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## 13.10Appendici

### 13.10.1Sincronizzazione↓

Nelle trasmissioni numeriche occorre ottenere allo stesso tempo sia la sincronizzazione della portante di demodulazione, nei limiti delle ambiguità di fase residue, sia la corretta temporizzazione di simbolo, per campionare le c.a. di b.f. ricevute al centro del periodo di simbolo [605] [605]Od alla fine, come nel caso di un ricevitore a correlazione., ed evitare l’insorgenza di isi. Le due problematiche possono essere affrontate l’una di seguito all’altra, adottando le soluzioni già esposte [606] [606]Per il recupero della portante si possono usare circuiti del tipo di § 11.4.2↑, mentre l’uso del pll (§ 11.2.1.2↑) non è possibile a causa della assenza di residui di portante. Una volta acquisto il sincronismo di frequenza, quello di simbolo può essere ottenuto mediante schemi operanti in banda base, come quelli a pag. 78↑.. D’altra parte sono ora possibili varianti, come ad esempio il Costas loop [607] [607]`http://en.wikipedia.org/wiki/Costas_loop` che, utilizzando entrambe le c.a. di b.f., realizza l’aggancio di frequenza anche per tecniche di modulazione a portante soppressa, oppure procedure che tentano di acquisire per primo il sincronismo di simbolo, e quindi usano i valori delle c.a. di b.f. ricevute per effettuare correzioni alla fase dell’oscillatore di demodulazione [608] [608]Vedi as es. `http://en.wikipedia.org/wiki/Carrier_recovery#Decision-directed`.
Qualora la portante di demodulazione presenti una ambiguità di fase residua si può applicare la tecnica della codifica differenziale esposta al § 13.4↑, oppure inserire una sequenza di simboli noti (o flag) all’inizio della trama trasmissiva, in modo che il confronto tra i valori attesi e quelli ricevuti permetta di correggere tale ambiguità. Da notare che i flag o trailer ad inizio trama possono essere vantaggiosamente usati anche da schemi di recupero del clock del tipo di quelli al § 78↑.

### 13.10.2Ortogonalità tra simboli sinusoidali↓

Al § 13.5.1↑ si è introdotta la modulazione fsk ortogonale, e nelle note è iniziata la discussione relativa alla condizione di ortogonalità tra la forma d’onda sinusoidale di durata Ts ricevuta, e quella prodotta al ricevitore come ingresso ai correlatori di un banco. Prendiamo pertanto ora in considerazione segnali del tipo cos[2π(f0+ Δfk)t+φk], in cui è inclusa una differenza (o errore) di fase aleatorio tra le forme d’onda, in modo da esaminare le differenze tra il caso di modulazione coerente ed incoerente.
Iniziamo dunque con lo sviluppare l’espressione dell’integrale di intercorrelazione ρ=∫Ts0cos[2π(f0+mΔ)t]cos[2π(f0+nΔ)t+φ]dt facendo uso della relazione cosαcosβ=(1)/(2)[cos(α+β)+ cos(α−β)] e riferendoci per semplicità al caso di due frequenze contigue (ponendo m= 0 ed n= 1):
(18.33) ρ = (1)/(2)Ts⌠⌡0{cos[2π(2f0+ Δ)t+φ]+ cos[2πΔt−φ]}dt= = (1)/(2)Ts⌠⌡0cos[2π(2f0+ Δ)t+φ]dt+(1)/(2)Ts⌠⌡0cos[2πΔt−φ]dt
Per quanto riguarda il primo integrale, esso assume un valore nullo se 2f0+ Δ =(k)/(Ts), perché in tal caso in un intervallo Ts entrano un numero intero di periodi, ed il coseno ha valor medio nullo. Concentriamoci allora sul valore di Δ che annulla anche il secondo integrale, che riscriviamo facendo uso della relazione cos(α−β)= cosαcosβ+ sinαsinβ:
(18.34) Ts⌠⌡0cos(2πΔt−φ)dt= = Ts⌠⌡0[cos(2πΔt)cosφ+ sin(2πΔt)sinφ]dt= = (sin(2πΔt))/(2πΔ)||Ts0⋅cosφ−(cos(2πΔt))/(2πΔ)||Ts0⋅sinφ= = Ts⎡⎣(sin(2πΔTs))/(2πΔTs)⋅cosφ+(1 − cos(2πΔTs))/(2πΔTs)⋅sinφ⎤⎦
Osserviamo ora che, nel caso in cui φ= 0, il secondo termine della (18.34↑) si annulla per qualunque Δ. Esaminiamo quindi ora solamente il primo termine, individuando così il risultato relativo al caso di
Modulazione coerente↓
Il termine (sin(2πΔTs))/(2πΔTs)=sinc(2ΔTs) si annulla per Δ  =(k)/(2Ts), e quindi la minima spaziatura tra portanti risulta Δ =(1)/(2Ts)=(fs)/(2); pertanto, le frequenze utilizzate dovranno essere del tipo f0+k(fs)/(2).
Per fare in modo che il primo termine della (18.33↑) si annulli, deve sussistere la relazione 2f0+ Δ  = 2f0+(fs)/(2)=(k)/(Ts)=kfs, che fornisce la condizione f0=fs(2k− 1)/(4), ossia f0 deve essere scelta come uno tra i valori (1)/(4)fs,(3)/(4)fs,(5)/(4)fs,(7)/(4)fs, …. Notiamo come la spaziatura (fs)/(2) ora individuata tra i possibili valori per la portante, coincide con quella Δ tra le frequenze di segnalazione. Pertanto la parte sinistra della figura 13.42↓ rappresenta,disegnate in un intervallo pari a Ts, sia le portanti che possono essere usate, sia le prime frequenze che è possibile adottare per un modulazione fsk coerente basata sul valore minimo di f0 pari a (1)/(4)fs [609] [609]Possiamo notare come la spaziatura tra le frequenze di segnalazione di (fs)/(2) fa si che due forme d’onda con una differenza di frequenza nΔ  =n(fs)/(2) accumulino in un intervallo Ts una differenza di fase di nπ, ovvero un numero intero di semiperiodi. .

Figura 13.42  Forme d’onda ortogonali nei casi di modulazione coerente ed incoerente
Nel caso in cui f0 non assuma uno dei valori individuati, il primo termine di (18.33↑) non si annulla, ma se f0≫(1)/(Ts), risulta trascurabile rispetto al secondo. Pertanto, nel caso di trasmissioni su canali di tipo passa-banda, la scelta di f0 non è più determinante.
Modulazione incoerente↓
In questo caso si ha φ≠ 0. In generale la (18.34↑) presenta entrambi i termini; mentre il primo (come già osservato) si annulla per Δ =(k)/(2Ts), il secondo invece è nullo solo se Δ =(k)/(Ts). Questa circostanza determina il risultato che occorre ora adottare una spaziatura tra portati doppia della precedente, e pari cioè a Δ  =fs.
Tornando ad esaminare la (18.33↑): ora il suo primo termine si annulla se 2f0+ Δ = 2f0+fs=kfs, che determina la condizione f0=fs(k− 1)/(2), ossia f0= 0,(1)/(2)fs,fs,(3)/(2)fs, …. Notiamo come la spaziatura (fs)/(2) tra i possibili valori per la portante sia identica al caso precedente, mentre la spaziatura necessaria alle frequenze di segnalazione è raddoppiata. La circostanza che ora sia ammessa anche una “portante a frequenza nulla” consente quindi di tracciare la parte destra della figura 13.42↑, che mostra le prime frequenze di segnalazione che è possibile adottare per una modulazione fsk incoerente basata sul valore minimo di f0= 0.
Verifica grafica
La figura che segue mostra il risultato del prodotto di due frequenze ortogonali distanti (fs)/(2) e calcolate in assenza di errore di fase (a sinistra) e con un errore di fase pari a φ=(π)/(2). Si può notare come in questo secondo caso si perda l’ortogonalità tra i segnali, essendo il risultato prevalentemente negativo.

Discussione sull’ottimalità per L→ ∞
Osserviamo innanzitutto che il ricevitore a correlazione commette errore nel caso in cui il rumore sovrapposto al segnale di ingresso sia casualmente “simile” ad una delle cosinusoidi utilizzate per la trasmissione. In tal caso, l’uscita dell’integratore relativo alla frequenza “simile” può superare quella relativa alla frequenza trasmessa, e corrotta dal medesimo rumore.
All’aumentare di L (per fb fisso) aumenta il periodo di simbolo Ts=(log2L)/(fb) e quindi diventa sempre più “difficile” per il rumore emulare “bene” una della frequenze di segnalazione, e quindi si riduce la probabilità di errore.
Chiaramente, all’aumentare di L aumenta proporzionalmente la complessità del ricevitore, che deve disporre di un numero di correlatori crescente. Pertanto, le prestazioni ideali per L che tende ad infinito rivestono solamente un interesse teorico.
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