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## 5.8Equalizzazione numerica

Quando il segnale dati attraversa un canale che presenta una H(f) non ideale (vedi pag. 1↓), la distorsione lineare introdotta causa la presenza di isi nel segnale dati (vedi § 5.1.2.2↑), che appare quindi costituito da impulsi distorti g̃(t)=g(t)*h(t) anziché g(t). Tale fenomeno può essere compensato facendo transitare il segnale ricevuto attraverso un filtro di equalizzazione Heq(f) tale che
H(f)Heq(f)=ae−j2πfτ ovvero Heq(f)=(ae−j2πfτ)/(H(f))
Se il lato ricevente conosce H(f), può calcolare la Heq(f) teorica, e realizzare un filtro trasversale (vedi § 9.8↓) che la approssimi, calcolandone i coefficienti mediante uno sviluppo in serie. Il troncamento di tale sviluppo, necessario ad ottenere un heq(t) di durata finita, comporta un errore residuo, che viene accettato purché piccolo. Ma spesso ciò che è direttamente disponibile al ricevitore non è l’H(f) del canale, ma solamente ciò che ne esce; inoltre, nel caso delle trasmissioni numeriche siamo interessati ai soli valori di segnale negli istanti multipli del periodo di simbolo. Il metodo di equalizzazione presentato appresso tiene conto di queste due particolarità.

### 5.8.1Equalizzazione zero forcing↓

Questa tecnica prevede che gli impulsi ricevuti distorti g̃(t) attraversino un filtro trasversale, i cui coefficienti sono calcolati in modo da ripristinare in forma approssimata le condizioni di Nyquist (nel dominio del tempo) per l’impulso geq(t) in uscita dal filtro. Mostriamo come.
A lato è mostrato un filtro trasversale (vedi § 9.8↓) con 2N+ 1 coefficienti ed un ritardo totale 2NT. Il messaggio informativo è preceduto dalla trasmissione di un impulso isolato di apprendimento, la cui forma d’onda distorta ricevuta g̃(t) presenta un picco a t= 0 ed isi su entrambi i lati (Fig. 5.48↓a). Ponendo g̃(t) in ingresso al filtro heq(t), all’uscita si ottiene l’impulso
(6.54) geq(t)=N⎲⎳n=  −Ncng̃(t−nT−NT)
che campionato agli istanti tk=kT+NT fornisce
(6.55) geq(tk)=N⎲⎳n=  −Ncng̃(kT−nT)=N⎲⎳n=  −Ncng̃k−n
avendo adottato l’abbreviazione g̃k−n=g̃(kT−nT); il risultato prende quindi la forma di una convoluzione discreta↓. L’operazione di equalizzazione Zero Forcing consiste nel calcolare i coefficienti cn in modo che geq(t) soddisfi le condizioni di Nyquist almeno sui 2N+ 1 termini centrati sull’origine, ovvero
geq(tk)=⎧⎨⎩ 1 k=  0 0 k= ±1, ±2, ⋯, ±N
assicurando così l’assenza di isi almeno nei confronti degli N simboli precedenti e successivi. Il valore dei coefficienti cn in grado di soddisfare queste condizioni si ottengono risolvendo il sistema di 2N+ 1 equazioni nelle 2N+ 1 incognite, impostato a partire dall’espressione (6.55↑), ed rappresentato in forma matriciale come
(6.56) ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ g̃0 ⋯ g̃− 2N ⋮ ⋮ g̃N− 1 ⋯ g̃−N− 1 g̃N ⋯ g̃−N g̃N+ 1 ⋯ g̃−N+ 1 ⋮ ⋮ g̃2N ⋯ g̃0 ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ c−N ⋮ c− 1 c0 c1 ⋮ cN ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ 0 ⋮ 0 1 0 ⋮ 0 ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
in cui la matrice dei termini noti è costituita dai 4N+ 1 campioni di g̃(t) prelevati agli istanti di simbolo − 2N, …, 2N posti in modo simmetrico rispetto allo zero. Anche se il metodo non garantisce nulla per istanti esterni a (−NT,NT), è ottimo nel senso che minimizza l’isi di picco, ed è semplice da realizzare. L’operazione di combinazione di più campioni ricevuti, eseguita dal filtro di equalizzazione, può avere l’effetto di aumentare la potenza di rumore, ma spesso questo peggioramento di qualità è più che compensato dal miglioramento dell’isi.
Figura 5.48  Impulso con isi prima e dopo equalizzazione
Esempio Vogliamo realizzare un equalizzatore del terzo ordine, applicando il principio illustrato all’impulso con ISI mostrato alla fig. 5.48↑a. Inserendo quei valori di g̃k nella matrice dei coefficienti (6.56↑), otteniamo
⎡⎢⎢⎢⎣ 1.0 0.1 0.0 − 0.2 1.0 0.1 0.1 − 0.2 1.0 ⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣ c− 1 c0 c1 ⎤⎥⎥⎥⎦=⎡⎢⎢⎢⎣ 0 1 0 ⎤⎥⎥⎥⎦
da cui è possibile calcolare c−  1=  − 0.096 c0= 0.96 c1= 0.2. Inserendo ora ad uno ad uno i campioni di g̃(t) in un filtro trasversale con questi coefficienti, si ottengono i valori di geq(t) mostrati in fig. 5.48↑b assieme ad una curva interpolata. Notiamo che sebbene sia stato ottenuto il risultato desiderato di azzerare geq(t) ai due istanti di simbolo ai lati del picco, risulta ancora essere geq≠ 0 ad istanti più remoti.
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