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## 13.2Modulazione di fase

Prendiamo ora in esame il caso in cui l’informazione viene rappresentata dalla fase della portante.

### 13.2.1Modulazione QPSK↓↓ ed L-PSK↓

Questi due acronimi si riferiscono alla possibilità di usare quattro oppure L> 4 scelte diverse [546] [546]Il caso in L= 2 ricade nel bpsk già discusso per la fase, dando luogo ad un segnale modulato con espressione
xL−PSK(t)=acos(ω0t+φ(t))
e quindi un inviluppo complesso
(18.6) xL−PSK(t)=aejφ(t)=acosφ(t)+jasinφ(t)
in cui
(18.7) φ(t)=∞⎲⎳k=  − ∞φkrectTs(t−kTs) e φk ϵ {φ0,φ1,  …,φL− 1}
La generica fase φi=(π)/(L)+i⋅(2π)/(L) con i= 0, 1, ⋯L− 1 rappresenta una delle L= 2M possibili combinazioni di M bit di ingresso, e corrisponde ad uno dei punti mostrati nelle costellazioni di figura, che individuano il valore dell’inviluppo complesso ricevuto in assenza di rumore negli istanti di simbolo t=kTs. Lo stesso valore di fase è quindi mantenuto per tutto il periodo di simbolo se φ(t) è realizzata mediante rettangoli come indicato nella (18.7↑). Ma l’espressione (18.6↑) di xL−PSK(t) in termini di {xc,xs} evidenzia come il risultato sia ottenibile mediante una modulazione am in fase e quadratura [547] [547]che non è una modulazione am-blu dato che xs≠^xc, suggerendo l’implementazione del ricevitore secondo lo schema di fig. 13.6↓, in cui i valori di cosφi e sinφi per gli L diversi gruppi di M bit sono precalcolati in una memoria a sola lettura, ed usati come ampiezze per realizzare due segnali dati di banda base, usati quindi come c.a di b.f.per il modulatore in fase e quadratura.
Figura 13.6Modulatore L-PSK
Occupazione di banda
L’uso di un codice nrz per φ(t), e quindi per xc ed xs, produce una occupazione di banda elevata per xL−PSK(t), la cui densità di potenza in tal caso acquisisce un andamento ⎛⎝(sinx)/(x)⎞⎠2 centrato in f0 e con lobo principale di estensione [548] [548]Infatti un rettangolo di durata Ts ha trasformata sinc(Tsf), con il primo zero in f=1⁄Ts=fs, e la modulazione am-bld produce un raddoppio della banda occupata. pari ad 2fs=2fb⁄M, come rappresentato in figura per una densità in dB. L’occupazione di banda può essere limitata a BL−PSK=fs(1  +γ) se si realizza φ(t) mediante impulsi di Nyquist g(t) a coseno rialzato, potendo così scrivere
xL−PSK(t)=a∞⎲⎳k=  − ∞ejφk⋅g(t−kTs)
Traiettoria↓ di x(t)
Contrariamente al caso di g(t) rettangolare [549] [549]Se g(t)=rectTs(t), |x| giace su di un cerchio, spostandosi istantaneamente da un punto all’altro della costellazione, adottando una g(t) a coseno rialzato x(t) passa dai punti della costellazione solo negli istanti significativi, mentre nell’intervallo tra due istanti segue traiettorie con ampiezza variabile, non rispettando quindi la proprietà di ampiezza costante che una modulazione angolare dovrebbe avere. Pertanto la scelta tra nrz e coseno rialzato dipende dalla necessità di limitare la dinamica delle ampiezze, oppure l’estensione della banda. In fig. 13.8↓si mostrano xc ed xs per una modulazione qpsk valutate con g(t) a coseno rialzato (γ = 0.5) per 10 campioni per simbolo, e mostrate per 10 simboli in coordinate cartesiane e polari; al centro è mostrato il corrispondente x(t), mentre a destra si mostra la traiettoria di x(t) visualizzata per 100 simboli.
Figura 13.8xc ed xs per qam in coordinate cartesiane e polari, traiettoria di x(t) per 10 e 100 simboli
Efficienza spettrale
Per l-psk l’efficienza spettrale è identica a quanto ottenuto per l’ask con ugual numero di livelli, dato che per entrambe la frequenza di simbolo risulta pari a fs=(fb)/(log2L), e dunque (per coseno rialzato con γ= 0) si ottiene ρL−PSK=(fb)/(B)=(fslog2L)/(fs)= log2L .
Dal punto di vista delle prestazioni, occorre distinguere il caso in cui L= 4 (indicato come qpsk = Quadrature Phase Shift Keying) da quello con L generico, in quanto sussistono due diverse architetture per il demodulatore.

### 13.2.2Prestazioni QPSK↓

Figura 13.9Demodulatore QPSK
In questo caso (psk con 4 livelli) il demodulatore è costituito da due rami indipendenti in fase e quadratura (vedi fig. 13.9↑), operanti a frequenza di simbolo fs metà di quella binaria, in ognuno dei quali si effettua una decisione per uno dei due bit che compongono il simbolo, e quindi le due decisioni vengono re-serializzate. Entrambi i rami si comportano pertanto come un demodulatore l-ask (§ 13.1.2↑) con L=2, ovvero (a parte una rotazione di fase) un bpsk, e dunque per un segnale a coseno rialzato la probabilità di errore relativa ad ogni singolo ramo è espressa [550] [550] In effetti, dovremmo mostrare che l’attuale valore di Eb⁄N0 è lo stesso del caso bpsk: ma mentre per N0 è evidente che si ha lo stesso valore, sembra che il valore di Eb si dimezzi. Infatti, a partità di potenza ricevuta, i punti di costellazione del bpsk giacciono all’intersezione tra l’asse cartesiano della c.a di b.f. ed il cerchio di raggio pari all’ampiezza a del segnale ricevuto, mentre nel qpsk (fig. 13.10↓) le fasi formano un angolo di 45o rispetto agli assi, riducendone di √(2) la distanza dallo zero, e riducendo dunque la potenza della c.a di b.f. di un fattore 2, e così pure il valore Eb. In realtà, la durata doppia del periodo di simbolo Ts compensa questa riduzione, e dunque Eb=PxTb si mantiene invariato. dalla (18.5↑), fornendo (per γ= 0):
Pce=Pse=(1)/(2)erfc{√((Eb)/(N0))}
che rappresenta la probabilità che una componente analogica di b. f. ottenuta demodulando il rumore sovrapposto al segnale, valutata all’istante di decisione kTs, giaccia nell’area mostrata in figura 13.10↓. La probabilità di errore↓ in un bit della sequenza re-serializzata risulta quindi [551] [551]In effetti all’istante di decisione potrebbe verificarsi errore su entrambi i rami, ma tale evento avviene con probabilità P(c)e⋅P(s)e che si ritiene ≪P(c)e , e quindi trascurabile.
PQPSKe(bit)=Pce⋅Pr{c}+Pse⋅Pr{s}=(1)/(2)(Pce+Pse)=(1)/(2)erfc{√((Eb)/(N0))}
Figura 13.10  Costellazione qpsk e calcolo della Pce
in cui Pr{c}=Pr{s}=1⁄2 sono le probabilità che il bit ricevuto provenga dal ramo in fase o da quello in quadratura; d’altra parte, la probabilità di errore per simbolo risulta Pe(simbolo)=Pce+Pce=erfc{√((Eb)/(N0))} (di nuovo trascurando la probabilità di un errore contemporaneo su entrambi i rami, vedi nota precedente).
Osserviamo quindi come il qpsk consenta di ottenere le stesse prestazioni del bpsk, graficate in fig. 13.4↑, utilizzando solo metà banda (γ= 0):
BQPSK=fs=(fb)/(2)
Quest’ultima osservazione permette di scrivere ρQPSK=(fb)/(BQPSK)= 2 = 2⋅ρBPSK, e suggerisce un ulteriore [552] [552]Ultriore rispetto al commento alla nota 13.2.2↑, dove il ragionamento è svolto sull’Eb⁄N0, mentre ora sull’SNR. punto di vista rispetto all’invarianza delle prestazioni: infatti, dimezzando la banda si dimezza anche la varianza del rumore in ingresso al demodulatore, e ciò compensa la riduzione di ampiezza delle c. a. di b. f. del segnale per il caso qpsk.

### 13.2.3Prestazioni L-PSK↓

In questo caso il demodulatore ha una differente architettura (vedi fig. 13.11↓), ed il decisore opera congiuntamente su entrambi i rami, per ottenere la stima del gruppo di M= log2L bit associati ad una delle possibili fasi φk. Indicando con x̃c,s le c.a di b.f. ricevute, la decisione avviene calcolando φ̃k= arctan(sinφ̃k)/(cosφ̃k) e stabilendo all’interno di quale regione di decisione ^φk cada la fase ricevuta φ̃k. All’aumentare del numero di livelli L, la potenza di rumore (che concorre alla probabilità di errore) diminuisce con la stessa legge di riduzione della banda, ovvero con il log2L. Al contrario, la spaziatura tra le regioni di decisione diminuisce con legge lineare rispetto ad L; pertanto, l’aumento del numero di livelli produce un peggioramento della Pe. Senza approfondire i relativi conti, forniamo direttamente il risultato (con γ= 0) della probabilità di errore sul simbolo
(18.8) PL−PSKe(simbolo)=erfc⎧⎩sin⎛⎝(π)/(L)⎞⎠√((Eb)/(N0)log2L)⎫⎭
che rappresenta la probabilità di decidere di aver ricevuto un ^φk≠φk (diverso da quello trasmesso) e che, se Pe≪1, è approssimata con la probabilità di invadere (a causa del rumore) una regione di decisione contigua (vedi fig. 13.11↓).

Figura 13.11  Demodulatore L-PSK
Confrontando il risultato con quello (eq. 18.4↑) per l’ask, osserviamo che l’assenza del termine ⎛⎝1  −(1)/(L)⎞⎠ è dovuto alla circolarità della costellazione, che il termine sin⎛⎝(π)/(L)⎞⎠ è un fattore che rappresenta il peggioramento all’aumentare di L, ed il log2L sotto radice è il miglioramento dovuto alla riduzione di banda. Il risultato (18.8↑) è una approssimazione valida se Pe≪1, e via via più accurata con L crescente.

L | ΔEb⁄N0=(1)/(3)(L2− 1)sin2(π)/(L) | ΔEb⁄N0(dB)
4 (QPSK) | 2.5 | 4
8 | 3.07 | 4.88
16 | 3.23 | 5.1
32 | 3.28 | 5.2
64 | 3.29 | 5.2

Nella tabella a fianco è riportato il risultato del confronto, per uno stesso valore di Pe, dei valori (Eb)/(N0) necessari per l-psk (18.8↑), contro quelli necessari (18.4↑) per l-ask: si è eseguito il rapporto tra gli argomenti degli erfc{}, si è elevato al quadrato, indicato come Δ, ed il risultato è espresso in dB: quest’ultimo rappresenta (a parte il termine ⎛⎝1 −(1)/(L)⎞⎠ dell’l-ask) il miglioramento di prestazioni in dB dell’l-psk rispetto ad l-ask, ovvero i dB di potenza risparmiata a parità di probabilità di errore. Tale risultato (4-5 dB di miglioramento) porta a prediligere sempre il psk rispetto all’ask.
E’ opportuno osservare che, qualora si desideri ottenere un valore di probabilità di errore per bit, questo è pari a
Pe(bit)=(Pe(simbolo))/(log2L)
a patto di associare, a livelli contigui, gruppi di bit differenti in una sola posizione, come previsto dal codice di Gray [553] [553]vedi il § 5.2.2.4↑ (mostrato nella figura 13.13↓), in modo che l’errore tra due livelli provochi l’errore di un solo bit nel gruppo di log2L bit associati a ciascun livello. Le curve di probabilità di errore per bit, riportate anch’esse in fig. 13.13↓, sono calcolate in questo modo.

Figura 13.13  Prestazioni l-psk con codice di Gray
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