, prende il nome di spazio di Hilbert (vedi `http://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_di_Hilbert`). Il senso “naif” di completo è che i punti ci sono tutti, mentre quello più matematicamente forbito è che tutte le successioni di Cauchy sono convergenti ad un elemento dello spazio.. In tal caso, si può definire la norma ∥x∥ di un vettore x come
∥x∥=√((x, x))
Due vettori si dicono ortogonali se il loro prodotto scalare è nullo, ossia (x, y)= 0.
Un generico punto x di uno spazio lineare può esprimersi come combinazione di vettori ui di una base di rappresentazione, con coefficienti xi:
x= ⎲⎳ixiui
Se lo spazio è normato, e per i vettori della base risulta (ui, uj)= 0 per tutti gli i≠j, allora la base è detta ortogonale, ed i coefficienti xi si determinano per proiezione di x lungo i vettori della base:
xi=(x, ui)
In tal caso, il prodotto scalare tra due vettori x ed y ha espressione [29] [29]E’ facile verificare che il risultato ottenuto è direttamente applicabile allo spazio descritto dalla geometria euclidea, in cui gli ui sono unitari ed orientati come gli assi cartesiani, ottenendo in definitiva
(x, y)=x1y1+x2y2+x3y3
Osserviamo inoltre come l’espressione che permette il calcolo della lunghezza di un vettore
∥x∥=√( ⎲⎳i(xi)2)
non sia nient’altro che la riproposizione del teorema di Pitagora, che (su due dimensioni) asserisce l’uguaglianza dell’area del quadrato costruito sull’ipotenusa, con la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti. Infatti diventa .
(x, y)= ⎲⎳ixiy*i∥ui∥2
Se ∥ui∥2= 1, allora gli ui sono unitari e la base è detta ortonormale.
Spazio dei segnali periodici
I concetti ora esposti sono immediatamente applicabili all’insieme dei segnali periodici di periodo T, una volta assimilati a elementi di uno spazio normato, per i quali viene definito un operatore di prodotto scalare tra due segnali x(t) ed y(t) come l’integrale
(x(t),y(t))=(1)/(T)(T)/(2)⌠⌡−(T)/(2)x(t)y*(t)dt
a cui corrisponde una norma quadratica immediatamente riconoscibile come la potenza del segnale:
∥x(t)∥2=(1)/(T)(T)/(2)⌠⌡−(T)/(2)|x(t)|2dt
Considerando quindi il sottospazio dei segnali con periodo T=(1)/(F) costituito dall’insieme {ej2πnFt}, la validità di (6.5↑) di pag. 1↑ prova che gli {ej2πnFt} costituiscono una base ortonormale per i segnali periodici di periodo T; in particolare si riconosce che l’espressione (6.2↑) di pag. 1↑ rappresenta la proiezione [30] [30]Infatti, il prodotto scalare si calcola come il prodotto dei moduli, moltiplicato per l’angolo compreso tra i due: (x, y)=|x|⋅|y|⋅cosθ. Se il secondo vettore ha lunghezza unitaria, si ottiene la proiezione del primo nella direzione del secondo. del segnale lungo i vettori della base, mentre la formula di ricostruzione (6.3↑) costituisce la rappresentazione del segnale nei termini delle sue componenti ortogonali.
Ri-definizione dei coefficienti di Fourier
Moltiplicando il segnale periodico per e−j2πmFt ed eseguendo l’integrale tra due istanti t1 e t2 presi a distanza di un multiplo intero di periodi (ossia t2−t1=kT), si ottiene
t2⌠⌡t1x(t) e−j2πmFtdt = t2⌠⌡t1(∞⎲⎳n=  − ∞Xn ej2πnFt)e− .j2πmFtdt= = ∞⎲⎳n=  − ∞Xn t2⌠⌡t1e.j2π(n−m)Ftdt=(t2−t1)⋅Xm
in quanto per n≠m la funzione integranda ha valor medio nullo, dato che nell’intervallo (t1,t2) (dovunque collocato dell’asse dei tempi) presenta un numero intero di periodi. Pertanto, il calcolo dei coefficienti può ottenersi a partire da un qualunque intervallo esteso su un numero intero di periodi:
Xn=(1)/(t2−t1)t2⌠⌡t1x(t) e− .j2πnFtdt
Disuguaglianza di Schwartz↓
Consiste nel risultato
|∞⌠⌡− ∞x(t)y*(t)dt|2≤∞⌠⌡− ∞|x(t)|2dt⋅∞⌠⌡− ∞|y(t)|2dt
che a volte può tornare utile nei calcoli che coinvolgono segnali di energia. La dimostrazione si basa sull’identificare l’insieme di tali segnali come uno spazio normato, dotato di un operatore di prodotto scalare tra x(t) ed y(t) definito come
(6.6) (x(t),y(t))=∞⌠⌡− ∞x(t)y*(t)dt
Con tali posizioni, il risultato mostrato deriva da quello valido per un qualunque spazio vettoriale, che fa uso della diseguaglianza |cosθ|≤ 1, e che mostra che
(x, y)2=(|x|⋅|y|⋅cosθ)2≤|x|2⋅|y|2
Applicando quindi la definizione di prodotto scalare (6.6↑) ai due vettori-segnale x=x(t) e y=y(t), si ottiene il risultato espresso dalla diseguaglianza di Schwartz, in cui ∫∞− ∞|x(t)|2dt=∫∞− ∞x(t)x*(t)dt=(x, x), e per la quale vale il segno di uguale se e solo se x(t)=Ky(t), con K costante reale.

### 2.4.2Esempi di Sviluppo in serie

Nello schema che segue, sono mostrate le ampiezze delle componenti armoniche Xn per alcuni segnali periodici di periodo T, di cui è fornita l’epressione nel tempo per |t|<T⁄ 2.
Onda quadra simmetrica

x(t)=⎧⎨⎩ + 1 |t|<T⁄ 4 − 1 T⁄ 4 ≤|t|<T⁄ 2 Xn=⎧⎨⎩ sinc⎛⎝n2⎞⎠ n≠  0 0 n= 0 |

Treno di impulsi rettangolari

x(t)=⎧⎨⎩ + 1 |t|<τ⁄ 2 0 τ⁄ 2 ≤|t|<T⁄ 2 Xn=τTsinc⎛⎝nτT⎞⎠ |

Onda triangolare simmetrica

x(t)= 1 − 4|t|T |t|<T⁄ 2 Xn=⎧⎨⎩ sinc2⎛⎝n2⎞⎠ n≠ 0 0 n= 0 |

Dente di sega simmetrico

x(t)= 2tτ |t|<T⁄ 2 Xn=⎧⎨⎩ j(− 1)nnπ n≠  0 0 n= 0 |

Rettificata a singola semionda

x(t)=⎧⎨⎩ sinω0t 0 ≤t<T⁄ 2 0 −T⁄ 2 ≤t< 0 Xn=⎧⎪⎨⎪⎩ 1π(1  −n2) n pari −j14 n= ±1 0 altrimenti |

Rettificata a onda intera

x(t)=|sinω0t| Xn=⎧⎨⎩ 2π(1  −n2) n pari 0 altrimenti |

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